Seminário: Um passeio pelos números primos

Prof. Enio Lima
UECE-FECLI
O que é mesmo um número primo????
Um número inteiro p > 1 é dito ser um número
primo se seus únicos divisores positivos são o
1 e próprio p.
Exemplos (clássicos): 2,3,5,7,...,43,89 , etc...
Um número inteiro p > 1 que não é primo é dito
composto.
Possível origem
1) O número 1 era chamado de
unidade (monad, do grego).
2) Demais números : 2 (dyad),3,4,8,
etc... arithmós, do grego.
3) 2,3,5,7,11, etc.. eram chamados de
protoi arithmói.
4) Deuterói arithmói: números que
podem ser gerados pelo produto
protoi arithmói: 4,6,24,66,etc..
Pitágoras de Samos (580-497
a.C) Profeta, místico, filósofo,
astrônomo e matemático grego.
Livros influentes
Os Elementos de Euclides
cerca. 300 AC.
A Aritmética de Nicômaco
cerca de 100 dC.
Livros influentes
O De Institutione Arithmetica,
do romano Boécio cerca
de 500 dC.
O Liber Abacci, do italiano Fibonacci em
torno de 1200 dC.
O Teorema Fundamental da Aritmética
“Todo inteiro positivo composto se fatora de
maneira única como um produto de números
primos.”
Euclides de Alexandria
(360 a.C. — 295 a.C.)
Os números primos são finitos?
“Há uma infinidade de números primos”
Euclides de Alexandria
(360 a.C. — 295 a.C.)
A demonstração de Hermite
Prova: para cada número natural n>1
defina x(n)=n!+1. Como x(n) é um número
natural (para cada n natural) , então existe
um primo p fator de x(n). Esse primo p não
pode dividir um número menor do que ou
igual a n, pois neste caso, dividiria n! e daí,
dividiria x(n)-n!=1
Conclusão: dado qualquer natural n>1,
sempre existe um primo p > n, ou seja :
Há uma infinidade de números
primos!
Charles Hermite (1822 —1901) foi um
matemático francês.
Descobrindo primos – O crivo de
Eratóstenes (276 a.C. —
194 a.C.), foi um matemático,
bibliotecário e astrônomo grego
Sobre a distribuição dos primos
1) Como vimos no crivo existem 29 números primos entre 1 e
120
2) Existem 9 números primos entre 9 999 900 e 10 000000
9 999 901
9 999 937
9 999 991
9 999 907
9 999 943
9 999 929
9 999 971
9 999 931
9 999 973
3) Mas já entre os cem números seguintes , 10 000000 até
10 000 100, existem apenas
10 000 019
e
2:
10 000 079
Sobre a distribuição dos primos Gauss e Legendre
Johann Carl Friedrich Gauss
(1777-1855)
matemático alemão
Adrien-Marie Legendre (1752 – 1833)
foi um matemático francês
Sobre a distribuição dos primos – O Teorema dos
números primos
Charles Poussin (1866-1962 ) matemático
belga
Jacques Hadamard (1865-1963 ) matemático
francês.
Em 1949, Erdös (1913-1996) e Selberg (1917-),
independentemente , demonstraram o Teorema dos
Números Primos sem apelo à teoria analítica dos
números.
Sobre a distribuição dos primos
alguns valores
x
pi(x)
x/log x
1000
168
145
10000
1229
1086
100000
9592
8686
1000000
78498
72382
10000000
664579
620420
100000000
5761455
5428681
Um pouco sobre os números de:
Pierre Fermat (1601 – 1665)
matemático e cientista francês.
1.238.926 .361.552.897 × 93.461.639 .715.357.977
.769.163.558 .199.606.896 .584.051.237 .541.638.188
.580.280.321
Um pouco sobre os primos de:
Marin Mersenne (1588 - 1648) foi um
matemático, padre ,teólogo e filósofo
francês.
Números perfeitos e os primos de Mersenne
Um número se diz perfeito se é igual à soma de seus divisores
próprios.
Exemplo: 6 é perfeito, pois 1+2+3=6.
• A última proposição do nono livro dos Elementos de Euclides
prova que se 2n-1 é um número primo então 2n-1 . 2n-1 é um
número perfeito, e estes números são pares. Euler provou que
todo número perfeito par tem essa forma.
• Não se conhecem actualmente números perfeitos ímpares e
conjectura-se, com fortes indícios experimentais, que não existe
nenhum.
Alguns Primos de Mersenne
219-1= 524287
2⁶¹-1= 2305843009213693951
2⁸⁹-1= 618970019642690137449562111
2¹⁰⁷-1= 162259276829213363391578 010288127
2⁵²¹-1=
6864797660130609714981900799081393217269435300
1433054093944634591855431833976560521225596406
61454554977296311391480858037121987999716643812
574028291115057151
2⁶⁰⁷-1= 531 137992816 767098689 588206552
468627329 593117727031923199444138200
403559860 852242739 162502265 229285668
889329486 246501015 346579337 652707239
409519978 766587351 943831270 835393219
031728127
10 maiores primos de
Mersenne já encontrados até
2009
Primo de Mersenne
Dígitos
1) 243112609-1
12.978.189
2) 242643801-1
12.837.064
3) 237156667-1
11.185272
4) 232582657-1
9.808.358
5) 230402457-1
9.152.052
6) 225964951-1
7.816.230
7) 224036583-1
7.235.733
8) 220996011-1
6.320.430
9) 213466917-1
4.053.946
10) 26972593-1
2.098.960
47(2008)
46(2009)
45(2008)
44(2006)
43(2005)
42(2005)
41(2004)
40(2003)
39(2001)
38(2007)
Os primos de:
Sophie Germain (1776 —1831)
matemática francesa
Um primo p é dito ser um primo
de Sophie Germain quando p e
2p+1 são primos.
Exemplos:
1) 3 é um deles pois: 3 e 2 .3+1=7 são
primos.
2) 5 é um deles pois: 5 e 2 .5+1=11 são
primos
05 maiores primos de Sophie
Germain já encontrados até 2009
Dígitos
1) 48047305725·2172403-1
51.910
47(2007)
2) 137211941292195·2171960-1
51.780
46(2006)
3) 33759183·2123458-1
37.173
45(2009)
4) 7068555·2121301-1
36.523
44(2005)
5) 2540041185·2114729-1
34.547
43(2003)
Alguns testes de primalidade
•
•
•
•
•
•
•
•
91 é composto
9901 é primo
999001 é composto
99990001 é primo
9999900001 é composto
999999000001 é primo
99999990000001 é composto
9999999900000001 é primo
1) Um primo com 1240 dígitos
2000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000
0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000
0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000
0000000000 0000003000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000
0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000
0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000
0000000000 0050000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000
0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000
0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000
0000000070 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000
0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000
0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000
0000110000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000
0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000
0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000
0130000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000
0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000
0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000017
2⋅10²⁷-1= 1999999999999999999999999999.
1111222233334444555566667777888899967
888899967.
311311311311311311311311311311311
311311311311311311311311311311
311311311311311311311311311311
3113113113.
Alguns problemas em aberto sobre Primos
Observem os primos: 13,17,29,37,41 e 341
Todos eles são da forma 4k+1, vejam:
Todos eles são soma de quadrados de dois inteiros,
vejam:
Demonstração:
c.q.d
Relembrem!!!
Conclusão:
é irracional!!
Vendo geometricamente:
Conclusões: