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Colisões
O que é uma colisão?
• Processo em que duas partículas são lançadas uma contra a outra e
há troca de momento linear e energia. Queremos estudar as possíveis
situações finais depois que as partículas se afastam da região de
interação.
Antes
Depois
Durante
Exemplos: Atmosfera
Partículas carregadas aceleradas pelas
linhas de campo magnético terrestre
criam a Aurora (Boreal ou Austral). A
emissão é causada pela desexcitação
radiativa de moléculas da atmosfera que
foram ionizadas por colisões com as
partículas aceleradas que se originam no
vento solar.
Exemplo histórico: estrutura do átomo
• Ernest Rutherford (1911): descobriu a estrutura nuclear do
átomo. Primeiro experimento de colisão de partículas subatômicas.
Modelo de Thomson: previa deflexão
pequena das partículas a
Rutherford observou grandes deflexões,
sugerindo um núcleo duro e pequeno
Exemplos: Partículas elementares
Criação de pares elétron-pósitron
• Colisões entre partículas elementares
(elétron-elétron, elétron-próton, etc.) são
responsáveis por quase toda a
informação que temos sobre as forças
fundamentais da natureza (exceto a
gravitacional).
• Essas colisões são geradas a partir da
aceleração das partículas elementares
em grandes aceleradores de partículas
(CERN, FermiLab, LHC).
O que faremos:
• Pode-se estudar os produtos das colisões e suas configurações finais
com o intuito de investigar a natureza das forças. Essencialmente, é
isso que se faz num acelerador de partículas como o Fermilab, CERN
ou o LHC.
• Entretanto, existem características gerais que regem todas as colisões,
que são consequências das leis de conservação de energia e momento
linear. Vamos nos concentrar nessas características gerais.
Características gerais:
• Exemplo das colisões de bolhas de bilhar: as forças
de contato são muito grandes e agem por curtíssimos
intervalos de tempo.
• Não estamos interessados dos detalhes da força como função do tempo.
Queremos o resultado líquido de sua atuação  Integral da força.
tf
tf
pf
dp
t F dt  t dt dt   d p  p f  pi   p
p
i
i
i
Impulso=área
debaixo da curva
Impulso:
• A integral temporal da força é chamada impulso
da força.
tf
J   F dt   p
ti
• O impulso da força total sobre um corpo durante um
intervalo de tempo é igual à mudança do momento
linear do corpo no intervalo.
• Compare com o teorema de trabalho-energia.
rf
F

d
r


K

ri
Força média=F=J/t
Exemplo: impulso numa colisão de bolas de bilhar:
m  0,3 kg

v  1 m/s
Supomos que, ao ser atingida pela bola branca,
uma bola de bilhar adquire a velocidade de 1 m/s.
A variação de seu momento linear é, em módulo:
p  mv  0,3 kg m/s  J
que dá o impulso transmitido pela bola branca na colisão.
Se o contato dura t  10-3 s, a força média exercida é
J
F
 300 N
t
Compare isso com a força peso nas bolas P=3N
Colisões elásticas e inelásticas:
Já vimos que colisões, por envolverem apenas forças internas,
conservam momento linear. E a energia?
Embora a energia TOTAL seja sempre conservada, pode haver
transformação da energia cinética inicial (inicialmente só há energia
cinética) em outras formas de energia (potencial, interna na forma de
vibrações, calor, perdas por geração de ondas sonoras, etc.).
 Se a energia cinética inicial é totalmente recuperada após a colisão, a
colisão é chamada de COLISÃO ELÁSTICA.
 Se não, a colisão é chamada de COLISÃO INELÁSTICA. Note que se
houver aumento da energia cinética (quando há conversão de energia
interna em cinética: explosão), a colisão também é inelástica.
Colisão Elástica  K i  K f
Colisões elásticas uni-dimensionais:
Antes
Depois
1 2
1
p2
2
Lembramos que: K  mv 
mv 
2
2m
2m
Assim:
 p1i  p2i  p1 f  p2 f
 Conservação de momento linear
 2
2
2
2
p
p
 p1i
p2 i
1f
2f
 Conservação de energia cinética




 2m1 2m2 2m1 2m2
Colisões elásticas uni-dimensionais:
 p1i  p2i  p1 f  p2 f
 2
p12f
p22 f
 p1i
p22i




 2m1 2m2 2m1 2m2
Definindo =m2/m1:
Simplificando a
2a

 p1i  p1 f  p2 f  p2i

2
2
2
2

p

p

p

p

1f
2f
2i
 1i

 

  p1i  p1 f  p1i  p1 f    p2 f  p2i  p2 f  p2i 
   p1i  p1 f   p2 f  p2i
p1i  p1 f  p2 f  p2i
  p1i  p1 f   p2 f  p2i
Colisões elásticas uni-dimensionais:
(a) massas iguais : =1
p1i  p1 f  p2 f  p2i   p1i  p2 f

p1i  p1 f  p2 f  p2i   p2i  p1 f
v1i  v2 f

v2i  v1 f
As partículas trocam de velocidades!
Em particular, se a partícula
alvo está inicialmente em
repouso, a partícula
incidente pára após a
colisão, como no bilhar.
Antes
Depois
Colisões elásticas uni-dimensionais:
(a) massas diferentes: 1


    p1i  p1 f   p2i  p1i  p1 f  p2i

  p1i  p1 f   p2 f  p2i    p1i  p1i  p2 f  p2i   p2 f  p2i

1  
 2 
1    p1 f  1    p1i  2 p2i   p1 f   1    p1i   1    p2i
 
2p1i  1    p2 f  1    p2i 
 p2 f   2  p1i   1    p2i

1  
1  
p1i  p1 f  p2 f  p2i

 m1  m2 
 2m2 
v1i  
v2i
v1 f  
 m1  m2 
 m1  m2 
 2m1 
 m1  m2 
v1i  
v2i
v2 f  
 m1  m2 
 m1  m2 

Colisões elásticas uni-dimensionais: alvo em repouso (v2i=0)
 m1  m2 
v1i
v1 f  
 m1  m2 
 2m1 
v1i
v2 f  
 m1  m2 
(a) m1<< m2:
v2 f
v1 f  v1i
 2m1 
v1i  v1i
 
 m2 
v1 f
• A partícula incidente reverte sua velocidade.
• A partícula alvo passa a se mover lentamente.
v2 f
Colisões elásticas uni-dimensionais: alvo em repouso (v2i=0)
 m1  m2 
v1i
v1 f  
 m1  m2 
 2m1 
v1i
v2 f  
 m1  m2 
Antes
v1i
(a) m1>> m2:
v1 f  v1i
v2 f  2v1i
• A partícula incidente não “sente” a colisão.
• A partícula alvo passa a se mover com o
dobro da velocidade da partícula incidente
Depois
v1 f
v2 f
Colisões uni-dimensionais totalmente inelásticas:
Antes
Depois
A partícula incidente “gruda” na partícula-alvo. Pode-se provar que
essa situação representa a perda máxima de energia cinética numa
colisão inelástica em uma dimensão.
m1v1i  m2v2i  m1  m2 v f  v f 
m1v1i  m2 v2i
 vCM
m1  m2
Como o centro de massa coincide com as duas partículas “grudadas”,
elas tem que se mover com a velocidade do centro de massa. A energia
cinética final é a energia cinética associada ao movimento do CM.
Pêndulo balístico:
Colisão totalmente inelástica:
m1
vf 
v1i
m1  m2
Conservação de energia mecânica após a colisão: v f 
m1  m2
v1i 
m1
2 gh
2 gh
m1  10 g 
4,01

m2  4 kg  v1i 
 2  9,8  0,05 m/s  400 m/s  1.400 km/h
0,01

h  5 cm 
Depois
Colisões bi-dimensionais:
1
Antes
1
1
2
Vamos considerar a partícula-alvo em
repouso v2i=0
2
2
p1i  p1 f  p 2 f  Conservação de momento linear
p2 f
p1 f
p1i
Esses 3 vetores definem um plano,
chamado de plano de colisão.
Portanto, a colisão sempre ocorre em
um plano (bi-dimensional).
Colisões elásticas bi-dimensionais:
Da figura temos:
 p1i  p1 f cos 1  p2 f cos  2

 0  p1 f sen 1  p2 f sen  2
Se tivermos m1, m2 e p1i,
teremos 3 equações e 4
incógnitas (p1f, p2f, 1, 2). O
sistema é indeterminado.
Precisamos de mais informação.
Por exemplo, o parâmetro de
impacto b da colisão de bolas de
bilhar.
Da conservação de energia cinética:
p12f
p22 f
p12i


2m1 2m1 2m2
parâmetro
de impacto
Colisões elásticas bi-dimensionais: massas iguais
• Nesse caso, podemos obter um resultado simples
p12f
p22 f
p12i


 p12i  p12f  p22 f Conservação de energia cinética
2m1 2m1 2m2


p1i  p1 f  p 2 f  p12i  p1 f  p 2 f  p1 f  p 2 f
 p12i  p12f  p22 f  2 p1 f  p 2 f

Conservação de momento linear
Igualando as duas equações
p1 f  p 2 f  0  1   2  90o
Será que é assim mesmo na mesa de sinuca?
1   2  90o ??
Na verdade, o movimento de rotação
da bola branca, complica a análise.
Embora as bolas saiam da colisão com
direções perpendiculares entre si, após
um curto tempo a bola branca toma um
rumo diferente!!
1
Exemplo: Transferência de momento linear
Numa colisão, uma partícula de massa m1=1 kg incide com velocidade
v1i=10 m/s numa partícula de massa m2=2 kg, inicialmente em repouso.
Se a colisão deflete a partícula 1 de um ângulo de =30o, qual é a
velocidade da partícula 2 após a colisão? Energia é conservada. Solução
abaixo incorreta.
 30 o

 1 10  sin 30

p1x  m1v1x  1 10  cos 300  10 kg m/s  1,3 kg m/s
p1 y  m1v1 y
0

 0 kg m/s  5 kg m/s
 p 2  m2 v 2  m2 v 2 f
v 2 f  0,7 2  2,52 m/s  2,6 m/s
tan  
2,5
   74o
0,7
 v2 fx  0,7 m/s
  p1  
v2 fy  2,5 m/s