Corpo Rígido

Material de apoio: corpo rígido

Corpo rígido


sistema que mantêm fixas as distâncias entre as partículas que o
constituiem, mesmo sob a acção de forças e momentos de forças
externos
Tipo de movimento a considerar

translação – todas as partículas descrevem trajectórias rectilíneas

paralelas com a mesma velocidade v

rotação – todas as partículas descrevem trajectórias circulares
em torno do eixo de rotação, com a mesma velocidade angular 

combinação dos movimentos de translação e rotação em torno
de um eixo que passa pelo CM
Material de apoio : corpo rígido

Energia cinética do movimento de translação

v
N


 N

 
 P   mi vi   mi  v  Mv
 v  vCM
i 1
 i 1 



 P  MvCM
CM move-se com a velocidade
comum a todas as partículas
N
1
1

 2 1
2
Ek   mi vi   mi  v  Mv 2
2  i 1 
2
i 1 2
N
1
2
Ek  MvCM
2
Nota: as demonstrações são feitas para sistemas discretos; para sistemas contínuos as
demonstrações seriam absolutamente análogas, com os somatórios substituídos por integrais;
por simplicidade omitimos a dependência explícita no tempo das grandezas físicas
Material de apoio: corpo rígido

Energia cinética do movimento de rotação
mi descreve uma trajectória circular com velocidade


angular   u z em torno de Oi - ponto de
intersecção do eixo de rotação (eixo dos zz) com
o plano de rotação (plano da trajectória)
 


 
vi Ri vi  vi ri
z

Ri
O
i
ai

vi

ri
O
x
y

 



vi    ri    (ai  Ri )

 


 u z  (ai u z  Ri )    Ri
vi2   2 Ri2   2 d i2
1
1
2
2
Ek   mi vi   mi d i  2
2  i 1
i 1 2

N
N
N
I   mi d i2
i 1
momento de inércia referido
ao eixo de rotação
distância ao eixo de rotação
1
2
Ek  I
2
Material de apoio : corpo rígido

Energia cinética do movimento combinado


translação relativamente a um sistema exterior S , com velocidade vCM

rotação em torno de um eixo que passa pelo CM , com velocidade

 ' 
angular 
ri  ri  rCM
CM  '

' 
ri
vi  vi  vCM

rCM
N
1
Ek   mi vi2
i 1 2
s

ri
velocidade da partícula i em S
velocidade da partícula i em S’
– referencial do CM
N
 2
'  
1
1N
2
  mi v'i   mi vi   vCM   mi  vCM
2
2  i 1 
i 1
i 1


 





1
0
M
I 2
1
2
N
1
2
MvCM
2
2
 Ek rot ação  Ek translação
Ek 
energia cinética no referencial do CM, onde
o objecto só tem movimento de rotação
I 2 
Material de apoio: corpo rígido

Cálculo dos momentos de inércia em casos simples


z
m3

v2 m
O2
O1
distância ao eixo é

d i  Ri 
2

R2

R1 m1

v1
mi (i=1,2) descrevem trajectórias circulares com


velocidade angular 
 u z em torno de Oi
que é constante

m3 em repouso sobre o eixo de rotação
a distância ao eixo é
d3  0
y
x
xi2  yi2
que é constante
3
I   mi d i2  m1d12  m2 d 22
i 1
Material de apoio: corpo rígido

Cálculo dos momentos de inércia em casos simples

disco homogéneo de raio R, roda no plano
xy, em torno do eixo dos zz

cada dm descreve um trajectória circular
no plano xy, em torno do ponto O, com a


velocidade   u z

distância de cada dm ao eixo


z
O
x


r
R
dm y
d  x2  y2 
R
r cos 2 r sin  2
I   d dm    d dS   r rd dr   r dr 
2
2

2

1 4
1
1
2
2
  R 2 
R R  MR 2
4
2
2
0
3
2
0
r
d
I 
1
MR 2
2
Material de apoio: corpo rígido

Cálculo dos momentos de inércia em casos simples


z

disco homogéneo de raio R, roda em
torno do eixo dos zz que pertence ao seu
plano e passa pelo seu centro

cada dm descreve um trajectória circular
num plano paralelo ao plano xy, com a


velocidade 
 u z

distância de cada dm ao eixo é fixa e
pode ser calculada quando se encontra no
plano yz d  y 2  r cos 2
R
 dm
r
O
y
x
R
I   d dm    d dS    r cos rd dr   r dr 
2

2

2

2
1 4
1
1
R  
R 2 R 2  MR 2
4
4
4
0
3
2
0
cos 2 d
1
I  MR 2
4
Material de apoio: corpo rígido

Cálculo dos momentos de inércia em casos simples


z
b
O
x

r

placa homogénea de dimensões a e b,
roda no plano xy, em torno do eixo dos zz

cada dm descreve um trajectória circular
no plano xy, em torno do ponto O, com a


velocidade 
 u z

distância de cada dm ao eixo d  x 2  y 2
dm y
a


I   d 2 dm    d 2 dS   x 2  y 2 dxdy
a 2
b 2
a 2
b 2

    dx 
dy   dx 
y 2 dy 
a 2
b 2
 a 2 b 2

b 2 
3 
1 3 a 2 b 2
 a3

b
a 2 1 3
 

 x
y b 2  x a 2 y
ba


3

a 2
3
3
4
4

b
2




M 2
M 2

a  b2
I
a  b2
12
12




Material de apoio: corpo rígido

Cálculo dos momentos de inércia em casos simples



placa homogénea de dimensões a e b, roda
em torno do eixo dos zz que pertence ao seu
plano e passa pelo seu centro

cada dm descreve um trajectória circular num
plano paralelo ao plano xy, com a velocidade


  u z

distância de cada dm ao eixo é fixa e pode ser
calculada quando se encontra no plano yz
z

r
b
dm
y
x
a
d
y2
I   d dm    y dS   y dx dy  
2
2
2
a 2
dx 
a 2
  x a
a 2
1 3
y
2
3
b 2

b 2
b 2
b 2
y 2 dy
1
1
ab b 2  M b 2
ab 3 
12
12
12
M 2
I 
b
12
Material de apoio: corpo rígido

Teorema dos eixos paralelos
z
z’
D
I  I CM  MD 2
momento de inércia relativo ao eixo
paralelo ao eixo que passa pelo CM
CM
x’
y’
momento de inércia relativo eixo
que passa pelo CM

x
   x' xCM



I   d 2 dm   x 2  y 2 dm
y
O
distância entre
os dois eixos

2   y ' yCM 2 dm


2
2
  x'2  y '2 dm  2 xCM  x' dm  2 yCM  y ' dm  xCM
 yCM
dm










2
 ICM
M
0
D
0
 I CM  MD 2
Material de apoio : corpo rígido

Equações do movimento

taxa de variação do momento linear







dvCM
dP
P   mi vi  MvCM 
M
  Fi  MaCM
ext
dt
dt
i 1
i



dP
 Fiext  dt  MaCM
i
N
resultante das forças externas
a taxa de variação do momento linear do corpo rígido é determinada pela
resultantes das forças externas
a aceleração do CM do corpo rígido é determinada pela resultante das
forças externas
Nota: a resultante é independente do ponto de aplicação das forças
Material de apoio : corpo rígido

Equações do movimento

taxa de variação do momento angular



 
dL
L   mi ri  vi 
  Ni
ext
dt
i 1
i


dL
 N iext  dt
i
N
momento resultante das forças externas
a taxa de variação do momento angular do corpo rígido é determinada
pelo momento resultante das forças externas
Nota: o momento resultante dependente do ponto de aplicação das forças
Material de apoio : corpo rígido

Equações do movimento

taxa de variação do momento angular

corpo plano que roda em torno de um
z
eixo que lhe é perpendicular com



Li
velocidade angular   u z

cada dm descreve um movimento
r


O i

circular em torno de O com   u z
vi

 


 
2 
Li  mi ri  vi  mi ri vi sin u z  mi d i 
 
2

r
r d
i

 

2 
 L   Li   mi di   I
i
i





dL
d
  Ni 
I
 I
ext
dt
dt
i
i
aceleração angular
i

 Ni
i
ext


L  I


dL

 I
dt
a aceleração angular do corpo rígido é determinada pelo momento
resultante das forças externas
Material de apoio : corpo rígido

Equações do movimento

taxa devariação do momento angular

corpo de forma arbitrária (3 dimensões)
que roda em torno de um eixo com


velocidade angular   u z
cada dm descreve um movimento
circular num plano paralelo ao plano xy


em torno de Oi com   u z
z

Oi Ri

Li

vi

ri
O
  


 
vi    ri  vi ri vi 
   

 
Li  mi ri  vi  Li ri Li vi



2 
Li  mi di   L  I

 Ni
i
ext
E


dL

 I
dt
Material de apoio : corpo rígido

MAS – a componente z do momento angular ainda é proporcional


a
z

Oi Ri
Li

vi
i 

Li



Li cos   i 

 2 

m rv
ii i
sin 
i
 mi ri vi sin  i  mi ri sin  i
vi


Ri ri sin i
 
Li z  Li  u z 
ri
 mi Ri2   mi d i2

di2
O
z
 Lz   Li   mi di2  I
z
i
  N i ext z 
i
NOTA:
Lz  I
i
dLz
d
I
 I
dt
dt
 Ni ext z 
i
dLz
 I
dt
Li ( Lz ) é independente do ponto do eixo de rotação em relação ao qual o
z
momento angular é calculado
Material de apoio : corpo rígido

SE o sistema rodar em torno de um eixo principal de inércia (eixo
de simetria do corpo) tem-se ainda


L  I


 Ni
i

ext


dL

 I
dt
Nota: a aceleração angular terá a mesma direcção e sentido da velocidade angular,
se a velocidade angular mantiver constante a sua direcção e sentido:
 sistema roda em torno de um eixo fixo (apenas movimento de rotação)
 sistema roda em torno de um eixo com movimento de translação (movimento
combinado de translação e rotação)
Material de apoio : corpo rígido

Rolamento – não derrapagem: 1º exemplo

condição de não derrapagem: ponto de contacto em repouso
relativamente à superfície de contacto
 condições iniciais



CM

P
y
z
x

Fat
R

Ν




C - ponto de contacto
vCM (0)  v0  v0u x

 (0)  0
movimento inicia-se com o movimento
de translação através da comunicação
de vCM (0)  v0
força de atrito estabelece-se e contraria
o movimento de translação

1ª equação do movimento – movimento de translação

força de atrito confere aceleração de translação que faz diminui a velocidade
de translação


 





R   Fi ext  
P

N  Fat   mgu x  MaCM  aCM   gu x

i
0
Nux




 vCM (t )  v0  aCM t  v0  gt  u x
Material de apoio : corpo rígido

Rolamento – não derrapagem: 1º exemplo

2ª equação do movimento – movimento de rotação em torno de um
eixo principal de inércia: eixo de simetria que passa pelo CM (eixo


dos zz)

N   Ni ext  I
i
relativamente ao CM


N   N i ext 
i



N P

N N

N F
at
 

  

0(  mgu y ) (  Ru y )( mgu y )0 (  Ru )(  mgu )
y
x



Rmg 
  Rmgu z  I    
uz
I
força de atrito: única força que tem momento não nulo única força que
confere a aceleração angular que põe o corpo a rodar
Rmg 
 (t )   t  
t uz
I


Material de apoio : corpo rígido

Rolamento – não derrapagem: 1º exemplo

cada ponto tem velocidade de translação e velocidade de rotação




 
vP (t )  vCM (t )  vrot (t )  vCM (t )u x   (t )u z  rP
P
CM

rC
y
z
x

vrot
C

R

vCM





vC (t )  vCM (t )u x   (t )u z  ( Ru y )

 vCM (t )  R (t ) u x
C - ponto de contacto
Condição de não derrapagem cumprida em t  trol


vC (trol )  0  vCM (trol )  R (trol )  u x  0  vCM (trol )  R (trol )
R 2 mg
v0  gt rol 
t rol 


I


vCM (trol )
R (trol )
t rol 
v0

R 2m 

g 1 
I 

Material de apoio : corpo rígido

Rolamento – não derrapagem: 1º exemplo


 N e P não realizam trabalho

para t  trol a força de atrito não realiza trabalho: ponto de
aplicação em repouso relativamente ao solo  energia mecânica
conserva-se E  E  0  E  constante
k

1
1
2
mvCM
 I
2
2
v
k
2


CM
R
2

1
I 
2 
mvCM
1

 constante

2 
2
R 

vCM  R  constante

movimento continuaria ideal e indefinidamente com
vCM (t rol )  v0  gt rol
Rmg
 (t rol ) 
t rol
I

Exemplo: lançamento de uma bola de bowling
Material de apoio : corpo rígido

Rolamento – não derrapagem: 2º exemplo

condição de não derrapagem: ponto de contacto em repouso
relativamente à superfície de contacto
CM

P
y
z
x

R

Ν 
Fat
C - ponto de contacto


condições
iniciais 






 (0)  0  0u z

vCM (0)  0
movimento inicia-se com o movimento
de rotação através da comunicação de


 (0)   0
força de atrito estabelece-se e contraria
o movimento de rotação
1ª equação do movimento – movimento de translação


 





R   Fi ext  
P

N  Fat  mgu x  MaCM  aCM  gu x

i
0
Nux



vCM (t )  aCM t  gt u x

corpo adquire movimento de translação sob a acção da força de atrito
Material de apoio : corpo rígido

Rolamento – não derrapagem: 2º exemplo

2ª equação do movimento – movimento de rotação em torno de um
eixo principal de inércia: eixo de simetria que passa pelo CM (eixo
dos zz)
relativamente ao CM


N   N i ext 
i


N P

N N


 


0(  mgu y ) (  Ru y )( mgu y )0 (  Ru

N F
at


)

(

mg
u
)
y
x


 Rmg 
 Rmgu z  I   
uz
I
força de atrito: única força com momento não nulo única força que
confere a aceleração angular que vai diminuir a velocidade angular inicial





 (t )   (0)   t    0 
Rmg  
t  uz
I

Material de apoio : corpo rígido
Rolamento – não derrapagem: 2º exemplo


cada ponto tem velocidade de translação e velocidade de rotação




 
vP (t )  vCM (t )  vrot (t )  vCM (t )u x   (t )u z  rP
P
CM

rC
y
z
x

vrot
C

R

vCM





vC (t )  vCM (t )u x   (t )u z  ( Ru y )

 vCM (t )  R (t ) u x
C - ponto de contacto
Condição de não derrapagem cumprida em t  trol


vC (trol )  0  vCM (trol )  R (trol )  u x  0  vCM (trol )  R (trol )
Rmg


gt rol  R  0 
t rol  

I





vCM (trol )
 (trol )
t rol 
R 0

R 2m 

g 1 
I 

Material de apoio : corpo rígido

Rolamento – não derrapagem: 2º exemplo


 N e P não realizam trabalho

para t  trol a força de atrito não realiza trabalho: ponto de
aplicação em repouso relativamente ao solo  energia mecânica
conserva-se E  E  0  E  constante
k

1
1
2
mvCM
 I
2
2
v
k
2


CM
R
2

1
I 
2 
mvCM
1

 constante

2 
2
R 

vCM  R  constante

movimento continuaria ideal e indefinidamente com
vCM (t rol )  gt rol
 (trol )   0 

Rmg
t rol
I
Exemplo: roda que é posta a rodar e depois colocada numa superfície
horizontal, sem lançamemto (sem velocidade de translação)
Material de apoio : corpo rígido

Rolamento – não derrapagem: 3º exemplo

condição de não derrapagem: ponto de contacto em repouso
relativamente à superfície de contacto
y
z
x 
Fat
CM
P

Ν
C - ponto de contacto

R

condições
iniciais






vCM (0)  0

 (0)  0
movimento inicia-se com o movimento
de translação sob a acção do peso
força de atrito estabelece-se e contraria
o movimento de translação
1ª equação do movimento – movimento de translação






R   Fi ext  P  N  Fat  maCM
i



mg sin   N u x  N  mg cos   u y



maCM


 aCM  g sin    cos  u x
0

 maCM u x




 vCM (t )  g sin    cos tu x
Material de apoio : corpo rígido

Rolamento – não derrapagem: 3º exemplo

2ª equação do movimento – movimento de rotação em torno de um
eixo principal de inércia: eixo de simetria que passa pelo CM (eixo
dos zz)
relativamente ao CM


N   N i ext 
i


N P

N N


 


0(  mgu y ) ( Ru y )(N u y )0 ( Ru

N F
at


)

(


N
u
)
y
x



Rmg 
  Rmgu z  I    
uz
I
força de atrito: única força com momento não nulo  única força que
confere a aceleração angular que põe o corpo a rodar


 (t )   t  
Rmg 
t uz
I
Material de apoio : corpo rígido

Rolamento – não derrapagem: 3º exemplo

cada ponto tem velocidade de translação e velocidade de rotação




 
vP (t )  vCM (t )  vrot (t )  vCM (t )u x   (t )u z  rP
y
P
z
CM
x
vrot
C
C - ponto de
contacto


rC

vCM
R





vC (t )  vCM (t )u x   (t )u z  ( Ru y )

 vCM (t )  R (t ) u x

condição de não derrapagem cumprida para t se


vC (t )  0  vCM (t )  R (t )  u x  0 
R 2 mg
g sin    cos   t 
t
I
vCM (t )  R (t ) t
tan 

2
1  mR
I
Material de apoio : corpo rígido

Rolamento – não derrapagem: 3º exemplo

 N não realiza trabalho

 P realiza trabalho mas é conservativa

se se cumprir a condição de não derrapagem, a força de atrito não
realiza trabalho: ponto de aplicação em repouso relativamente ao
solo  para todo o t energia mecânica conserva-se
E  0  Ek  E p  constante

1
1
2
mvCM
 I
2
2
v
2


CM
R
2
 mgh 
1
I 
2 
mvCM
1  2   mgh  constante
2
R 


a energia cinética aumenta, vCM aumenta, enquanto a energia potencial
diminui, h (altura da bola) diminui

Exemplo: bola de bowling largada no topo de um plano inclinado