Slides da aula 8 e 9

Aula 8 e 9:
Determinantes
(continuação)
Turma A1
Profa. Ana Maria Luz
Mais propriedades dos determinantes
D9: Sejam A e B matrizes nxn e k um escalar qualquer temos que:
det( kA)  k n det( A)
Exemplo:
ka11 ka12
a11
a12
a11 a12
det( kA) 
 k.
 k.k.
ka21 ka22
ka21 ka22
a21 a22
D10: Sejam A, B, C matrizes nxn que diferem em uma única linha (résima) , suponha que nesta linha para todo j=1,...,n
(C ) rj  ( A) rj  ( B) rj
então:
det(C )  det( A)  det( B)
Exemplo: (Quadro)
Mais propriedades dos determinantes
D11: Se B é uma matriz nxn e E é uma matriz elementar nxn então:
det( EB)  det( E ). det( B)
Consequência:
det( E1E2 ...Er B)  det( E1 ). det( E2 )det( Er ). det( B)
D12: Uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, det(A)≠0.
D13: Se A e B são matrizes quadradas de mesmo tamanho então:
det( A.B)  det( A). det( B)
D14: Se A é invertível então:
1
det( A ) 
det( A)
1
D15: Se A é ortogonal (A-1=AT) então det(A-1)=1 ou -1.
Determinantes, sistemas e
invertibilidade
Teorema: Se A é uma matriz nxn, então as seguintes afirmações
são equivalentes:
a)
A é invertível.
b)
Ax=0 só tem a solução trivial.
c)
A forma escalonada reduzida por linhas de A é In.
d)
A pode ser expressa como um produto de matrizes
elementares.
e)
Ax=b é consistente para cada vetor coluna b de tamanho nx1.
f)
Ax=b tem exatamente uma solução para cada vetor coluna b
nx1.
g)
det(A)≠0.
Expansão em cofatores
Definição: (menor de aij) Se A é uma matriz quadrada então o
determinante menor da entrada aij, ou simplesmente o menor
de aij é denotado por Mij e definido como o determinante da
submatriz que sobra quando suprimido a i-ésima linha e jésima coluna de A.
Exemplo:
1 2 3
Seja A  4 5 6, o menor de a11 é
7 8 9 
5 6
M 11 
 45  48  3
8 9
Definição: (cofator de aij): O número (-1)i+j Mij é chamado de
cofator de aij e será denotado por Cij.
Expansão em cofatores
Observe a fórmula para o determinante de ordem 3:
a11
a21
a31
a12
a22
a32
a13
a11.a22 .a33  a12 .a23.a31  a13.a21.a32
a23 
 a13.a22 .a31  a12 .a21.a33  a11.a23.a32
a33
 a11 (a22a33  a23a32 )  a12 (a21a33  a23a31 )  a13 (a21a32  a22a31 )
 a11M 11  a12 M 12  a13M 13
 a11C11  a12C12  a13C13
(expansão em cofatores ao longo da primeira linha)
Expansão em cofatores
Teorema: O determinante de uma matriz A (nxn) pode ser obtido pela
soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou
coluna) da matriz A pelos respectivos cofatores. Estas somas são
denominadas expansões em cofatores de det(A).
det( A)  ai1Ci1  ai 2Ci 2  ...  ainCin
(expansão em cofatores ao longo da linha i)
det( A)  a1 j C1 j  a2 j C2 j  ...  anjCnj
(expansão em cofatores ao longo da coluna j)
Exemplo: (Quadro)
Expansão em cofatores
Definição: (matriz de cofatores e adjunta de A) Se A é uma matriz
quadrada de ordem n e Cij é o cofator de aij então a matriz
C11 C12
C
C22
21

A
 


Cn1 Cn 2
 C1n 

 C2 n 
  

 Cnn 
é chamada matriz de cofatores de A. A transposta desta matriz é
chamada adjunta de A e denotada por adj(A).
Exemplo: (Quadro)
Fórmula para inversa de uma matriz
Teorema: Se A é uma matriz nxn, invertível então
1
A 
adj ( A)
det( A)
1
Exemplo: (Quadro)
Idéia da prova: Mostra –se que:
A.adj ( A)  det( A).I
Como A é invertível, det(A)≠0. Portanto a equação pode ser reescrita como:
1
A.adj ( A)  I ou A.[ 1 .adj ( A)]  I
det( A)
det( A)
Multiplicando-se ambos os lados à esquerda por A-1 obtemos:
1
A 
adj ( A)
det( A)
1
Regra de Cramer
Teorema: (Regra de Cramer) Se Ax=b é um sistema de n equações
lineares com n incógnitas tal que det(A)≠0, então o sistema tem uma
única solução. Esta solução é:
det( An )
det( A1 )
det( A2 )
x1 
, x2 
,..., xn 
,
det( A)
det( A)
det( A)
onde Aj é a matriz obtida subtraindo as entradas da j-ésima coluna de A
pelas entradas do vetor coluna b.
Observação: Quando det(A)≠0 onde A é a matriz dos coeficientes de um
sistema linear, o sistema é chamado sistema de Cramer
Idéia da prova + Exemplo: Quadro
Regra de Cramer
Através da Regra de Cramer podemos classificar um sistema linear
quanto as suas soluções:
 Se det(A)=0 e pelo menos um dos det(Ai)≠0 o sistema é imcompatível.
 Se det(A)=0 e det(Ai)=0 para todo i o sistema é compatível e
indeterminado.
 Se det(A) ≠0 o sistema é compatível e determinado.