fatoração e produtos notaveis

Matemática Básica
Fatoração e Produtos Notáveis
Fatoração
O que precisa para aprender a Fatorar?
Você deve saber multiplicar polinômios
(

2ax2
2x
+

- 8xy
3y2
)  ( ax -4y


+ 2x4
+3axy2
+x3

-12y3
)

+3x3y2
2ax2 - 8xy + 2x4 + 3axy2 - 12y3 + 3x3y2
Fatoração
Você deve saber Potenciação:
O que significa cada número na Potência?
Mn = M M M M M M M …  M
n Veces
Multiplicar Potências
2ax2  6bx7 = 2  6  ax2

bx7 = 12abx9
Dividir Potências
2ax2
: 6bx7
=
2ax
6bx
2
7
=
a
3bx
5
Fatoração
O que significa Fatorar?
Escrever uma expressão Algébrica como
multiplicação de fatores Simples.
FATOR COMUM MONÔMIO:
• Fatorar Números:
4ay2
+
6bx7 =
M.C.D.
Divisores de 4: 1, 2, 4
Divisores de 6: 1, 2, 3, 6
2 ( 2 ay2 + 3bx7 )
Para Verificar a Fatoração
devemos multiplicar os
polinômios
!
Fatoração
FATOR COMUM MONÔMIO:
• Fatorar Números: Frações
4ay2
__
+ __
6bx7
=
25
15
M.C.D.
Divisores de 4: 1, 2, 4
Divisores de 6: 1, 2, 3, 6
Divisores de 15: 1, 3, 5,15
Divisores de 25:
1, 5, 25
2
__
( 2 ay2 + 3bx7 )
5
Para Verificar a Fatoração
devemos multiplicar os
polinômios
Numeradores
Denominadores
!
Fatoração
FATOR COMUM MONÔMIO:
• Fatorar letras:
x3y2
x3
yx7 =
+
y
( y + x4 )
Para Verificar a Factoração
devemos multiplicar os
polinômios
M.D.C.: Corresponde ao de menor exponente
!
Fatoração
FATOR COMUM MONÔMIO:
Muito parecido ao anterior mas agora fatoraremos por um polinômio
(x + 2y)3y2
+
y(x + 2y)7 =
(x + 2y)3
y
y + (x + 2y)4
Para Verificar a Fatoração
devemos multiplicar os
polinômios
M.D.C.: Corresponde ao de menor exponente
!
Fatoração
Aplicação do que já vimos…
Exemplo 1:
Outra Forma de entender o mesmo
18a3x4
Também
significa
+
24a5x2
+
12x3a7 =
18 aa a xx xx 24aaaaaxx 12 xxxaaaaaaa
6
Um Número
que divida a
todos m.d.c
a3
x2
Dos términos
eliminamos a3
Dos términos
eliminamos x2
O Maior
3x2 + 4a2 + 2xa4
Observe que a expressão do parênteses não pode seguir FACTORANDO
Fatoração
Aplicação do que já vimos…
Exemplo 2:
12(a - b)3(x + y)4
6
+
(a - b)3
6(y + x)2(a - b)7 =
(y + x)2
2(x + y)2 + (a – b)4
Quadrado do Binômio
(a  b)  a  2ab  b
2
2
(a  b)  a  2ab  b
2
2
2
2
(a  b)2  a 2  2ab  b2
b
a
a
a
(a + b)2 = a2 + ab + ab + b2
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
b
b
b
a
(a  b)2  a 2  2ab  b2
(a - b)2 = a2 - [b2 + (ab – b2) + (ab – b2) ]
a
(a - b)2 = a2 – [2ab – b2]
(a – b2) = a2 – 2ab + b2
b2
b
b
a-b
a-b
ab – b2
(a – b)2
a
Diferença de Quadrados
a-b
a2 – b2 = (a + b) (a – b)
b
a-b
a
a+b
Multiplicação de binômios com um
término comum
(x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab
x
a
x
x2
ax
b
bx
ab
x
a
(x + a) (x + b) = x2 + ax + bx + ab
(x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab
x
b
Cubo do Binômio
(a  b)  a  3a b  3ab  b
3
3
2
2
3
(a  b)  a  3a b  3ab  b
3
3
2
2
3
Cubo do Binômio (a + b)3
b
a
Cubo do Binômio (a - b)3
b
a-b
a
(a – b)3 = a3 - 3a2 b + 3ab2 - b3
a
a
b
a-b
b
b
a-b
b(a –b)2
b(a2 -2ab + b2)
a2b
a2 b – 2ab2 + b3
ab(a-b)
a2b – ab2
Diferença de Cubos
3
a
–
3
b
= (a – b)
2
(a
+ ab +
2
b)
a
3
a
a
a
b
a
a
a-b
a
a-b
b
a-b
b
3
a
3
b
(a – b ) ab
a3 - b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)
(a – b ) a2
(a – b ) b2