Dinâmica

Material de apoio: dinâmica
 1ª
Lei de Newton - lei da inércia
 2ª
Lei de Newton - conceito de Força

partícula livre me massa m e velocidade v (t )
move-se com velocidade constante
move-se com momento linear constante


v (t )  v  constante


 
p(t )  mv (t)  mv  p  constante

taxa de variação de p (t ) iguala a resultante das forças
aplicadas


dp (t )
 F (t )
dt
Dimensões : MLT-2
Unidades SI : N (Newton)
Material de apoio: dinâmica
 3ª
Lei de Newton - lei da acção-reacção

F21


F12   F21
Força que a partícula 2
exerce na partícula 1
Ponto de aplicação: partícula 1
2

F12
1
Força que a partícula 1
exerce na partícula 2
Ponto de aplicação: partícula 2
Material de apoio: dinâmica

1ª Lei de Newton para um sistema de partículas
um sistema isolado tem um momento linear constante
N


P(t )   pi (t )  constante
i 1

2ª Lei de Newton para um sistema de partículas

taxa de variação de P (t )iguala soma das resultantes das
forças externas aplicadas a cada uma das partículas

N 
dP
(t )   Fiext (t )
dt
i 1
forças externas ao sistema

 Fij  0
N
N
i 1 j 1
j i
pela Lei da
accção/reacção
forças internas ao sistema
Material de apoio: dinâmica
 Dinâmica
de uma partícula


dp (t )
 F (t )
dt


F (t )  ma (t )
Lei Fundamental da Dinâmica
decomposição nas componentes tangencial e normal





F (t )  FT (t )  FN (t )  FT (t )uT (t )  FN (t )u N (t )
componente tangencial
responsável pela variação do
módulo da velocidade
dv
FT (t )  maT  m
dt
FN (t )  maN
2
v(t )
m
 (t )
componente normal
responsável pela variação da
direcção e sentido da velocidade
Material de apoio: dinâmica
 Dinâmica
de uma partícula
se a componente tangencial da resultante das forças
for nula
dv
FT (t )  maT  m
0
dt
a partícula descreve uma trajectória com velocidade de
norma constante
se a componente tangencial da resultante das forças
for nula
v(t ) 2
FN (t )  maN  m
0
 (t )
a partícula descreve uma trajectória rectilínea
Material de apoio: dinâmica

Momento angular da uma partícula
 relativamente a O


 de uma partícula com r (t ) e p (t )





L (t )  r (t )  p(t )  mr (t )  v (t )
Dimensões : ML2T-1
Unidades SI : kgm2s-1

v (t )
S

ux

r (t )

uz
O

uy



L (t ) perpendicular a r (t ) e v (t )
Material de apoio: dinâmica

Momento angular

 taxa de variação de L (t )





dL(t )
dp(t )
 r (t ) 
 r (t )  F (t )
dt
dt
vector posição da partícula e
do ponto de aplicação da
resultante das força



dL(t ) 
 r (t )  F (t )  N (t )
dt
 Momento
resultante das
forças aplicadas
à partícula
momento da força relativamente a O
angular conserva-se:

 F (t )  0  partícula livre


 r (t )  F (t )  0  forças centrais
Dimensões : ML2T-2
Unidades SI : Nm
Material de apoio: dinâmica

Momento angular de um sistema de partículas
relativamente a O
de um sistema de N partículas com


ri (t ) e pi (t )
i  1, N
2
1
N-1
3
i
S
ux

uz

uy
O

L (t ) 
i 1
N

ri

 Li (t ) 
N

vi
N


 ri (t )  pi (t ) 
i 1
N


 mi ri (t )  vi (t )
i 1
Material de apoio: dinâmica
 Momento angular de uma sistema de partículas

taxa de variação de L (t )


assumindo forças internas centrais rij (t )  Fij (t )  0

N 
dL
(t )   Niext (t )
dt
i 1
S
ux

uz

uy
N



 Niext (t )   ri (t )  Fiext (t )
N
i 1
i 1
soma dos momentos, relativamente a O, de todas
as forças externas
O
 Momento
angular conserva-se:
N 
  Fi (t )  0  sistema isolado
i 1
N
ext
i 1
ext

  Ni
(t )  0
Material de apoio: dinâmica

Forças de atrito (despreza-se a dimensão do objecto)
opõem-se sempre ao movimento
corpo em repouso

N
y
intensidade a
aumentar

Fat

F
s
x




P   N  F   Fat
s

intensidade de Fat cresce com
a

s
intensidade de F





R  P  N  F  Fat  0
s

P
imediatamente antes do corpo entrar em movimento,
a intensidade da força de atrito estático é máxima


Fat  Fat
s
s max

 
s - coeficiente de atrito estático
Fat
  s N ux
s max
Material de apoio: dinâmica

Forças de atrito (despreza-se a dimensão do objecto)
opõem-se sempre ao movimento
corpo em movimento

N

Fat
k

a




P   N  F  Fat
k

F

P

 
Fat    k N u x
k
coeficiente de atrito cinético






R  P  N  F  Fat
k



 F  Fat  ma
k

Fat
k

 Fat

k  s
s
Material de apoio: dinâmica
Forças de resistência
opõem-se sempre ao movimento
objectos pequenos a cair com velocidades pequenas
y
através de um fluido

Coeficiente – depende das propriedades
do meio e da forma do objecto

FR

v


FR (t )  bv (t )

 


R(t )  P  FR (t )   mg  bv(t )  u y  ma (t )




t1 : FR (t1 )   P  R (t1 )  0  a  0

P


m
FR (t1 )   P  vT  v(t1 )  g
b
b 


t
velocidade terminal
mg 
m

v(t ) 
1 e

b 

Material de apoio: dinâmica

Forças de resistência
opõem-se sempre ao movimento
objectos grandes a cair no ar (paraquedistas em queda livre,…)
y
D – coeficiente de arrastamento, depende do
meio e do objecto
A

FR

v

P
  densidade do meio


1
2
A - área da secção do objecto na
FR (t )  DAv (t )u y
direcção do movimento
2

 

1


2
R(t )  P  FR (t )    mg  DAv (t )  u y  ma (t )
2






t1 : FR (t1 )   P  R (t1 )  0  a  0


2mg
FR (t1 )   P  vT  v(t1 ) 
DA
velocidade terminal
Material de apoio: dinâmica

Referenciais não inerciais
S’ y’
P
S
y

r (t )

rO, (t )

A
,
r (t )
O’
z’
O
x

A - aceleração de S’relativamente a S
x’
t ,  t

,



r (t )  r (t )  rO ' (t )
 ,


v (t )  v (t )  V (t )

 ,


a (t )  a (t )  A(t )
z
S’- referencial não inercial
S – referencial inercial



R(t )  FI (t )  ma ' (t )


força de inércia FI (t )  mA(t )


R(t )  ma (t )
resultante das forças aplicadas
não validade das leis de Newton 
introdução das forças de inércia
Material de apoio: dinâmica

Referenciais não inerciais
S
S’

FI

T 

A - aceleração de S’relativamente a S

A

P
S – referencial inercial


 

R(t )  P  T  ma (t )  mA

forças aplicadas
massa move-se

com A
A
tg 
g
S’- referencial não inercial

  

R(t )  P  T  FI  ma ' (t )  0

força de inércia:  mA



massa em repouso em
S’

 
P  T  mA
Com introdução da
força de inércia em S’
obtem-se a mesma
equação em S e S’
Material de apoio: dinâmica

Referenciais não inerciais
S N
S’

T 

r
v

 - velocidade angular de rotação de S’, fixo à mesa
rodante, em torno de eixo dos zz
S – referencial inercial

  
R(t )  P  N  T (t )


v2 
 ma (t )  mA(t )  m
u N (t )
r



 m    r (t ) 

P
S’- referencial não inercial
massa em repouso em S’

  


R(t )  P  N  T (t )  FI  ma ' (t )  0
2


v
força de inércia:  mA  m
uN
r

força centrífuga


  
v2 
P  N  T (t )  m
u N (t )
r
Com introdução da
força de inércia em S’
obtem-se a mesma
equação em S e S’
Material de apoio: dinâmica

Nota sobre a conservação do momento linear

N 

dP
(t )   Fiext (t )  Fext (t )
dt
i 1

resultante das forças externas
 dPx
 dt (t )  Fext x (t )

 dPy
(t )  Fext y (t )

 dt
 dPz
 dt (t )  Fext z (t )

momento linear conserva-se nas direcções em que a resultante das
forças externas for nula
Ex:
 dPx
 dt (t )  0  Px  constante



 dPy
Fext (t )  F (t )u y  
(t )  Fext y (t )  0  Py  constante
 dt
 dPz
 dt (t )  0  Pz  constante

Material de apoio: dinâmica

Nota sobre a conservação do momento angular
 dL x
 dt (t )  N ext x (t )


N 

dL
 dL y
(t )  N ext y (t )
(t )   N iext (t )  N ext (t )


dt
i 1
 dt
 dLz
momento resultante das forças externas  dt (t )  N ext z (t )

momento angular conserva-se nas direcções em que o momento
resultante das forças externas for nulo
Ex:
 dL x
 dt (t )  N ext x (t )  0  L x  constante



 dL y
Fext (t )  N (t )u x  
(t )  0  L y  constante
 dt
 dLz
 dt (t )  0  Lz  constante
