Aula 7 - Funções com várias variáveis

Adm.Industrial
Cálculo II
Aula 07
Funções de Várias Variáveis
Rafael Ferrara
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Funções de Várias Variáveis
Exemplo 01:


2
Seja D o subconjunto do  , D   x, y    x  0, y  0 e consideremos a
igualdade
z  x  y , como x, y  D.
2
Por meio desta igualdade podemos associar
a todo ponto um número real z, precisamente o número
x y
. O valor de z depende,
portanto, dos valores assumidos por x e y.
O que acabamos de fazer foi explicitar uma regra que permite associar a todo ponto
x, y  D um número real z, isto é, acabamos de definir em D a função f de duas
variáveis e a valores reais cujo valor num ponto x, y  D é z  f ( x, y )  x  y .
Exemplo 02:
Seja D o subconjunto do
 3,


D  x, y, z    3 x  0, y  0, z  0 e consideremos
a igualdade w  x ²  y ²  z ² . A última igualdade permite associar a todo ponto
x, y, z  D um número real w, exatamente o número
w  x²  y ²  z ² .
Portanto, definimos em D a função h de três variáveis reais, cujo valor num ponto
x, y, z  D é w  h( x, y, z )  x²  y ²  z ².
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Exemplo 03:
 4, D  x, y, z, w   4 x  0, y  0, z  2, w  1 e seja a
k  xy  2 zw , com x, y, z, w D . Esta igualdade define em D a
Seja D o subconjunto do
igualdade
função g de quatro variáveis e valores reais, tal que:
k  g ( x, y, z, w)  xy  2 zw
Exemplo 04:


Seja D   x1 , x 2 , x 3 ,..., x n    n x i  0, i  1,2,3,..., n e seja a igualdade
y  x1 ²  x 2 ²  x3 ²  ...  ,x n ²
com . Esta igualdade define em D a função f de n
variáveis e valores reais, tal que:
y  f ( x1 , x 2 , x3 ,..., x n )  x1 ²  x 2 ²  x3 ²  ...  x n ²
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Representação gráfica do domínio de uma função de várias variáveis:
Seja a função
f ( x, y)  3xy
3 xy  0  xy  0
x0; y  0
x0; y  0
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

D  x, y    2 x  0, y  0ou x  0, y  0
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Representação gráfica do domínio de uma função de várias variáveis:
Seja a função
f ( x, y)  x  y
x  y  0 y   x


D   x, y    2 y   x
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Representação gráfica do domínio de uma função de várias variáveis:
Seja a função
f ( x, y)  ln x  y 
ln x  y   0  x  y  1


D   x, y    2 y  1  x
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Representação gráfica do domínio de uma função de várias variáveis:
Seja a função
4x  5 y
3x  2 y
3x
y
2
f ( x, y ) 
3x  2 y  0 
3x 

D  x, y    2 y  
2

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Funções Homogêneas:
Seja f uma função definida no subconjunto D do  . Dizemos que f é homogênea de
n
grau m quando quaisquer que sejam
x1 , x2 ,..., xn  D e tivermos   0 :
x1 , x2 ,..., xn  D
f x1 , x2 ,..., xn   m  f x1 , x2 ,..., xn 
m = grau de homogeneidade da função f.
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Exemplo 01:
f : 2  
f ( x, y)  x 2  y 2
f (x, y )  x   y 
2
2
f (x, y)  2 x 2  2 y 2

f (x, y)  2 x 2  y 2

f (x, y)  2  f x, y 
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É homogênea de grau m 2.
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Exemplo 02:
f : 2  
f ( x, y )  xy
f (x, y)  x y 
f (x, y )  2 xy
f (x, y)  2 xy
f (x, y)  2  f x, y 
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É homogênea de grau m 2.
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Exemplo 03:
f : 2  
1
f ( x, y)  2
2
x y
1
f ( x,  y ) 
2
2
x   y 
1
f (x, y)  2 2
 x  2 y 2
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1
f (  x,  y )  2 2
 x  y2

f (  x,  y )  
2

1
x2  y 2


f (x, y)  2  f ( x, y)
É homogênea de grau m -2.
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Observação:
Seja f uma função homogênea de grau m e se é conhecido o valor de f em um ponto
x1 , x2 ,..., xn  , então é possível determinar o valor de f em todo ponto do tipo
x1 , x2 ,..., xn  , pois pela definição:
f x1 , x2 ,..., xn   m  f x1 , x2 ,..., xn 
Exemplo:
Seja f uma função homogênea de grau 3 e se
f 3,5  10 , então:
f 6,10  23  f (3,5)  8 10  80
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