Análise Dimensional e Semelhança
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Fenômenos de Transporte ANÁLISE DIMENSIONAL E SEMELHANÇA Prof. Carlos Ruberto Fragoso Jr. Análise Dimensional e Semelhança A maioria dos problemas na mecânica dos fluidos não podem ser resolvidos com procedimentos analíticos, apenas utilizando procedimentos experimentais; Muitos problemas são resolvidos utilizando abordagem experimental e analítica; Um objetivo de qualquer experimento é obter resultados amplamente aplicáveis (medidas obtidas num sistema em laboratório podem ser utilizadas para descrever o comportamento de um sistema similar); Para isso é necessário estabelecer a relação que existe entre o modelo de laboratório e o “outro” sistema. Análise Dimensional e Semelhança Estudaremos os aspectos dimensionais do escoamento, fazendo uso do princípio de homogeneidade dimensional, aplicado às equações e leis de conservação. O desenvolvimento da Mecânica dos Fluidos depende de : análise teórica resultados experimentais (numéricos e/ou de laboratório) Em certas situações são conhecidas as variáveis envolvidas no fenômeno físico, mas não a relação funcional entre elas. A análise adimensionais. dimensional permite associar variáveis em grupos Quando o teste experimental em um protótipo em tamanho real é impossível ou caro, utiliza-se modelos reduzidos representativos. Pelo procedimento chamado análise dimensional, o fenômeno pode ser formulado como uma relação entre um conjunto de grupos adimensionais das variáveis. Quando se realiza um trabalho de laboratório, desejamos : o maior número de informações o menor número de ensaios Análise dimensional Parâmetros adimensionais (apresentação resumida em gráficos) Os fenômenos em Mecânica dos Fluidos dependem : parâmetros geométricos parâmetros do escoamento Exemplo : Força de arraste F sobre uma esfera lisa, de diâmetro D, estacionária, imersa em um escoamento uniforme de velocidade V. Que experiências serão necessárias para determinar a força de arraste F sobre a esfera ? Sabemos que F = f(D, V, ρ, μ) desconsiderando a rugosidade superficial. [mas, esta hipótese é razoável?] Formulação do problema por grandezas controladas e medidas em laboratório. Depois de construída a estrutura experimental, iniciamos os ensaios. Faremos 10 ensaios para cada variável: Curva F vs. V com parâmetros D, ρ, μ Curva F vs. D com parâmetros V, ρ, μ Curva F vs. r com parâmetros D, V, m Curva F vs. m com parâmetros D, V, r 10 ensaios 10 ensaios 10 ensaios 10 ensaios TOTAL : 104 ensaios Se cada ensaio leva 0,5 hora 8 horas/dia 2,5 anos para completar o trabalho ! ! Existirá uma enorme dificuldade na apresentação dos resultados. Exemplo : Considere o escoamento em regime permanente, incompressível de um fluido Newtoniano num tubo longo, horizontal e que apresenta parede lisa. Que experiências serão necessárias para determinar a diferença de pressão por unidade de comprimento do tubo Δp1? Sabemos que Δp1 = f(D, V, ρ, μ) desconsiderando a rugosidade superficial. Formulação do problema por grandezas controladas e medidas em laboratório. Depois de construída a estrutura experimental, iniciamos os ensaios. Faremos 10 ensaios para cada variável: Curva Δp1 vs. V com parâmetros D, ρ, μ Curva Δp1 vs. D com parâmetros V, ρ, μ Curva Δp1 vs. r com parâmetros D, V, m Curva Δp1 vs. m com parâmetros D, V, r 5 ensaios 5 ensaios 5 ensaios 5 ensaios TOTAL : 104 ensaios . Δp1 Δp1 μ v Δp1 Δp1 ρ D Podemos agrupar as variáveis em duas combinações adimensionais (denominados grupos adimensionais) de modo que: rVD Dp1 2 rV m Assim nós podemos trabalhar com dois grupos adimensionais em vez de trabalhar com 5 variáveis. Dp1 rV 2 rVD m Instrumentos da Análise Dimensional Para prever as relações entre grandezas em um dado fenômeno, temos: o teorema de Bridgman o teorema de Buckingham Teorema de Bridgman O teorema de Bridgman estabelece que toda grandeza secundária ou dependente pode ser expressa por um produto de grandezas primárias. Exemplo: E=Cm E = f(m, V) onde C = cte. V2, Teorema de Buckingham O teorema dos p de Buckingham fornece as relações entre os parâmetros dimensionais, para obter os parâmetros adimensionais. Teorema dos p de Buckingham Dado um problema físico onde a variável dependente é função de n-1 variáveis independentes, para o qual sabemos que existe uma relação do tipo : q1 = f(q2, q3, ... qn) ou também: g (q1, q2, q3, ... qn) = 0. variáveis independentes variável dependente O teorema p estabelece que : relação funcional (desconhecida) Dada uma relação entre n variáveis da forma g (q1, q2, q3, ... qn) = 0 estas n variáveis podem ser agrupadas em n-m razões adimensionais independentes, ou parâmetros p, expressados sob a forma funcional : G (p1, p2, ..., pn-m) = 0 ou p1 H(p2, ..., pn-m) O número m é usualmente igual ao menor número de grandezas independentes (M, L, t, etc.) necessárias para especificar as dimensões das variáveis q1, q2, q3, ... qn. NOTA : O teorema não prevê a forma funcional de G ou H. Ela pode ser determinada experimentalmente. Determinação dos grupos p (6 passos) • 1º Passo – Liste todos os parâmetros envolvidos – Se nem todos os parâmetros pertinentes forem incluídos, uma relação será obtidas, mas não fornecerá a história completa. • 2º Passo – Selecione um conjunto de dimensões fundamentais (primárias) – P.ex. M, L, t • 3º Passo – Liste as dimensões de todos os parâmetros os parâmetros em termos das dimensões primárias • 4º Passo – Selecione da lista um número de parâmetros que se repetem, igual ao número de dimensões primárias, e incluindo todas as dimensões primárias • 5º Passo – Estabeleça equações dimensionais combinando os parâmetros selecionados no passo 4 com cada um dos outros parâmetros a fim de formar grupos adimensionais (Haverá n-m equações) • 6º Passo – Verifique, a fim de assegurar que cada grupo obtido é adimensional. Símbolos e Dimensões em Mec. Flu. Quantidade Comprimento Tempo Massa Força Velocidade Aceleração Freqüência Gravidade Área Símbolo l Dimensões L t m F V a T M ML/T2 L/T L/T2 T-1 L/T2 L2 w g A Símbolos e Dimensões em Mec. Flu. Quantidade Vazão Fluxo de massa Pressão Tensão Massa específica Peso específico Viscosidade Viscosidade cinemática Símbolo Q Dimensões L3/T m M/T M/LT2 M/LT2 M/L3 M/L2T2 M/LT L2/T p t r g m n Símbolos e Dimensões em Mec. Flu. Quantidade Trabalho Potencia, fluxo de calor Tensão superficial Módulo da elasticidade volumétrica Símbolo W ,Q W Dimensões ML2/T2 s B M/T2 ML2/T3 M/LT2 Força de arrasto • Força de arrasto é a força que faz resistência ao movimento de um objeto sólido através de um fluido (um líquido ou gás). • O arrasto é feito de forças de fricção (atrito), que agem em direção paralela à superfície do objeto (primariamente pelos seus lados, já que as forças de fricção da frente e de trás se anulam), e de forças de pressão, que atuam em uma direção perpendicular à superfície do objeto (primariamente na frente e atrás, já que as forças de pressão se cancelam nas laterais do objeto). A força de arrasto arrasto Fa 1 Fa Ca r A V 2 2 r = densidade do meio A = área “frontal” Ca = coeficiente de arrasto velocidade V O coeficiente de arrasto • rAV2 tem dimensão de força Ca = Fa / (½ rAV2) é adimensional Ca só pode depender de quantidades sem dimensão • Em um fluido incompressível (V<<Vsom) a única quantidade adimensional é o número de Reynolds: rDV Re m Ca = f (Re) D = dimensão característica (diâmetro da bola), μ = viscosidade do meio Como foi obtido o Coeficiente de Arrasto? Análise dimensional Usando a análise dimensional, chegamos à relação : rVD F f1(Re ) CA 2 2 f1 rV D m onde f1 pode ser determinada experimentalmente e Re é um parâmetro chamado número de Reynolds. Variando o número de Reynolds Re = rVD/m N vezes, obtemos N pontos da relação anterior, variando só, por exemplo, a velocidade. As outras variáveis não são alteradas (r, D e m constantes). Parâmetros Adimensionais Comuns Vrl V 2 V lw V 2rl p f1 , , , , 2 rV m lg c V s Número de Euler, Eu p rV 2 Número de Reynolds, Re Número de Froude, Fr Número de Mach, M Vrl m V lg V c lw V V 2rl Número de Weber, We s Número de Strouhal, St Significado Físico força de pressão Eu força inercial força inercial Re força viscosa força inercial Fr força da gravidade Escoamento nos quais a queda pressão é significativa Escoamento influenciados por efeitos viscosos Escoamento influenciados pela gravidade:escoamento de superfície livre Significado Físico força inercial M força de compressibilidade força centrífuga St força inercial Compressibilidade importante V >0,3c Componente não permanente se repete periodicamente força inercial We força de tensão superficia l A tensão superficial influencia o escoamento Escoamentos Semelhantes Estudos em Modelos Para que haja similaridade entre o protótipo e o modelo devem ser atendidas as seguintes condições Semelhança geométrica Semelhança cinemática Semelhança dinâmica Semelhança Semelhança geométrica Semelhança Semelhança cinemática Semelhança Semelhança dinâmica
