Amplitude do ângulo ao centro

Circunferência
e
Polígonos
Matemática 2011/2012
1
 Ângulo ao centro
Ângulo ao centro é um ângulo que tem o vértice no centro da
circunferência e cada lado contém um raio dessa circunferência.
 AOB
é um ângulo ao centro
2
• Amplitude do ângulo ao centro
Amplitude do arco correspondente
Amplitude do ângulo ao centro
A cada ângulo ao centro corresponde um arco,
que é a sua intersecção com a circunferência.
Reciprocamente, a cada arco corresponde um
ângulo ao centro
A amplitude do ângulo ao centro é igual à amplitude do
arco correspondente.
3
Exercício:
Determine a amplitude do ângulo x e do seu arco correspondente.
1.
xˆ  90º
A amplitude do arco correspondente é também 90º.
2.
xˆ  60º
A amplitude do arco correspondente é também 60º.
4
 Ângulo inscrito
Ângulo inscrito é um ângulo que tem o vértice na circunferência e
os lados contém cordas dessa circunferência.
 AVB
é um ângulo inscrito
5
• Amplitude do ângulo inscrito
Na figura, [ABC] é um triângulo equilátero.
C
ACˆ B  60º
Logo,
60°
O arco AB tem de amplitude 120º.
Então,
AOˆ B  120º
Portanto,
e
O
ACˆ B  60º
1 ˆ
ˆ
ACB  ACB
2
A
120°
B
A amplitude do ângulo inscrito é igual a metade da amplitude
do ângulo ao centro correspondente.
OU
A amplitude do ângulo inscrito é igual a metade da amplitude
do arco que ele contém.
6
Alguns Exemplos:
7
1.
Exercícios:
determine a amplitude dos ângulos pedidos.
86º
xˆ 
 43º
2
yˆ  86º
2.
40º
xˆ 
 20º
2
yˆ  40º
8
Propriedades
1. Ângulos inscritos que contêm o mesmo arco
ACˆ B  ADˆ B  AEˆB ,
50º
porque os três ângulos contêm o mesmo
arco AB.
50º
Então,
Os ângulos inscritos que
contêm o mesmo arco são
50º
geometricamente iguais.
9
2. Ângulos inscritos numa semi-circunferência
90º
ACˆB  ADˆ B  AEˆB  90º
90º
90º
Então,
Um ângulo inscrito
numa semi-circunferência
é um ângulo recto.
10
3. Ângulo ao centro, arcos e cordas
Na figura estão representados
dois ângulos ao centro iguais, as cordas e
os arcos correspondentes.
CD  AB  40º
CD  AB
Então,
Numa
circunferência,
as
cordas correspondentes a dois ângulos
ao centro iguais são geometricamente
iguais, e reciprocamente.
Numa circunferência, os arcos correspondentes a dois ângulos ao
centro iguais são geometricamente iguais, e reciprocamente.
11
4. Ângulos opostos de um quadrilátero inscrito numa circunferência
aˆ  2 ABˆ C
bˆ  2 ADˆ C
aˆ  bˆ  2( ABˆ C  ADˆ C )
Mas,
aˆ  bˆ  360º
Portanto,
2( ABˆ C  ADˆ C )  360º
Logo,
ABˆ C  ADˆ C  180º
Então, A soma dos ângulos opostos de um quadrilátero inscrito numa
circunferência é 180º.
12
1.
Exercícios: determine a amplitude dos ângulos pedidos.
Pela propriedade 1 vêm:
xˆ  62º
yˆ  2  62º  124º
2.
A amplitude do arco correspondente ao ângulo
(inscrito) de 130º é de 260º.
Logo,
xˆ  360º260º
 100º
13
3.
Usando a propriedade 2 vêm:
x̂  180º (90º 30º ) 
 180º 120º 
 60º
4.
OAˆ B  ABˆ O
Então,
BOˆ A  180º 84º  96º
Logo,
96º
xˆ 
 48º
2
14