Sistemas de Partículas

Material de apoio: sistemas de partículas

Centro de massa de um sistema de partículas é o ponto

de vector posição, rCM (t ) dado por

sistema discreto com N partículas
N

rCM (t ) 

 mi ri (t )
i 1
N
 mi
N


 mi ri (t )
i 1
M
i 1
ou
N
xCM (t ) 
 mi xi (t )
i 1
M
N
; yCM (t ) 
 mi yi (t )
i 1
M
N
; zCM (t ) 
 mi zi (t )
i 1
M
Material de apoio: sistemas de partículas

Exemplo

centro de massa de um sistema de partículas 3 partículas
estacionárias num plano
m1

r1

r2
m2

rCM
CM

r3 m3


m1  1kg ; r1  2u y (m)


m2  2kg ; r2  u y (m)


m2  3kg ; r2  2u x (m)




m1r1  m2 r2  m3r3
rCM 
m1  m2  m3



2u y  2u y  6u x

(m)
6


rCM  u x (m)
Material de apoio: sistemas de partículas

Centro de massa de um sistema de partículas é o ponto

de vector posição, rCM (t ) dado por

 sistema contínio de densidade  (r )

rCM (t ) 

 r (t )dm
 dm




r (t )  (r )dV  r (t )  (r )dV




M
  (r )dV

dm   (r )dV
onde
elemento de massa
elemento de volume
ou
xCM (t ) 

 x(t )  (r )dV
M
; yCM (t ) 

 y(t )  (r )dV
M
; zCM (t ) 

 z(t )  (r )dV
M
Material de apoio: sistemas de partículas

Exemplo

disco homogéneo da raio R e centro na origem do referencial,
  constante
dm  dS
dm  dV
3D - elemento de volume
2D - elemento de superfície
R
CM
xCM
xdS   xdS  xdS  r cos rddr





2

R

dS

dS
dS



R 2
2
r dr  cosd R 2  0

0
 0

0
R 2

rCM  0
yCM
coincide com o centro geométrico
porque o disco é homogéneo
R 2
ydS   ydS  ydS  r sin  rddr





2

R

dS

dS
dS



R 2
2
r dr  sin d R 2  0

0
 0

0
R 2
R 2
Material de apoio: sistemas de partículas

Momento linear e as propriedades do CM
N

rCM (t ) 

m
r
 i i (t )
i 1
M


P(t )  MvCM (t )

N

 vCM (t ) 

m
v
 i i (t )
i 1
M
N


p
 i (t )
i 1
M

P(t )

M
momento linear total do sistema iguala o
de uma partícula com a massa total do
sistema e a velocidade do CM
taxa de variação do momento linear

N 
dP
(t )   Fiext (t )
dt
i 1
Material de apoio: sistemas de partículas

sistema isolado ou com  Fiext (t )  0
N

i 1


P  constante  vCM

P

 constante
M
Ex: dois discos em rota de colisão; as trajectórias dos discos alteram-se, mas
o CM continua a descrever a trajectória rectilínea com velocidade
constante
CM comporta-se como uma
partícula livre e move-se
com velocidade constante
CM
Material de apoio: sistemas de partículas

sistema não isolado com  Fiext (t )  0
N

i 1




d MvCM (t ) 
dP
 MaCM (t )
 Fiext (t )  dt (t )  dt
i 1
N
o centro de massa do sistema comporta-se como uma partícula com a massa
total do sistema sujeita à resultante da forças externas aplicadas do sistema
Ex: corpo projectado roda em
torno do eixo que passa pelo
CM, enquanto o CM descreve
uma parábola sob a acção da
resultante das forças aplicadas
– o peso
CM


 Fiext (t )  Mg
N
i 1
Material de apoio: sistemas de partículas

Referencial do CM – referencial solidário com o CM – S’

S
posição e velocidade das partículas no referencial do CM
Transformadas de Galileu




CM
v
S’
CM ri ' (t )  ri (t )  rCM (t )
; i  1, N



vi ' (t )  vi (t )  vCM (t )

rCM

P' (t )  0
momento linear
total do sistema
no referencial do
CM é nulo
momento linear total do
sistema no referencial do CM

N
N




P ' (t )   mi vi ' (t )   mi vi (t )  vCM (t ) 
i 1
i 1
N
N


  mi vi (t )   mi vCM (t )
i 1
i 1


 P (t )  MvCM (t )  0
Material de apoio: sistemas de partículas

Momento angular
CM

rCM
S
S’
Transformadas de Galileu



ri ' (t )  ri (t )  rCM (t )
; i  1, N



vi ' (t )  vi (t )  vCM (t )

vCM

O’
momento angular total do sistema
N



L (t )   ri (t )  mi vi (t )
i 1
O
N
calculado
relativamente a O
de S




  mi ri ' (t )  rCM (t )  vi ' (t )  vCM (t ) 
i 1




 mi ri ' (t )  vi ' (t )  L'  Lint



m
r
'
(
t
)

v
(
t
)

0

v
 ii
CM
CM (t )  0
N



rCM (t )   mi vi ' (t )  rCM (t )  0  0



 mi rCM (t )  vCM (t )  LCM
N
i 1
i 1
N
i 1
N
i 1
Material de apoio: sistemas de partículas

Momento angular
CM
S’

vCM



L(t )  Lint (t )  LCM (t )
O’
calculado relativamente a O de S

rCM
S
calculado relativamente a O’ de S’ ≡ CM
O

momento angular do CM
taxa de variação do momento angular





dLint
d ( MrCM (t )  vCM (t ))
dL
 Niext (t )  dt (t )  dt (t ) 
dt
i 1
N 
N 
N 



  N 'iext (t )  rCM (t )  MaCM (t )   N 'iext (t )  rCM (t )   Fiext (t )
N
i 1
i 1
i 1
Material de apoio: sistemas de partículas
Momento angular

CM
S’
O’
S
O


rCM

vCM
momento angular
calculado relativamente O

N 
N 

dL
(t )   N 'iext (t )  rCM (t )   Fiext (t )
dt
i 1
i 1
momentos externos calculados
relativamente a O’ ≡ CM
momento da força resultante
calculado relativamente O
conservação do momento angular

 sistema isolado Fi (t )  0, i
ext

 sistema não isolado com  N iext (t )  0
N
i 1

dL
(t )  0
dt