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Título xxx Introdução Montante Composto xxx Taxas xxx ATIVIDADES DE MATEMÁTICA FINANCEIRA – JUROS COMPOSTOS Prof. Rodrigo Fioravanti Pereira Orientador: Dr. Marcio Violante Ferreira Sair xxx Titulo Título xxx Introdução Matemática financeira A matemática financeira é amplamente trabalhada em diversos cursos de graduação por ser uma ferramenta adequada para a tomada de decisões relacionadas ao mercado financeiro. Montante Composto xxx xxx Taxas Sair xxx Sair O que acontece Formam-se profissionais com características fortes do ponto de vista do conteúdo puramente matemático mas inexperientes quanto a aplicações deste conteúdo à realidade do mercado. No ensino Entretanto, o ensino desta disciplina mostra-se alheio à realidade do mercado que deveria ter como fim. A percepção deste fato é clara se observados os livros didáticos de matemática financeira que trazem a disciplina de forma estanque, com os problemas previamente determinados, sem espaço para as novidades e imprevistos do mercado. Proposta A proposta deste trabalho é dar ferramentas para a contextualização da matemática financeira com o mercado financeiro no mesmo momento que constrói o conteúdo matemático de forma aplicada ao mercado que está se desenvolvendo contemporaneamente. Título xxx Introdução Montante Composto xxx Taxas xxx Sair xxx Seção A: Desenvolvimento da fórmula do Montante Compostos. Atividade 1: Na tabela abaixo obtida a partir de dados bancários analise o índice da poupança e faça o que se pede a seguir Título xxx Montante Composto xxx Introdução Sair xxx Taxas xxx Determine, a partir de um capital inicial de R$ 1000,00, o montante ao final dos 12 meses constantes da tabela, considerando o índice da poupança a cada mês. FV (Future Value) é o montante auferido a cada mês. Mar/ 07 Abr/0 7 Mai/ 07 Jun/ 07 Jul/0 7 Ago/ 07 Set/0 7 Out/ 07 Nov/ 07 Dez/ 07 Jan/ 08 Fev/ 08 Ano 12 meses 24 meses 0,56 0,60 0,52 1,12 7,53 16,46 36 meses INVESTIMENTO Poupança (5 a.m.)2 0,59 0,63 0,67 0,60 0,65 0,65 0,54 0,61 0,56 27,15 1° mês → FV1 = 1000 (1,0059) = 1005,9 2° mês → FV2 = 1005,9 (1,0063) = 1012,2371 3° mês → FV3 = 1012,2371 (1,0067) = 1019,0191 4° mês → FV4 = 1019,0191 (1,0060) = 1025,1332 5° mês → FV5 = 1025,1332 (1,0065) = 1031,7965 6° mês → FV6 = 1031,7965 (1,0065) = 1038,5032 ... 12° mês → FV12 = 1068,6522 (1,0052) = 1074,2092 Dica Título xxx Montante Composto xxx Introdução Sair xxx Taxas xxx Atividade 2: Estime, mentalmente, um valor médio que poderia resumir todas as taxas da poupança constantes na tabela. Mar/ 07 Abr/0 7 Mai/ 07 Jun/ 07 Jul/0 7 Ago/ 07 Set/0 7 Out/ 07 Nov/ 07 Dez/ 07 Jan/ 08 Fev/ 08 Ano 12 meses 24 meses 0,56 0,60 0,52 1,12 7,53 16,46 36 meses INVESTIMENTO Poupança (5 a.m.)2 0,59 0,63 0,67 0,60 0,65 0,65 0,54 0,61 0,56 Pela tabela, percebe-se que uma estimativa para o valor procurado é de 0,6% a.m. 27,15 Título xxx Introdução Montante Composto xxx Taxas xxx Sair xxx Atividade 3: Calcular o montante ao final dos 12 meses, a partir do capital de R$ 1000,00 e da taxa estimada de 0,6% a.m. Resposta 1º mês (1+0,6 / 100) = 1,006 1000 X 1,006 =1006 1° mês → 1000 x 1,006 2° mês →1000 x 1,006 x 1,006 = 1000(1,006)2 3° mês →1000 x 1,006 x 1,006 x 1,006 = 1000(1,006)3 4° mês →1000 x 1,006 x 1,006 x 1,006 x 1,006 = 1000(1,006)4 ... n° mês → 1000 x 1,006 x ...x 1,006 = 1000(1,006)n 1° mês → 10001,006 = 1006 2° mês → 1012,036 3° mês → 1018,1082 4° mês → 1024,2168 ... 12° mês → 1074,4241 Esta forma de resolução é comum entre os estudantes mas não permite a visualização da fórmula do montante composto. Título xxx Introdução Montante Composto xxx Taxas xxx Atividade 3: Construir a fórmula do montante composto a partir das experiências anteriores Modelo 1° mês → 1000 x 1,006 2° mês →1000 x 1,006 x 1,006 = 1000(1,006)2 3° mês →1000 x 1,006 x 1,006 x 1,006 = 1000(1,006)3 4° mês →1000 x 1,006 x 1,006 x 1,006 x 1,006 = 1000(1,006)4 ... n° mês → 1000 x 1,006 x ... x 1,006 = 1000(1,006)n FV = 1000(1 + 0,006)n FV = PV(1 + i)n FV Future Value - Montante PV present value i taxa decimal n número de capitalizações Sair xxx Título xxx Introdução Montante Composto xxx xxx Taxas Fórmula do montante composto Com a fórmula a disposição, é tempo de experimentá-la, a fim de surgir o convencimento com relação às suas vantagens além de permitir que os alunos desfrutem dos benefícios do seu próprio trabalho. FV = PV(1 + i)n Neste sentido, pede-se o montante de uma aplicação de longo prazo, como por exemplo 120 meses, mantendo a taxa de 0,6%a.m e o capital inicial de R$ 1000,00. Resposta FV = 2050,01 xxx Sair Título xxx Introdução Montante Composto xxx xxx Taxas xxx Sair Seção B: Taxas Proporcionais e Equivalentes Atividade 1: Procurar no extrato bancário a relação entre as taxas mensal e anual de cada tipo de crédito, supor um capital inicial de R$ 100,00 e calcular o montante, ao final de um ano, para a taxa mensal e anual. Título xxx Introdução Montante Composto xxx xxx Taxas CDC AUTOMOVEIS Taxa i : 1,80% mensal 23,87%, anual Para i = 1,80% a.m. Para i = 23,87% a.a. FV = PV(1+ i1 )n1 FV = PV(1+ i 2 )n2 FV = 100(1+ 0,018)12 FV = 123,8722 FV = 100(1+ 0,2387)1 FV = 123,87 Percebe-se que os dois montantes são iguais e que a taxa anual aparece no extrato com duas casas depois da vírgula para fins de arredondamento. xxx Sair Título xxx Introdução Montante Composto xxx CRED. PESSOAL Taxa i : 3,85% mensal 57,35%, anual Para i = 3,85% a.m. Para i = 57,35% a.a. FV = PV(1+ i1 )n1 FV = PV(1+ i2 )n2 FV = 100(1+ 0,0385)12 FV = 157,3540 FV = 100(1+ 0,5735)1 FV = 157,35 Novamente a igualdade foi comprovada xxx Taxas xxx Sair Título xxx Introdução Montante Composto xxx xxx Taxas Atividade 2: Com base nos procedimentos anteriores, construir uma fórmula para as taxas equivalentes Concluindo que os valores encontrados são iguais a busca da fórmula que relaciona a taxa mensal com a anual passa por igualar as fórmulas dos montantes encontrados nos cálculos anteriores. Abaixo, segue o desenvolvimento feito para o CDC Automóveis: Mensal Anual 100(1 0, 018)12 100(1 0, 2387)1 (1 0, 018)12 (1 0, 2387)1 1, 2387 1, 2387 Como o montante obtido pela taxa mensal é o mesmo da taxa anual podemos escrever o modelo abaixo (1 i1 ) n1 (1 i2 ) n2 Esta é a fórmula das taxas equivalentes para os juros compostos. xxx Sair Título xxx Introdução Montante Composto xxx Taxas xxx Sair xxx Atividade 3: Ainda no extrato, temos uma taxa de i=7,95% a.m. que não possui a sua taxa anual equivalente. Propõe-se o cálculo da tal taxa utilizando a fórmula que foi desenvolvida. (1 i1 )n1 (1 i 2 )n 2 (1 0,0795)12 (1 i 2 )1 i 2 1,50421585 Logo, a taxa anual equivalente a 7,95%a.m. é 150,42% a.a. Título xxx Introdução Montante Composto xxx xxx Taxas CRÉDITO UM MINUTO A fórmula que desenvolvida anteriormente, foi utilizada nesta atividade. (1 i1 )n1 (1 i 2 )n 2 (1 0,048)12 (1 i 2 )1 i 2 0,75523549 Nota-se que a taxa encontrada é menor do que a indicada no extrato. A discussão em aula desta disparidade é um ótimo exercício. xxx Sair Título xxx Introdução Montante Composto xxx xxx Taxas xxx Sair Atividade 2: Utilizando o modelo encontrado, analisar a fatura do cartão de crédito mostrada abaixo procurando confirmar as taxas mensais e anuais cobradas pela operadora. Baseados nas informações que já temos sobre o mercado financeiro, o que podemos afirmar sobre estas taxas? Título xxx Introdução Montante Composto xxx xxx Taxas xxx Sair Nele estão assinaladas a taxa mensal e anual de juros do cartão (11,50%a.m. e 269,23%a.a.). Verificase através de cálculos que estas taxas são equivalentes. A comparação entre as taxas dos dois exercícios é um importante fator de conhecimento crítico do mercado financeiro. Título xxx Introdução Montante Composto xxx xxx Taxas xxx Sair Seção C: Taxa Nominal e Efetiva Quando se contrata um “Crédito Um Minuto”, do Banrisul, além dos juros de 4,80% a.m., segundo o extrato do Banrisul usado como exemplo, é cobrada uma taxa administrativa de R$ 8,50 devido à realização do empréstimo (taxa informada pela gerente de contas do banco). Atividade 1: A partir das informações acima, responda como esta taxa administrativa influi na taxa efetiva de juros. Será que a taxa de juros já considera esta cobrança? Proposta: Supor um empréstimo de R$ 1000,00 por 3 meses. Conhecendo as taxas (de juros e administrativa) do “Crédito Um Minuto”, quanto o tomador do empréstimo efetivamente levará para casa e quanto ele deverá pagar ao banco até o final do empréstimo? Título xxx Introdução Montante Composto xxx Taxas xxx Cálculo dos juros sobre um empréstimo de R$1000,00 durante 3 meses: Como sobre os R$ 1000,00 incide uma taxa administrativa de R$ 8,50, o empréstimo será calculado sobre R$ 1008,5 e não sobre R$ 1000,00. Lembrar que o Crédito Um Minuto”, do Banrisul, os juros são de 4,80% a.m Obtem-se, sucessivamente, Sair xxx Título xxx Introdução Montante Composto xxx xxx Taxas Sabendo que o tomador do crédito levou pra casa a quantia de R$ 1000,00 e pagará, após 3 meses, o montante de R$ 1160,80, podemos calcular de quanto será o juro efetivo a ser pago: Logo, a taxa de juros que incide efetivamente sobre a operação é de 5,096% a.m. e não apenas os 4,8% a.m. indicada no extrato xxx Sair Título xxx Introdução Montante Composto xxx Taxas xxx Sair xxx Seção D: Desconto Composto OBS: Nesta seção pressupõe-se o conhecimento das diferentes regras dos descontos. Atividade 1: Vamos considerar um título tal como uma nota promissória, que tem um valor de face de R$1000,00 e é vencível em 40 dias, pergunta: Se este título for descontado antes dos 40 dias, o seu portador ainda ficará com os R$1000,00? Título xxx Introdução Montante Composto xxx Taxas xxx Sair xxx Desconto racional: pela definição de desconto racional, o valor atual (Va) deve ser “levado”, por 3 meses, até a data do cheque pela taxa da operação, onde terá o mesmo valor do cheque Formalização: Desconto comercial: já no desconto comercial, o valor nominal (N) é descontado por 3 meses pela taxa de desconto até assumir o valor atual (Va). Formalização: N Título xxx Introdução Montante Composto xxx Taxas xxx Sair xxx Conclusão: Este trabalho buscou a mescla da realidade financeira com a construção do conteúdo matemático constante na maioria das ementas da disciplina de matemática financeira. Neste sentido, a proposta desenvolvida trabalhou o conteúdo dos juros compostos por estar presente, direta ou indiretamente, na maioria das situações do mercado financeiro e no conteúdo da matemática financeira. Título xxx Montante Composto xxx Introdução Sair xxx Taxas xxx Determine, a partir de um capital inicial de R$ 1000,00, o montante ao final dos 12 meses constantes da tabela, considerando o índice da poupança a cada mês. FV (Future Value) é o montante auferido a cada mês. Mar/ 07 Abr/0 7 Mai/ 07 Jun/ 07 Jul/0 7 Ago/ 07 Set/0 7 Out/ 07 Nov/ 07 Dez/ 07 Jan/ 08 Fev/ 08 Ano 12 meses 24 meses 0,56 0,60 0,52 1,12 7,53 16,46 36 meses INVESTIMENTO Poupança (5 a.m.)2 0,59 0,63 0,67 0,60 0,65 0,65 0,54 0,61 0,56 27,15 1° mês → FV1 = 1000 (1,0059) = 1005,9 2° mês → FV2 = 1005,9 (1,0063) = 1012,2371 Para darmos um acréscimo a um valor 3° mês → FV3 = 1012,2371 (1,0067) = 1019,0191 inicial multiplicamos este valor por 1 + a taxa de acréscimo. 4° mês → FV4 = 1019,0191 (1,0060) = 1025,1332 5° mês → FV5 = 1025,1332 (1,0065) = 1031,7965 Exemplificando: 6° mês → FV6 = 1031,7965 (1,0065) = 1038,5032 Se a taxa de acréscimo i =0,4% => 0,004 ... 12° mês → FV12 = 1068,6522 (1,0052) = 1074,2092 teremos = 1 + 0,004 =1,004 Fechar
