Conservação da quantidade de movimento

Mecânica dos Fluidos
Conservação da quantidade
de movimento
Prof. Carlos Ruberto Fragoso Jr.
Programa da aula

Revisão


Equação da conservação da massa
Aplicação
Equação da conservação da
quantidade de movimento;
 Casos Especiais;
 Exemplo.

Equação da conservação da
massa
Variação interna da
massa no V.C.
Fluxos de entrada e
saída na S.C.
d
  dV   n̂u dA  0

dt VC
SC
Balanço Geral para a conservação da massa em um
volume de controle
Casos Especiais

Volume de controle não deformável:
Volume de controle não
deformável
Saída
Entrada
Taxa de massa Taxa de massa
que sai
acumulada
Taxa de massa
que entra
n
m
d
dV   i ui Ai sai    j u j Aj entra  0

dt VC
i 1
j 1
Casos Especiais

Escoamento permanente:
Variação interna da
massa no V.C.
Fluxos de entrada e
saída na S.C.
d
  dV   n̂u dA  0

dt VC
SC
0
 n̂u dA  0
SC
Casos Especiais

Escoamento incompressível (propriedades do
fluido são constantes):
n
m
d
  dV    ui Ai sai    u j Aj entra  0
dt VC
i 1
j 1
m
dV n
  ui Ai sai   u j Aj entra  0
dt i 1
j 1
Casos Especiais



Escoamento incompressível (propriedades do
fluido são constantes);
Regime permanente;
Volume de controle não deformável:
n
 u A 
i
i 1
i sai
n
 Q 
i 1
i sai
  u j Aj entra
m
j 1
  Q j entra
m
j 1
Caso mais simples
Volume de controle não
deformável
Saída
Entrada
A2, u2
A1, u1
u1 A1  u2 A2
Q1  Q2
Exercício
Um tanque de volume V = 0,05 m3 contendo ar a p = 800
kPa (absoluta) e T = 15ºC. Em t = 0, o ar começa a escapar
por uma válvula. O ar sai como uma velocidade u = 300 m/s
e massa específica ρ = 6 kg/m3 através de uma área A = 65
mm2. Determine a taxa de variação da massa específica do
ar no tanque em t = 0.
Conservação da quantidade de
movimento


Equivalente a 2a lei de Newton.
A quantidade de movimento é expressa como:


P  m V
Conservação da quantidade de
movimento

Partindo do Teorema do Transporte de
Reynolds:
DN Sistema d
   dV   n̂u dA
Dt
dt VC
SC

Para deduzir a formulação para o volume de
controle da conservação da quantidade de
movimento, fazemos:



P m V 
N  P   
V
m
m

NP

 V
Conservação da quantidade de
movimento

Que substituídos na equação genérica do TTR
fornece:

  
DPSistema  

Vd   V V  n dA

Dt
t VC
SC



DPSistema
O que significa o termo
?
Dt

Conservação da quantidade de
movimento

Analisando

DPSistema
Dt
 




DV D mV
Da 2a lei de Newton: FR  ma  m

Dt
Dt
Resultando em:


DP
FR 
Dt
Conservação da quantidade de
movimento
Variação da
Fluxos de entrada e
Soma das forças
quantidade de
saída de quantidade
que atuam sobre o movimento com o de movimento através
da S.C.
sistema
tempo no V.C.

F


  
 
  Vd   V V  n dA
Sistema
t VC
SC
Conservação da quantidade de movimento em um
volume de controle
Conservação da quantidade de
movimento

Distinguimos dois tipos de força
que se

combinam para dar lugar a FR :

Forças de superficiais ou contato: exigem, para sua
aplicação, o contato físico

 
FS  Fn  Ft

Pressão (normais) e viscosas (tangenciais)
Forcas de campo ou mássicas: Um dos corpos gera
um campo e quaisquer corpos que estejam sob sua
influência e apresentarem as condições corretas,
experimentarão forças de campo


FC   Bd
VC
onde

 F
B
m
Forças gravitacionais:


B   gk
Conservação da quantidade de
movimento



   
  
FR  FS  Fc   Vd   V V  n dA
t VC
SC

Componentes:






 

Fx   ud   u V  n dA
t VC
SC
 

Fy   vd   v V  n dA
t VC
SC
 

Fz   wd   w V  n dA
t VC
SC
Casos Especiais

Escoamento permanente:
0



   
  
FR  FS  Fc   Vd   V V  n dA
t VC
SC



  
FR   V V  n dA
SC
Casos Especiais

Volume de controle não deformável:
Volume de controle não
deformável
Entrada
Saída
Taxa de
quantidade de
movimento
que sai
Taxa de
quantidade de
movimento
que entra
n
m

 
FR   VdV   ui i Qi sai   u j  j Q j entra
t VC
i 1
j 1
Casos Especiais


Volume de controle não deformável;
Escoamento permanente.

n


FR   Vi i Qi
i 1



  V j  jQ j
sai
m
j 1

entra
Fx   ui i Qi sai   u j  j Q j entra
n
m
i 1
n
j 1
m
i 1
n
j 1
m
i 1
j 1
Fy   vi i Qi sai   v j  j Q j entra
Fz   wi i Qi sai   w j  j Q j entra
Exemplo
Calcule a força exercida no cotovelo redutor devido ao
escoamento, para um escoamento permanente
V2
2
1
V1
θ