RELATIVIDADE ESPECIAL

RELATIVIDADE ESPECIAL
Relatividade na Física Clássica
No início do Século XX, desenvolveram-se
dois sistemas teóricos que modificaram as bases
da Física Clássica. Um deles foi a teoria dos
quanta, elaborada por Max Planck (1858 –
1947), e o outro foi a teoria da relatividade de
Albert Einstein (1879 – 1955). Essas teorias, em
conjunto, interpretam o Universo desde o
microcosmo do átomo até o macrocosmo dos
espaços intergaláticos.
Relatividade na Física Clássica
Determinados aspectos da relatividade não
são novos. A noção de que os fenômenos físicos
são relativos aos sistemas de referência foi
proposta por Galileu e Newton em suas épocas.
Relatividade na Física Clássica
Exemplo: Dois carros, A e B, que se
movimentam na mesma direção e em sentidos
contrários. Se a velocidade de A é 50 km/h em
relação ao solo e a de B é 70 km/h também em
relação ao solo, a velocidade relativa de
aproximação é de 120 km/h, ou seja, em relação
a um observador fixo em A, o carro B se
aproxima com 120 km/h.
Relatividade na Física Clássica
Relatividade na Física Clássica
Em relação ao exemplo, se as velocidades de
A e B forem comparáveis à velocidade da luz no
vácuo, o mesmo método conduzirá a resultados
errados. Tais velocidades, impossíveis para
aviões e carros, são possíveis para elétrons e
outras partículas elementares.
Relatividade na Física Clássica
Assim, para tais velocidades, os princípios
propostos por Galileu e Newton não são válidos,
pois conduzem a resultados errados, segundo
provas experimentais obtidas em laboratório.
Relatividade Galileana
• R: sistema de referência inercial (x, y, z): coordenadas
de um ponto P
Relatividade Galileana
• R’: sistema de referência inercial que se movimenta
com velocidade u constante na direção x, em relação
aR
• (x’, y’, z’): coordenadas do ponto P em relação a R’
Relatividade Galileana
• v’: velocidade de P em relação a R’
• v : velocidade de P em relação a R
Relatividade Galileana
• A e B: relógios idênticos fixos em R e em R’,
respectivamente, que indicam os instantes t e t’,
correspondente a um mesmo evento
Relatividade Galileana
As coordenadas do ponto P no sistema de
referência R, as coordenadas do mesmo P no sistema
de referência R’ e os instantes t e t’ se relacionam por
meio das transformações galileanas, bases da
relatividade da Física Clássica.
Relatividade Galileana
Outro conceito contido na relatividade galileana:
As leis da Mecânica são idênticas em
relação a qualquer referencial inercial.
Relatividade Galileana
Entre a velocidade v de P em relação a R, a
velocidade v’ de P em relação a R’ e a velocidade u de
R’ em relação a R tem-se, em Mecânica Clássica, a
relação:
v = v’ + u
Relatividade Galileana
Relatividade Einsteiniana
Primeiro postulado da teoria da relatividade especial:
As leis da Física são idênticas em
relação a qualquer referencial inercial.
Relatividade Einsteiniana
Segundo postulado da teoria da relatividade especial:
A velocidade da luz no vácuo
é uma constante universal.
É a mesma em todos os sistemas
inerciais de referência. Não depende
do movimento da fonte de luz e tem
igual valor em todas as direções.
Os postulados
1. Postulado da Relatividade
“As leis da física são as mesmas em todos os referenciais inerciais.”
referencial absoluto
2. Postulado da Velocidade da Luz
“A velocidade da luz no vácuo tem o mesmo valor c em todas das direções e em todos
=c
os referenciais inerciais.”
c= c =c
c = 299.792.458 m/s
=c
Relatividade Einsteiniana
Segundo postulado da teoria da relatividade especial:
A velocidade da luz no vácuo é a
velocidade limite do universo.
c ≈ 3∙108 m/s
Relatividade Einsteiniana
Relatividade Einsteiniana
A contração do espaço
Um do efeitos relativísticos é a contração do espaço na
direção do movimento, no caso de corpos cujo módulo
da velocidade u se aproxime do da luz no vácuo c.
• Duas consequências importantes advindas da
relatividade de Einstein, é a contração do
espaço e a dilatação do tempo, o espaçotempo;
Contração do Espaço
• Uma barra de metal, em repouso, e encontre
o resultado de 1,0 m. Em seguida, a barra é
medida dentro do foguete de Einstein que se
movimenta a 240000km/s. O valor obtido será
de 0,60 m (60 cm), ou seja, uma redução de
http://pion.sbfisica.org.br/pdc/index.php/por/Multimidia/Simulacoes/Fisica-Moderna-eContemporanea/Simultaneidade
Relatividade Einsteiniana
A contração do espaço
Relatividade Einsteiniana
A contração do espaço
• Sendo γ > 1 (γ só é igual a 1 quando u = 0), resulta L < L’;
• A contração do comprimento só ocorre na direção do
movimento;
• O comprimento medido no referencial em relação ao qual um
objeto está em movimento é menor do que o comprimento
medido no referencial em relação ao qual o objeto está em
repouso.
Relatividade Einsteiniana
A contração do espaço
Relatividade Einsteiniana
Exemplo I: Considere uma barra em repouso em
relação a um sistema de referência R’. Este se
movimenta em relação ao sistema de referência inercial
R com velocidade u = 0,8c. Seja L’ = 1,0 m o
comprimento da barra medido no referencial R’.
Sabendo que a barra está alinhada na direção do
movimento, determine o comprimento da barra em
relação ao referencial R.
Relatividade Einsteiniana
A dilatação do tempo
O intervalo de tempo ∆t’, medido por um relógio em
repouso em relação a um referencial, é menor que o
intervalo ∆t, medido por um relógio em movimento
com velocidade de módulo u em relação ao referencial.
A relatividade do tempo
D
v Dt
Relatividade Einsteiniana
A dilatação do tempo
Pelas expressões anteriores, ∆t é maior que ∆t’, pois
γ > 1 (γ só é igual a 1 quando u = 0).
Relatividade Einsteiniana
Exemplo II: Um foguete parte da Terra com velocidade
u = 0,8c, em relação à Terra, transportando um
astronauta. Em relação ao foguete, a viagem dura 3
anos. Quanto tempo durou a viagem do astronauta em
relação a um observador na Terra?
Relatividade Einsteiniana
Composição relativística de velocidades
Relatividade Einsteiniana
Exemplo III: Um trem se desloca com velocidade u =
0,3c em relação ao solo. Um objeto se movimenta com
velocidade v’ = 0,5c, em relação ao trem, na mesma
direção e sentido do movimento do trem. Qual a
velocidade do objeto em relação ao solo?
Relatividade Einsteiniana
Exercício 01: Suponha estar vendo uma barra de 2,0 m
de comprimento passando com 60% da velocidade da
luz no vácuo, em relação a você. Qual seria a sua
medida do comprimento da barra?
Relatividade Einsteiniana
Exercício 02: Dois observadores, um A, na Terra, e outro
B, num foguete, cuja velocidade é 2∙108 m/s em relação
à Terra, acertam seus relógios a 1 h quando o foguete
parte da Terra. Quando o relógio do observador A
indica 1 h 30 min, ele vê o relógio B por meio de um
telescópio. Que leitura A faz? Considere a Terra
estacionária no espaço e a possibilidade de o foguete
ter aquela velocidade.
Relatividade Einsteiniana
Exercício 03: Considere a Terra um sistema de
referência inercial. Um trem se move em trajetória
retilínea com velocidade 0,5c em relação à Terra. Um
passageiro se move em relação ao trem, na mesma
direção e sentido de seu movimento, com velocidade
0,4c. Qual é a velocidade do passageiro em relação à
Terra?
Relatividade Einsteiniana
Respostas
01: L = 1,6 m
02: O relógio B marca 1 h 22 min e 22 s.
03: v = 0,75c
Relatividade Einsteiniana
Equivalência entre massa e energia
Para que o princípio da conservação da quantidade de
movimento continuasse válido no domínio de colisões
interatômicas (onde a velocidade das partículas é
comparável à velocidade da luz), Einstein reformulou os
conceitos de massa e energia.
FÍSICA, 30 ano
Relatividade
Exemplo 1
Suponha que uma nave alienígena passe paralelamente à plataforma de uma
estação orbital de 100 m de comprimento com velocidade 2,0 . 108 m/s. Durante a
passagem, em determinado instante, um observador O, na plataforma, verifica que as
extremidades dianteira e traseira da nave coincidem exatamente com as extremidades
da plataforma (1). Determine:
A) O tempo gasto, a partir desse instante, medido pelo observador O, para a nave
abandonar toda a plataforma;
B) O comprimento de repouso da nave;
C) O comprimento da plataforma para um alienígena O’, viajando na nave.
Resolução
A) Este é um problema de cinemática, logo para L=100m e v = 2,0 . 108 m/s teremos:
L
100m
102
6
7
Dt  

s

0
,
5
.
10
s

5
.
10
s
8
8
v 2.10 m / s 2.10
FÍSICA, 30 ano
Relatividade
B) O comprimento de repouso da nave será o comprimento próprio (L’), pois o
observador O está medindo o comprimento L já contraído pelo efeito relativístico. Como
sabemos:
v2
L  L' 1  2
c
L' 
L
1 v2 / c2
assim
L' 
100
(2.108 ) 2
1
(3.108 ) 2

100
4.1016
1
9.1016

100
100
100


 134m
4
5 0,7453
1
9
9
Que é um comprimento maior, como se esperava.
C) Neste caso, o alienígena O’ verá a plataforma contraída do comprimento de repouso
L’=100m. Assim:
v2
(2.108 ) 2
L  L' 1  2  100. 1 
 100.(0,7453)  75m
8 2
c
(3.10 )
FÍSICA, 30 ano
Relatividade
Exemplo 2 : Paradoxo dos Gêmeos
Suponha que um homem tem um irmão gêmeo que é astronauta, ambos têm 40
anos de idade. Tal astronauta é convidado para uma missão da NASA (agência
espacial americana), na qual irá explorar um novo planeta descoberto. Tal viagem é
realizada numa nave que se move a uma velocidade de 2.108 m/s. O tempo gasto na
viagem cronometrado pela NASA foi de 10 anos. A pergunta é: quando o astronauta
voltar, a sua idade será a mesma que a do seu irmão?
FÍSICA, 30 ano
Relatividade
Resolução
Como vimos na dilatação do tempo, o tempo próprio sempre é menor. Assim, o tempo
passará mais lento para o astronauta do que para seu irmão. Chamando Δt’ o tempo de
viagem cronometrado pelo astronauta e Δt = 10 anos o tempo da viagem cronometrado
pela NASA (referencial da terra) temos que:
Dt 
Dt '
v2
1 2
c
v2
(2,4.108 ) 2
5,76
Dt '  Dt 1  2  10. 1 
 10. 1 
 10. 0,36  6anos
8 2
c
(3.10 )
9
Logo ,concluímos que o astronauta estará com 46 anos após a viagem, enquanto seu
irmão terá 50 anos, ou seja, o astronauta estará mais novo que seu irmão gêmeo !!
FÍSICA, 30 ano
Relatividade
Exemplo 3
Uma partícula cuja massa de repouso é m0 = 2.10-6 kg tem velocidade de módulo v
= 2,4 . 108 m/s em relação a determinado referencial. Qual é, em relação a esse
referencial:
A) O módulo da quantidade de movimento dessa partícula?
B) A massa dessa partícula?
C) A massa dessa partícula quando a sua velocidade for 2,9.108m/s?
Resolução
A) Basta aplicar a equação do momento relativístico:
p
m0 v
2
v
1 2
c
•

2.10 6.2,4.108
( 2,4.108 ) 2
1
(3,0.108 ) 2
4,8.10 2

 800kg.m / s
(0,6)
Note que, pela física clássica, esta resposta seria apenas o numerador (480 kg.m/s),
ou seja, 60% do valor relativístico.
FÍSICA, 30 ano
Relatividade
B) Basta aplicar a expressão da massa relativística:
m
m0
2

v
1 2
c
2.10 6
( 2,4.108 ) 2
1
(3,0.108 ) 2
2.10 6

 3,3.10  6 kg
(0,6)
C) Aplicando novamente a expressão da massa relativística para v = 2,9.108m/s:
m
m0
v2
1 2
c

2.10 6
( 2,9.108 ) 2
1
(3,0.108 ) 2
 1,4.10 5 kg
Os resultados dos itens B e C mostram a tendência para o infinito da massa da
partícula. No item B, a massa da partícula é 1,7 vezes sua massa de repouso,
enquanto no item C, com um pequeno acréscimo na velocidade, sua massa se tornou
15 vezes maior que sua massa de repouso!
Relatividade Einsteiniana
Massa
em que:
m0 = massa de repouso
Com γ > 1 (γ só é igual a 1 quando u = 0), decorre
m > m0, isto é, a massa do corpo é maior quando em
movimento do que em repouso.
Relatividade Einsteiniana
Energia relativística
Uma das maiores consequências da teoria da
relatividade especial é o fato de que a massa é uma
forma de energia, ou seja, a energia tem inércia.
Relatividade Einsteiniana
Energia cinética
em que:
E = energia total
EC = energia cinética
E0 = energia de repouso
Relatividade Einsteiniana
Exemplo 1: Responda às seguintes questões:
a) Qual é a energia de repouso contida em 1 kg de
dinamite?
b) Sabendo-se que 1 kg de dinamite libera 1,3∙103 kcal
quando explode, que porcentagem representa essa
energia química liberada em relação à sua energia
de repouso?
Dados: 1 cal = 4,18 joules e c = 3∙108 m/s
Relatividade Einsteiniana
Exemplo 2: O Bévatron é um acelerador de prótons,
que os produz com energia cinética de 10-9 J. Sabendose que a massa de repouso do próton é 1,67∙10-27 kg,
determine quantas vezes maior é a massa do próton
acelerado no Bévatron ao adquirir aquela energia.
Dado: c = 3∙108 m/s
Relatividade Einsteiniana
Exercício: (UFC-CE) Um elétron é acelerado a partir do
repouso até atingir uma energia relativística final igual
a 2,5 MeV. A energia de repouso do elétron é E0 = 0,5
Mev. Determine:
a) a energia cinética do elétron quando ele atinge a
velocidade final;
b) a velocidade escalar atingida pelo elétron como
uma fração da velocidade da luz no vácuo c.
Observação: eV (elétron-volt), unidade de energia que
corresponde a 1,6∙10-19 J
Relatividade Geral
• Em sua teoria da Relatividade Geral, Einstein procura avaliar o que
acontece em referenciais não inerciais (que possuem aceleração). Ele
chega a algumas importantes conclusões:
I. Um referencial que sofre aceleração é equivalente a um referencial
submetido a uma força atuando à distância.
– Por exemplo, quando um elevador sobe, o passageiro não tem como distinguir se o
elevador realmente iniciou o movimento ou se alguma força começa a empurrá-lo
para baixo (exceto pelo indicador dos andares).
II.
A Força Gravitacional é provocada por uma distorção na relação entre
espaço e tempo.
– Isso pode ser observado por um corpo em queda que percorre espaços maiores em
tempos cada vez menores. Toda massa provoca essa distorção e quanto maior a
massa maior a distorção.
Relatividade Geral
Viagem no Tempo