filhos por

Aula 8
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE
MEDIDAS DE POSIÇÃO
INTRODUÇÃO
Para ressaltar as tendências características de cada
distribuição, isoladamente, ou em confronto com outras,
necessitamos introduzir conceitos que se expressem
através de números, que nos permitam traduzir essas
tendências. Esses conceitos são denominados elementos
típicos da distribuição e são as:
Medidas de posição;
Medidas de variabilidade;
Medidas de assimetria;
MEDIDAS DE POSIÇÃO
Medidas de posição: estatísticas que representam uma série
de dados orientando-os quanto à posição da distribuição
em relação ao eixo horizontal.
Medidas de tendência central
 Média aritmética;
 Mediana;
 Moda.
Separatrizes
 Mediana;
 Quartis;
 percentis.
Medidas de Tendência Central
Média: A soma de todos os valores dividida pelo número de
valores.
Em uma população:
Em uma amostra:
mmmmmm
Mediana: Ponto que tem um número igual de valores acima
e abaixo de si.
mmmmm
50%
50%
Moda: O valor com a maior freqüência.
MÉDIA ARITMÉTICA
Média (X)
Dados não-agrupados:
Quando desejamos conhecer a média dos dados não-agrupados em
tabelas de freqüências, determinamos a média aritmética simples.
 A média aritmética simples é a soma dos valores dividida pelo número
de observações.
X=
 Xi
n
Média aritmética simples ( x )
___
X
xi somadosval ores


=
n
númerodeva lores
Exemplo:
Salário dos funcionários da cia y
150 –150 –200 –300 –400 – 500 – 10.000
x
150  150  ........  10.000
7
x  1671,43
 Média Aritmética Aparada
Pode excluir até dois valores que distorcem a realidade, no
exemplo anterior, vamos excluir 10.000.
 x
150  150  200  300  400  500
6
x  283,33
Exemplo
 Deseja-se estudar o número de funcionários de supermercados
em três municípios semelhantes:
Caeté (8 supermercados)
Sabará (8 supermercados)
Betim (7 supermercados)
 Número de funcionários
Caeté
Sabará
Betim
( 20 21 21 22 22 23 23 24 )
( 16 18 20 22 22 24 26 28 )
( 15 22 23 23 23 24 24 )
 Calcular o número médio de funcionários dos supermercados de
Caeté, Sabará e Betim.
Caeté
( 20 21 21 22 22 23 23 24 )
( 20 + 21 + 21 + 22 + 22 + 23 + 23 + 24 )
X=
= 22
8
O número médio de funcionários nos supermercados de Caeté é 22.
Município Número de funiconários Média
Caeté
20 21 21 22 22 23 23 24
22
Sabará
16 18 20 22 22 24 26 28
22
Betim
15 22 23 23 23 24 24
22
Exemplo: Sabendo-se que a venda diária de arroz tipo A, durante uma
semana, foi de 10, 14, 13, 15, 16, 18 e 12 quilos, temos, para venda média
diária na semana de:
X .= (10+14+13+15+16+18+12) / 7 = 14 quilos
Desvio em relação à média: é a diferença entre cada elemento de um
conjunto de valores e a média aritmética, ou seja:.. di = Xi – X
No exemplo anterior temos sete desvios:... d1 = 10 - 14 = - 4 , ...d2 = 14 - 14
= 0 , ...d3 = 13 - 14 = - 1 , ...d4 = 15 - 14 = 1 ,... d5 = 16 - 14 = 2 ,... d6 =
18 - 14 = 4 ...e... d7 = 12 - 14 = - 2.
.
1ª propriedade: A soma algébrica dos desvios em relação à média é nula.
No exemplo anterior : d1+d2+d3+d4+d5+d6+d7 = 0
2ª propriedade: Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante (c) a todos os
valores de uma variável, a média do conjunto fica aumentada ( ou
diminuída) dessa constante.
Se no exemplo original somarmos a constante 2 a cada um dos valores da
variável temos:
Y = 12+16+15+17+18+20+14 / 7 = 16 quilos ou
Y = 14 +2 = 16 quilos
3ª Propriedades: Multiplicando-se (ou dividindo-se) todos os valores de uma
variável por uma constante (c), a média do conjunto fica multiplicada
( ou dividida) por essa constante.
Se no exemplo original multiplicarmos a constante 3 a cada um dos valores da
variável temos:
Y = 30+42+39+45+48+54+36 / 7 = 42 quilos ou
Y = 14 x 3 = 42 quilos
1- Dados agrupados:
Sem intervalos de classe
Consideremos a distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos, tomando
para variável o número de filhos do sexo masculino. Calcularemos a
quantidade média de meninos por família:
Nº de meninos freqüência = fi
0
2
1
6
2
10
3
12
4
4
total
34
Como as freqüências são números indicadores da intensidade de cada valor da
variável, elas funcionam como fatores de ponderação, o que nos leva a calcular a
média aritmética ponderada, dada pela fórmula:
X = xi . fi / fi ou xi . fi / n
..xi.
..fi.
0
1
2
3
4
total
..xi.fi
.
2
6
10
12
0
6
20
36
4
16
= 34
= 78
onde 78 / 34 = 2,3 meninos por família
Com intervalos de classe
Neste caso, convencionamos que todos os valores incluídos em um determinado intervalo de
classe coincidem com o seu ponto médio, e determinamos a média aritmética ponderada por
meio da fórmula:xi . fi / n ,
..onde xi é o ponto médio da classe.
Exemplo: Calcular a estatura média de bebês conforme a tabela abaixo.
ponto médio
Estaturas (cm)
freqüência = fi
= xi
..xi.fi.
50 |------------ 54
54 |------------ 58
58 |------------ 62
62 |------------ 66
4
9
11
8
52
56
60
64
208
504
660
512
66 |------------ 70
70 |------------ 74
Total
5
3
68
72
340
216
2.440
= 40
Aplicando a fórmula acima temos: 2.440 / 40.= 61. Logo x = 61 cm
EXERCÍCIOS
1) A tabela abaixo apresenta a distribuição relativa a 31 famílias, tomando
para variável o número de filhos. Calcular média de filhos por família:
Nº de meninos freqüência = fi
0
5
2
8
3
9
4
7
6
2
total
=
2) Calcule a média aritmética da distribuição de freqüências
abaixo:
classes
freqüência = fi
50 |------------ 54
54 |------------ 58
58 |------------ 62
62 |------------ 66
4
10
2
12
66 |------------ 70
70 |------------ 74
total
5
4
=
xi fi
MODA
É o valor que ocorre com maior freqüência em uma série de
valores.
Mo é o símbolo da moda.
Desse modo, o salário modal dos empregados de uma fábrica é o
salário mais comum, isto é, o salário recebido pelo maior número
de empregados dessa fábrica.
No exemplo dado:
150 150 200 300
Mo = 150
400
500
10000
A Moda quando os dados não estão agrupados
•A moda é facilmente reconhecida: basta, de acordo com a
definição, procurar o valor que mais se repete.
Exemplo: Na série { 7 , 8 , 9 , 10 , 10 , 10 , 11 , 12 } a moda é
igual a 10.
•Há séries nas quais não existe valor modal, isto é, nas quais
nenhum valor aparece mais vezes que outros.
Exemplo: { 3 , 5 , 8 , 10 , 12 } não apresenta moda. A série é
amodal.
•.Em outros casos, pode haver dois ou mais valores de
concentração. Dizemos, então, que a série tem dois ou mais
valores modais. Exemplo: { 2 , 3 , 4 , 4 , 4 , 5 , 6 , 7 , 7 , 7 , 8 ,
9 } apresenta duas modas: 4 e 7. A série é bimodal.
A Moda quando os dados estão agrupados
Sem intervalos de classe
Uma vez agrupados os dados, é possível determinar imediatamente
a moda: basta fixar o valor da variável de maior freqüência.
Exemplo: Qual a temperatura mais comum medida no mês abaixo:
Temperaturas Freqüência
0º C
3
1º C
9
2º C
3º C
12
6
Resp: 2º C é a temperatura modal, pois é a de maior freqüência.
Com intervalos de classe
A classe que apresenta a maior freqüência é denominada classe modal. Pela
definição, podemos afirmar que a moda, neste caso, é o valor dominante que está
compreendido entre os limites da classe modal. O método mais simples para o
cálculo da moda consiste em tomar o ponto médio da classe modal. Damos a esse
valor a denominação de moda bruta. Mo = ( l* + L* ) / 2
onde l* = limite inferior da classe modal e L*= limite superior da classe modal.
Exemplo: Calcule a estatura modal conforme a tabela abaixo.
Classes (em cm) Freqüência
54 |------------ 58
9
58 |------------ 62
62 |------------ 66
66 |------------ 70
11
8
5
Resp: a classe modal é 58|-------- 62, pois é a de maior freqüência. l*=58 e L*=62
Mo = (58+62) / 2 = 60 cm ( este valor é estimado, pois não conhecemos o valor real da
moda).
.
EXERCÍCIOS
1) A tabela abaixo apresenta a distribuição relativa a 31 famílias, tomando
para variável o número de filhos. Calcular a moda:
Nº de meninos freqüência = fi
0
5
2
8
3
9
4
7
6
2
total
2) Calcule a moda da distribuição de freqüências abaixo:
classes
freqüência = fi
50 |------------ 54
54 |------------ 58
58 |------------ 62
62 |------------ 66
4
10
2
12
66 |------------ 70
70 |------------ 74
total
5
4
=
xi fi
Mediana ( Me )
Divide os dados em duas partes iguais 50%,Me50%
mmmmmm
mmmmm
50%
50%
Passos para o cálculo da mediana.
1º) Ordena-se ( coloca ) os dados em ordem crescente.
2º) Verifica-se n é par ou ímpar
3º) Se n for ímpar a mediana será o valor central.
4º) Se n for par a mediana será a média dos dois
valores centrais
Se n for ímpar: Md será o termo de ordem (n + 1)/2
Se n for par: Md será a média dos termos de ordem n/2 e n/2 + 1
No exemplo dos salários da Cia Y:
150 150 200 300 400 500 10000
n = 7 (impar) (n + 1)/2 = 4º
Md = 300(valor central)
Salários da Cia X
200 300 350 400 400 500
n = 6 (par)
n/2 = 3º
n/2 + 1= 4º
Md = (350 + 400)/2 = 375
PROPRIEDADES DA MEDIANA
a) Quando o número de elementos da série estatística for ímpar, haverá
coincidência da mediana com um dos elementos da série.
b) Quando o número de elementos da série estatística for par, algumas vezes,
não haverá coincidência da mediana com um dos elementos da série. A
mediana será sempre a média aritmética dos 2 elementos centrais da série.
c) Em uma série a mediana, a média e a moda não têm, necessariamente, o
mesmo valor.
d) A mediana, depende da posição e não dos valores dos elementos na série
ordenada. Essa é uma da diferenças marcantes entre mediana e média
( que se deixa influenciar, e muito, pelos valores extremos). Vejamos:
 Em { 5, 7, 10, 13, 15 } a média = 10 e a mediana = 10
 Em { 5, 7, 10, 13, 65 } a média = 20 e a mediana = 10
isto é, a média do segundo conjunto de valores é maior do que a do primeiro, por
influência dos valores extremos, ao passo que a mediana permanece a mesma.
.
A mediana em dados agrupados
a) Sem intervalos de classe
Neste caso, é o bastante identificar a freqüência acumulada imediatamente superior
à metade da soma das freqüências. A mediana será aquele valor da variável que
corresponde a tal freqüência acumulada.
Exemplo conforme tabela abaixo:
Variável xi Freqüência fi Freqüência acumulada
0
2
2
1
6
8
2
3
4
total
9
13
5
fi= 35
17
30
35
Quando o somatório das freqüências for ímpar o valor mediano
será o termo de ordem dado pela fórmula :.
Como o somatório das freqüências = 35 a fórmula ficará:
( 35+1 ) / 2 = 18º termo = 3..
Quando o somatório das freqüências for par o valor
mediano será o termo de ordem dado pela fórmula :.
Exemplo - Calcule Mediana da tabela abaixo:
Variável xi
12
14
15
16
17
20
total
Freqüência fi Freqüência acumulada
1
1
2
3
1
2
1
1
4
6
7
8
 fi= 8
Aplicando fórmula acima teremos:[(8/2)+ (8/2+1)]/2 = (4º termo + 5º
termo) / 2 = (15 + 16) / 2 = 15,5
Com intervalos de classe
Devemos seguir os seguintes passos:
1º) Determinamos as freqüências acumuladas;
2º) Calculamos  fi /2;
3º) Marcamos a classe correspondente à freqüência acumulada
imediatamente superior à  fi /2 . Tal classe será a classe
mediana ;
4º) Calculamos a Mediana pela seguinte fórmula:.
Md = l* + [( fi/2 - FAA ) . h*] / f*
l* = é o limite inferior da classe mediana.
FAA = é a freqüência acumulada da classe anterior à classe
mediana.
f* = é a freqüência simples da classe mediana.
h* = é a amplitude do intervalo da classe mediana.
Exemplo:
classes
freqüência = fi Freqüência acumulada
50 |------------ 54
4
4
54 |------------ 58
9
13
58 |------------ 62
11
24
62 |------------ 66
8
32
66 |------------ 70
5
37
70 |------------ 74
3
40
fi= 40
total
= 40/2 = 20
logo.a classe mediana será 58 |---------- 62
l* = 58........... FAA = 13........... f* = 11........... h* = 4
Substituindo esses valores na fórmula, obtemos: Md = 58 + [ (20 - 13) x 4] / 11 =
58 + 28/11 = 60,54
Aspecto das distribuições
Simétrica
Uniforme
Média = Mediana= Moda
Anti-simétrica à direita
Média > Mediana> Moda
Anti-simétrica à esquerda
Média < Mediana<Moda
Média e mediana
(a) distribuição
simétrica
50%
50%
(b) distribuição
assimétrica
média = mediana
50%
50%
mediana
média
EXERCÍCIOS
1) A tabela abaixo apresenta a distribuição relativa a 23 famílias, tomando
para variável o número de filhos. Calcular a mediana:
Nº de meninos freqüência = fi
1
2
2
4
3
6
4
8
6
3
total
fi=
2) Calcule a mediana da distribuição de freqüências abaixo:
classes
freqüência = fi
50 |------------ 54
54 |------------ 58
58 |------------ 62
62 |------------ 66
5
4
2
10
66 |------------ 70
70 |------------ 74
total
4
1
fi=
freqüência acumulada=Fi
3) Um instrutor registra a Média de seus alunos em determinado
semestre.Os dados são:
2
4
2
0
40
2
4
3
Calcular a Média, a Mediana e a moda.
6
4)Suponha que o aluno com 40 faltas abandone o curso. Calcule a média, a mediana
e a moda dos valores restantes. Compare o efeito da mudança para cada tipo de
média.
2
4
2
0 2
4
3
6
Calcule a média, a mediana e a moda.