Tópicos de lógica proposicional 2

Cláusulas

Conjuntos de cláusulas
–
Cláusula: conjunto finito de literais

C1= {Small(a), Cube(a), Backof(b,a)}

C2= {Small(a), Cube(b)}

–
Cláusula é satisfeita por uma atribuição de verdade h:


–

Cláusula vazia:
pelo menos um dos literais da cláusula tem o valor V em h
não é satisfeita por qualquer atribuição
C : h satisfaz C sse a disjunção das frases em C tem o valor V em h’
Satisfação de um conjunto S de cláusulas
–
–
S é satisfeito por h desde que cada cláusula de S seja satisfeita por h
A fórmula (CNF) obtida pela conjunção das disjunções
correspondentes às fórmulas de S é satisfeita por h’
Tópicos de Lógica Proposicional-1
Resolução

Para mostrar que um conjunto S de cláusulas não é satisfazível:
–
–

mostrar que um conjunto maior S’ obtido do primeiro também não o é
válido desde que S e S’ sejam satisfeitos exactamente pelas mesmas
atribuições
Método: provar que a frase S (em CNF) não é satisfazível
–
transformar S num conjunto de cláusulas


–
adicionar sistematicamente novas cláusulas - resolventes

–
disjunções de literais passam a cláusulas com os mesmos literais
conjunção passa a conjunto de cláusulas
novas são tais que o conjunto é satisfeito pelas mesmas atribuições
se chegarmos a um conjunto que contém , a frase inicial não é
satisfazível
Tópicos de Lógica Proposicional-2
Resolventes

Exemplo1
–
C1= {Small(a), Cube(a), Backof(b,a)}
C2= {Small(a), Cube(b)}
Para satisfazer {C1, C2} é preciso atribuir V a pelo menos 1 de
Cube(a) Backof(b,a) Cube(b)
C3 = {Cube(a), Cube(b), Backof(b,a)} é um resolvente de C1 e C2
–
{C1, C2, C3} é satisfeito pelas mesmas atribuições que {C1, C2}
–

Exemplo2
–
–
C1= {NaSala(Rui), NaSala(Ana)}
C2= {NaSala(Rui)}
C3= {NaSala(Ana)}
Uma atribuição que satisfaz {C1, C2, C3} satisfaz
C4 = {NaSala(Rui)}
{C1, C2, C3, C4} não é satisfazível
Tópicos de Lógica Proposicional-3
Resolvente

Definição: (resolvente)
–

R é uma resolvente das cláusulas C1 e C2 se existe uma fórmula
atómica numa delas e a sua negação na outra, sendo R o conjunto
de todos os restantes literais de ambas.
Exemplos
{A,D}
{A}
{A, A}
{D}
{B,C}
{B, D}
{C, D}
{A}
{A}
{D}
{D}
{ }
Tópicos de Lógica Proposicional-4
Correcção da resolução

Teorema: Sendo S um conjunto não satisfazível de cláusulas numa
linguagem com frases atómicas independentes, é sempre possível, por
resolução sucessiva, chegar a .

Exemplo
A  (B  C  B)  (C  D)  (A  D)  (B  D)
–

–
Conversão em conjunto de cláusulas
A}, {B, C}, {C, D}, {A, D}, {B, D}
Usar resolução para mostrar que o conjunto não é
satisfazível
{B,C} {C, D}
{A,D}
{A}
{D}
{B, D}
{B, D}
{D}
Tópicos de Lógica Proposicional-5
Consequência lógica



Provar consequência lógica usando resolução
Para mostrar que
C é consequência lógica de
P1, P2, …, Pn
Usar resolução para provar que
P1  P2  …  Pn  C
não é satisfazível
–
–
–
reduzir a forma normal conjuntiva
converter em conjunto de cláusulas
aplicar resolução
Tópicos de Lógica Proposicional-6
Forma condicional
(NaSala(Ana)  NaSala(Rui)) Feliz(Luis)
Substituindo o condicional pela sua definição em termos de  e 
NaSala(Ana)  NaSala(Rui) Feliz(Luis)
obtém-se uma disjunção com um só literal positivo

Em geral
–
frase de Horn é conjunção de frases


cada frase da conjunção é disjunção com 1 literal positivo e vários
negativos
A1  A2  …  An  B
pode ser reescrita como
–

(A1  A2  …  An)  B
Casos particulares
–
–
Disjunção sem literal positivo: (A1  A2  …  An)  False
Disjunção sem literais negativos: True  B
Tópicos de Lógica Proposicional-7
Forma condicional de frase de Horn

Uma frase de Horn em lógica proposicional é logicamente
equivalente a uma conjunção de afirmações condicionais de
uma das três formas seguintes

(A1  A2  …  An)  B

(A1  A2  …  An)  False

True  B
Resolução:

–
–
–
proposto e desenvolvido por Alan Robinson (1965)
apropriado para a demonstração automática de teoremas
problemas formulados como séries de condicionais e
bicondicionais: a transformação em CNF é imediata
Tópicos de Lógica Proposicional-8