Movimento 3

Prof. Cesário
1 – QUEDA LIVRE
Um corpo está em queda livre quando a única força que
age sobre ele, é o peso.
Na queda livre não se leva em conta a resistência do ar.
O movimento em queda livre é um movimento com uma
aceleração constante “a” que é igual à aceleração da
gravidade. (a = g = 9,8 m/s2)
Em queda livre, todos os corpos caem com a mesma
aceleração. Isto significa que: se soltarmos um corpo de
0,1 kg e outro de 20 kg, de uma certa altura, ao mesmo
tempo, eles atingirão o solo no mesmo instante.
Para o movimento, sob a ação da gravidade, são válidas as
mesmas equações do movimento uniformemente variado.
Exemplos:
1 – Quanto tempo leva um bloco de 2,0 kg para cair de uma
altura de 320 m? Considere g = 10 m/s2.
Solução: A massa não tem efeito na queda livre.
São conhecidos: x = 320 m
v0 = 0 (o corpo é solto da altura citada)
a = g = 10 m/s2.
Pedido: t (tempo) Equação: h = v0t + (1/2)at2.
Substituindo: 320 = 0.t + (1/2).10t2
320 = 5t2  t = 8 s. Resposta: 8 s.
2 – Um objeto solto do alto de um edifício atinge o solo com uma velocidade de
30 m/s. De que altura caiu o objeto? (g = 10 m/s2)
Solução: dados: v = 30 m/s, v0 = 0, a = 10 m/s2. Pedido: x
Equação: v2 = v02 + 2g. x  302 = 02 + 2.10.x  x = 45 m.
3 – Para medir a profundidade de um poço artesiano, um aluno do Curso de
Engenharia imaginou o seguinte procedimento: no momento em que soltava
uma pedra ele ligaria o cronômetro, e no instante em que ouvisse o som da
pedra atingindo o fundo do poço ele desligaria o cronômetro.
Suponha que este procedimento tenha se efetivado e que o tempo gasto
para ouvir o som da pedra foi de 1,89 s, qual é a profundidade do poço
se a velocidade do som é 340 m/s?
Solução: sejam tp o tempo gasto para a pedra atingir o fundo do poço
e ts o tempo gasto para o som retornar.
tp + ts = 1,89 s (1)
x = (1/2)gtp2 = vs.ts  5tp2 = 340ts (2)
Substituindo ts = 1,89 – tp de (1) em (2), resulta:
5tp2 = 340(1,89 – tp).
Resolvendo a equação obtém-se tp = 1,84 s (a outra raiz é negativa).
Assim, ts = 1,89 – 1,84 = 0,05 s.
x = 340 x 0,05 = 17 m. Resposta: 17 m.
2 – LANÇAMENTO PARA CIMA
No lançamento para cima a velocidade reduz uniformemente na razão
de 9,8 m/s2 (a = - 9,8 m/s2).
Continuam válidas as equações do movimento uniformemente variado.
Nesse tipo de movimento podem ser observadas as propriedades:
1ª - a velocidade no ponto mais alto da trajetória é nula.
2ª - a velocidade de um móvel ao passar por um ponto na subida é, em
módulo, igual à velocidade ao passar pelo mesmo ponto na descida.
3ª - O tempo gasto para percorrer certo trecho na subida é igual ao tempo
gasto para percorrer o mesmo tempo na descida.
4ª - A equação x = v0t + (1/2)at2, fornece a altura em que o móvel se
encontra no instante “t” e não a distância efetivamente percorrida.
Exemplo: se o móvel subiu 20 m e desceu 4 m, x = 16 m (altura em
que se encontra).
EXERCÍCIOS
1 - Um objeto é lançado verticalmente para cima de uma base com velocidade
v = 40 m/s. Considerando a aceleração da gravidade g = 10 m/s2 e
desprezando-se a resistência do ar, quanto tempo que o objeto leva
para voltar à base da qual foi lançado? Resposta: 8 s
2 - Um corpo é lançado do solo verticalmente para cima, com velocidade inicial de
30 m/s. Desprezando a resistência do ar e admitindo g = 10m/s2, calcular:
a) o tempo gasto pelo corpo para atingir a altura máxima;
b) a altura máxima atingida em relação ao solo;
c) o tempo gasto pelo corpo para retornar ao solo.
d) a velocidade ao chegar ao solo.
Respostas: (a) 3 s; (b) 45 m; (c) 6 s; (d) 30 m/s
3 - Um jogador de beisebol imprime uma velocidade V0 = 29,4 m/s a uma bola, que
sobe verticalmente. Que altura máxima a bola atingirá? Adote g = 9,8 m/s2.
Resposta: 44,1 m.
4 – Lucas lançou um pedra do alto de edifício de 40 m, uma pequena esfera com
velocidade de 10 m/s. No mesmo instante soltou outra. A que altura estará a
segunda esfera quando a primeira atingir o solo? Resposta: 20 m.
5 - Uma cachoeira tem uma altura de 320m. Desprezando a resistência do ar e
adotando g=10m/s2. determine a velocidade da água na base cachoeira.
6 – Uma pedra é lançada para cima com velocidade de 60 m/s no mesmo instante em
que outra é solta de uma altura de 120 m. Sendo g = 10 m/s2, que altura as duas
vão colidir? Resposta: 100 m.
7 – Uma bola de borracha, ao bater no solo repica e volta com uma velocidade de
60% da velocidade de choque. Se essa bola é solta de uma altura de 45 m,
que altura irá alcançar após a terceira batida? Resposta: 23,328 m.
8 – Uma ponte está a 45 m acima de uma estrada. Se você está na estrada e
deseja jogar um objeto para que seu colega que está na ponte possa pegar,
qual deve ser a velocidade mínima com que você deve lançá-la? (g = 10 m/s2)
Resposta: 30 m/s.
3 – LANÇAMENTO HORIZONTAL
Quando se lança um corpo
horizontalmente, ele cai, ao
mesmo tempo em que avança
na horizontal.
Observe que a bola lançada
horizontalmente leva o mesmo
tempo para atingir o solo que
a bola solta na vertical.
v0
v
vy
O movimento da bola lançada
na horizontal pode ser
considerado como a combinação
de dois movimentos:
um horizontal, com velocidade constante e outro vertical semelhante ao
da bola que cai verticalmente.
Ao fim de um tempo “t”,
a componente horizontal da velocidade é v0, enquanto que a componente
vertical será vy = gt. Portanto, a velocidade da bola no instante “t” é
v = vo2 + (gt)2 .
Quanto à posição teremos: x = v0t e y = -(1/2)gt2
EXERCÍCIOS
1 - Uma bola de pingue-pongue rola sobre uma mesa com velocidade constante de
2m/s. Após sair da mesa, cai, atingindo o chão a uma distância de 0,80m dos pés
da mesa. Adote g= 10 m/s², despreze a resistência do ar e determine:
a) a altura da mesa.
b) o tempo gasto para atingir o solo.
Respostas: (a) 0,80 m; (b) 0,4 s.
2 – Uma pedra é lançada horizontalmente por um moleque do alto de uma árvore
de 7,2 m com velocidade de 5 m/s. A que distância da árvore a pedra irá cair?
Resposta: 6 m.
3 - Um avião, em vôo horizontal, está bombardeando de uma altitude de 8000 m
um destróier parado. A velocidade do avião é de 504 km/h. De quanto tempo
dispõe o destróier para mudar seu curso depois de uma bomba ter sido
lançada ? (g = 10 m/s2 ). Resposta: 40 seg.
4 – A que distância horizontal, o avião da questão anterior deve soltar a bomba
para atingir o destróier? Resposta: 5,6 km.
5 - De um ônibus que trafega numa estrada reta e horizontal com velocidade constante
de 20 m/s desprende-se um parafuso, situado a 0,80 m do solo e que se fixa à pista
no local em que a atingiu. Tomando-se como referência uma escala cujo zero
coincide com a vertical no instante em que se inicia a queda do parafuso e
considerando-se g = 10 m/s2, determine, em m, a que distância este será
encontrado sobre a pista. Resposta: 8 m.
4 – LANÇAMENTO OBLÍQUO
Observe o movimento das duas
esferas.
A cada instante as duas estão à
igual altura. A esfera da esquerda
apresenta um movimento de sobe
e desce cujo estudo foi feito no
item anterior.
A esfera da direita, descreve um
movimento vertical igual ao da
outra, enquanto apresenta um
deslocamento horizontal com
velocidade constante.
É fundamental notar que as duas
chegam ao topo e depois ao solo
No mesmo momento.
y
(x, y)
v0
y
v0

x
vx
Sejam v0 a velocidade de lançamento e  o ângulo que v0 forma com o
eixo horizontal.
As componentes de v0 são: vx = v0.cos  e vy0 = v0.sen 
No instante t, a posição da esfera será:
x = v0.cos .t pois a componente horizontal da velocidade é constante.
y = v0sen .t – (1/2)gt2 o movimento vertical é o de um corpo que
sobe e desce.
Substituindo t da primeira equação na segunda, obtém-se a equação
da trajetória:
x2
y = x.tg  - (1/2)g.
(v0cos)2
y
(x, y)
H
v0

x
A
Altura máxima: H = (v0.sen )2/2g
Tempo de vôo t = 2.v0sen /g
Alcance: A = v02.sen 2/g
Alcance máximo.
O alcance será máximo quando  = 45º.
Amax = v02/g.
Um problema de balística:
Suponha que se deseje atingir um alvo a 8000 m de distância
usando um canhão que lança um projétil com velocidade de
400 m/s. Existe porém um obstáculo a 1000 m de distância com
altura de 500 m. Qual deve ser o ângulo de lançamento?
Usaremos g = 10 m/s2.
Da fórmula: A = v02.sen 2/g
Sen 2 = (8000 x 10)/160000 = 0,50
8000 = 4002.sen 2/10
2 = 30º ou 2 = 150º
 = 15º ou 75º
Vejamos se o projétil ultrapassa o alvo.
A altura dele, a 1000 m de distância, deverá ser maior que 500 m.
Usando x = 1000 m, v0 = 400 m/s, calculemos y usando a equação
da trajetória:
2
Para 15º, y = 234 m < 500 m
x
y = x.tg  - (1/2)g.
(v0cos)2 Para 75º, y = 3265 m > 500 m.
O que mostra que o ângulo de
lançamento deverá ser de 75º.
VAMOS MATAR UM MACACO DE SUSTO?
Matando macaco a susto
O projétil é lançado na direção do
macaco.
No momento em que o tiro sai, o
macaco cai do galho, mas não
foge do projétil.
Em câmera lenta.