Resolução

A NOÇÃO
DE
FUNÇÃO
Prof.: Paulo Cesar Costa
 Problema 1:
Em uma pista circular de testes, um automóvel desloca-se com velocidade
constante. Com o auxílio de um cronômetro, marcam-se diferentes intervalos
de tempo e, em cada intervalo de tempo, verificou-se a distância percorrida
conforme tabela abaixo.
Tempo (h)
0,2
0,4
0,8
1,6
2
Distância (km)
10
20
40
80
100
a) Qual a distância percorrida quando o tempo é igual a 2,8h?
b) Qual é o tempo gasto quando a distância percorrida é 300km?
c) Qual a lei matemática que associa a distância percorrida com o tempo?
d) Podemos afirmar que a distância percorrida é função do tempo?
e) No item c podemos ter t < 0? E d < 0?
 Resolução:
a) 140km
b) 6h
c) d(t) = 50t
d) sim
e) não; não
 Problema 2:
Cada figura da sequência é formada por triângulos construídos com palitos.
figura I
figura II
figura III
figura IV
a) Construa um quadro que relacione a quantidade p de palitos e a quantidade
t de triângulos de cada figura.
b) Quantos palitos são necessários para formar a figura dessa sequência
composta de 6 triângulos? E a figura formada por 12 triângulos?
c) Escreva uma fórmula que permita calcular a quantidade de palitos em
função da quantidade de triângulos.
d) A figura formada com 41 palitos é composta de quantos triângulos?
 Resolução:
a)
t
1
2
3
4
p
3
5
7
9
b) 13 palitos; 25 palitos
c) p(t) = 2t + 1
d) 41 = 2t + 1
t = 20
 Problema 3:
Observe a sequencia.
1
2
3
4
a) Quantos quadrados tem a figura 5 dessa sequência? E a figura 6?
b) Escreva uma fórmula que expresse a quantidade de quadrados q em função
do número da figura f.
c) Calcule a quantidade de quadrados das figuras 8; 10 e 15
 Resolução:
a) 27 quadrados; 38 quadrados
b) q(f) = f2 + 2
c) q(8) = 82 + 2 = 66; q(10) = 102 + 2 = 102; q(15) = 152 + 2 = 227
 Problema 4:
Renato trabalha como garçon em um restaurante nos fins de semana. Por dia
de trabalho ele recebe R$25,00 mais 6% da quantia total gasta pelos clientes
que ele atende.
a) Quantos reais Renato receberá em um dia de trabalho se os clientes que ele
atender gastarem ao todo R$150,00? E se gastarem R$260,00?
b) Escreva uma expressão f por meio da qual seja possível calcular quanto
Renato recebeu em um dia de trabalho em que os clientes que atendeu
gastaram x reais.
c) Se um certo dia Renato recebeu R$43,00, quantos reais ao todo gastaram
os clientes que ele atendeu?
 Resolução:
a) 25 + 0,06 × 150 = 25 + 9 = 34 reais
25 + 0,06 × 260 = 25 + 15,60 = 40,60 reais
b) f(x) = 25 + 0,06x
c) 43 = 25 + 0,06x
0,06x = 18
x = 300 reais
 Problema 5:
Uma empresa de telefonia fixa oferece a seus clientes dois planos de serviços:
• Plano A: mensalidade de R$9,55 mais R$0,26 por minuto falado;
• Plano B: mensalidade de R$26,30 mais R$0,10 por minuto falado
a) Para cada um dos planos, escreva uma expressão por meio da qual seja
possível calcular o valor pago em função da quantidade x de minutos falados.
b) Se um cliente utilizar, no mês, o telefone durante 356 minutos no plano A,
quanto vai pagar? E se ele usar o plano B?
c) Em relação ao valor da fatura, a partir de quantos minutos de ligação o
plano B é mais vantajoso que o plano A?
 Resolução:
a) plano A: A(x) = 9,55 + 0,26x
plano B: B(x) = 26,30 + 0,1x
b) Plano A: A(356) = 9,55 + 0,26×356 = 102,11
Plano B: B(356) = 26,30 + 0,1×356 = 61,90
c) B(x) < A(x)
26,30 + 0,1x < 9,55 + 0,26x
x > 104,6
x ≥ 105
RELAÇÃO
 Definição:
Considere dois conjuntos não vazios A e B. Qualquer maneira de associar os
elementos de A com os elementos de B chama-se relação de A em B.
 Exemplos:
A
1
2
3
A
1
2
3
B
2
4
7
8
B
2
4
7
8
A
1
2
3
A
1
2
3
B
2
4
7
8
A
B
2
4
7
8
A
1
2
3
1
2
3
B
2
4
7
8
B
2
4
7
8
FUNÇÃO
 Definição:
Uma função de A em B (f:A→B) é uma relação em que cada elemento x do
conjunto A está associado a um único elemento y de B
 Exemplos:
B
2
4
7
8
A
1
2
3
B
2
4
7
8
1
2
3
relação
1
2
3
B
2
4
7
8
A
1
2
3
relação
B
2
4
7
8
A
1
2
3
relação
função
A
A
função
B
2
4
7
8
B
2
4
7
8
A
1
2
3
função
DOMÍNIO, CONTRADOMÍNIO, IMAGEM
E LEI DE ASSOCIAÇÃO
 Exemplo 1:
A
B
-1
0
1
2
-1
1
5
7
8
f:A→B
 Domínio:
D(f) = A = {-1, 0, 1, 2}
 Contradomínio:
C(f) = B = {-1, 1, 5, 7, 8}
 Imagem:
Im(f) = {-1, 1, 7}
 Lei de Associação:
f(x) = 2x2 - 1
Obs: Quando não estiverem explícitos o domínio e o contradomínio de uma
função admitiremos que o contradomínio é R e o domínio é R exluídos os
valores de x para os quais não vale a lei de associação.
 exemplo 2:
Obtenha o domínio de cada uma das funções:
a) f(x)  9x  3
x 3  8x
b) g(x) 
x 3
c) i(x)  x  8
d) j(x) 
x 1
x 3
 Resolução:
a) D(f) = R
b) x + 3 ≠ 0
x ≠ -3
D(g) = {xR; x ≠ -3} = R – {-3}
c) x - 8 ≥ 0
x≥8
D(i) = {xR; x ≥ 8}
d) x - 1 ≥ 0 e x – 3 ≠ 0
x≥1 e x≠3
D(j) = {xR; x ≥ 1 e x ≠ 3}
Obs: Em todos os casos do contradomínio é R.
 exemplo 3:
Seja f:R→R a função definida poela lei f(x) = 4x + 1. Calcule
f(-1) + f(0) – f(11)
 Resolução:
f(-1) = 4.(-1) + 1 = -4 + 1 = -3
f(0) = 4.0 + 1 = 0 + 1 = 1
f(11) = 4.11 + 1 = 44 + 1 = 45
Logo,
f(-1) + f(0) – f(11) = -3 + 1 – 45 = -47
 exemplo 4:
Seja f:R→R definida por f(x) = x2 - 2x – 6. Que valores do domínio
tem imgem igual a -6?
 Resolução:
f(x) = -6
x2 – 2x - 6 = -6
x2 – 2x = 0
x1 = 0 ou x2 = 2
 exemplo 5:
Sabe-se que f é uma função definida por f(x) = ax – 4, com a real
e f(3) = 11. Calcule f(-5)
 Resolução:
• f(3) = 11
a.3 – 4 = 11
a=5
Logo,
f(x) = 5x - 4
f(-5) = 5.(-5) - 4
f(-5) = -29
 exemplo 6:
Considere a função g, definida por g(x) = ax + b, com a e b reais,
g(2) = 8 e g(-2) = -4. Determine g(10).
 Resolução:
g(2)  8

g(-2)  - 4
2a  b  8

- 2a  b  - 4
a=3 e b=2
Logo,
g(x) = 3x + 2
g(10) = 3.10 + 2
g(10) = 32
 exemplo 7:
(IME) Seja f:R→R onde R é o conjunto dos números reais, tal que:
f(4)  5

f(x  4)  f(x).f(4)
O valor de f(-4) é:
a) -4/5
b) -1/4
c) -1/5
d) 1/5
e) 4/5
 Resolução:
• f(0 + 4) = f(0).f(4)
• f(-4 + 4) = f(-4).f(4)
f(4) = f(0).f(4)
f(0) = 1
f(0) = f(-4).f(4)
1 = f(-4).5
f(-4) =1/5
 exemplo 8:
Seja f uma função, tal que f(1) = a, f(π) = b e f(x + y) = f(x).f(y),
com x e y reais. Calcule f(2 + π).
 Resolução:
• f(x + y) = f(x).f(y)
f(1 + 1) = f(1).f(1)
f(2) = a2
• f(x + y) = f(x).f(y)
f(2 + π) = f(2).f(π)
f(2 + π) = a2.b