Aula 1

Conceitos Fundamentais
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Notação
A
Vector
^
Versor
~
e
~
A. B
Produto interno
~
Produto externo
Tensor
B
Nabla


~
A B
~
~
 
~
u
Gradiente de um campo escalar
Divergência de um campo vectorial
. A
~
Rotacional de um campo vectorial
 A
~
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Equações de Maxwell
 Leis do electromagnetismo são regidas pelas equações de Maxwell.
 Eqs. Maxwell baseadas em trabalhos de Faraday, Gauss, Ampére, etc. (sec. XIX).
 Força de Lorentz:

F  q E  v B
~
Campos vectoriais
~
~
~

E (campo eléctrico) e B~ (indução magnética) grandezas fundamentais
~
de campo electromagnético. Podem ser determinadas por experimentação.
 Campos vectoriais auxiliares: deslocamento eléctrico D , campo magnetico H
~
 Em espaço livre:
H 
~
1
o
B
~
~
D  o E
~
~
 Permeabilidade magnética o  4 10 7 H m 1, permitividade
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 o  1 / 3 109 F m 1
Lei de Faraday
A circulação de
E ao longo do contorno fechado Гf = - variação temporal do fluxo da
~
indução magnetica através de A.
^
n

~
E . dl  
f
f
~
~

t

A
B . ds
~
^
dl  dl t
A
~
^
~
dS  dS
t
~
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^
n
~
~
 Teorema de Stokes (cálculo vectorial)
Circulação (integral de linha) de um campo vectorial U ao longo de uma linha fechada
~
Гf = fluxo do rotacional de
U
através de A.
~

f
U . dl 
~
~

A
  U . ds
~
~
  E  

~
~
B
~
t
Teorema de Helmholtz (cálculo vectorial)
Um campo vectorial fica completamente definido quando forem conhecidos   U
e
~
 . U em todos os pontos do espaço.
~
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Lei de Gauss
O fluxo total de D que sai dum volume V limitado por Sf é igual à carga eléctrica total
~
contida nesse volume.
 D . ds
Sf
~
~

q
dv
V
Teorema da divergência (cálculo vectorial)
. dS  V  .U dv
Sf U
~
~
~
~
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
 .D  
~
Campo magnético
A fonte que cria a circulação (ou rotacional) do campo magnético é
J
~
Lei de Ampére
•

f
H . dl 
~
~

A
J . ds
 Grande contribuição de Maxwell: adicionar o termo
•
~
D
~
t
Eqs. compatíveis com o principio da conservação da carga e permitiu prever a
propagação de ondas electromagnéticas (~20 anos antes de Hertz ter verificado as
previsões teóricas).
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 Termo
D
~
t

f
H . dl 
~
~
D

. ds 
~
A
t
~

S
J . ds
~
 Teorema de Stokes do cálculo vectorial

 H  J 
~
~
D
~
t
 Divergência de H
~
Não foram encontrados até agora cargas magnéticas


B . ds  0
Sf
~
~
 Teorema da divergência

.B 0
~
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~
 Termo
D
~
t
J traduz um fluxo de cargas eléctricas livres.
~
Como a carga se conserva


Sf
J . ds  
~
~

t

 Teorema da divergência

 . J 
~

 0
t
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dV
Eq. da continuidade
I
~
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Eqs. de Maxwell
  H  J 
~
~
~
~
t
~
  E  
 . D 
 D
 B
~
t

 . B  o
~
Sabendo  e
J
tem-se 12 incógnitas e 8 eqs.
~
Eqs. adicionais resultam das relações entre campos impostas pelas características do meio,
relações Constitutivas.
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Relações constitutivas
•
A resposta do meio a um estímulo electromagnético depende das suas características.
Propriedades dos meios
•
•
•
•
•
•
Homogéneos
Lineares
Isótropos
Anisotropos
Temporalmente dispersivos
Espacialmente dispersivos
• Meios simples: com comportamento linear, isótropos e sem dispersão
espacial.
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Meios materiais
Comportamento dieléctrico
Resposta do meio a um campo electromagnético
estático e uniforme é descrita em termos de
momentos dipolares eléctricos induzidos.
 p  .P
~
D  0 E P
Campo eléctrico cria momento dipolar eléctrico.
~
P
~
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~
~
- vector polarização eléctrica
Meios materiais Comportamento magnético
Materiais não ferromagnéticos: Quando se aplica um
campo magnético
são induzidas pequenas correntes
microscópicas que se opõem nos seus efeitos magnéticos
às variações do campo aplicado.
Comportamento
diamagnético,momentos
magnéticos
em oposição ao campo magnético.
Comportamento paramagnético, há a possibilidade de
alinhar os momentos magnéticos atómicos individuais e o
campo magnético intensifica-se.
Materiais ferromagnéticos: os momentos magnéticos
induzidos são muito mais intensos do que nos materiais
com comportamento magnético ordinário.
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Magnetização
Correntes
B
~
microscópicas
induzidas
(Correntes Amperianas).
M - momento dipolar
~ de volume.
magnético por unidade
Magnetização
A densidade de corrente associada às
correntes microscópicas é dada por
x M
~
e tem-se
B  0 ( H  M )
~
~
~
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Descrição dos comportamentos dieléctrico e magnético
Em termos de momentos dipolares induzidos só é rigorosamente válida no caso dos campos
estáticos uniformes (separação completa de efeitos eléctricos e magnéticos).
Regimes variáveis no tempo
Meios isotrópicos simples sem dispersão espacial  relações entre
H (t )
D(t ) e E (t ) e entre B(t ) e
~
descritas cada uma por uma convolução temporal.
~
D (t ) 
~
  t  t´ E (t ' ) dt´   (t ) *
~
~
~
E (t )
~
B (t )   (t ) * H (t )
~
~
J (t )   (t ) * E (t )
~
~
No domínio da frequência significa um relacionamento multiplicativo entre as transformadas de
Fourier de D(t ) e E (t ) e de B (t ) e H (t )
~
.
~
~
~
D ( )   ( ) . E ( )
~
~
B ( )   ( ) . H ( )
~
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~
Equações de Maxwell em Meios Materiais
Num meio dieléctrico simples, para além da carga livre  existe
também carga de polarização p, que tem origem nos dipolos
eléctricos induzidos provocados pelo campo eléctrico aplicado
 . E
  p
o
~
(separação de cargas negativas e positivas).
Recorrendo ao vector de polarização constituído pela densidade
volúmica do momento dos dipolos eléctricos induzidos no meio.
A introdução de
D
~
tem a vantagem de invocar apenas a
densidade de carga livre.
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p    . P
~
.D 
~
Lei de Gauss
1
 B  J
~
~
o
  M

~
P
~
t
 o
E
~
t
Corrente livre
Corrente Amperiana
Corrente de polarização
Corrente deslocamento de vácuo
• O rotacional da indução magnética (circulação ao longo de qualquer caminho fechado) é
determinado pela densidade de corrente total.
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Equações de Maxwell em termos de D e H
 H  J
~
~
D
~
t
 D  
~
A introdução dos campos
D e H
~
facilita a escrita das equações de Maxwell mas torna
~
necessário arranjar um modelo para descrever os meios.
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Ondas Electromagnéticas
• A descrição de uma estrutura ondulatória envolve coordenadas espaciais e a coordenada temporal.
 Nem todas as funções f(x,y,z,t) são ondas.
Ondas Planas
 O lugar geométrico dos pontos em que os valores
das grandezas ondulatórias são constantes,

são planos.
 As ondas planas são muito importantes porque:
 A grande distância das fontes as ondas esféricas e cilíndricas podem ser localmente
aproximadas por ondas planas
 Qualquer tipo de onda pode ser sintetizado (via integral de Fourier em vectores de onda) à
custa de ondas planas elementares.
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Equações de Onda
  0, J  0
Meio homogéneo, isótropo e sem fontes
H 
D
~
E 
~
ou espaço livre.
~
t
B
~
t
.D 0
~
.B 0
~

2 E   
2 E
~
t
~
2
0
 H
Equações de onda
2
 H 
2
~
t
~
2
0
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Propagação de Ondas Planas e Uniformes
Admitamos (para simplificar) que E~ e H
~
2 E
z
~
2

2 E
t
~
2
só dependem de z.
 0
3 eqs. escalares
2 E
~ y
2
z

2 E
t
Solução geral :
Funções :
c
~ y
2
1

E y  f1  z  ct   f 2  z  ct 
A cos k
 z  ct 
C e k ( z  ct )
Todas as funções acima representam movimento ondulatório
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z  ct
O que é uma onda?
É um fenómeno físico que ocorre num local num dado instante e é reproduzido noutros
lugares em instantes posteriores, sendo o atraso proporcional à distância de cada local à
primeira posição.
Uma onda não é necessariamente um fenómeno repetitivo no tempo.
(Ex: Tsunami).
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Se houver apenas onda incidente:
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E = f (z – ct)
Variação Temporal Harmónica
Os geradores produzem tensões e correntes, e portantos campos eléctrico e magnético que variam
sinusoidalmente no tempo.
Qualquer variação periódica pode ser analisada em termos de variações sinusoidais com frequências
que reproduzem o conteúdo espectral do estímulo electromagnético.
E  E0 cos(t   )
E  E0 sin( t     / 2)
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