Espaços Vetoriais Euclidianos e Transformações Lineares

Universidade Federal do Vale do São Francisco
Engenharia Civil
Álgebra Linear
Profo . Edson
1o Semestre
a
2 Lista de Exercı́cios
Data: 04 de Maio
2006
Profo . Edson
Espaços Vetoriais Euclidianos e Transformações lineares
Exercı́cio 1 Determinar o valor de m para
que os vetores u = (2, m, −3) e v = (m −
1, 2, 4) sejam ortogonais em relação ao produto interno usual do R3 .
1. u · v = x1 x2 + 3y1 y2 ;
Exercı́cio 2 Seja V = R3 e o produto interno
4. u · v = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 − x2 y1 − x1 y2 ;
(x1 , y1 , z1 ) · (x2 , y2 , z2 ) = 2x1 x2 + 3y1 y2 + z1 z2
Determinar um vetor unitário simultaneamente ortogonal aos vetores u = (1, 2, 1) e
v = (1, 1, 1).
2. u · v = 3x1 x2 + 5y1 y2 + 2z1 z2 ;
3. u · v = 2x21 y12 = 3x22 y22 + z12 z2 ;
Exercı́cio 7 Consideremos o seguinte produto interno em P2 : p·q = a2 b2 +a1 b1 +a0 b0 ,
sendo p = a2 x2 +a1 x+a0 e q = b2 x2 +b1 x+b.
Dados os vetores p1 = x2 −2x+3, p2 = 3x−4
e p3 = 1 − x2 , calcular:
1. p1 · p2 ;
Exercı́cio 3 Construir a partir do vetor
v1 = (1, −2, 1) uma base ortogonal do R3 relativamente ao produto interno usual e obter,
a partir dela, uma base ortonormal.
Exercı́cio 4 O conjunto β = {(1, −1), (2, b)}
é uma base ortogonal do R2 em relação ao
produto interno:
(x1 , y1 ) · (x2 , y2 ) = 2x1 x2 + y1 y2
Calcular o valor de b e determinar, a partir
de β, uma base ortonormal.
Exercı́cio 5 Em relação ao produto interno
usual determinar uma base ortonormal do
seguinte subespaço vetorial do R3 :
S = { (x, y, z) ∈ R3 x + y − z = 0}
Exercı́cio 6 Sejam V = R3 e os vetores
u = (x1 , y1 , z1 ) e v = (x2 , y2 , z2 ). Verificar
quais das seguintes funções são produtos internos sobre o R3 . Para aquelas que não são
produtos internos, citar os axiomas que não
se verificam!
2. |p1 | e |p2 |;
3. |p1 + p2 |;
4.
p2
;
|p2 |
Exercı́cio 8 Se
a1 b1
u=
c1 d1
e
v=
a2
c2
b2
d2
são matrizes quaisquer de M (2, 2), a seguinte
fórmula define um produto interno nesse
espaço:
u · v = a1 a2 + b1 b2 + c1 c2 + d1 d2
Dados os vetores
1
2
u1 =
−1 1
e
v1 =
Determinar:
1. |u1 + v1 |;
2. o ângulo entre u e v.
0
1
2
1
2a Lista de Exercı́cios
2
Exercı́cio 9 Determinar o vetor (a, b, c)
para que o conjunto β = {(1, −3, 2), (2, 2, 2),
(a, b, c)} seja uma base ortogonal do R3 em
relação ao produto interno usual. Construir
a partir de β uma base ortonormal.
Exercı́cio
14 Seja V = M (2, 2) e seja A =
1 2
. Seja T : V → V a transformação
0 3
linear definida por
T (X) = XA − AX,
Exercı́cio 10 O conjunto β = {(2, −1), (k, 1)}
é uma base ortogonal do R2 em relação ao
produto interno
(x1 , y1 )·(x2 , y2 ) == 2x1 x2 +x1 y2 +x2 y1 +y1 y2
Determine o valor de k e obtenha, a partir de
β, uma base ortonormal.
Exercı́cio 11 Verifique se as funções abaixo
são transformações lineares
1. T : R2 → R2 tal que T (x, y) = (2x +
y, x + 3y)
2. T : R2 → R2 tal que T (x, y) = (x2 , y 2 )
3. T : R2 → R3 tal que T (x, y) = (1, x, x +
y)
4. T : R2 → R tal que T (x, y) = x+2y−3z
5. T : R3 → R2 tal que T (x, y, z) =
(2x2 + 3y, x, z)
Exercı́cio 12 Determine a transformação linear T : R2 → R3 tal que T (1, 1) = (3, 2, 1) e
T (0, −2) = (0, 1, 0);
para toda matriz X ∈ V. Dê uma base e a
dimensão do núcleo de T .
Exercı́cio 15 Dadas as transformações lineares T : R3 → R2 definida por T (x, y, z) =
(2x + y − z, x + 2y) e as bases α =
{(1, 0, 0), (2, −1, 0), (0, 1, 1)} do R3 e β =
{(−1, 1), (0, 1)}, do R2 , determine a matriz
α
[T ]β .
3
2
Exercı́cio
16 Seja T : R → R tal que
1 0 −1
α
[T ]β =
, sendo α = {(0, 1, 1),
−1 1
1
(1, 0, 0), (1, 0, 1)} e β = {(−1, 0), (0, −1)}
bases do R3 e do R2 , respectivamente.
1. Encontre a expressão de T (x, y, z);
2. Determine Im(T ) e uma base para este
subespaço;
3. Determine N (T ) e uma base para este
subespaço;
4. T é injetora? T é sobrejetora? Justifique!
1. Determine T (1, 0) e T (0, 1);
2. Encontre a transformação linear S :
R3 → R2 tal que S(3, 2, 1) = (1, 1),
S(0, 1, 0) = (0, −2) e S(0, 0, 1) = (0, 0);
3. Determine a transformação linear P :
R2 → R2 tal que P = S ◦ T.
Exercı́cio 13 A matriz abaixo determina
uma transformação linear TA de R4 em R3 .
Encontre uma base e a dimensão da imagem
e do núcleo de TA .


1
2 0
1
A =  2 −1 2 −1 
1 −3 2 −2
Exercı́cio 17 Considere a função T
M (2, 2) → R3 dada por
a c
T
= (a + b, c − d, 2a),
b d
:
1. Mostre T é linear;
α
2. Determine [T ]β , onde α e β são as bases
canônicas de M (2, 2) e R3 , respectivamente;
3. Calcule v ∈ M (2, 2) tal que T (v) =
(3, −2, 4);
4. Determine Im(T ) e N (T ).
2a Lista de Exercı́cios
3
Exercı́cio 18 Existe um operador linear
F : R3 → R3 tal que F (1, 1, 1) =
(1, 2, 3), F (1, 2, 3) = (1, 4, 9) e F (2, 3, 4) =
(1, 8, 27)? Justifique sua resposta!
Exercı́cio 19 Considere o operador linear
T do R3 definido por T (1, 0, 0) = (1, 1, 1);
T (0, 1, 0) = (1, 0, 1) e T (0, 1, 2) = (0, 0, 4). T
é inversı́vel? Se for, defermine o operador inverso!
3
3
Exercı́cio 20 Seja T : R → R onde
T (x, y, z) = (2x − y + z, x + y, 3x + y + z).
Verifique se T é bijetiva e se for, encontre
T −1 .
Exercı́cio 21 Seja

0
1
1

1
1 ,
1
onde α = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 1, 1)}. Determine a base β.
Exercı́cio 22 Sejam α = {(1, 0, (0, 1)} e β =
{(1, 1), (1, −1)}.
1. Calcule [(1, 0]β e [(0, 1)]β ;
2. Determine
Exercı́cio 25 Sejam F e T operadores lineares em R2 definidos por F (x, y) = (y, x) e
T (x, y) = (0, x). Estabeleça as expressões que
definem os operadores:
1. F + T ;
2. 2F − 3T ;
3. F ◦ T.
Soluções:
1. m = 27 ;
2. ( √16 , 0, − √26 );
−2 √1
−1
3. {( √16 , √
, 6 ), ( √
, 0, √12 ), ( √13 , √13 , √13 )}
6
2
1
α
[I]β =  0
1
α
[I]β
3. Prove que F é sobrejetora e injetora.
;
3. Determine [(x, y)]β ;
Exercı́cio 23 A matriz de mudança da base
{1 + x, 1 − x2 } para uma base β, ambas do
espaço vetorial P2 (R) é
1
2
.
1 −1
Determine a base β.
Exercı́cio 24 Seja F um operador linear de
R2 tal que F (1, 0) = (2, 1) e F (0, 1) = (1, 4).
−1
4. b = 4 e {( √13 , √
), ( √16 , √26 ))}
3
−1 √2 √1
, 6 , 6 )}
5. {( √12 , 0, √12 ), ( √
6
6. 1) não é. Falha P4 . 2) é! 3) não é.
Falha P2 e P3 4) não é. Falha P4 .
√
√
√
7. 1) −18; 2) 14 e 2; 3) 3; 4) 35 x − 54 .
√
8. 1) 21; 2) cos θ = √442 .
9. t(−5, 1, 4), t 6= 0 e{( √114 , √−3
, √214 ),
14
( √13 , √13 , √13 ), ( √−5
, √142 , √442 )}.
42
10. k =
−1
3
−1
−1 √3
e {( √25 , √
), ( √
, 5 )}.
5
5
11. —
12. 1) sim; 2) nao; 3) não; 4) sim; 5) não.
13. 1) T (x, y) = (3x, 5x−y
2 , x); 2) T (1, 0) =
(3, 25 , 1) e T (0, 1) = (0, − 12 , 0); 3)
S(x, yz) = ( x3 , 5x−6y
); 4) P (x, y) =
3
(x, y).
14. dim N (T )
=
2; N (T )
=
[(4, −2, −5, 0), (1, −3, 0, 5)];
dim
Im(T ) = 2; Im(T ) = 2; Im(T ) =
[(1, 2, 1), (0, 1, 1)];
1. Determine F (2, 4);
2. Determine (x, y) ∈ R2 tal F (x, y) =
(2, 3);
15. dim N
(T ) = 2
1 −1
1
base:
,
0
0
0
0
1
;
2a Lista de Exercı́cios
4
16.
α
[T ]β
=
−2
3
−3 0
3 2
;
17. 1)T (x, y, z) = (z −2y, x+y) 2) Im(T ) =
R2 ; 3) N (T ) = [(1, 1, 2)]; dim N (T ) = 1
4) T não é injetora; T é sobrejetora.


1 1 0
0
2
1
18. 2) 0 0 1 −1  ; 3)
,
c c+2
2 0 0
0
0 0
c ∈ R; 4) N (T ) =
,
1 1
Im(T ) = R2 .
19. Não, pois F (2, 3, 4) deveria ser (2, 6, 12);
z
x
z
20. É. T −1 (x, y, x) = (y, 3x
4 −y+ 4 , − 2 + 2 ).

1
−1 21. T
=  −1
−2

2 −1
−1
1 ;
−5
3
22. β = {(0, 0, 1), (−1, 1, 1), (1, 0, −1)};
1 1 1 1 2
2
2
2
,
; 2)
; 3)
23. 1)
1
1
− 12
− 12
2
2
x+y 2
.
x−y
2
24. β = { 23 +
x
3
−
x2 1
3 , 3
+
2x
3
+
x2
3 }
25. 1) (F + T )(x, y) = (y, 2x); 2) (2F −
3T )(x, y) = (2y, −x); 3) (F ◦ T )(x, y) =
(x, 0).