semelhança e aplicações metricas

Semelhança de triângulos e relações
métricas no triângulo retângulo
O conceito de semelhança
• Ampliando e reduzindo figuras simples:
Definição de polígonos semelhantes
• Dois polígonos são semelhantes quando
satisfazem, simultaneamente, duas condições:
– As medidas dos lados que se correspondem são
proporcionais.
– As medidas dos ângulos que se correspondem são
iguais.
Polígonos semelhantes
Polígonos semelhantes:
ângulos “iguais” e lados proporcionais.
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
Semelhança de triângulos
Polígono qualquer: corte paralelo a um dos lados determina ângulos iguais
mas lados não necessariamente proporcionais
Triângulo qualquer : corte paralelo a um dos lados determina ângulos iguais
e lados proporcionais.
Semelhança de triângulos
• A forma de um triângulo fica completamente
definida quando são conhecidos os seus
ângulos.
• Na verdade, a forma de um triângulo fica
completamente definida quando são
conhecidos 2 de seus 3 ângulos.
Semelhança de triângulos
• Ou seja, se dois triângulos possuem dois
ângulos iguais, o terceiro ângulo de ambos
também é igual.
• Neste caso, os ângulos
^
^
C  C´ 36º
Pois a soma dos
ângulos internos de
um triângulo é 180º
Semelhança de triângulos
• Se os dois triângulos possuem (dois) ângulos
iguais então, consequentemente, possuem
lados proporcionais.
Semelhança
RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO
RETÂNGULO (EXERCÍCIOS)
Relações métricas no triângulo
retângulo
Medidas:
a: hipotenusa
b: maior cateto
c: menor cateto
h: altura relativa à
hipotenusa
m: projeção do cateto b
n: projeção do cateto c
Relações métricas no triângulo
retângulo
Relações métricas no triângulo
retângulo
ABH e ΔCAH
BH HA

AH HC
n h

h m
h 2  m.n
Relações métricas no triângulo
retângulo
Caso 1 :
ABC e HAC
AB

AC
c

b
c.___  b.___
Caso 2 :
ABC e HAC
AC

BC
b

a
b 2  ___ . ___
Relações métricas no triângulo
retângulo
Caso 3 :
Caso 4 :
ABC e HBA
ABC e HAC
AB
a


AB
n
___  ___ . ___
BC

HA
c

a
___.___  ___.___
Semelhança
RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO
RETÂNGULO (GABARITOS)
Relações métricas no triângulo
retângulo
H
Relações métricas no triângulo
retângulo
ABH e ΔCAH
BH AH

HA HC
n h

h m
h 2  m.n
Relações métricas no triângulo
retângulo
Caso 1 :
ABC e HAC
AB HA

AC HC
c h

b m
c.m  b.h
Relações métricas no triângulo
retângulo
Caso 2 :
ABC e HAC
AC HC

BC AC
b m

a b
b 2  m.a
Relações métricas no triângulo
retângulo
Caso 3 :
ABC e HBA
AB
HB

BC
AB
c n

a c
c 2  n.a
Relações métricas no triângulo
retângulo
Caso 4 :
ABC e HAC
AB HA

BC AC
c h

a b
a.h  b.c
QUAL É A ÚNICA DIFERENÇA ENTRE AS IMAGENS
APRESENTADAS?
Figuras que apresentam a mesma forma, mas possuem tamanhos
diferentes, são chamadas figuras semelhantes.
APLICAÇÕES DA SEMELHANÇA
POLÍGONOS SEMELHANTES
Considere os polígonos ABCD e A'B'C'D', nas figuras:
Observe que:
• os ângulos correspondentes são congruentes:
• os lados correspondentes (ou homólogos) são proporcionais:
Podemos concluir que os polígonos ABCD e A'B'C'D' são semelhantes:
ABCD ~ A'B'D'C' (lê-se "polígonos ABCD é semelhante ao polígono A'B'D'C' ")
Dois polígonos são semelhantes quando os ângulos correspondentes são
congruentes e os lados correspondentes são proporcionais.
A razão entre dois lados correspondentes em polígonos semelhante
denomina-se razão de semelhança, ou seja:
Obs: A definição de polígonos semelhantes só é válida quando ambas as
condições são satisfeitas: Ângulos correspondentes congruentes e lados
correspondentes proporcionais. Apenas uma das condições não é
suficiente para indicar a semelhança entre polígonos.
PROPRIEDADES:
Se dois polígonos são semelhantes, então a razão entre seus perímetros é
igual à razão entre as medidas de dois lados homólogos quaisquer
dos polígonos.
Os perímetros desses polígonos podem ser assim representados:
•Perímetro de ABCDE (2p) = AB + BC + CD + DE + EA
•Perímetro de A'B'C'D'E' (2p') = A'B' + B'C' + C'D' + D'E' + E'A'
Exemplo:
Os lados de um triângulo medem 3,6 cm, 6,4 cm e 8 cm. Esse triângulo é semelhante a um
outro cujo perímetro mede 45 cm. calcule os lados do segundo triângulo.
Solução
Logo, os lados do segundo triângulo são 9cm, 16cm e 20cm.
Observe os triângulos ABC e RST da figura:
Comparando esses triângulos, é possível perceber que eles têm a mesma forma,
sendo um deles ampliação ou redução do outro. Em geometria dizemos que eles são
triângulos semelhantes.
Dois triângulos são semelhantes quando têm:
Os ângulos respectivamente congruentes;
Os lados correspondentes (são os lados opostos ao mesmo ângulo) proporcionais.
Em relação aos triângulos anteriores, a razão de semelhança do menor triângulo
para o maior é:
3 4 3,5 1
 
  razão de semelhança
6 8
7
2
Obs.: Se a razão de semelhança de dois triângulos é 1, esses triângulos são
congruentes
EXERCÍCIOS:
1. Um edifício projeta uma sombra de 10 metros, e um poste de 12
metros projeta uma sombra de 4 metros. Qual a altura do edifício,
sabendo que ele e o poste são perpendiculares.
x
10

12
4
4x = 120
X = 30
Se uma reta paralela a um dos lados de um triângulo intercepta os outros dois lados em
pontos distintos, então o triângulo que ele determina é semelhante ao primeiro.
EXERCÍCIOS:
2. Na figura, temos DE // BC.
a) Qual o valor de x?
b) Qual o valor de y?
c) Qual o perímetro do ∆ ABC?
d) Qual o perímetro do ∆ ADE?
CASO PARTICULAR DE SEMELHANÇA
Para saber se dois triângulos são semelhantes não é necessário examinar
todos os lados e todos os ângulos.
Se dois triângulos possuem dois ângulos correspondentes congruentes, então eles
são semelhantes.
Dois triângulos congruentes → Triângulos semelhantes → Lados proporcionais