f`(t)

Ensino Superior
Introdução aos Sistemas Dinâmicos
3 – Transformada de Laplace
Amintas Paiva Afonso
Sumário
3.1 Introdução
3.2 Revisão das variáveis complexas e das
funções complexas.
3.3 Transformada de Laplace.
3.4 Teoremas da Transformada de Laplace.
3.5 Transformada inversa de Laplace.
3.1 Introdução
3.2 Definição da Transformada de Laplace
3.2 Definição da Transformada de Laplace
3.2 Definição da Transformada de Laplace
3.2 Definição da Transformada de Laplace
f(t) = uma função de tempo t em que f(t) = 0 para t < 0
s = uma variável complexa
L = Operador de Laplace - um símbolo operacional que indica
que a grandeza que ele antecede vai ser tranformada por

meio da integral de Laplace
e st dt

0
F(s) = transformada de Laplace de f(t)
Então, a transformada de Laplace de f(t) é dada por:

L [f(t)]= F (s)   est f (t )dt
0
Desde que a integral convirja
3.2 Definição da Transformada de Laplace
Portanto, o método consiste em resolver equações diferenciais
como se fossem equações algébricas.
Definição: Dada uma função f(t) definida no intervalo [0, )
definimos a sua transformada de Laplace, F(s), por
F ( s) 


0
e  st f (t )dt  L( f (t ))
Supondo que a integral convirja pelo menos para algum valor de s.
3.2 Definição da Transformada de Laplace
• A transformada de Laplace é um método operacional que pode
ser usado de maneira proveitosa para solucionar equações
diferenciais lineares.
• Por meio de sua utilização, podemos converter muitas funções
comuns, como funções senoidais, amortecidas e funções
exponenciais, em funções algébricas de uma variável
complexa s.
• Operações como diferenciação e integração podem ser
substituídas por operações algébricas no plano complexo.
• Assim, a equação diferencial linear pode ser transformada em
uma equação algébrica em uma variável complexa s.
3.2 Definição da Transformada de Laplace
• Se a equação algébrica em s for solucionada em termos
da variável dependente, então a solução da equação
diferencial (a transformada de Laplace inversa da
variável dependente) poderá ser obtida por meio da
tabela das transformadas de Laplace.
3.2 Definição da Transformada de Laplace
Vantagens da Transformada de Laplace
• Conversão de vários tipos de função em funcões algébricas;
• Converte uma equação diferencial linear em uma equação
algébrica, facilitando a sua solução. Obtém-se tanto a
solução transitória quanto a permanente;
• Permite o uso de técnicas gráficas para a previsão do
desempenho do sistema, sem necessitar resolver suas
equações diferenciais.
3.2 Definição da Transformada de Laplace
3.2 Definição da Transformada de Laplace
Aplicando a Definição
Exemplo 1:
3.2 Definição da Transformada de Laplace
3.2 Definição da Transformada de Laplace
Exemplo 2:
3.2 Definição da Transformada de Laplace
Exemplo 3:
3.2 Definição da Transformada de Laplace
Exemplo 4:
3.2 Definição da Transformada de Laplace
Transformação Linear
Transformamos através do operador L funções f(t), na
variável t, em funções F(s), na variável s.
Sabe-se que uma integral definida em um intervalo
ilimitado é chamada de integral imprópria e é definida
como um limite de integrais definidas em intervalos
finitos; Assim:


a
f (t )dt  lim

A
A a
f (t )dt
Onde A é um real positivo. Se a integral de a até A
existe para todo A > a e se o limite quando A  
existir, então dizemos que a integral imprópria converge
para aquele valor limite. Caso contrário, diverge.
Exemplo 1: Seja f(t) = 1/t , t  1, então


1
(1 / t )dt
Converge?


1

f (t )dt   (1 / t )dt  lim

A
A 1
1
(1 / t )dt  lim ln A  
A
Logo, a integral imprópria diverge.
Exemplo 2: Seja f(t) = 1/t 2, t  2, então a integral


2
f (t )dt diverge?
Temos que:


(1 / t )dt  lim
2

A
A 2
2
A
(1 / t )dt  lim (1 / t | )  1 / 2
2
A
2
Logo a integral dada converge para o valor 1/2.
Teorema: Se f é seccionalmente contínua em t  a, se |f(t)| 
g(t) quando t  M para alguma constante positiva M e se


M

converge, então  f (t )dt
g (t )dt
a
também converge. Por outro lado, se f(t)  g(t)  0
para t  M e se


M

g (t )dt diverge, então  f (t )dt
também diverge.
a
Teorema: (Existência da transformada de Laplace).
Suponha que:
1) f seja seccionalmente contínua no intervalo 0  t  A para
qualquer A positivo;
2) |f(t)|  Keat quando t  M, onde K, a e M são constantes
reais com K e M necessariamente positivas. Então, a
transformada de Laplace L [f(t)] = F(s), definida pela equação
L [f(t)] = F(s) =


0
e  st f (t )dt ,
Existe para s > a.
Exemplo 3: Seja f(t) = 1, t  0. Então
L(1) 


0
 st
e 1dt  lim

A
A 0
1
e dt  . s  0
s
 st
Exemplo 4: Seja f(t) = sen(at), t  0. Então
L(sen(at))  F (s) 


0
e
 st
sen(at)dt, s  0
Temos integrando por partes
e  st cos( at ) A s A  st
F ( s)  lim [
  e cos( at )dt ]
|
0
A
a
a 0
Finalmente, F(s) = a / (s 2 + a 2), s > 0
Exemplo 5: Seja f(t) = eat, t  0, então


L(e )  F (s)   e e dt   e
at
0
 st at
0
(  s  a )t
dt
F(s)
f(t)
af(t) + bf(t)
f ’(t)
f ”(t)
L
aF(s) + bF(s)
sF(s) – f(0)
s 2F(s) - sf(0) - f’(0)
Transformada de Laplace
Teorema: Suponha que f seja contínua e que f’ seja
seccionalmente contínua em qualquer intervalo 0  t  A.
Suponha, além disso, que existam constantes k, a e M tais que
|f(t)|  ke at para t  M. Então L[f’(t)] existe para s > a e, além
disso, L[f’(t)] = sL[f(t)] = sL[f(t)] – f(0).
Corolário: Suponha que as funções f, f’, f”, ..., f(n-1) sejam
contínuas e que f(n) seja seccionalmente contínua em qualquer
intervalo 0  t  A. Suponha, além disso, que existam constantes
k, a e M tais que |f(t)|  ke at , |f’(t)|  ke at ...|f(n-1)(t)|  ke at para
t  M. Então L[f(n)(t)] existe para s > a e é dado por
L[f(n)(t)] = snL[[f(t)] – sn-1f(0) - ... - sf(n-2)(0) – f(n-1)(0).
Exemplo 6: Determine F(s) se f(x) = 3 + 2x2.
Por definição e tabela de transformada, temos:
F(s) = L(3 + 2x2) = 3L(1) + 2L(x2) = 3(1/s) + 2(2/s3) = 3/s + 4/s 3.
Exemplo 7: Resolva a equação diferencial y”– y’– 2y = 0 com
y(0) = 1, y’(0) = 0.
Facilmente pode-se encontrar a solução y = 2/3e-t + 1/3e2t
usando equação característica.
Usando transformada de Laplace, temos:
L[y”] – L[y’] – 2L[y] = 0,
s2L[y] – sy(0) – y’(0) – [sL[y] – y(0)] – 2L(y) = 0
ou (s2 – s – 2)Y(s) + (1 - s)y(0) – y’(0) = 0
Y(s) = (s – 1) / (s2 – s – 2) = (s – 1) / [(s – 2) (s + 1)]
que acaba chegando à mesma solução.
Exemplo 8: Usando a transformada de Laplace, resolva a
equação y” – y’ - 6 = 0, y(0) = 1, y’(0) = -1.
Solução: L[y”] – L[y’] – 6L[y] = 0
s2L[y] – sy(0) – y’(0) – {sL[y] – y(0)} – 6L[y] = 0.
Como L[y] = Y(s), temos:
s2Y(s) – sy(0) – y’(0) – sY(s) + y(0) – 6Y(s) = 0
Y(s)(s2 – s – 6) + 1 – s + 1 = 0
Y(s) = (s –2) / (s2 – s – 6) = (s –2) / (s – 3)(s –+2)
Separando em frações, temos: Y(s) = (1/5)/(s - 3) + (4/5)/(s + 2)
Consultando a tabela de Laplace, temos
Y(s) = (1/5)e3t + (4/5)e-2t = (1/5)(e3t + 4e -2t)
Exemplo 9: Resolva por Laplace a equação: y’ + y = senx, y(0) = 1.
Solução: sY(s) – y(0) + Y(s) = 1 / (s2 +1)
sY(s) – 1 + Y(s) = 1 / (s2 + 1), Y(s)(s + 1) = 1 + 1 / (s2 + 1)
Y(s) = 1/(s + 1) + 1 / (s + 1)(s2 + 1)
Separando em frações, temos:
1/(s + 1)(s2 + 1) = A/(s + 1) + (Bs + C) / (s2 + 1)
Donde A = ½, B = - ½ e C = ½. Então
Y(s) = 1/(s + 1) + (1/2)/(s + 1) – (½)[s/(s2 + 1)] + ½ [1/(s2 + 1)]
Logo:
y = (3/2)e–x – (1/2)cos(x) + (1/2)sen(x) = ½ (3e–x – cos(x) + sen(x))
Função Degrau: A função Degrau unitário, denotado
por c, é definida por
c 

0,
t c
1,
t c
A função de Laplace de c é determinada por


L{c (t )   e c (t )dt   e dt 
0
 st
c
 st
e
 cs
s
, s0
y
y = 1 - c
1
c
t
y
y = c (t)
1
c
t
Teorema: Se F(s) = L[f(t)] existe para s > a  0 e se c é uma
constante positiva, então
L[µc(t) f(t - c)] = e – cs L[f(t)] = e – cs F(s), s > a
Reciprocamente, se f(t) = L –1[F(s)], então
µc(t) f(t - c) = L –1[e – cs F(s)]
Teorema: Se F(s) = L[f(t)] existe para s > a  0 e se c é uma
constante positiva, então L[ectf(t)] = F(s - c), s > a + c
Reciprocamente, se f(t) = L –1 {f(t)}, então ect = L –1 {f(s-c)}.
Exemplo 10: Usando a função c
Reescreva a função
f (t ) 


0, se t a
1, se t  a ,
a o

0, se t a
sen(t a ), se t  a ,
Assim podemos escrever f(t) = a(t) sen(t - a)
ou
f (t )  a (t ) g (t  a) 

0, se t a
g (t a ), se t  a ,
Teorema: Se f é de ordem exponencial e é de período p, então
L[ f (t )] 
p  st
e
0

f ( t ) dt
1 e sp
Exemplo 11: Ache a transformada de Laplace da função cujo
gráfico é
f(t)
1
1
2
3
t
4
Neste caso, f é periódica com período 2, donde
L[ f (t )] 

1
s (1 e s )
2  st
e
0

1 e
f ( t ) dt
2 s

1  st
e dt
0
2 s

1 e

1 e 1
s (1 e 2 s )
Exemplo 12: Encontre a transformada de Laplace da
função f(t) = t, 0  t < 1, f(t +1) = f(t).
L[ f (t )] 
1  st
e tdt
0
s

1 e
Integrando por partes, temos
[1 – (1 + s)e –s] / [s2 (1 – e-s)]
Definição de convolução: Sejam f(x) e g(x)  E.
A convolução de f(x) e g(x) é dada por
x
f ( x).g ( x)   f (t ) g ( x  t )dt.
0
Exemplo: Se f(x) = e 3x e g(x) = e 2x, então f(t) = e 3t e
g(t) = e 2(x - t) e
x
f ( x).g ( x)   e e
0
3t 2 ( x t )
dt  e
2x

x
0
et dt  e3 x  e2 x
Teorema: Se L[f(x)] = F(s) e L[g(x)] = G(s), então
L[f(x) . g(x)] = L[f(x)] . L[g(x)] = F(s) . G(s) podem ser
escrita na forma L –1[F(s) . G(s)] = f(x) . g(x)