acetatos

Risco e sua diversificação
1
Introdução
• Quando alguém empresta um capital, tem
como objectivo receber mais tarde esse
capital que emprestou acrescido dos juros
• Mas existe sempre uma probabilidade de
não receber nem uma coisa nem outra (no
todo ou em parte).
2
Introdução
• Na análise de um investimento, porque é
baseada em previsões quanto ao
desempenho futuro do negócio
– preços dos inputs, preços e quantidades dos
outputs, depreciação do capital, falhas e
descobertas tecnológicas
• A medida calculada a priori na avaliação
pode, a posteriori, vir a concretizar-se de
forma menos favorável.
3
Introdução
• No sentido de compreendermos o risco,
controlá-lo e utilizá-lo na tomada de
decisão, vamos neste capítulo apresentar
a modelização estatística do risco.
• Vamos necessitar de alguns conceitos
estatísticos.
4
Conceitos estatísticos básicos
5
Conceitos estatísticos básicos
• A Estatística descreve, organiza e
relaciona objectos e fenómenos
demasiado difíceis de apreender com as
ferramentas conceptuais da matemática
clássica (i.e., funções reais de variáveis
reais).
6
Conceitos estatísticos básicos
• A estatística reduz a dimensão do
fenómeno considerando
• poucas variáveis e
• Conhecimento difuso dessas variáveis
7
Conceitos estatísticos básicos
• Por exemplo, quando se constrói um
avião, é necessário colocar bancos
adequados para acomodar os deficientes /
obesos.
• Com é impossível saber as necessidades
nos voos futuros,
• Vamos
medir,
na
população,
a
percentagem de obesos,
• Vamos supor que 3% dos são obesos.
8
Conceitos estatísticos básicos
• Partindo
desta
informação
pouco
pormenorizada, eu posso calcular, com a
ajuda da estatística, qual as necessidades
das viagens futuras.
9
Conceitos estatísticos básicos
Percentagem de viagens
15%
10%
5%
0%
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Número
9 10 11
12 de
13deficientes
14 15
Sabendo-se que 3% dos indivíduos são deficientes motores, em x% das
viagens futuras (com 200 passageiros) haverá necessidade de N lugares
10
Conceitos estatísticos básicos
• Num seguro de vida, o segurado paga um
prémio por ano e a seguradora constitui
reservas para fazer face à evolução da
idade .
• Se a seguradora souber a priori quantos
anos faltam para o segurado morrer,
calcula facilmente o prémio anual
(capitalizava os prémios pagos mais uma
margem).
11
Exercício
• Ex.2.1. Um indivíduo com 35 anos e que
vai morrer aos 85 anos pretende fazer um
seguro de vida em que a viúva recebe
1000€ quando ele morrer.
• Sendo que a seguradora aplica os
prémios recebidos a uma taxa de juro de
3% ao ano e pretende uma margem de
10%, determine quanto deverá ser o
prémio anual.
12
Exercício
• R. Estamos em presença de uma renda
antecipada que dura 50 anos a uma taxa
de 3% ao ano.
• Temos que determinar o prémio (i.e., a
prestação anual) que faz esta renda valer
1000€
13
Exercício




P
N
N
V  . 1  (1  i ) .(1  i ).(1  i )
i
V .i
P
N
N 1
1  (1  i )
.(1  i )
1000  0.03

50
51
1  1.03 1.03


 8.61€ / ano
14
Conceitos estatísticos básicos
• O prémio será as reservas mais 10%:
P = 8.61€/ano + 0.86€/ano = 9.50€/ano
15
Conceitos estatísticos básicos
• Mas, como o segurador não sabe a priori
com que idade o segurado vai morrer,
precisa de utilizar informação aproximada.
16
Noção de variável estatística
17
Noção de variável estatística
• Uma variável estatística tem que
• 1) ser passíveis de medição (ou de
classificação).
• 2) As variáveis seleccionadas têm que ser
informativas,
– não podem assumir valores iguais para todos
os indivíduos: e.g., não interessa dizer que a
pessoa tem duas pernas.
18
Noção de variável estatística
• 3) São simplificações do fenómeno em
estudo
– descrevem características parcelares.
19
Noção de variável estatística
• As variáveis podem ser
• Cardinais: são comparáveis em ordem (1.5m é
mais do que 1.0m) e em magnitude (1.5m é
mais 0.5m que 1.0m).
• Ordinais: são comparáveis em ordem (“bom
estado” é melhor do que “estado razoável”) mas
não em magnitude.
• Categóricas: não são possíveis de comparar
(azul não é comparável com vermelho).
20
Noção de variável estatística
• Também podem ser
• Quantitativas: traduzem quantidades;
– E.g., peso, altura e temperatura
• Qualitativas: traduzem qualidades.
– E.g., cor, textura e suavidade.
21
Noção de variável estatística
• Por questões de economia, apenas se
consideram as variáveis estritamente
necessárias
para
descrever
o
fenómeno/objecto em estudo com o
detalhe pretendido.
22
Exercício
• Ex.2.2. Uma instituição de crédito ao
consumo pretende descrever os clientes
(para distribuir pelos gestores de contas).
Identifique algumas variáveis que
considera relevantes na descrição dos
clientes (e fáceis de obter).
23
Exercício
• R. Nível de escolaridade, se está
empregado, o rendimento mensal, estado
civil, idade, se tem casa própria.
– Não interessará saber a altura, o tamanho
dos braços, etc. que seriam importantes para
um alfaiate.
24
Noção de população /
variável aleatória
25
Noção de população /
variável aleatória
• Identificadas as variáveis estatísticas que
caracterizam cada indivíduo, a estatística
irá responder (parcialmente) ao problema
de não conhecermos a priori que valores
vão assumir essas variáveis num
indivíduo particular.
26
Noção de população /
variável aleatória
• Por exemplo, para quem compra casa a
crédito, o seu esforço financeiro de um
determinado mês depende do rendimento
e da taxa de juro EURIBOR (que indexa a
prestação). No entanto, no dia da compra,
essas grandezas não são conhecidas,
e.g., no futuro 240º mês de vigência do
contrato de crédito.
27
Noção de população /
variável aleatória
• Em termos conceptuais vou preencher a
falta de informação relativamente a um
indivíduo particular assumindo que o meu
indivíduo vai ser uma escolha aleatória da
população a que pertence e da qual eu
conheço os “valores médios”.
28
Noção de população /
variável aleatória
• No exemplo dos aviões, não sei se um
cliente particular é deficiente motor ou não
mas sei que cada cliente pertence a uma
população em que 3% dos indivíduos são
deficientes motores.
29
Noção de população /
variável aleatória
• Apesar de fisicamente, uma variável
aleatória descrever um fenómeno que é
intrinsecamente aleatório, por exemplo, a
face que resulta de atirar uma moeda ar,
• podemos, em termos conceptuais,
imaginar que temos um processo aleatório
em vez de uma falta de informação sobre
um fenómeno determinístico (i.e., não
aleatório).
30
Noção de população /
variável aleatória
• Vamos utilizar a “experiência estatística” de
extracção aleatória de um indivíduo de uma
população para materializar o conceito de
variável aleatória.
• Como não sei que valor a variável vai assumir
no futuro para o meu indivíduo (e.g., qual vai ser
o seu rendimento) vou extrair aleatoriamente um
indivíduo de uma população em que existe
dispersão no valor da variável.
31
Caracterização da população /
variável aleatória
32
Caracterização da população /
variável aleatória
• Sendo que descrevemos os indivíduos por uma
variável estatística, caracterizamos cada um
pela medida que essa variável assume.
• O modelo do risco vai assumir que o indivíduo
desconhecido é retirado aleatoriamente de uma
população,
• Não será possível nem relevante caracterizar
cada um dos indivíduos sendo suficiente ter
alguma informação que caracterize a
população.
33
Caracterização da população /
variável aleatória
• Como já referido, retirar o indivíduo
aleatoriamente de uma população é
equivalente a
• Concretizar uma variável aleatória
– Tipo “atirar uma moeda ao ar”
34
Variáveis discretas
• Frequência relativa. No caso de a variável
assumir um número pequeno de valores (i.e.,
uma variável discreta com poucos valores
possíveis), eu posso caracterizar a população
pela percentagem de indivíduos que assumem
cada um dos valores possíveis.
• Por exemplo, eu posso dizer que os
Portugueses, 47% dos indivíduos são homens e
53% são mulheres.
35
Variáveis discretas
• Haverá exemplos em que o número de
casos possíveis é muito grande mas em
que alguns casos (ou classes) concentram
a quase totalidade dos indivíduos
• No exemplo dos aviões, os valores abaixo
de 15 concentram mais de 99.9% das
“viagens”
36
Noção de extracção aleatória e
de probabilidade
• Entende-se que ocorre uma extracção
aleatória quando a escolha do indivíduo é
feita de forma independente das suas
características.
• Por exemplo, na escolha de um número
do Euro-milhões é escolhida uma bola
sem ter em atenção nenhuma das suas
características (i.e., o seu número).
37
Noção de extracção aleatória e
de probabilidade
• O conceito de probabilidade associa-se à
ideia de que eu vou retirar aleatoriamente
um indivíduo de uma população. Em
termos numéricos é igual à frequência
relativa dos valores observados na
população.
38
Noção de extracção aleatória e
de probabilidade
• Por exemplo, eu posso dizer que a
probabilidade de numa viagem haver 6
deficientes motores é de 15.8% (ver Fig.2.1).
• Quer esta grandeza dizer que, apesar de numa
viagem específica “sair” um número qualquer de
deficientes motores, se eu repetisse a extracção
aleatória de muitas viagens, por exemplo, 500
milhares de milhões de vezes, então em 15.8%
das vezes na viagem haveria 6 deficientes
motores.
39
Noção de extracção aleatória e
de probabilidade
• Esta frequência relativa teórica, que em
termos conceptuais se obtém pela
repetição um número infindável de vezes
da “experiência aleatória” (nas mesmas
condições), é uma interpretação clássica
do conceito de probabilidade (de
ocorrência).
• A soma da probabilidade de todos os
casos possíveis é um.
40
Noção de extracção aleatória e
de probabilidade
• Ex.2.3. Quando se atira um dado ao ar,
qual é a probabilidade de sair um 3?
• E caso se atirem dois dados, qual é a
probabilidade de somarem 3 pontos?
41
Noção de extracção aleatória e
de probabilidade
• i) Trata-se de uma “população
teoricamente conhecida”: existem 6 casos
possíveis e uma possibilidade de sair 3
pelo que a probabilidade é 1/6.
• ii) Existem 36 casos possíveis, (1;1), (1;2),
(1;3), (1;4), (1;5), (1;6), (2;1), (2;2), … e
duas possibilidades de somar 3 pontos,
(1;2) e (2;1), pelo que a probabilidade é
2/36 = 1/18.
42
Uso da informação populacional.
• Sendo que eu tenho um modelo (por
exemplo, de cálculo do prémio de um
seguro de vida em função da idade de
morte) onde posso transformar a
informação sobre o indivíduo no
resultado que pretendo mas não sei a
priori essa informação (i.e., a idade de
morte)
43
Uso da informação populacional.
• Terei que utilizar em sua substituição a
informação que tenho da população de
onde o indivíduo vai ser extraído.
• Mas agora, como terei que calcular um
valor
para
cada
elemento
da
população, vou também ter como
resultado uma população (e não
apenas um número normal).
44
Uso da informação populacional.
• Ex.2.4. Um indivíduo com 35 anos pretende
fazer um seguro de vida em que a viúva recebe
1000€ quando ele morrer.
• Assuma-se que a seguradora capitaliza os
prémios à taxa de 3% ao ano, que a
probabilidade de o indivíduo morrer com 65
anos é de 70% e de morrer com 85 anos é de
30%.
• Determine, se o prémio anual for de 20€, qual
será o lucro anual da seguradora (dado pela
diferença entre o prémio e a entrega necessária
para capitalizar nos 1000€)?
45
Uso da informação populacional.
• A renda (antecip.) necessária deveria resolver


P
N
N
V  . 1  (1  i ) .(1  i ).(1  i )
i
• Se morrer aos 85 anos, a entrega deverá ser
8.61€ pelo que o lucro será 20–8.61 =
11.39€/ano ;
• Se morrer aos 65 anos, a entrega deverá ser
20.41€/ano pelo que o lucro será (um prejuízo)
–0.41€/ano .
46
Uso da informação populacional.
• Então, o lucro será uma extracção aleatória de
uma população em está associado a 70% dos
indivíduos um lucro de -0.41€/ano e a 30% dos
indivíduos 11.39€/ano.
• Podemos também dizer que o lucro é uma
variável aleatória com 70% de probabilidade de
se concretizar como -0.47€/ano e com 30% de
probabilidade
de
se
concretizar
como
11.39€/ano.
47
Uso da informação populacional.
• Ex.2.5. Estender o ex.2.4
probabilidades do quadro.
assumindo
as
48
Uso da informação populacional.
• R.
D6:=(B$1*$B$2)/(1-$D$2^-(B6$B$3))/$D$2^(B6-$B$3+1)
E6: =B$4-D6 e copiava em coluna:
49
Uso da informação populacional.
• O resultado de substituir a informação do
individuo (que não temos) pela informação
que temos sobre a população não
permitirá ter uma resposta perfeita de qual
deverá ser o prémio anual
• Ainda assim, permite realizar cálculos
algébricos e obter resultados que apesar
de incertos podem melhorar a minha
capacidade de decisão.
50
Uso da informação populacional.
• Deve-se ter sempre em mente que,
derivado de haver concorrência no
mercado de seguros, será impraticável a
seguradora impor um prémio que, seja
qual for a posteriori a idade de morte, o
lucro seja positivo
• Existe sempre o risco de segurador ter
prejuízo no contrato.
51
Uso da informação populacional.
• Caracterização da população / Estimação
das probabilidades. Obtenho as probabilidades
de cada classe observando todos os
“indivíduos” que formam a população.
• Existem fenómenos em que esta operação é
(teoricamente) possível, e.g., quando se retira
uma carta de um baralho de 40 cartas, a
probabilidade de sair uma em particular (e.g., o
ás de copas) é de 2.5%.
52
Uso da informação populacional.
• No entanto, na generalidade das situações não
é possível observar todos os indivíduos.
• Por exemplo, eu não posso observar para todos
os indivíduos o tamanho de sapatos que usam.
• Também, quando o nosso indivíduo vai ser
concretizado no futuro, parte dos indivíduos (os
do futuro) ainda não existem.
53
Uso da informação populacional.
• Nos casos em que não é possível avaliar,
por questões teóricas ou económicas, as
propriedades de todos os indivíduos da
população, teremos que nos contentar em
estimar as propriedades recorrendo a uma
amostra que contém apenas uma
(pequena) parte dos indivíduos.
54
Uso da informação populacional.
• A estimação terá associado um “pequeno”
erro que resulta de os indivíduos de duas
amostras não serem necessariamente os
mesmos, erro esse que decresce com o
aumento do tamanho da amostra.
• A estatística permite prever qual será a
ordem de grandeza do erro de assumir a
estimativa como se fosse o parâmetro.
55
Uso da informação populacional.
• Por exemplo, a probabilidade teórica de
obter cada um dos números do
Euromilhões é 2.04% (i.e., 1/49)
• A estimativa calculada com uma amostra
(de 10000 “indivíduos”) não é
exactamente este valor.
• No caso do 1 até 10:
56
Uso da informação populacional.
Frequência
relativa
2,3%
2,2%
2,1%
2,0%
1,9%
1,8%
1,7%
1,6%
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 Número
10
57
Variáveis contínuas
• Frequência relativa (em intervalos).
Quando o domínio da variável estatística é
contínuo (i.e., um número real), existe
uma quantidade infinita de casos
possíveis pelo que a probabilidade de
ocorrer um caso particular é zero.
58
Variáveis contínuas
• Por exemplo, a probabilidade de encontrar uma
pessoa que tenha 1.7643454323456434 metros
de altura é zero.
• Uma estratégia para ultrapassar este problema
é dividir o domínio possível em intervalos e
quantificar a frequência relativa dos indivíduos
em cada um dos intervalos.
• Por exemplo, fazemos uma divisão da
EURIBOR nas classes [0 a 2%]; ]2% a 3%]; ]3%
a 4%]; ]4% a 5%]; ]5% a 8%], e maior que 8%.
59
Variáveis contínuas
• Vamos assumir, sem perda de
generalidade, que a característica de
todos os indivíduos de cada classe é valor
médio da classe. Esse princípio não pode
ser utilizado nas classes não limitadas
(e.g., a classe “maior que 8%”).
60
Variáveis contínuas
• Densidade de probabilidade. Se o
comprimento de uma classe diminuir (e.g.,
for dividida ao meio) a probabilidade de
cada uma das classes diminui até que,
quando tiverem comprimento infinitesimal,
a probabilidade se aproxima de zero
(também será infinitesimal).
61
Variáveis contínuas
• No sentido de construir uma medida que
ultrapasse este enfraquecimento,
dividimos a probabilidade pelo
comprimento da classe. Essa nova
medida denomina-se por densidade de
probabilidade e existe como uma
grandeza “grande” mesmo quando
atribuída a um ponto.
62
Variáveis contínuas
• Ex.2.6. Supondo que a probabilidade de a
EURIBOR atingir determinado valor (de
um intervalo) é [0 a 2%]  5%; ]2% a 3%]
 15%; ]3% a 4%]  30%; ]4% a 5%] 
35%; ]5% a 8%]  12% e ]8% a 11%] 
3%,
• determine as respectivas densidades de
probabilidade.
63
Variáveis contínuas
•
•
•
•
•
•
R. [0 a 2%]  2.5%/pp ;
]2% a 3%]  15%/pp ;
]3% a 4%]  30%/pp ;
]4% a 5%]  35%/pp ;
]5% a 8%]  4%/pp e
]8% a 11%]  1%/pp .
64
Variáveis contínuas
• Função de Distribuição. Como num
problema concreto as densidades de
probabilidade
da
população
são
estimadas usando uma amostra, a divisão
dos indivíduos pelas várias classes obriga
a recolher amostras grandes.
65
Variáveis contínuas
• Como, as probabilidades são previsões a
priori sobre a concretização a posteriori do
fenómeno em estudo, os valores próximos
serão praticamente equivalentes.
• Então, é teoricamente aceitável relacionar
as densidades de probabilidade dos
pontos (ou classes) vizinhos ajustando
uma função contínua: a função de
distribuição.
66
Variáveis contínuas
• A forma funcional dessa f.d. terá uma
justificação teórica para ser aplicada a um
problema concreto, e é caracterizada por alguns
(poucos) parâmetros (normalmente, um ou
dois).
• Desta forma, a estimação das densidades de
probabilidade dos vários intervalos (e, nos
limite, dos infinitos pontos) traduz-se na
estimação de apenas um ou dois parâmetros.
67
Variáveis contínuas
• Também podemos utilizar a função
distribuição cumulativa F(x) que quantifica
a probabilidade de ocorrência de um valor
X menor ou igual a x: F(x) = p(X  x).
• A diferença F(b) – F(a) quantifica a
probabilidade de ocorrência de um valor
dentro do intervalo ]a, b], em que ser
aberto ou fechado é numericamente
irrelevante.
68
Distribuição Normal
• É a distribuição mais importante porque é
“a distribuição limite” que resulta de
somarmos acontecimentos independentes
(depois veremos o que este conceito
representa).
69
Distribuição Normal
• É caracterizada por dois parâmetros, o
valor médio, , e o desvio padrão, , e
tem a forma de um sino
• São mais prováveis serem observados os
valores próximos da média.
• A probabilidade de o indivíduo extraído
cair dentro do intervalo ]  –;  + ] é de
68% e de cair dentro do intervalo ] – 2;
 +2] é de 95%.
70
Distribuição Normal
Densidade de probabildiade0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
-3
-2
-1
0
1
2
x3
71
Distribuição Normal
• Apesar de a expressão analítica da função
densidade
de
probabilidade
da
Distribuição Normal ser muito complicada
(tem forma exponencial) é muito
importante porque caracteriza bem os
fenómenos que resultam da soma de subfenómenos independentes.
• É fácil a manipulação de variáveis que
seguem esta distribuição.
72
Estimação do valor médio
73
Estimação do valor médio
• Em termos económicos, o valor médio
quantifica a “componente sem risco” do
fenómeno que estamos a analisar.
74
Estimação do valor médio
• É a medida que contém mais informação
pelo que, se tivermos que atribuir apenas
um valor a um indivíduo particular
(desconhecido), será esta medida a que
deve ser utilizada (ou outra medida de
tendência central como, por exemplo, a
mediana).
75
Média aritmética simples
• Prova-se que, se os indivíduos forem
igualmente representativos, o melhor
estimador do valor médio é a média
aritmética dos indivíduos da amostra.
n
x1  x2  ...  xn
x

n
x
i 1
i
n
76
Exercício
• Ex.2.7. Um barco de investigação capturou em
Janeiro de 1990 na zona pesqueira da Terra Nova
10 bacalhaus cujo peso foram (em kg)
15.5, 17.9, 21.3, 13.1, 9.5, 7.9, 3.5, 19.1, 23.3, 7.2
Em Janeiro de 2008 foram pescados outros 10
bacalhaus (usando a mesma técnica) cujo peso
foram
10.4, 12.2, 11.1, 13.6, 9.2, 12.6, 6.1, 13.2, 12.3, 13.4
Que poderá dizer quanto à evolução da população
de bacalhau?
77
Exercício
• R. Estima-se que em Janeiro de 1990 o
peso médio unitário dos bacalhaus era
de 13.83kg e em Janeiro de 2008 era de
11.41kg.
• Assim, as estimativas apontam no
sentido da diminuição do peso médio
unitário da população de bacalhau.
78
Propriedades
A média do produto da constante a por
uma variável X é igual ao produto da
constante pela média aritmética da
variável (corresponde a uma mudança
de escala)
_____
___
ax  a x
79
Propriedades
A média da soma da constante a com a
variável X é igual à soma da constante
com a média da variável:
_____
___
ax a x
80
Propriedades
A média da soma da variável X com a
variável Y é igual à soma das médias
das variáveis:
_______
___
___
x y  x  y
81
Média aritmética ponderada
• Existem casos em que cada individuo da
amostra representa uma fatia diferente da
população.
• E.g., se na amostra recolhermos 10o
pessoas do Porto e 100 de Lisboa, cada
pessoa de Lisboa representa mais
indivíduos.
82
Média aritmética ponderada
• Será necessário ponderar cada individuo
pela sua importância relativa. Sendo wi a
importância relativa do individuo i, teremos
w1 x1  w2 x2  ...  wn xn
x
w1  w2  ...  wn
83
Média aritmética ponderada
• Ex.2.9. Num inquérito, (dados fictícios) e
32% dos portugueses e 72% dos
espanhóis responderam que preferem o
Obama ao McCain.
• Obtenha uma estimativa (boa) para as
preferências dos ibéricos.
84
Média aritmética ponderada
• R. Como a Espanha tem 5 vezes mais
população, então um inquirido em
Espanha representa 5 vezes mais
pessoas que um inquirido em Portugal
pelo que as preferências médias são .
1  0.32  5  0.72
x
 65.3%
1 5
85
Média aritmética ponderada
• Média aritmética calculada com dados
agrupados em classes
• Quando recorremos a fontes, e.g. o INE, a
informação está agregada por intervalos.
• Pretende manter o anonimato dos
indivíduos.
86
Média aritmética ponderada
• No caso de os dados estarem agrupados
por classes, a “melhor” média é a média
aritmética ponderada em que é
considerado os valores de cada classe
como o ponto médio do intervalo e os
pesos são as frequências relativas de
cada classe.
87
Média aritmética ponderada
• Um indivíduo com 35 anos pretende fazer
um seguro de vida em que a viúva recebe
1000€ quando ele morrer.
• As probabilidade de morrer, em intervalos
de 10 anos, é dado e a taxa de desconte é
3%/ano.
• Qual o lucro médio anual da seguradora
se o prémio anual for de 50€,?
88
Média aritmética ponderada
89
Média geométrica simples
• É utilizada para calcular taxa médias, e.g.,
taxa de juro médias
• E.g. em 3 anos a EURIBOR foi (%/ano)
• 4.51; 4.67 e 5,21
• Então a taxa média anual foi
i  (1  4.51%)(1  4.67%)(1  5,21%)  1  4,80%
1
3
90
Média geométrica simples
• Sendo conhecidas as taxas de juros anualizadas
de cada mês, determine a taxa de juro média
anual.
N3: =PRODUTO(B3:M3)^(1/12)
N3: N3-1
91
Estimação do desvio padrão
92
Desvio padrão
• Em termos económicos, o desvio
padrão, , é uma medida do risco de
assumirmos o valor médio da
população como se fosse o valor
associado ao indivíduo.
93
Desvio padrão
• O desvio padrão é uma medida da
heterogeneidade da população (a
variabilidade em torno do valor
médio).
• Na Distribuição Normal, 68% dos
indivíduos estão em ]  –;  + ] e
95% em ] – 2;  +2].
94
Desvio padrão
• Sendo  o valor médio da população,
então o quadrado do desvio padrão, 2,
vem dado por:


x1      x2   

2
2
2
 ...   xn   
2
N
95
Propriedades do Desvio padrão
• Se os indivíduos forem todos iguais, o
desvio padrão é zero
 (a)  0
96
Propriedades do Desvio padrão
• O desvio padrão do produto da constante a
pela variável X é igual ao produto da
constante pelo desvio padrão da variável:
 (a  x)  a   ( x)
97
Propriedades do Desvio padrão
• O desvio padrão da soma de uma
constante com uma variável X é igual ao
desvio padrão da variável X.
 (a  x)   ( x)
98
Estimação do Desvio padrão
• Quando temos uma amostra, estima-se o
desvio padrão como o desvio padrão
amostral mas descontado de um grau de
liberdade (perdido na estimação do valor
médio - conceito a desenvolver em
Estatística).
99
Estimação do Desvio padrão
• Em termos algébricos, dividimos a soma
dos desvios quadráticos dos indivíduos
relativamente à média amostral por (n – 1)
e achamos a sua raiz quadrada
x1  x   x2  x 
2
S
2
 ...  xn  x 
2
n 1
100
Exercício
• Voltando ao Ex.2.7 do bacalhau, construímos
uma folha de cálculo com os dados
D2: =(B2-B$12)^2 e copiava em linha e coluna
B13: =(Soma(D2:D11)/(Contar(B2:B11)-1))^0,5 e
copiava em linha.
– Podia também usar a função =DesvPad(B2:B11),
B16:
= 1-Dist.Norm($B$15;B12;B13;VERDADEIRO).
101
102
Estimação do Desvio padrão
• Desvio padrão ponderado e estimado com dados
agrupados
• Reutiliza-se a metodologia usada na estimação
do valor médio
w1  x1  x   ...  wn  xn  x 
w1  ...  wn
2
S
2
103
Operações com variáveis
• Agora estamos em condições de realizar
operações de constantes com variáveis
aleatórias.
104
Exercício
• Ex.2.14. Compro os legumes a 0.50€/kg, pago
75€ pelo transporte e o preço de venda é
desconhecido mas tem distribuição normal com
média 0.60€/kg e desvio padrão de 0.15€/kg.
• i) Determine qual vai ser o meu lucro de
intermediar 1000kg de legumes.
• ii) Determine a probabilidade de eu ter prejuízo.
105
Exercício
i) Lucro = V.(Pvenda – Pcompra) – Ctransporte
= 1000[N(0.60, 0.15) – 0.50] – 75
Lucro = N(600, 0.15x1000) – 575 = N(25, 150)
ii) No Excel teríamos
A1: =Dist.Norm(0; 25; 150; Verdadeiro)  43.38%
106
Diversificação do risco
107
Diversificação do risco
• Neste ponto vou mostrar como um
modelo estatístico nos pode ajudar a
controlar o risco de uma actividade
económica.
• Em termos matemáticos, trata-se de
operações de soma de variáveis.
108
Diversificação do risco
• Em termos económicos trata-se de
construir uma carteira de activos
• “Não por os ovos todos no mesmo cesto”
• Uma concretização negativa de um activo
será estatisticamente compensada por
uma concretização positiva de outro activo
109
Associação entre variáveis
• Até este ponto, assumimos a existência
de apenas uma variável.
• No entanto, no geral usamos várias
variáveis na caracterização de um
indivíduo (no exemplo da pessoa usamos
a cor da pele, do cabelo, etc.).
110
Associação entre variáveis
• Algumas variáveis
independentes
estatísticas
são
– e.g., a cor do cabelo e o peso
• Outras, sem deixarem de ser aleatórias,
são dependentes
– e.g., a altura e o peso: os indivíduos mais
altos são, em média, os mais pesados.
111
Associação entre variáveis
• Em termos económicos (em que o
“individuo” é o período de tempo), existe
um certo grau de dependência entre os
investimentos
• e.g., se fizer calor vendem-se mais
gelados e menos camisolas.
112
Associação entre variáveis
• No sentido de poder realizar operações
algébricas com variáveis aleatórias (já o
fizemos com uma variável aleatória e
constantes),
vamos
modelizar
a
associação entre variáveis estatística
– A definição de independência de variáveis é
dada em Estatística I
113
Associação entre variáveis
• Variável discreta:
– Frequências relativas / probabilidades cruzadas
(de classes)
• A informação será semelhante à situação
em que apenas temos uma variável
estatística discreta (ou dividida em
classes), mas agora serão classes
conjuntas.
114
Associação entre variáveis
• E.g, cruzamos a cor da pele com a cor de
cabelo (duas variáveis qualitativas):
Pele \ Cabelo
Louro
Castanho
Escuro
Loura
5%
3%
1%
Morena
9%
45%
15%
Mulata
0%
2%
12%
Escura
0%
1%
7%
115
Associação entre variáveis
• E.g, dividimos duas variáveis contínuas
em classes:
Altura
peso
\
]0.0; 40.0]
]40.0; 80.0]
]80.0; 120.0]
Total
]0.5; 1.0]
10.6%
0.2%
0.0%
10.8%
]1.0; 1.5]
13.9%
40.0%
0.1%
54.0%
]1.5; 2.0]
0.3%
25.8%
9.1%
35.2%
Total
24.8%
66.0%
9.2%
100.0%
116
Associação entre variáveis
• Nas tabelas que cruzam duas variáveis, a soma
horizontal das frequências / probabilidades
quantifica a percentagem de indivíduos que
pertencem à correspondente classe das alturas
enquanto que a soma vertical quantifica a
percentagem de indivíduos que pertencem à
correspondente classe dos pesos.
117
Associação entre variáveis
• Variáveis contínuas : Covariância
• A covariância é uma medida que condensa
num só número a associação entre duas
variáveis estatísticas.
N
 ( x, y ) 
 x
i 1
i
  x  yi   y 
N
118
Associação entre variáveis
• Os indivíduos podem representar apenas
instantes de tempo diferentes, caso em
quem podemos trocar o índice i por t.
– E.g., a covariância entre a taxa EURIBOR
(desconhecidas) em dois dias consecutivos.
• A variância é um caso particular da
covariância:
2 =  (x, x)
119
Associação entre variáveis
• A covariância pode ser negativa, zero ou
positiva.
• É crescente com os desvios padrão das
variáveis
120
Associação entre variáveis
• Coeficiente de correlação linear de
Pearson, (x, y)
• Retira à covariância o efeito dos desvios
padrão
 ( x, y )
 ( x, y ) 
 ( x)   ( y )
  ( x, y )   ( x, y )   ( x )   ( y )
121
Associação entre variáveis
• Coeficiente de correlação linear está no
intervalo [–1; 1]
• Se for zero, as variáveis não estão
associadas (linearmente).
• Se for –1 ou 1, estão perfeitamente
associados em sentido contrário ou no
mesmo sentido, respectivamente.
122
Associação entre variáveis
• O  tem ainda outro significado.
• O seu valor ao quadrado, conhecido por
R2, quantifica quanto eu posso reduzir na
variância de uma variável por conhecer a
concretização da outra variável.
123
Associação entre variáveis
• E.g, na população a variância do peso é
400, (o desvio padrão é 20 kg). Se eu
souber que o  entre a altura e o peso é
0.7, se eu conhecer a altura da pessoa,
reduzo a variância do peso para 51% (i.e.,
o desvio padrão diminui para 14.28kg).
124
Associação entre variáveis
• Propriedades da covariância e do
coeficiente de correlação linear
a) A covariância (e o coeficiente de
correlação linear) entre duas constantes
ou entre uma variável e uma constante é
zero
 (a, b) = 0; (a,X) = 0
125
Associação entre variáveis
b) Multiplicando uma das variáveis por uma
constante diferente de zero, a covariância
vem multiplicada e o coeficiente de
correlação linear mantém-se (a menos do
sinal):
 (a.X,Y) = a.(X,Y);
(a.X,Y) = sig(a). (X,Y)
126
Associação entre variáveis
c) Somando uma constante a uma das
variáveis, a covariância e o coeficiente de
correlação linear mantém-se:
 (a+X,Y) = (X,Y);
(a+X,Y) = (X,Y)
127
Associação entre variáveis
d) A covariância e o coeficiente
correlação são comutativos:
 (X,Y) = (Y,X);
(X,Y) = (Y,X)
de
128
Associação entre variáveis
Estimação da covariância e do coeficiente de
correlação linear.
Podemos usar uma amostra para estimar a
associação entre as variáveis
n
S ( X ,Y ) 
 x  x  y
i 1
i
i
 y
n 1
129
Exercício
Ex.2.15. Relativamente aos dados do quadro das
alturas e dos pesos, determine a covariância e
o coeficiente de correlação entre estas duas
variáveis. Que pode dizer acerca do grau de
associação?
130
Exercício
Primeiro, estimamos os valores médios
p  0.248  20  0.660  60  0.092  10  53.76
h  0.108  0.75  0.540  1.25  0.352  1.75  1.372
131
Exercício
Segundo, estimamos os desvios padrão

S ( p)  0.248  20  p   0.660  60  p   0.092  100  p 
 22.474
2
2

2 0, 5
2
2
2

S (h)  0.108  0.75  h   0.540  1.25  h   0.352  1.75  h 

 0.316

132
0,5
Exercício
Terceiro, estimamos a covariancia
S (h, p)  0.106  0.75  h  20  p   0.139  1.25  h  20  p   ...
 4.641
133
Exercício
Finalmente, o coef. de cor. Linear
S (h, p)
4.641
r (h, p) 

 0.653
S ( p)  S (h) 22.47  0.316
Existe uma forte associação linear entre o peso e
a altura
134
Soma de variáveis estatísticas
diversificação do risco
135
Soma de variáveis estatísticas
• Até agora apenas somamos constantes com
variáveis
• É muito relevante no contexto da M.F. porque
modeliza o comportamento estatístico das
carteiras de activos partindo-se das
propriedades individuais dos activos que a
constituem.
136
Soma de variáveis estatísticas
• Distribuição da soma.
• Se as variáveis tiverem distribuição normal, então a
soma também terá distribuição normal.
• Se não tiverem, a soma será mais próxima da
distribuição normal que as distribuições das parcelas.
• A soma de + 30 variáveis aleatórias com distribuição
desconhecida que sejam pouco correlacionadas, pode
assumir-se que tem distribuição normal.
137
Soma de variáveis estatísticas
• Média da soma.
• Sendo que existem duas variáveis, X e Y,
• a soma Z = X + Y terá como valor médio a
soma dos valores médios de cada variável
estatística.
138
Soma de variáveis estatísticas
• Variância e desvio padrão da soma.
• Sendo que existem duas variáveis, X e Y,
• a soma Z = X + Y terá como variância a soma
das variâncias de cada variável mais duas
vezes a covariância.
 ( z )   ( x)  2 ( x, y)   ( y)
2
2
2
139
Exercício
• Ex.2.16. Um intermediário de legumes, quando
encomenda desconhece o preço de aquisição e de
venda dos legumes PC ~ N(0.50€/kg, 0.10€/kg).
• PV ~ N(0.60€/kg, 0.15€/kg).
• Tem que pagar 75€ pelo transporte.
• A correlação linear entre o preço de compra e de
venda é de 0.5
• i) Determine qual vai ser o lucro de intermediar
1000kg de legumes. ii) Determine a probabilidade de
ter prejuízo.
140
Exercício
• Trata-se de operações algébricas com variáveis
aleatórias.
• Lucro = 1000(PV – PC) –75.
PV – PC = N(0.60, 0.15) – N(0.50, 0.10)
= N(0.60, 0.15) + N(– 0.50, 0.10)
= N(0.10, (0.152+2(-0.5)0.150.10+0.102))
= N(0.10, 0.132)
Troca o sinal da correlação porque está a subtrair
141
Exercício
• Trata-se de operações algébricas com variáveis
aleatórias.
1000 N(0.10, 0.218) = N(100, 217.9)
N(100, 217.9) –75 = N(25, 217.9)
No Excel, =NORMDIST(0; 25; 217,9;TRUE)
Tenho 45.43% de probabilidade de ter prejuízo
142
Exercício
• Ex.2.18. Vamos supor que o rendimento de uma
família segue distribuição R = N(1250, 250) com
tendência de aumentar 0.1% ao mês
• Que a prestação da casa é
P = V.(EURIBOR + 0.5/prazo)/12 em que a
EURIBOR segue distribuição N(0.03, 0.01).
• O coeficiente de correlação linear entre a
EURIBOR e o rendimento é –0.2.
143
Exercício
• O cálculo da prestação não é feito de
forma correcta
• Seria uma renda antecipada de duração
limitada
• Mas serve para ilustrar o uso das somas
de variáveis aleatórias.
144
Exercício
• i) Determine a evolução do rendimento
disponível.
• ii) Para um prazo de 50 anos, qual será o
montante que implica que a probabilidade
média de nos primeiros 60 meses do
contrato o rendimento disponível ser maior
que 750€ é 90%?
145
Exercício
• i) Como RD = R – P =
• N(1250, 250)x1.001t –
V.[N(0.03, 0.01) + 0.5/prazo]/12
• Resulta uma distribuição normal com
• Média = 1250 x1.001t– V.(0.03+0.5/prazo)/12
• Desvio padrão = [(250x1.001t)2 +
+ 2x0.2x250 x1.001t xVx0.01/12 +
+ (Vx 0.01/12)2]0,5
Troca o sinal da correlação porque está a subtrair
146
Exercício
• ii) Implementei o modelo em Excel
• Vou alterar o valor do empréstimo (F1) até a
média da probabilidade dar 10%
MRD = Média do rendimento disponível
DPRD = Desvio Padrão do rendimento disponível
147
Exercício
148
Exercício
• B2: =1250*1,001^A2-$F$1*0,04/12
• C2: =((250*1,001^A2)^2+2*0,2*250*1,001^A2
*$F$1*0,01/12+($F$1*0,01/12)^2)^0,5
• D2: =DIST.NORM(750;B2;C2;VERDADEIRO)
• F2: =MÉDIA(D2:D61)
• E depois copio em coluna. Finalmente, uso a
ferramenta “atingir objectivo”, definir a célula
F1 para o valor 0,1 por alteração da célula
F2.
149
Exercício
• Potenciais clientes com idade A = N(40, 10)
anos pretendem fazer um seguro de vida em
que alguém recebe 1000€ quando ele morrer
que será com a idade M = N(75, 15) e que M
é independente de A.
– Numa seguradora “verdadeira”, o prémio é
crescente com a idade de constituição do seguro.
– A independência é para simplificar os cálculos
150
Exercício
• Supondo que a seguradora capitaliza os
prémios à taxa 3% ao ano e que prevê
arranjar 1000 clientes não correlacionados
entre si, determine, o prémio anual
antecipado e igual para todos
de forma que o lucro médio menos o desvio
padrão do lucro seja positivo (traduz uma
probabilidade de 85% do lucro ser positivo).
151
Exercício
A duração do individuo será D = M – A =
= N(75 – 40, (102+152)) = N(35, 18.03).
A prestação será (de uma renda antecipada
capitalizada para o futuro)


P
N
N
V  . 1  (1  i) .(1  i).(1  i )
i
P
V .i
1  (1  i)  .(1  i)
N
N 1
152
Exercício
o lucro anual = Prémio – P que é uma variável
aleatória de distribuição com forma funcional
desconhecida mas com média Mi e desvio
padrão DPi.
Como vou somar o lucro de 1000 indivíduos
não correlacionados, resulta uma distribuição
normal N(1000Mi, 10000.5DPi).
Vou agora usar o Excel
153
Exercício
Nota2(8Nov): Surgiram dúvidas no cálculo do lucro da
seguradora porque este apenas se concretiza
quando o cliente morrer (ou desiste do seguro). No
entanto, estou a considerar, sem perda de
generalidade, que, em termos contabilísticos, a
seguradora constitui reservas exactamente do valor
da prestação necessária para capitalizar os 1000€ e
considera o restante como lucro do exercício que
distribui como dividendos. Também não estava claro
no próximo exercício que cada “idade de morte”
traduz o ponto médio de um intervalo de dez anos.
154
Exercício
155
Exercício
• Calculava a dens. de probabilidade da
duração,
B2: =DIST.NORM(A2; 35;18,03;FALSO)
• O Lucro em função da duração do cliente,
=$F$2-(1000*0,03)/(1-1,03^-A2)/1,03^(A2+1)
Na coluna B deveríamos ter probabilidades e
temos densidades de probabilidade o que é
equivalente quando os espaçamentos entre
valores são unitários (ou idênticos).
156
Exercício
• Calculava a média e o d.p. ponderados do
lucro,
D2: =C2*B2; E2: =B2*(D2-$D$73)^2 copiava
em coluna;
D73: =SOMA(D2:D71)/$B$73 e copiava em
linha.
157
Exercício
•
•
•
•
Calculava para os 1000 indivíduos,
D74: =1000*D73;
E74: =1000^0,5*E73;
F74: =D74-E74
• Utilizava a ferramenta “atingir objectivo”,
definir a célula F74 para o valor 0 por
alteração da célula F2.
158