FME / PDE

FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA
ELEMENTAR
Prof. João Candido Bracarense Costa, Dr.
Sumário
 Números Reais e Funções
 Logaritmo e Exponencial
 Trigonometria
 Polinômio
 Análise Combinatória
 Aula prática: DCM - Conteúdos
Estruturantes x Encaminhamento
Metodológico
FME / PDE
DCM: Conteúdos Estruturantes x
Encaminhamento Metodológico
Data: 06/07/2007
Data: 29/06/2007
Pela manhã
Pela manhã
 G7
3
 G7 ; Cruzeiro do Oeste e
Foz do Iguaçu
3
 Palestra do Mestrado em
Educação Matemática
 Aula de Trigonometria
FME / PDE







G7
Foz e 3 Barras
Goioerê
Chico
Toledo
Josemara
Clarice
3
4
3
2
2
1
1
Conteúdos:
Funções
 Relações
 Funções
 Funções do 1º Grau
 Função Quadrática
 Função Modular
 Função Composta – Função Inversa
FME / PDE
Relações
 Par Ordenado – conceito primitivo
(a, b) = (c, d)  a = c e b = d
 Sistema Cartesiano Ortogonal
 Teorema: entre o conj. de pontos P do pl cartesiano e o
conj. dos pares ordenados (xp, yp) de números reais
existe uma correspondência biunívoca.
 Produto Cartesiano
 Def: Sejam A e B dois conjs. não vazios. Denominamos
PC de A por B o conj. A X B cujos elementos são todos
pares ordenados (x, y), x elto A e y de B.
 A X B = {(x, y)/ x X A e y X B}
FME / PDE
Relações
 Relação Binária
R é relação binária de A em B  R T A X B
-
x X D   y X B/(x, y) X R
-
y X Im   x X A/(x, y) X R
 Relação Inversa
- (y, x) X R-1  (x, y) X R
FME / PDE
Funções
f é função de A em B

 x X A , ! y X B/ (x, y) X f
Domínio (Imagem): D (Im) é o conj. das abscissas
(ordenadas) dos pontos tais que as retas verticais
(horizontais) conduzidas por esses pontos
interceptam o gráfico de f, i. e., é o conj. formado por
todas as abscissas (ordenadas) dos pontos do gráfico
f.
Def. Duas funções, f de A em B e g de C em D são iguais
sss A = C, B = D e f(x) = g(x) para todo x X A
FME / PDE
Inequações
 Def.: Sejam as funções f(x) e g(x) com domínio D1 e
D2 contidos no conj. dos Reais. Inequação na
incógnita x é qq uma das sentenças abertas:
f(x) > g(x)
f(x) < g(x)
f(x) P g(x)
f(x) O g(x)
 Domínio de validade da inequação f(x) < g(x) é o conj.
D = D1 W D2, onde D1 é domínio da f e D2 da g.
Assim, para todo ponto x0 XD, estão definidos f(x0) e
g(x0).
FME / PDE
Inequações
 O número real x0 é solução da inequação f(x) > g(x)
sss é verdadeira a sentença f(x0) > g(x0)
 O conjunto S de todos os números reais x tais que
f(x) > g(x) é uma sentença verdadeira, chamamos de
conjunto-solução da inequação.
 Diz-se que duas Inequações são equivalentes em D
nos reais se o conjunto-solução da primeira é igual ao
conjunto-solução da segunda.
FME / PDE
Inequações
 Princípio 1.
Sejam as fç f(x) e g(x) definidas em D1 e D2,
respectivamente. Se a função h(x) é definida em
D1 W D2, as inequações
f(x) < g(x) e f(x) + h(x) < g(x)+ h(x)
são equivalentes em D1 W D2.
FME / PDE
Inequações
 Princípio 2. Sejam as fç f(x) e g(x) definidas em D1 e
D2, respectivamente. Se a função h(x) é definida em
D = D1 W D2 e tem sinal constante, então:
(i) Se h(x) > 0, as inequações
f(x) < g(x) e f(x) . h(x) < g(x). h(x), são equivalentes em D
(ii) Se h(x)< 0, as inequações
f(x) < g(x) e f(x) . h(x) > g(x). h(x), são equivalentes em D
FME / PDE
Funções do 1º Grau
 Função Constante
f : R YR
xYc
 Função Linear
f:
R YR
xYax, a K 0
 Função Afim
f:
R YR
xYax + b, a K 0
FME / PDE
Funções do 1º Grau
 Função Afim
-
Gráfico
Coeficientes da função
Zero da função
Funções Crescentes e Decrescentes
Sinal da função
FME / PDE
Inequações Simultâneas
 f(x) < g(x) < h(x)
=>
f(x) < g(x)
g(x) < h(x)
Inequações Produto/Quociente
 f(x) . g(x) > 0
(f(x) e g(x) > 0) ou (f(x) e g(x) < 0)
 f(x) . g(x) < 0 ; f(x) . g(x) P 0; f(x) . g(x) O 0
FME / PDE
Função Quadrática
 Função Quadrática
f : R YR
x Y ax2 + bx + c, a K 0
-
Gráfico
Concavidade
Forma Canônica
Zero de função
Máximo e mínimo
Vértice da parábola e Imagem
Eixo de simetria
Sinal
FME / PDE
Inequação do 2º Grau
-
ax2 + bx + c > 0
ax2 + bx + c < 0
ax2 + bx + c P 0
-
ax2 + bx + c O 0
Função Modular
-
Definição de módulo
Propriedades
Função
FME / PDE
-
Equações modulares
Inequações modulares
Função Composta – Função Inversa
Def.: Seja f uma fç de um conj. A em um conj. B e
seja g uma fç de B em um conj. C; chama-se fç
composta de g e f à fç h de A em C definida por:
h(x) = g(f( x ))
para todo x em A.
h(x) = (g o f)(x) = g(f( x ))
FME / PDE
Função Composta – Função Inversa
f: A Y B
f é sobrejetora   y, y X B , x, x X A/ f(x)=y
f é sobrejetora  Im (f) = B
f: A Y B
f é injetora   x1, x1 X A ,  x2, x2 X A
(x1 K x2) => f(x1) K f(x2)
f: A Y B
f é bijetora   y, y X B , ! x X A / f(x)=y
Teo:Seja f: A Y B. A relação inversa f -1 é uma fç de B
em A sss f é bijetora.
FME / PDE
Sumário
 Números Reais e Funções
 Logaritmo e Exponencial
 Trigonometria
 Polinômio
 Análise Combinatória
 Aula prática: DCM - Conteúdos
Estruturantes x Encaminhamento
Metodológico
FME / PDE
Conteúdos:
Logaritmo e Exponencial
 Potências e Raízes
 Função Exponencial
 Logaritmos
 Função Logarítmica
 Equações Exponenciais e Logarítmicas
 Inequações Exponenciais e Logarítmicas
 Logaritmos Decimais
FME / PDE
Potências e Raízes
DEF.: Dado um número real a natural.
Potência de base a e expoente n é o
número an tal que:
a0 = 1, para a K0
an = an-1.a, n P 1
DEF.: Dado um número real a não nulo, e
um número n natural, define-se a potência
a-n pela relação: a-n = 1/an
FME / PDE
Potências e Raízes
DEF.: Dados um número real não negativo, a, e um n
natural, demonstra-se que existe sempre um real
positivo ou nulo b tal que bn = a.
b = raiz n-ésima aritmética de a
a = radicando e n = índice
OBS.: [¬n/(a)]n = a; ¬/36 = 6
não é (- 6);
¬/a2 = !a!; Assim, ¬/x2 = !x!
e, ¬/(x-1)2 =
= !x-1! = x – 1, se x > 1; 0, se x = 1; 1 – x, se x < 1
Propriedades: página 20
FME / PDE
Função Exponencial
DEF.: Dado um número real a, tal que a
seja maior que zero e diferente de 1,
diz-se função exponencial de base a a
função f de R em R (conj dos reais)
que associa a cada x real o número ax.
Propriedades: pág 23 a pág 29
FME / PDE
Função Exponencial
Imagem => Im = reais positivos
Gráfico: y=ax (a > 1) , fç crescente
(0< a <1), fç decrescente
FME / PDE
Equações Exponenciais (EE)
DEF.: EE são equações com incógnita no
expoente.
Exemplo 1: 2x = 64
Exemplo 2: 4x – 2x = 2
Exemplo 3: 2x = 3
Método da redução a uma base comum
Exs 1 e 2
FME / PDE
Inequações Exponenciais (IE)
DEF.: IE são as inequações com incógnita
no expoente.
Exemplo 1: 2x > 32
Exemplo 2: 4x – 2 = 2x
Método da redução a uma base comum
Se b e c são números reais então:
a > 1 => ab > ac <=> b > c
0 < a < 1 => ab > ac <=> b < c
FME / PDE
Logaritmos
DEF.: se a e b são números reais e
positivos, com a diferente de 1, chama-se
logaritmo de b na base a, o expoente que
se deve dar à base a de modo que a
potência obtida seja igual a b
(logaritmando ou número).
 a, b  R, 0  a  1 e b  0, então
log a b  x  a  b
x
FME / PDE
Logaritmos
Conseqüência da definição:
loga b
log a 1  0; log a a  1; a
b
log a b  log a c  b  c
Sistemas de
Mudança de Base
Logaritmos:
- Propriedades
- decimal
- Conseqüências
- Neperiano
pág 64
Prop: pág 56
FME / PDE
Função Logarítmica
DEF.: Dado um número real a, positivo
e diferente de 1, chamamos de
função logarítmica de base a a
função f de R*+ em R que associa a
cada x o número: log a x
Propriedades: pág 69 a pág 71.
Imagem: Im = R
Gráfico: fç crescente e fç decrescente
FME / PDE
Equações Exponenciais
Se 0  a  1 e b  0, tem - se :
a  b  x  log a b
x
Exemplo:
2 x  3  x  log 2 3
S  {log 2 3}
FME / PDE
Equações Logarítmicas
1º Tipo:
pág. 79 Se 0  a  1 então
log a f ( x)  log a g ( x)  f ( x)  g ( x)  0
2º Tipo:
pág. 80
Se 0  a  1 e   R então
log a f ( x)    f ( x)  a
3º Tipo: são as equações que resolvemos fazendo
inicialmente uma mudança de incógnita. pág. 81
FME / PDE
Inequações Exponenciais
IE que não podem ser reduzidas a uma
desigualdade de potências de mesma base.
Se a x  0, b  0 e 0  c  1, tem - se :
x

log
a
 c  log c b se c  1
x
( I) a  b  
log c a x  log c b se 0  c  1
x

log
a
 c  log c b se c  1
x
(II) a  b  
log c a x  log c b se 0  c  1
FME / PDE
Inequações Logarítmicas
1º Tipo:
pág. 97
2º Tipo:
pág. 100
 f ( x)  g ( x)  0 se a  1

log a f ( x)  log a g ( x)  
ou
0  f ( x)  g ( x) se 0  a  1

 f ( x)  a k se
log a f ( x)  k  
0  f ( x)  a k
0  f ( x)  a k
log a f ( x)  k  
 f ( x)  a k se
3º Tipo: idem
a 1
se 0  a  1
se a  1
0  a 1
pág. 101
FME / PDE
Logaritmos Decimais
 Característica
- Regra 1: (x > 1): A caract. do logaritmo decimal
de um número x > 1 é igual ao número de
algarismos de sua parte inteira, menos 1.
Exemplo: log 2,3 => c = 0; log 23 => c = 1
- Regra 2: (0 < x < 1): a caract é o oposto da qt
de zeros que precedem o primeiro algarismo
significativo.
Exemplo: log 0,2 => c = -1; log 0,00053 => c = -4
FME / PDE
Logaritmos Decimais
 Mantissa
- Obtida nas tábuas de logaritmos.
- Propriedade: A mantissa do logaritmo decimal
de x não se altera se multiplicarmos x por uma
potência de 10 com expoente inteiro.
Assim, os logaritmos decimais dos números 2; 20;
200; 2000; 0,2; 0,002 tem todos a mesma
mantissa 0,3010; mas as caract. são, resp, 0;
1; 2; 3; -1; -3.
FME / PDE
Sumário
 Números Reais e Funções
 Logaritmo e Exponencial
 Trigonometria
 Polinômio
 Análise Combinatória
 Aula prática: DCM - Conteúdos
Estruturantes x Encaminhamento
Metodológico
FME / PDE
Conteúdos:
Trigonometria
 Arcos e Ângulos
 Funções Circulares
 Relações Fundamentais
 Redução ao 1º Quadrante
 Transformações
 Equações
 Inequações
FME / PDE
Arcos e Ângulos
 Arcos de Circunferência
DEF.: Dados 2 pts distintos A e B sobre uma
circunf, esta fica dividida em duas partes.
Cada uma dessas partes, que incluem A e
B, é denominada arco de circunferência
AB
 Medidas de Arcos => identificação de
uma unidade, cujo raio é idêntico aos
arcos a serem comparados.
FME / PDE
Arcos e Ângulos
 Unidades: Grau e Radiano.
- Grau ( º) é um arco unitário igual a 1/360
da circunf. que contém o arco a ser
medido.
- Radiano (rad) é um arco unitário cujo
comprimento é igual ao raio da circunf.
que contém o arco a ser medido.
FME / PDE
Arcos e Ângulos
Relação entre as
duas medidas
360º  2 rad
180º   rad
Medidas de Ângulos: l = compr. arco AB, r raio da circunf.
l

r
FME / PDE
( em radianos )
Funções Circulares
Ciclo trigonométrico => r = 1, e o comprimento
da circunf. é 2
Noções Gerais:
- Eixos dos cossenos u e dos senos v
- Sentido (> 0) ; (< 0) e 4 quadrantes
DEF.: Uma fç de A em B é periódica se existir
um número p > 0 tal que f(x+p) = f(x)
Identificação das funções circulares no ciclo
trigonométrico: sen, cos, tg, cot, sec, cosec.

FME / PDE
Relações Fundamentais
sen x  cos x  1  Pitágoras
2
2
sen x
tg x 
cos x
1
sec x 
cos x
FME / PDE
cos x
cot x 
sen x
1
cos ec x 
sen x
Relações Fundamentais
k
x  R, x 
2
1
cot x 
tg x
tg 2 x  1  sec 2 x
cot x  1  cos ec x
2
2
2
tg
x
2
sen x 
1  tg 2 x
FME / PDE
1
cos x 
1  tg 2 x
2
Relações Fundamentais
Identidades:
f  g  f ( x)  g ( x),  x  D1  D2
Passos para provar indentidad e :
1. transforma - se um membro da identidade noutro
2.
f  h
f g
g  h
3.
f g 0 f g
FME / PDE
DCM: Conteúdos Estruturantes x
Encaminhamento Metodológico
Data: 29/06/2007
Pela manhã
 G7
3
 G7
3
 G7 ; Cruzeiro do Oeste e Foz do Iguaçu
3
 Palestra do Mestrado em Educação Matemática
FME / PDE
Redução ao 1º Quadrante
- Redução do 2º ao 1º Quadrante
- Redução do 3º ao 1º Quadrante
- Redução do 4º ao 1º Quadrante
- Identidades – pág. 58
FME / PDE
Transformações
•
pág. 67
FME / PDE
Equações
•
pág. 93
FME / PDE
Inequações
•
pág. 127
FME / PDE
Sumário
 Números Reais e Funções
 Logaritmo e Exponencial
 Trigonometria
 Polinômio
 Análise Combinatória
 Aula prática: DCM - Conteúdos
Estruturantes x Encaminhamento
Metodológico
FME / PDE
Conteúdos:
Polinômio
 Números Complexos
 Polinômios
 Equações Polinomiais
 Transformações
 Raízes Múltiplas e Raízes Comuns
FME / PDE
DCM: Conteúdos Estruturantes x
Encaminhamento Metodológico
Data: 06/07/2007
Pela manhã
 Foz e 3 Barras 4
 Goioerê
3
 Chico
2
 Toledo
2
 Josemara
1
 Clarice
1
FME / PDE
Sumário
 Números Reais e Funções
 Logaritmo e Exponencial
 Trigonometria
 Polinômio
 Análise Combinatória
 Aula prática: DCM - Conteúdos
Estruturantes x Encaminhamento
Metodológico
FME / PDE
Conteúdos:
Análise Combinatória
 Princípio Fundamental da Contagem
 Arranjos
 Permutações
 Fatorial
 Combinações
 Binômio de Newton
FME / PDE
Sumário
 Números Reais e Funções
 Logaritmo e Exponencial
 Trigonometria
 Polinômio
 Análise Combinatória
 Aula prática: DCM - Conteúdos
Estruturantes x Encaminhamento
Metodológico
FME / PDE
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA
ELEMENTAR
Prof. João Candido Bracarense Costa, Dr.
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Obrigado por sua atenção.
FME / PDE