Feitosa, Hércules de A. Sobre a história da lógica, a lógica

Lógicas Não - Clássicas
Andressa Caroline da Cunha, Melina Deraldo dos Santos, Thays Boiko
Universidade Tecnológica Federal do Paraná. Curitiba, PR - Brasil.
Abstract. The objective of this text is to inform the most important topics about the
non-classical logic, getting into deepon on the paraconsistent logic C1. The text also
aims to present the concepts for its understanding, as well as the main differences
between this and classical logic and show in sequence the implementation some
systems in deductive logic.
Resumo. O presente trabalho tem por objetivo informar os mais importantes tópicos
sobre a lógica não-clássica, aprofundando-se nas lógicas paraconsistentes C1.
Apresentar os principais conceitos para a sua compreensão, mostrar as principais
diferenças entre esta e a lógica clássica e em seqüência exibir a aplicação de alguns
sistemas dedutivos nesta lógica.
1.INTRODUÇÃO
Quando é feita uma referência à lógica, logo é lembrado o conceito da lógica clássica
a qual valora as suas fórmulas, sendo estes valores verdadeiro (1) ou falso (0), e apresenta
dois teoremas contraditórios e por isso torna-se um sistema trivial. No entanto é válido
lembrar da lógica não-clássica que traz como principais características aceitar a contradição,
entretanto não admitindo a trivialidade.
Dentro da lógica não-clássica podemos observar as lógicas paraconsistentes que
merecem atenção, porque auxiliam na discussão de sistemas contraditórios sem abandonar a
racionalidade. Embora seja relativamente jovem, o tema é promissor e deve atingir grande
destaque no meio cientifico - por poder ser utilizado em várias áreas como, por exemplo, o
direito - de acordo com o aparecimento de estudos mais aprofundados sobre o assunto e que
explorem mais a sua utilidade.
Logo, é fundamental salientar que este trabalho é restrito as lógicas paraconsistentesC1, e todas as aplicações de Sistemas dedutivos, neste apresentado, são para o complemento
somente a dela.
2. A LÓGICA NÃO CLÁSSICA
2.1 Histórico
A lógica surgiu na antiguidade no século IV a.C. (384-322 a.C.) com Aristóteles. Ele
criou a teoria do silogismo, um dos primeiros sistemas dedutivos já propostos e também um
dos primeiros sistemas axiomatizados construídos. Esta teoria lida com proposições, que
podem ser particulares ou universais, negativas ou positivas, e propõe a dedução de uma
conclusão a partir de duas premissas. Durante os cinco séculos que se seguiram ao fim da
Antigüidade, pouco ou nada se fez no campo da lógica.
A lógica moderna teve início no século XVII, com Leibniz, porém suas contribuições
não foram publicadas durante a sua vida, tornando-se conhecidas apenas no princípio do
século XX.
Apesar do trabalho precursor de Leibniz e de outros trabalhos a partir do final do
século XIX, o verdadeiro fundador da lógica moderna foi Gottlöb Frege. Ele reformulou a
velha silogística aristotélica e transformou-a em lógica clássica, adquirindo forma quase
definitiva, extensa e consistente e baseada em quatro princípios fundamentais:

Princípio da bivalência: cada fórmula recebe apenas um de dois valores distintos
absolutos, verdadeiro ou falso;

Princípio da identidade: se uma fórmula é verdadeira, então esta fórmula é verdadeira;

Princípio da não-contradição: dadas uma fórmula e sua negação, uma delas é falsa;

Princípio do terceiro excluído: dadas uma fórmula e sua negação, uma delas é
verdadeira.
O século XIX foi um dos períodos mais significativos na matemática, tendo como
marco fundamental o surgimento das geometrias não-euclidianas – geometrias distintas da
geometria clássica, usada até então. Tais geometrias foram, e são até hoje, motivações
heurísticas (método analítico usado na resolução de problemas) ou analógicas (relação de
semelhança) para a construção das lógicas não-clássicas.
Já no final do século XIX, alguns trabalhos pioneiros, buscando soluções nãoaristotélicas para algumas questões lógicas, foram precursores das lógicas não-clássicas em
geral. Nas primeiras décadas do século XX, vários filósofos e matemáticos, motivados por
questões e objetivos algumas vezes distintos, criaram novos sistemas lógicos, diferentes da
lógica aristotélica. Independentemente, em 1910, J. Łukasiewicz e N. Vasiliev, dois lógicos,
acusaram que alguns princípios da lógica aristotélica deveriam ser revisados, essencialmente
o da contradição.
Motivado por diversos problemas relativos a contradições, foi Jaśkowski, um dos
discípulos de Lukasiewicz, quem construiu o primeiro sistema de lógica que poderia ser
aplicado a sistemas envolvendo contradições. Jaśkowski salientou claramente a diferença
entre sistemas contraditórios, que incluem duas teses tais que uma contradiz a outra, e
sistemas supercompletos, nos quais todas as fórmulas são teses, e considerou que a lógica
clássica não é adequada para o estudo de sistemas contraditórios, porém não super-completos.
Contudo o seu sistema fica limitado a cálculos proposicionais
2.2 Exemplos de lógicas não-clássicas
As lógicas não-clássicas são divididas em duas categorias principais as
complementares e as alternativas. As complementares são as que não infringem os princípios
básicos da lógica clássica e não questionam sua validade universal, apenas ampliam e
complementam o seu escopo enriquecendo-a com a introdução de novos operadores. São
exemplos de lógicas complementares: lógicas modais, lógicas deônticas, lógicas do tempo,
lógicas epistêmicas, lógicas imperativas, etc.
As lógicas heterodoxas (alternativas, desviantes), rivais da lógica clássica, foram
concebidas como novas lógicas, destinadas a substituir a lógica clássica em alguns domínios
do saber. Elas anulam alguns princípios básicos da lógica clássica. Como exemplos têm as
lógicas não-reflexivas, lógicas paracompletas, lógicas polivalentes, lógicas relevantes, lógicas
paraconsistentes.
3. NEWTON CARNEIRO AFFONSO DA COSTA E A LÓGICA C
Apesar de Jaśkowski ter construído um cálculo proposicional paraconsistente,
podemos dizer que o brasileiro Newton Carneiro Affonso da Costa é o verdadeiro fundador da
lógica paraconsistente, porque seus sistemas vão além do calculo proposicional. Nos anos 50,
sem conhecer os trabalhos de Jaśkowski, da Costa começou a desenvolver suas idéias sobre a
importância do estudo das teorias contraditórias.
Em 1958 e 1959, da Costa publicou, em português, seus primeiros trabalhos ‘Uma
nota sobre o conceito de contradição’ e ‘Observação sobre o conceito de existência em
matemática’.
Da Costa 1958, propõe o seguinte princípio de tolerância em matemática: “do ponto
de vista sintático e semântico, toda teoria é aceitável, desde que não seja trivial”.
Uma visão geral dos resultados publicados anos mais tarde, entre 1963 e 1974, está
em Da Costa 1974. Da Costa construiu inicialmente uma lógica C, a qual é uma hierarquia de
cálculos proposicionais Cn, 1 = n = ω, satisfazendo as seguintes condições:

O princípio da contradição, na forma ¬(A^¬A), não deveria ser válido em geral;

De duas premissas contraditórias A e ¬A, não deveríamos deduzir qualquer fórmula
B;

Eles deveriam conter os mais importantes esquemas e regras da lógica clássica
compatíveis com as duas primeiras condições.
Com colaboradores poloneses, discípulos de Jaśkowski, da Costa axiomatizou e
desenvolveu resultados relativos ao sistema de Jaśkowski e outras lógicas discussivas. O
primeiro livro enciclopédico sobre lógica paraconsistente é Priest, Routley & Norman 1989.
4. A LÓGICA C1
Uma lógica é dita paraconsistente se pode ser usada como a lógica subjacente para
teorias inconsistentes e não triviais que são chamadas teorias paraconsistentes. A grande
relevância das teorias paraconsistentes, no que diz respeito aos paradoxos, é que eles podem
ser naturalmente absorvidos pela teoria, sem quebra da força lógica, ou seja, sem trivialização.
Nas lógicas paraconsistentes, o escopo do princípio da não-contradição é, num certo
sentido, restringido. Enquanto na lógica clássica, A Λ ¬A |- B, para quaisquer fórmulas A e B,
na lógica paraconsistente, de uma fórmula A e sua negação ¬A, não é possível, em geral,
deduzir qualquer fórmula B.
Em C1, o operador consistente (  ) é introduzido. Ou seja, se uma fórmula A é
consistente, podemos defini-la como ¬(A Λ ¬A):
 A = ¬(A Λ ¬A).
4.1 Valoração do C1

v(1   2 ) =1 se e somente se v(1 )  1 e v( 2 )  1;

v(1   2 )  1 se e somente se v(1 )  1 ou v( 2 )  1;

v(1   2 )  1 se e somente se v(1 )  0 ou v( 2 )  1;

v( )  0 implica em v( )  1 ;

v(  )  1 implica em v( )  1 ;

v ( )  1 implica em v ( )  0 ou v( )  0 ;

v((   )) = 0 implica em v( )  0 ou v( )  0 , para   {,, }
4.2 Axiomas do C1
Alguns axiomas para C1:
(Ax1)   (    )
(Ax2) (   )  ((  (    ))  (   )
(Ax3)   (   (   )
(Ax4) (   )  
(Ax5) (   )  
(Ax6)   (   )
(Ax7)   (   )
(Ax8) (   )  ((    )  ((   )   ))
(Ax10)   
(Ax11)   
(bc1)    (  (   )
(ca1) (   )  (   )
(ca2) (   )  (   )
(ca3) (   )  (   )
Regra de inferência:
(MP)
 ,  

4.3) Sistema KE para C1
T  
T
T
( 1 )
T  
F
(  2 )
F
F  
T
( F 1 )
F
F  
T  
T
(F 2 )
F
F  
( F )
T
T
F
T
T  
F
(T  1 )
T
T  
(T )
T
T
F  
( F )
F
F
()
T
(T)
T
T | F
F  (   )
T
T 
(T)
F
F
(T  2 )
T
T 
F
F  (   )
( F  1 )
T 
F
(F  2 )
Sabendo que  pode ser qualquer conectivo entre {→, Λ, ν}:
F  1 = F  (   ) , F  (   ) ou F  (   ) . E, como  é um conectivo
definido, F  (   ) , F  é na verdade F((   )  (   )) .
Por exemplo, F  1 é:
F ((   )  (   ))
T (   )
F (  )
( F  1 )
4.5) Aplicação do C1
Suponha a criação de um sistema médico, escrito em um conjunto de fórmulas finitas
sobre C1, para diagnosticar doenças, sendo elas K, L e M, caracterizadas por dois diferentes
sintomas: N e O.
O médico especialista nestas doenças forneceu as seguintes premissas:
- Uma pessoa não pode ter ambas as doenças K e L ( F1 e F2 );
- Se uma pessoa tiver a doença K, então ela tem a doença M ( F3 );
- Se um indivíduo tem o sintoma N, então ele tem a doença K ( F4 );
- Se uma pessoa tem o sintoma O então ela tem a doença L ( F5 ).
Ou seja:
( F1 ) K  L
( F2 ) L  K
( F3 ) K  M
( F4 ) N  K
( F5 ) O  L
Caso 1: um paciente chega a um consultório, sentindo os sintomas N e O. Deseja-se
saber se ele não está infectado com a doença M.
Para isso, temos que verificar se: F1 , F2 , F3 , F4 , F5 , N , O |  C1 M é válido.
T K  L
T L  K
TK M
TNK
TOL
T N
TO
F M
T K
T L
T M
T K
T L
Esse seqüente é válido na lógica clássica porque a contradição T K e T K , T L
e T L é encontrada, porém este tablô fica aberto na lógica C1, comprovando a diferença
entre as duas lógicas.
Caso 2: o paciente continua com os mesmos sintomas, mas agora, precisa-se saber se
ele possui a doença K e se essa conclusão é não consistente (¬  K). Para responder essa
pergunta, temos que analisar se F1 , F2 , F3 , F4 , F5 , N , O |  C1 K  K é válido:
T K  L
T L  K
T K M
T NK
TOL
T N
TO
F K   K
T K
T L
T K
T L
T M
F  K
T K
FK
X
Este seqüente não poderia ser representado na lógica clássica porque o conectivo 
não faz parte da sua linguagem, entretanto, ele é provado em C1.
5. CONCLUSÃO
Considerando-se os aspetos técnicos do trabalho, pode-se observar quão grande é a
diferença entre as lógicas não-clássicas das clássicas. Especialmente pela primeira estar
baseada em linguagens mais ricas em formas de expressão, e seus princípios e semânticas
serem inteiramente distintos. E como é importante o fato de existir uma lógica que aborde
temas como a inconsistência, entender o conhecimento incerto, e que alcança situações que
apresentam limitações para a lógica clássica.
Enquanto analisando de forma acadêmica, utilizamos este trabalho como meio para o
aprofundamento de nossos conhecimentos em lógica, a fim de cumprir o objetivo de
repassarmos o nosso conhecimento para nossos colegas de classe.
6. REFERÊNCIAS
Neto, Adolfo; Kaestner, Celso A. A.; Finger Marcelo; Towards an efficient prover for the C1
paraconsistent logic. Elsevier Science B. V. 2009.
WikiLivros. Lógicas não-clássicas. Disponível em:
http://pt.wikibooks.org/wiki/L%C3%B3gica:_L%C3%B3gicas_N%C3%A3ol%C3%A1ssicas:_Introdu%C3%A7%C3%A3o
Acessado em : 25/03/09.
WikiLivros. Cálculo Proposicional Clássico. Disponível em:
http://pt.wikibooks.org/wiki/L%C3%B3gica:_L%C3%B3gicas_N%C3%A3ol%C3%A1ssicas:_Introdu%C3%A7%C3%A3o
Acessado em : 25/03/09.
D’Ottaviano, Ítala M. L.; Feitosa, Hércules de A. Sobre a história da lógica, a lógica
clássica e o surgimento das lógicas não-clássicas1. Disponivel em:
ftp://ftp.cle.unicamp.br/pub/arquivos/educacional/ArtGT.pdf. Acessado em: 26/03/09.
Wikipedia. Lógica. Disponível em:
http://pt.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica#Tipos_de_L.C3.B3gica. Acessado em: 25/03/09;
Neto, Maurício C. L.; Venson, Nério; Lógica Paraconsistente. Disponível em:
www.inf.ufsc.br/~barreto/trabaluno/TC_Nerio_Mauricio.pdf -. Acessado em: 24/03/09