os conjuntos numéricos

CONJUNTOS NUMÉRICOS
CONJUNTOS NUMÉRICOS
O conceito de número foi evoluindo ao
longo dos tempos, tendo-se criado novos
números para responder a problemas
entretanto surgidos.
CONJUNTOS NUMÉRICOS
NATURAIS
INTEIROS
RACIONAIS
REAIS
CONJUNTOS NUMÉRICOS
NÚMEROS NATURAIS
7
Estes números foram criados
6
pela necessidade prática de
contar as coisas da natureza,
por isso são chamados de
5
números naturais.
1
2
3
4
CONJUNTOS NUMÉRICOS
NÚMEROS NATURAIS
A representação matemática deste conjunto é:
IN = {1, 2, 3, 4, 5, ... }
NÚMEROS INTEIROS
• Os números naturais não permitiam a
resolução de todas as operações. A subtracção
de 3 - 4 era impossível.
• A ideia do número negativo, aparece na
Índia, associada a problemas comerciais que
envolviam dívidas.
• A ideia do número zero surgiu também nesta
altura, para representar o nada.
NÚMEROS INTEIROS
A representação matemática deste conjunto é:
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
NÚMEROS RACIONAIS
Entretanto...surgiu outro tipo de problema:
“ Como dividir 3 vacas por 2 herdeiros? “
Para resolver este tipo de problemas foram
criados os números fracionários. Estes
números juntamente com os números inteiros
formam os racionais.
NÚMEROS REAIS
Os pitagóricos ao determinar a
medida do comprimento da
diagonal de um quadrado de lado
unitário, não conseguiram
encontrar um número racional para
essa medida, surgindo dessa forma
os números reais.
Quando andas de elevador
utilizas os números para subir e
descer indicando o andar a que
pretendes chegar, ou seja, estás a
usar alguns elementos do
conjunto dos números inteiros
Apartamento
4
Escritórios
3
Cabeleireiro
2
Restaurante
1
Boutique
0
Ginásio
?
Garagem
?
Lavagem
Automática
?
A senhora que vai ao
cabeleireiro carrega no botão ...
Apartamento
4
Escritórios
3
Cabeleireiro
2
?
Restaurante
1
Boutique
0
Ginásio
?
Garagem
?
Lavagem
Automática
?
Qual te parece ser
o andar do ginásio?
Apartamento
4
Escritórios
3
Cabeleireiro
2
Restaurante
1
Boutique
0
Ginásio
-1
?
Garagem
?
Lavagem
Automática
?
Apartamento
4
Escritórios
3
Cabeleireiro
2
Restaurante
1
Boutique
0
Ginásio
-1
Garagem
-2
?
Lavagem
Automática
?
E o andar da garagem?
13
31 de maio de 2017
E o andar das
lavagens automáticas?
Apartamento
4
Escritórios
3
Cabeleireiro
2
Restaurante
1
Boutique
0
Ginásio
-1
Garagem
-2
Lavagem
Automática
-3
?
REPRESENTAÇÃO NA RETA NUMÉRICA
• Os números relativos – positivos, negativos ou o zero
– podem ser representados numa recta por meio de
pontos.
• Consideremos uma recta r e marquemos sobre ela um
ponto O, a que chamamos origem.
• Escolhemos uma unidade de medida e um sentido
positivo (por exemplo da esquerda para a direita).
Desta maneira obtemos um eixo ou reta numérica.
O
-
1
r
+
REPRESENTAÇÃO NA RETA
Se quisermos marcar o ponto A correspondente ao número
+5, contamos 5 unidades para a direita de O.
-
O
+1
+5
+
A
Se quisermos marcar o ponto B correspondente ao número
-3, contamos 3 unidades para a esquerda de O.
-
-3
B
O
+1
+
REPRESENTAÇÃO NA RETA
O número que corresponde a um ponto do eixo chamamos
abcissa desse ponto.
-
-3
O
+1
+5
A
B
A abcissa de B é -3
A abcissa de A é +5
A origem tem abcissa zero.
+
ORDENAÇÃO
•Quando dispostos sobre um eixo, os números relativos
encontram-se ordenados.
•Se o eixo é horizontal e orientado da esquerda para a
direita, um número é tanto maior quanto mais para a
direita se encontrar.
-3
-2
-1
0
1
2
Cada vez maior
3
4
5
ORDENAÇÃO
Vemos, por exemplo, que +5 é maior que +2 e para indicar
este facto escrevemos:
+5>+2
Também se pode dizer que + 2 é menor que + 5 e escrever:
+2 <+ 5
Isto é, se
-3
-2
então
a>b
-1
0
1
b < a
2
•
3
4
5
•
ORDENAÇÃO
Da observação da posição relativa de dois números num
eixo resultam algumas regras para comparar dois números
diferentes:
•Qualquer número positivo é maior do que zero.
+ 0,012 > 0
•Zero é maior que qualquer número negativo.
0 > - 35
•Qualquer número positivo é maior do que qualquer
negativo.
+1 > - 35
+ 0,5 > ;- 100
VALOR ABSOLUTO (OU MÓDULO)
Consideremos agora os pontos A e B, sendo que A tem
abcissa + 3 e B tem abcissa – 2.
-3
-2
-1
0
1
2
B
3
4
5
A
2
3
A distância do ponto A à origem é 3.
A distância do ponto B à origem é 2.
A essa distância chamamos valor absoluto ou módulo.
VALOR ABSOLUTO (OU MÓDULO)
Assim dizemos que o valor absoluto (ou módulo) de +3 é
igual a 3 e escrevemos:
+3 = 3
Portanto, temos ainda que
-2 = 2
Valor absoluto (ou módulo) de um número é a distância à
origem do ponto que representa esse número.
Naturalmente, temos que o valor absoluto de zero é igual a
zero:
0 = 0
NÚMEROS SIMÉTRICOS
Relativamente à origem da reta, é sempre possível encontrar
dois pontos que se encontram à mesma distância.
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Por exemplo, os pontos de abcissas – 4 e 4 têm a mesma
distância à origem, ou seja,
- 4 =
4
Dizemos então que – 4 e 4 são números simétricos.
NÚMEROS SIMÉTRICOS
•Dois números dizem-se simétricos se tiverem sinais
contrários e o mesmo valor absoluto.
Exemplos de números simétricos:
- 0,3 e 0,3
porque
1 e -1
porque
- 0,3 = 0,3
1
= -1
Nota que o simétrico do número zero é o próprio número
zero:
0
=
0
NÚMEROS SIMÉTRICOS
•Observação
1. De dois números positivos o maior é o que tem maior
valor absoluto (está mais longe da origem).
Exemplos:
+ 0,5 > + 0,1
+ 100 > + 40
2. De dois números negativos o maior é o que tem menor
valor absoluto (está mais perto da origem).
Exemplos: - 3 > - 50
- 0,01 > - 10
Números Simétricos
Simplificação da escrita
Na reta também se escreve 1, 2, 3,..., em vez de +1,+2,+3,...
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
Também:
+ (+ 8) = + 8
+ (- 8) = - 8
Não é obrigatório escrever o sinal +
4
NÚMEROS SIMÉTRICOS
Na reta numérica o maior dos números encontra-se à
direita do menor.
-4
-3
-2
-1
0
-2 é maior que - 4
2 é maior que - 1
2>- 1
1
2
3
- 2> - 4
ou
- 1 é menor que 2
- 1< 2
> maior
4
< menor