v - TecMF

Lógica Modal de Primeira
Ordem
Fabio Mascarenhas
Sumário
Tableaus para lógicas modais
Quantificadores

Domínio constante vs domínio variável
Igualdade
Identidade e equivalência
 Mesmo objeto, múltiplos mundos
 Modelos normais

Existência revisitada
Tableaus
Fórmulas prefixadas
Prefixos indicam mundos
 Se  é um prefixo, .n é um mundo
acessívl a partir de 

Tableau para uma fórmula Z começa
com 1 Z
Tableaus
Regras da lógica clássica

Preservam o prefixo
Regras da lógica K

Possibilidade e Necessidade
 X
|
.n X
 X
|
.n X
Quantificadores
Acrescentamos predicados e
quantificadores a uma lógica modal
Necessidade de re e de dicto
Seja a frase: Tudo é necessariamente P
 Duas interpretações
 xF(x) vs xF(x)
 Análogo para “algo é necessariamente P”:
xF(x) vs xF(x)

Quine
Impossibilidade da LMQ
Três interpretações de 
Metalinguística
 Apenas para sentenças



 9>7 vs  o número de planetas>7
Para qualquer fórmula

 x>7
Lógica sem termos, apenas variáveis
Domínio Constante
Todos os mundos têm o mesmo domínio
<G, R, D> é um frame de domínio constante se <G,
R> é um frame e D é um conjunto não vazio
Uma interpretação I associa uma relação em D a
cada par de predicado/mundo
<G, R, D, I> é um modelo de domínio constante se
<G, R, D> é um frame e I é uma interpretação nele
Uma valoração v em um modelo M é um
mapeamento que leva variáveis livres a objetos do
domínio
Uma valoração w é uma variante-x de v se as duas
concordam em todas as variáveis, exceto x
Domínio Constante
Seja M um modelo







Se <v(x1), ..., v(xn)>I(P, ) então M,  ||-v P(x1, ..., xn)
M,  ||-v X  M,  ||/-v X
M,  ||-v (X ^ Y)  M,  ||-v X e M,  ||-v Y
M,  ||-v X  para todo G, se R então M,  ||-v X
M,  ||-v X  para algum G, R e M,  ||-v X
M,  ||-v x  para todo variante-x w de v em M, M,  ||-w

M,  ||-v x  para algum variante-x w de v em M, M,  ||w
Uma sentença  é válida em M se M,  ||-v  para
qualquer G
Domínio Variável
<G, R, D> é um frame de domínio variável se <G, R> é um
frame e D é uma função que mapeia membros de G em
conjuntos não vazios
O domínio do frame é a união dos domínios dos mundos
Interpretações associam predicados e mundos a uma relação
no domínio do frame
Uma valoração é um mapeamento de variáveis livres em
membros do domínio do frame
Nova semântica


M,  ||-v x  para todo variante-x w de v em , M,  ||-w 
M,  ||-v x  para algum variante-x w de v em , M,  ||-w 
Coincidência das Semânticas
Domínios constantes variáveis são
equivalentes
Pode-se mapear domínios constantes
em variáveis acrescentando um
predicado existencial , e o introduzindo
em fórmulas com quantificadores
Tableau com Quantificadores
Parâmetros
Universal, domínio constante
Existencial, domínio constante
Universal, domínio variável
Existencial, domínio variável
Igualdade
Indiscernibilidade dos idênticos
(x=y)  ((x)(y))
Se  é (x=), pela indiscernibilidade dos
idênticos, (x=y)  ((x=x)(x=y)), ou seja,
(x=y)  (x=y)


Variáveis vs nomes
Indiscernibilidade dos idênticos só faz sentido
para propriedades relativas ao mesmo
mundo
Igualdadade Formal
Modelos normais
M é um modelo normal se para cada G
tem-se que I(=, ) é a relação de
identidade
 M,  ||-v (x=y)  v(x) = v(y)

(x=y)  (x=y) é válida em modelos normais
Regras do tableau: reflexividade e
substituição
Mais Existência
Possibilismo e actualismo
Domínio variável permite expressar a
existência de um objeto em determinado
mundo

y y=x, abreviado como E(x)
E(x) permite mapear domínios variáveis em
constantes, acrescentando duas fórmulas
como axiomas:


E(x)E(x) ou xE(x)
E(x)E(x)