Teoria Centro Massa

Física em Engenharia - Prof.: João Lamesa
Centro de Massa (CM) - Teoria
Até o presente momento, estudamos a dinâmica
das partículas, fazendo uso das leis de Newton
ou analisando a energia mecânica. No entanto,
para estudar qualquer movimento mais
complicado (como, por exemplo, o de um corpo
extenso, que pode sofrer rotação), são
necessárias
simplificações,
como
obter
geometricamente um ponto que caracterize
esse movimento. Trata-se do “Centro de Massa”
do sistema físico.
Para ilustrar a importância do centro de massa,
considere o exemplo a seguir:
Quando uma pequena bola é arremessada
obliquamente, sem receber muita rotação, seu
movimento é simples: ela segue uma trajetória
parabólica, e pode ser tratada como uma
partícula. Se, em vez disso, um cilindro for
arremessado, o movimento torna-se mais
complicado. Cada parte do cilindro segue uma
trajetória diferente e não se pode representá-lo
como uma única partícula. No entanto, existe
um ponto do cilindro – seu centro de massa –
que descreve uma trajetória parabólica simples.
Os demais pontos do cilindro rotacionam em
torno de seu centro de massa.
respectivamente, nas posições dadas por:
(x1, y1, z1); (x2, y2, z2); ... ;(xN, yN, zN). A figura a
seguir ilustra a situação para uma massa
qualquer mi.
As coordenadas (xCM, yCM, zCM) do CM desse
sistemas são calculadas pelas seguintes médias
ponderadas.
x CM 
y CM 
zCM 
m1 x1  m 2 x 2  ...  mN x N
1

(m1  m 2  ...  mN )
M
N
m x
i
i
i 1
m1 y 1  m 2 y 2  ...  mN y N
1

(m1  m 2  ...  mN )
M
m y
m1 z1  m 2 z 2  ...  mN z N
1

(m1  m 2  ...  mN )
M
N
N
i
i
i 1
m z
i
i
i 1
Sendo que M = (m1 + m2 + ... + mN) é a massa
total do sistema.
Na forma vetorial, pode-se escrever o vetor
posição do CM como: rCM = xCM i+ yCM j + zCM k.
Deste modo:


1 N
rCM 
mi ri
M i 1

Enquanto o cilindro, lançado obliquamente para cima, gira,
seu centro de massa (ponto em vermelho) não gira, mas
descreve uma trajetória parabólica.
Concluindo, o centro de massa (CM) de um
sistema de partículas (como um sólido ou uma
pessoa, por exemplo) permite prever com
facilidade o movimento desse sistema. Pode-se
pensar que toda a massa do sistema está
concentrada nesse ponto. O centro de massa
não precisa coincidir com o centro geométrico.
O centro de massa nem ao menos precisa estar
dentro do corpo, como será visto mais adiante.
Cálculo do CM de um sistema de partículas
Considere um conjunto de N partículas de
massas m1; m2; ... ;mN, que se encontram,
Obs.: Com base na propriedade de simetria,
verifica-se que o CM de alguns corpos
homogêneos coincide com seus centros
geométricos, C.
Corpos Maciços
Para um objeto comum, como um taco de
beisebol, tem-se um número tão grande de
partículas (átomos) que se deve aproximar o
corpo por uma distribuição contínua de massa.
Nesse caso, as coordenadas do CM são obtidas
mediante cálculos de integrais.
A 2ª Lei de Newton para um sistema de
partículas
Considere um sistema físico com N partículas
distintas. Em geral, ao estudarmos esse
sistema, estamos interessados em caracterizálo como um todo, sem levar em conta cada uma
de suas partículas individualmente. Por isso,
analisamos o movimento de seu CM. Embora o
CM seja apenas um ponto, ele se move como
uma partícula cuja massa é igual à massa total
do sistema. Assim, podemos atribuir-lhe uma
posição, uma velocidade e uma aceleração.
Analogamente, derivando-se a expressão
anterior, obtemos a expressão da aceleração do
centro de massa ( aCM ).





m1a1  m 2 a 2  ...  mN aN
1 N
aCM 

mi ai ,
M
M i 1

sendo a i a aceleração da partícula de ordem i.

Por fim, pode-se concluir que, sendo M a massa
total de um sistema de partículas, aCM sua
aceleração e FR a força resultante de todas as
forças externas que atuam no sistema, a 2ª Lei
de Newton que descreve o movimento do CM é
dada por:
FR = M. aCM
Exemplos
1. As partículas A e B, de massas m e 2m,
respectivamente, deslocam-se ao longo do eixo
Ox, com velocidades vA = 5,0 m/s e vB = 8,0 m/s.
Qual é a velocidade do CM desse sistema?
2..Duas esferas, A e B, de massas respectivamente iguais a 0,10kg e 0,20kg, constituem
um sistema físico e não interagem entre si. Na
esfera B atua uma força externa F, constante e
de intensidade 30N.
Calcule:
a) os módulos das acelerações
de A e B.
b) o módulo da aceleração do
CM do sistema.
Na figura, o projétil descreve uma trajetória parabólica até
explodir. Depois da explosão, cada fragmento tem
trajetória diferente, mas o centro de massa do projétil de
antes da explosão mantém a trajetória parabólica.
Derivando, em relação ao tempo, a expressão
que fornece a posição rCM do CM, obtemos a
expressão para a velocidade do centro de

massa ( v CM ) de um sistema de partículas.




m1v 1  m 2v 2  ...  mN v N
1
v CM 

M
M
N

m v
i
i 1
i
,

sendo M a massa total do sistema e v i a
velocidade da partícula de ordem i.
3. As massas m1 = 3,0kg
e m2 = 1,0kg foram fixadas nas extremidades de
uma haste homogênea,
de massa desprezível de
40cm de comprimento.
Esse sistema foi colocado
verticalmente sobre uma
superfície plana, perfeitamente
lisa,
conforme
mostra
a
figura,
e
abandonado. A massa m1
colidirá com a superfície a
uma distância x do ponto
P. Qual o valor de x?