MATEMÁTICA - Nova Concursos

MATEMÁTICA
MATEMÁTICA
Notamos que à medida que x se aproxima de 1, y se aproxima
de 3, ou seja, quando x tende para 1 (x 1), y tende para 3 (y 3), ou seja:
1 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
PARA UMA E VÁRIAS VARIÁVEIS.
Noção intuitiva de limite
Observamos que quando x tende para 1, y tende para 3 e o
limite da função é 3.
Seja a função f(x)=2x+1. Vamos dar valores a x que se aproximem
de 1, pela sua direita (valores maiores que 1) e pela esquerda (valores
menores que 1) e calcular o valor correspondente de y:
x
y=2x+1
1,5
4
1,3
3,6
1,1
3,2
1,05
3,1
1,02
3,04
1,01
3,02
x
y=2x+1
0,5
2
0,7
2,4
0,9
2,8
0,95
2,9
0,98
2,96
0,99
2,98
Propriedades Operatórias
Limite da soma e diferença
Limite do produto
Limite do quociente
Limites Laterais
Se x se aproxima de a através de valores maiores que a ou pela
sua direita, escrevemos:
Esse limite é chamado de limite lateral à direita de a.
Se x se aproxima de a através de valores menores que a ou
pela sua esquerda, escrevemos:
Esse limite é chamado de limite lateral à esquerda de a.
O limite de f(x) para x a existe se, e somente se, os limites
laterais à direita a esquerda são iguais, ou seja:
Didatismo e Conhecimento
1
MATEMÁTICA
Taxa de variação média
Analisemos agora a variação do coeficiente angular da reta
secante fazendo Q se aproximar de P, ou seja, tomando ∆x cada
vez menor.
Tudo indica que quando P está próximo de Q, o coeficiente
angular msec da reta secante deve estar próximo do coeficiente
angular m da reta r, ou seja, o coeficiente angular msec tem um
limite m quando Q tende para P, que é o coeficiente angular da reta
tangente r.
Indicando-se a abscissa do ponto Q por x = a + ∆x (∆x = x - a)
e sabendo-se que a abscissa de P é expressa por a, então, se Q → P
temos que ∆x → 0, o que é equivalente a x→ a. Assim:
Consideremos a função y = f ( x ), vamos determinar a taxa de
variação média no intervalo [ x1 ; x2 ] Calculamos y1 = f ( x1) e y2
= f ( x2). A taxa de variação média igual a razão (y2 - y1) / (x2 - x1) ( se este limite existe), é o coeficiente angular da reta tangente
r. Porém,
Interpretação Geométrica
Logo, m = f’(a), ou seja, a derivada de uma função em um
ponto, de fato, fornece o coeficiente angular da reta tangente ao
gráfico desta função, neste ponto.
A derivada de uma função f em um ponto a fornece o
coeficiente angular (inclinação) da reta tangente ao gráfico de f no
ponto (a, f(a)). Vejamos:
Dada uma curva plana que representa o gráfico de f, se
conhecermos um ponto P(a, f(a)), então a equação da reta tangente
r à curva em P é dada por y - f(a) = m (x - a), onde m é o coeficiente
angular da reta. Portanto, basta que conheçamos o coeficiente
angular m da reta e um de seus pontos, para conhecermos a sua
equação. Mas como obter m para que r seja tangente à curva em P?
Consideremos um outro ponto arbitrário sobre a curva, Q,
cujas coordenadas são (a + ∆x, f(a+ ∆x)). A reta que passa por P e
Q que é chamada reta secante à curva.
Didatismo e Conhecimento
Derivada
A derivada da função f é a f ‘ definida por
Para todo x para o qual o limite exista.
Quando estamos interessados especificamente no valor de
uma derivada f’ em x=a, às vezes escrevemos a equação acima
na forma
2
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Nesse caso, diremos que a função é f é diferenciável em
x=a. O processo de determinação da derivada f’ é chamado
diferenciação de f.
2 CÁLCULO NUMÉRICO, PESQUISA
DE MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES,
MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO E DE
DIFERENCIAÇÃO.
Outra notação:
Para derivada de funções:
Máximos e Mínimos
Teorema 1: Derivada de uma constante
Se f(x)=c para todo x, então f’(x)=0
A figura abaixo mostra o gráfico de uma função y = f (x), onde
assinalamos os pontos de abscissas x1, x2, x3 e x4.
Teorema 2:Regra da Potência para n inteiro e positivo
Se n é um inteiro positivo e f(x)=xn, então f’(x)=nxn-1
Exemplo:
f(x)=x³+2x²+4x+6
f’(x)=3x²+4x+4
Integral
Esses pontos são chamados pontos extremos da função. Os
pontos x1 e x3 são pontos de máximo relativos (ou local), enquanto
que f(x1) e f(x3) são valores máximos relativos. Os pontos x2 e
x4 são chamados pontos de mínimo relativos (ou local), enquanto
que f(x2) e f(x4) são os valores mínimos relativos. Além disso,
observamos que f é crescente para x < x1, x ∈ (x2, x3) e x > x4, e
decrescente para x ∈ (x1, x2) e x ∈ (x3, x4).
Teorema: a antiderivada mais geral
Se f’(x)=f(x) em todo ponto do intervalo aberto I, então toda
antiderivada G de f em I tem a forma
G(x)=F(x)+c
- Teste da derivada de 2.ª ordem
Algumas integrais:
A fim de verificar se um ponto, que anula a derivada primeira
de uma função, representa um ponto de máximo ou mínimo local,
faz-se o teste da derivada de segunda ordem, ou seja:
a) deriva-se a função;
b) iguala-se a derivada primeira a zero;
c) Seja a função duas vezes diferenciável no intervalo aberto I.
(i) se f(x) (segunda derivada) >0 para todo x em I(intervalo),
então o gráfico de f possui concavidade para cima em I
(ii) se f(x) <0 para todo x em I, então o gráfico de f possui
concavidade para baixo em I.
Ou seja, a integral vai ser
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DERIVADAS
Pois, o fi para um dado retângulo é constante.
Nas fórmulas abaixo, u e v são funções da variável x.
a, b, c e n são constantes.
Derivada de uma constante
Integral por Partes
Pelo produto de derivadas, como vimos anteriormente:
Derivada da potência
, de uma forma mais fácil
A derivada do produto pode ser escrita 1ª vezes a derivada da
segunda +segunda vezes derivada da primeira
Soma / Subtração
Derivada do produto
Assim, para a integral:
Derivada da divisão
Exemplo:
Referências
www.somatematica.com.br
www.brasilescola.com
Voltando:
A Integral Definida para Cálculo de Área
A integral definida de uma função f(x), num intervalo [a,b] é
igual à área entre a curva de f(x) e o eixo dos x.
Integral por Substituição ou Mudança e Variável
Devemos mudar algumas variáveis para facilitar a integral
Exemplo:
Vamos chamar y=x² e dy=2xdx
Substituindo na integral
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MATEMÁTICA
As soluções se classificam em:
3 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
ORDINÁRIAS.
Solução geral - apresenta n constantes independentes entre
si (n = ordem da EDO). Essas constantes, de acordo com a conveniência, podem ser escritas C, 2C, C2, lnC, Solução Particular - Obtida da geral, mediante condições dadas
(chamadas condições iniciais ou condições de contorno).
Equações Diferenciais
Se y é uma função de x, e n é um inteiro positivo, então uma
relação de igualdade (que não se reduz a uma identidade) que envolva x, y, y›, y››, ...,y(n) é chamada uma equação diferencial de
ordem n.
DEFINIÇÃO: Equação diferencial é uma equação que apresenta derivadas ou diferenciais de uma função desconhecida (a incógnita da equação). EQUAÇÕES LINEARES HOMOGÊNEAS, 2ª ORDEM
FORMA : y’’ + a1 y’ + a0 y = 0 (a0, a1 constantes)
Ex: y = Então y’ = CLASSIFICAÇÃO
• EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIA (EDO): Envolve derivadas de uma função de uma só variável independente.
• • EQUAÇÃO DIFERENCIAL PARCIAL (EDP): Envolve
derivadas parciais de uma função de mais de uma variável independente.
• ORDEM: é a ordem da derivada de mais alta ordem da
função incógnita que figura na equação.
e y›› = Substituindonaequaçãodada: ou (
)=0
0 para todo x, logo devemos ter que é uma equação do segundo grau na variável ÇÃO CARACTERÍSTICA.
= 0,
, chamada EQUA-
Exemplos:
y’ = 2x
y”+x2(y’)3 - 40y = 0
y”’+x2y3 = x.tanx
A solução da equação diferencial linear irá depender da raízes 1 e 2.
tem ordem 1 e grau 1
tem ordem 2 e grau 3
tem ordem 3 e grau 3
•
RESOLUÇÃO
A solução de uma equação diferencial é uma função que não
contém derivadas nem diferenciais e que satisfaz a equação dada
(ou seja, a função que, substituída na equação dada, a transforma
em uma identidade).
Ex: Equação diferencial ordinária: C1
e C2
•
a solução
•
1 = a + bi, 2 = a - bi (complexos conjugados: a, b
a solução geral é y = C1
+ C2
1 = 2 = (números reais e iguais) geral da EDO é y = C1
+ C2x
= 3x2 - 4x + 1
reais) Ex: y’’ - 2y’ - 15y = 0
Equação característica: = 5, 2= -3
Solução geral: y = y = x3 - 2x2 + x + C (solução geral)
Uma solução particular pode ser obtida da geral através, por
exemplo, da condição y(-1) = 3 (condição inicial)
y = x3 - 2x2 + x + 7 (solução
Observação: Em qualquer dos dois casos, a prova pode ser
feita derivando a solução e, com isso, voltando à equação dada.
Didatismo e Conhecimento
2 números reais e distintos + C2
dy = 3 x2dx - 4 xdx + dx + C
C = 7 1, são soluções particulares da EDO e a solução geral é y = C1
dy = (3x2 - 4x + 1) dx
3 = -1 - 2 - 1 + C particular)
5
-2
- 15 = 0 cujas raízes são: 1
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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE ORDEM N
Uma equação diferencial linear de ordem n é da forma:
fn(x)y(n) + fn-1(x) y(n-1) +...+ f2(x) y’’ + f1(x)y’ + f0(x)y = k(x)
onde k(x) e os coeficientes fi (x) são funções de x.
CLASSIFICAÇÕES:
Equação linear homogênea (k(x) = 0), ou equação linear não-homogênea (k(x) 0).
Equação linear: de coeficientes constantes ( f0, f1, f2, ..., fn constantes) de coeficientes variáveis (pelo menos um fi variável)
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS EXATAS
Se P e Q têm derivadas parciais contínuas, então:
P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0
é uma equação diferencial exata se e somente se
Ex: (3x² - 2y³ + 3)dx + (x³ - 6xy² + 2y)dy = 0
P(x,y) = 3x²y - 2y³ + 3 e Q(x,y) = x³ - 6xy² + 2y
e logo Px = Qx e a equação diferencial é exata.
TEOREMA: A equação diferencial linear de primeira ordem y’ + P(x)y = Q(x) pode ser transformada em uma equação diferencial de
variáveis separáveis multiplicando-se ambos os membros pelo fator integrante .
Ex: Solução: A equação tem a forma do teorema onde, P(x) = -3x² e Q(x) = x²
Pelo teorema: Multiplicando todos os termos pelo fator integrante: - 3x²
A multiplicação por y = x²
ou = x²
dx = + C
dá a solução:
Fonte: http://www.somatematica.com.br/superior/equacoesdif/eq2.php
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Representação geométrica de um número complexo.
4 NÚMEROS COMPLEXOS E
FUNÇÕES DE VARIÁVEL COMPLEXA.
Números complexos
O conjunto dos números complexos é representado por IC,
e definido como o conjunto dos pares ordenados compostos por
números reais, onde são definidas a adição e a multiplicação e a
igualdade.
• Adição: ( a, b) + ( c, d ) = ( a + c, b + d ).
• Multiplicação: ( a, b) . ( c, d ) = ( ac - bd, ad + bc ).
• Igualdade: ( a, b) = ( c, d ) , onde a = c, b = d.
Sendo z = a + bi , |z| = Deve-se considerar que o conjunto IR está contido no conjunto IC. Sendo que, por exemplo, onúmero real a possui como parte
complexa 0. Ele será o número complexo (a, 0).
Unidade imaginária é indicada pela letra i , sendo que seu valor é ( 0, 1), onde se realizarmos i2 teremos i.i = ( 0, 1). ( 0, 1) = (
0.0 – 1.1, 0.1 + 1.0 ) = (–1,0).
Assim temos a notação usual que i2 = – 1. E que i = Tomando-se um número z = ( a, b), teremos que z = a + bi.
Portanto se assim considerarmos termos que a é a parte real de z e
b a parte complexa de z.
Pela representação gráfica temos que Onde substituindo em z = a + bi encontraremos a forma trigonométrica de um número complexo.
Para esta nova notação iremos definir as operações novamente
de maneira mais usual.
• Adição: (a + bi) + ( c + di) = (a + c) + (b + d)i
• Multiplicação: (a + bi).( c + di) = ( ac – bd) + (ad + bc)i
• Igualdade: (a + bi) = ( c + di), onde a = c, b = d
Conjugado de um número complexo. ( )
Se z = a + bi então = a – bi
Exemplo: z = nométrica.
iremos representa-lo na forma trigo-
Sendo que Onde Assim sua representação na forma trigonométrica é .
Teoremas conseqüentes desta definição:
Fonte: http://www.infoescola.com/matematica/numeros-complexos/
Para a Divisão de números complexos devemos proceder de
forma semelhante à racionalização.
Assim temos, z = a + bi , = a – bi e z1 = c + di
Para calcularmos a razão entre z1 e z devemos: Didatismo e Conhecimento
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MATEMÁTICA
S tem pelo menos um vetor em comum, a origem. Essa é um
subespaço.
5 ÁLGEBRA LINEAR: ESPAÇOS
VETORIAIS DE DIMENSÃO FINITA,
TRANSFORMAÇÕES LINEARES,
MATRIZES E DETERMINANTES,
PRODUTO ESCALAR E PRODUTO
VETORIAL.
Álgebra Linear
CONCEITOS FUNDAMENTAIS DE ÁLGEBRA LINEAR
Resolver sistemas lineares não é o único propósito da álgebra
linear.
Pelo professor Alexandre Stanford
RECIFE, 11 DE OUTUBRO DE 2002.
ESPAÇOS VETORIAIS
As soluções dos sistemas são vetores com n componentes
que podem ser representados no n-espaço euclidiano, representado por ℜn.
Como a soma de dois vetores no ℜn é ainda um vetor no ℜn,
como um vetor no ℜn multiplicado por um escalar ainda é um
vetor no ℜn. Dizemos que ℜn é FECHADO sobre adição de vetor
e multiplicação por escalar.
Exemplo: A solução de é:
Forma um conjunto fechado sobre as operações.
ESPAÇO VETORIAL (DEFINIÇÃO)
Uma coleção de n vetores é chamada de espaço vetorial se V
é fechado sobre a operação de adição e sobre a multiplicação por
escalar.
Obs.: Todo espaço vetorial contém o vetor nulo e o vetor
inverso de todo vetor.
Os espaços euclidianos são exemplos de espaços vetoriais.
Todo plano no ℜ3 contendo a origem é um espaço vetorial.
Como eles são um subconjunto do ℜ3 é conveniente chamá-los de
subespaços do ℜ3.
COMBINAÇÃO LINEAR
Um vetor b é chamado de uma combinação linear dos vetores v1, v2, ... , vn se b pode ser expresso na forma:
b = α1v1 + α2v2 + ... + αnvn, onde os αi’s são escalares.
Exemplo 1:
Determine se o vetor b = (-3,12,12) é uma combinação linear
dos vetores v1 = (-1,3,1), v2 = (0,2,4) e v3 = (1,0,2).
SUBESPAÇO VETORIAL (DEFINIÇÃO)
Um espaço vetorial V é chamado subespaço de W se todo
vetor em V também pertence a W.
Obs.: O menor subespaço de um espaço é uma coleção de
um único vetor, a origem. Esse subespaço é chamado de subespaço trivial de W. Os outros são chamados não-triviais.
Exemplo: subespaços do ℜ3:
1. O próprio ℜ3.
2. Planos contendo a origem.
3. Retas contendo a origem.
4. A origem.
ou seja:
INTERSEÇÃO DE SUBESPAÇOS
A interseção de dois subespaços é um subespaço.
PROVA:
S = S1 ∩ S2
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A pergunta é se o sistema tem solução. Ou seja:
α1 = 2, α2 = 3 e α3 = -1. Como |A| = 6, então o sistema tem uma única solução e a resposta é sim, é uma combinação linear.
Exemplo 2:
Como |A| = 0 e A é quadrada, o sistema não tem solução ou é indeterminado.
Incompatível.
Isto é, o vetor (1,5) não pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores (3,2) e (-6,-4).
GERADOR
Gerador do espaço é um conjunto de vetores pelo qual pode-se gerar todos os elementos do espaço.
Suponha que v1, v2, ..., vn são vetores em um espaço vetorial V. Diz-se que esses vetores geram V se V consiste de todas as combinações
lineares de v1, v2, ..., vn, isto é, se todo vetor v em V pode ser expresso na forma:
v = α1v1 + α2v2 + ... + αnvn, onde os αi’s são escalares.
Exemplo 1: Os vetores c1 = (1,0) e c2 = (0,1) geram o ℜ2 desde que todo vetor b em ℜ2 é uma combinação linear de c1 e c2: b = (b1,b2)
= b1 (1,0) + b2 (0,1) = b1c1 + b2c2.
Exemplo 2: Quais os vetores geradores do espaço solução do sistema x1 + 2x2 – x3 = 0 ?
Solução: x1 = -2x2 + x3, para x2 e x3 quaisquer. O vetor solução seria:
(x1, x2, x3) = x2 (-2,1,0) + x3 (1,0,1) ou seja:
(-2x2+x3, x2, x3) = (-2x2, x2, 0) + (x3, 0, x3) = x2 (-2,1,0) + x3 (1,0,1)
Então os vetores (-2,1,0) e (1,0,1) são os geradores do espaço de soluções do sistema x1 + 2x2 – x3 = 0. Observe que todo solução pode
ser expressa pela combinação linear desses dois vetores.
DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR
Diz-se que um conjunto de vetores é linearmente dependente (L.D.) se é possível expressar um dos vetores, digamos vi, como uma
combinação linear dos outros.
vi = α1v1 + α2v2 + ... + αi-1vi-1 + αi+1vi+1 + ... + αnvn, onde αi’s são escalares.
O conjunto é linearmente independente (L.I.) se ele não é linearmente dependente.
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DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR (TÉCNICA)
Os vetores x1, x2, ... , xn são L.D. se for possível encontrar uma combinação linear nula de tais vetores, onde pelo menos um dos coeficientes é não-nulo.
Os vetores são L.I. se a única solução para os coeficientes da combinação linear nula for zero, para todo αi.
Exemplo: v1 = (-1,2,0,2), v2 = (5,0,1,1), v3 = (8,-6,1,-5) são o quê?
α1v1 + α2v2 + α3v3 = 0
Assim, para α3 arbitrário é possível encontrar valores para α1 e α2 tais que o sistema tenha solução. O sistema é indeterminado, tem infinitas soluções. Logo, os vetores são linearmente dependentes.
SISTEMAS HOMOGÊNEOS
São sistemas lineares cujos termos independentes são todos nulos.
Um sistema homogêneo sempre tem pelo menos uma solução. A solução onde todas as variáveis são nulas é chamada de solução trivial. Qualquer outra é chamada não-trivial. A solução trivial sempre é solução de um sistema homogêneo.
Podemos dizer então que um conjunto de vetores é L.I. se a solução do sistema formado pela combinação linear nula admite como única
solução a solução trivial.
ESPAÇO NULO DE UMA MATRIZ
Seja uma matriz m x n. Então o subespaço do ℜn consistindo de todas as soluções do sistema linear homogêneo Ax = 0 é chamado o
ESPAÇO NULO da matriz A, denotado por N(A).
Exemplo 1: O espaço nulo da matriz A = [1 2 1] consiste de todas as soluções da equação x1 + 2x2 + x3 = 0. A solução geral pode ser
expressa assim:
x1 = -2x2 – x3
x = (-2x2 – x3, x2, x3) ⇒ x = x2 (-2,1,0) + x3 (-1,0,1), com x2 e x3 arbitrários.
Assim, o espaço nulo de A consiste de todas as somas de múltiplos dos vetores (-2,1,0) e (-1,0,1).
Exemplo 2: Dada a matriz ou seja, x1 = x3 e x2 = -x3
x = (x3, -x3, x3) = x3 (1,-1,1), x3 arbitrário.
Didatismo e Conhecimento
, determine N(A).
,
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MATEMÁTICA
Exemplo 3: Dada a matriz , determine N(A).
,
x1 = 0 e x2 = 0. Solução: N(A) = {0}
Ou mais facilmente, como det(A) = -2 ≠ 0, o sistema é determinado e tem uma única solução. Como o sistema é homogêneo, essa solução só poderá ser a trivial. Logo, N(A) = {0}.
BASE E DIMENSÃO
BASE
Um conjunto de vetores v1, v2, ... , vn em um espaço vetorial V é chamado de uma base para V se eles são linearmente independentes e
geram V.
1. Uma base contém toda a informação necessária sobre V (ela gera V)
2. Uma base não contém informação redundante sobre V (os vetores são independentes).
Exemplo: {1, x, x2, ... , xn} é uma base para o espaço vetorial dos polinômios de grau n – Pn.
Resultado 1:
- Qualquer vetor pertencente a V pode ser expresso como uma combinação linear dos vetores da base, e essa combinação é única.
PROVA: A matriz do sistema linear formada pela combinação linear de qualquer vetor é formada pelos vetores da base. Como os vetores da base são L.I., o sistema só tem uma solução para cada vetor b.
BASE PADRÃO DO ℜn (BASE CANÔNICA)
É uma base que tem como coeficientes da combinação linear os valores dos componentes do vetor:
Resultado 2:
- Seja V um espaço vetorial gerado por w1, w2, ... , wm. Se v1, v2, ... , vn são vetores independentes em V, então n ≤ m. Isto é, se V é gerado
por um conjunto de m vetores, então nenhum conjunto com mais que m vetores em V pode ser linearmente independente.
PROVA: Se os wi’s geram V, eles contêm toda informação relevante sobre V, e qualquer vetor em V pode ser expresso como uma combinação linear dos wi’s (única ou não). Assim, qualquer vetor a mais introduz informação redundante e o conjunto torna-se L.D.
Teorema: Quaisquer duas bases para um espaço vetorial têm o mesmo número de vetores.
DIMENSÃO
Diz-se que um espaço vetorial V tem dimensão n (ou que V é n-dimensional) se V tem uma base consistindo de n vetores. A dimensão
de V é denotada por dimV.
Teorema: Suponha que V é um espaço vetorial de dimensão n. Então nenhum conjunto com mais de n vetores em V pode ser linearmente independente e V não pode ser gerado por um conjunto de vetores com menos de n vetores.
“A dimensão de um espaço vetorial é o número máximo de vetores linearmente independente em V e também o número mínimo de
vetores necessários para gerar V”.
Teorema: Suponha que V é um espaço vetorial de dimensão n e v1, v2, ... , vn é um conjunto de n vetores em V.
• Se os vetores são L.I., então formam uma base para V.
• Se os vetores geram V, então formam uma base para V.
Ou seja, n vetores L.I. em V n-dimensional automaticamente geram o espaço e n vetores que geram um espaço n-dimensional são L.I.
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RANK DE UMA MATRIZ
Considere uma matriz m x n. Considere que suas linhas são vetores. O maior conjunto de vetores linearmente independentes desses
vetores é chamado de Rank de A.
Exemplo 1: Qual é o Rank de ?
O espaço nulo de A, ou seja, Ax = 0, é gerado por:
O Rank de A é dado pelo número de linhas com elementos diferentes de zero. No caso, Rank(A) = 3.
Exemplo 2: Qual o Rank de ?
Reduzindo Ax = 0 tem-se:
Rank(A) = 3
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MATEMÁTICA
MUDANÇA DE BASE
Um mesmo espaço vetorial pode ter várias bases.
Exemplo:
1: V =R e W = R
F : R → R ou F(u) = αu
u → αu
Como F(u + v) = α(u + v) = αu + αv = F(u) + F(v) e F(ku) = α(ku) = kαu = kF(u). Então F é uma transformação linear.
Exemplo 2: F(u) = u2 não é uma transformação linear, pois F(u + v) = (u + v)2 = u2 + 2vu + v2 = F(u) + 2vu + F(v) ≠ F(u) + F(v).
Exemplo 3: T(x,y) = (2x, 0, x + y), T : ℜ2 → ℜ3 ou em forma matricial .
Sejam u = (x1, y1) e v = (x2, y2)
T(u + v) = T[(x1, y1) + (x2, y2)] = T[(x1 + x2), (y1, y2)] T(u + v) = [2(x1, x2), 0, (x1 + x2 + y1 + y2)] = [2x1 + 2x2, 0, x1+ y1 + x2 + y2] = (2x1,
0, x1 + y1) + (2x2, 0, x2 + y2) = T(u) + T(v).
T(ku) = T(kx1,ky1) = (2kx1, 0, kx1 + ky1) = k (2x1, 0, x1 + y1) = k T(u).
Logo, T é linear.
Exemplo 4: L : ℜ2 → ℜ, L(v) = L(x,y) = 2x + 4 é uma transformação linear?
Sejam u = (u1, u2) e v = (v1, v2)
L(u + v) = L(u1 + v1, u2 + v2) = 2 (u1 + v1) + 4
L(u + v) = 2u1 + 2v1 + 4 ≠ L(u) + L(v). Não é linear.
Exemplo 5: Seja D : Pn → Pn, onde Pn é um polinômio e D é a aplicação derivada. Pelas propriedades das derivadas, sabe-se que:
D(f + g) = D(f) + D(g) e D(kf) = k D(f). Então D é uma transformação linear.
Observações:
1. Se T(0) ≠ 0, T não é linear.
2. Quando em T : V → W, V = W, então a transformação linear é chamada de Operador Linear.
3. Uma matriz Am x n sempre determina uma transformação linear T : ℜn → ℜm onde T(v) = Av.
IMAGEM E NÚCLEO
IMAGEM
NÚCLEO
Propriedades:
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MATEMÁTICA
Definição: Seja T : V → W uma transformação linear. O conjunto de todos os vetores v
tais que T(v) = 0 é chamado núcleo de T, sendo denotado por Ker(T), N(T) ou C(T).
Exemplo:
F(x,y) = x + y
C(T) = {(x,y) / x + y = 0} ou x = -y; v = (-1,1) gera o núcleo. O núcleo tem a dimensão de W, nesse caso.
ESPAÇOS VETORIAIS ISOMORFOS
Quando uma transformação linear T : V → W for injetora e sobrejetora ao mesmo tempo, ou seja, quando a transformação linear é
biunívoca.
Em outras palavras, quando a correspondência biunívoca entre dois espaços vetoriais preserva as operações de adição e multiplicação
por escalar, T(v + w) = T(v) + T(w) e T(kv) = k T(v), diz-se que esses espaços são isomorfos.
T : V → W
dim N(T) + dim Im(T) = dim V
Obs: Toda transformação linear pode ser representada por uma matriz.
AUTOVALORES E AUTOVETORES
É uma transformação especial T : V W.
• T(v) = λv
Onde, λ é o autovalor (escalar) e v é autovetor (se v 0).
Como toda transformação linear pode ser escrita pela multiplicação de uma matriz por um vetor então:
(II) T(v) = Av
Igualando (I) e (II), tem-se:
Av = λv ou Av – λv = 0 que resulta no sistema homogêneo:
(III) (A – λI) v = 0
Onde A é n x n, v = 0 é sempre solução (trivial).
Os vetores v 0 para os quais existe um λ que resolve a equação (III) são chamados de autovetores da matriz A e os valores de λ, que
conjuntamente com v resolvem a equação são chamados de autovalores da matriz A associados aos respectivos autovetores.
Para que a equação (III) tenha solução além da trivial é necessário que o determinante da matriz dos coeficientes seja zero, ou seja,
det(A – λI) = 0 o que resulta em um polinômio de grau n em λ, conhecido como polinômio característico. As raízes do polinômio característico são os autovalores da matriz A.
Para se encontrar os autovetores basta substituir o valor do autovalor na equação original e encontrar o autovetor. O autovalor será,
então, associado ao autovetor encontrado.
Na verdade, o autovetor encontrado forma uma base para o espaço de solução da equação (III), dado o respectivo autovalor. Logo,
qualquer múltiplo do autovetor também é um autovetor.
Exemplo: Determinar os autovalores e autovetores do operador linear:
T : ℜ3 ℜ3, T(x,y,z) = (3x – y + z, -x + 5y + z, x – y + 3z)
Solução:
Em forma matricial:
Didatismo e Conhecimento
14
MATEMÁTICA
Cálculo numérico:
Dividindo por (λ – 2):
(λ – 2) (λ2 - 9λ + 18) = 0
Os autovalores são λ1 = 2, λ2 = 6 e λ3 = 3
Para achar os autovetores basta substituir cada um dos autovalores na equação (A – λI) v = 0:
Para λ1 = 2:
.
Escalonando:
Logo, v1 = (x,0,-x) = x (1,0,-1)
Assim, qualquer múltiplo do vetor (1,0,-1) é um autovetor que tem como autovalor associado λ1 = 2, v1 = (1,0,-1)
Para λ2 = 3:
Assim, v2 = (x,x,x) = x (1,1,1).
v2 = (1,1,1) ou seus múltiplos.
Didatismo e Conhecimento
15
MATEMÁTICA
Para λ3 = 6:
v3 = (z,-2z,z) = z (1,-2,1)
v3 = (1,-2,1) ou seus múltiplos.
Observações:
1. Se λ é um autovalor de A, o conjunto Sλ de todos os vetores
(próprio) de V.
2. A matriz dos autovetores é chamada MATRIZ MODAL.
inclusive v nulo, associados a λ, é um subespaço vetorial
FORMAS LINEARES, BILINEARES E QUADRÁTICAS
FORMAS LINEARES
Seja V um espaço vetorial real. Uma forma linear é uma transformação linear f: V
Exemplo 1: função lucro, custo, etc.
Exemplo 2: f: ℜ2
ℜ.
ℜ, f(x,y) = x + y ou FORMAS BILINEARES
Seja V um espaço vetorial real. Uma forma bilinear é uma aplicação B: VxV
ℜ definida por :
• Para todo w fixo, B(v,w) é uma forma linear em V, isto é,
B(v1 + v2, w) = B(v1,w) + B(v2,w) e B(αv,w) = α B(v,w)
• Para todo v fixo, B(v,w) é uma forma linear em W.
Exemplo 1: p: ℜ x ℜ ℜ, (x,y) p(x,y) = xy
Verificando:
p(x,y + z) = x(y + z) = xy + xz = p(x,y) + p(x,z)
p(ax,y) = axy = a.p(x,y)
Como a ordem dos fatores não altera o produto, p é uma forma bilinear.
Exemplo 2: B[(x1,y1),(x2,y2)] = x1x2 – 2y1y2
B[(x1,y1),(x2,y2) + (x3,y3)] = B[(x1,y1), (x2 + x3,y2 + y3)] = x1(x2 + x3) – 2y1(y2 + y3) = x1x2 – 2y1y2 + x1x3 – 2y1y3 = B[(x1,y1),(x2,y2)] +
B[(x1,y1) + (x3,y3)] e assim por diante.
MATRIZ DE UMA FORMA BILINEAR
Sejam V um espaço vetorial e B: VxV
ℜ uma forma bilinear. Dada uma base de V, A = (v1, v2, ... , vn), associa-se a B uma matriz chamada MATRIZ DA FORMA BILINEAR NA BASE A, a matriz:
Didatismo e Conhecimento
16
MATEMÁTICA
Se x = x1v1 + x2v2 + ... + xnvn e y = y1v1 + y2v2 + ... + ynvn a forma bilinear pode ser escrita como:
Exemplo: B(x,y) = -x1y1 + 2y1x2 + 5x2y2. Seja a base C = {(1,0),(0,1)}
Exemplo 2: B: ℜ3 x ℜ3 ℜ, B(x,y) = -2x1y1 + 4x2y1 + 2x2y2 + 2x3y3 na base canônica.
FORMA BILINEAR SIMÉTRICA
Teorema: B é simétrica se e somente se é uma matriz simétrica.
FORMAS QUADRÁTICAS
Seja V um espaço vetorial real e B: VxV
“forma quadrática” associada a B.
Exemplo: Q(x) = x12 – 10x1x2 + x22, Q: ℜ2 Exemplo: Q: ℜ3 ℜ uma forma bilinear simétrica. A função Q: V
ℜ.
ℜ, Q(x) = 3x12 + 2x1x2 + 4x22 + 5x2x3
Didatismo e Conhecimento
17
ℜ definida por Q(v) = B(v,v) é chamada
MATEMÁTICA
CLASSIFICAÇÃO DAS FORMAS QUADRÁTICAS DEFINIDAS E SEMIDEFINIDAS
Definição: Seja Q: ℜp
ℜ uma forma quadrática. Diz que:
Exemplo 1: Q: ℜ2
ℜ, Q(x1,x2) = (x1,x2)2
2 Q(x1,x2) = x1 + 2x1x2 + x22 é positiva semidefinida, pois Q(x1,x2) > 0 se x1 ≠ -x2 e Q(x1,x2) = 0 se x1 = -x2.
Exemplo 2: Q(x1,x2) = x12 + x22 é positiva definida
Q(x) > 0, para todo x ≠ 0.
Exemplo 3: Q(x1,x2) = x12 – x22 é indefinida, pois, Q(0,1) = -1 < 0 e Q(1,0) = 1 > 0.
Pode-se classificar as formas quadráticas pelos autovalores da matriz associada.
CLASSIFICAÇÃO POR AUTOVALORES
Seja Q uma forma quadrática e a matriz associada a Q, e sejam λ1, λ2, ... , λn os n autovalores de Fonte: http://www.ebah.com.br/content/ABAAAAxbYAK/conceitos-fundamentais-algebra-linear?part=5
Didatismo e Conhecimento
18
, então:
MATEMÁTICA
O desenvolvimento da notação algébrica evoluiu ao longo de
três estágios: o retórico (ou verbal), osincopado (no qual eram usadas abreviações de palavras) e o simbólico. No último estágio, a
notação passou por várias modificações e mudanças, até tornar-se
razoavelmente estável ao tempo de Isaac Newton. É interessante
notar que, mesmo hoje, não há total uniformidade no uso de símbolos. Por exemplo, os americanos escrevem “3.1416” como aproximação de Pi, e muitos europeus escrevem “3,1416”. Em alguns
países europeus, o símbolo “÷” significa “menos”. Como a álgebra
provavelmente se originou na Babilônia, parece apropriado ilustrar o estilo retórico com um exemplo daquela região. O problema
seguinte mostra o relativo grau de sofisticação da álgebra babilônica. É um exemplo típico de problemas encontrados em escrita
cuneiforme, em tábuas de argila que remontam ao tempo do rei
Hammurabi. A explanação, naturalmente, é feita em português; e
usa-se a notação decimal indo-arábica em vez da notação sexagesimal cuneiforme. A coluna à direita fornece as passagens correspondentes em notação moderna. Eis o exemplo:
[1] Comprimento, largura. Multipliquei comprimento por largura, obtendo assim a área: 252. Somei comprimento e largura:
32. Pede-se: comprimento e largura.
x+y=k
[2] [Dado] 32 soma; 252 área.
xy=P } ... (A)
[3] [Resposta] 18
comprimento; 14 largura.
[4] Segue-se este método:
k/2
Tome metade de 32 [que é 16].
16 x 16 = 256
(k/2)2
256 - 252 = 4
(k/2)2 - P = t2 } ... (B)
6 ÁLGEBRA.
HISTÓRIA DA ÁLGEBRA
(uma visão geral)
Fonte: Tópicos de História da Matemática - John K. Baumgart
Estranha e intrigante é a origem da palavra “álgebra”. Ela não
se sujeita a uma etimologia nítida como, por exemplo, a palavra
“aritmética”, que deriva do grego arithmos («número»). Álgebra é
uma variante latina da palavra árabe al-jabr (às vezes transliterada al-jebr), usada no título de um livro, Hisab al-jabr w’al-muqabalah, escrito em Bagdá por volta do ano 825 pelo matemático árabe Mohammed ibn-Musa al Khowarizmi (Maomé, filho de
Moisés, de Khowarizm). Este trabalho de álgebra é com frequência citado, abreviadamente, como Al-jabr.
Uma tradução literal do título completo do livro é a “ciência
da restauração (ou reunião) e redução”, mas matematicamente seria melhor “ciência da transposição e cancelamento”- ou, conforme Boher, “a transposição de termos subtraídos para o outro membro da equação” e “o cancelamento de termos semelhantes (iguais)
em membros opostos da equação”. Assim, dada a equação:
x2 + 5x + 4 = 4 - 2x + 5x3
al-jabr fornece
x2 + 7x + 4 = 4 + 5x3
e al-muqabalah fornece
x2 + 7x = 5x3
A raiz quadrada de 4 é 2.
Talvez a melhor tradução fosse simplesmente “a ciência das
equações”.
Ainda que originalmente “álgebra” refira-se a equações, a palavra hoje tem um significado muito mais amplo, e uma definição
satisfatória requer um enfoque em duas fases:
(1) Álgebra antiga (elementar) é o estudo das equações e métodos de resolvê-las.
(2) Álgebra moderna (abstrata) é o estudo das estruturas matemáticas tais como grupos, anéis e corpos - para mencionar apenas
algumas.
De fato, é conveniente traçar o desenvolvimento da álgebra
em termos dessas duas fases, uma vez que a divisão é tanto cronológica como conceitual.
16 + 2 = 18 comprimento.
16 - 2 = 14 largura
[5] [Prova] Multipliquei 18
comprimento por 14 largura.
18 x 14 = 252 área
((k/2)+t) ((k/2)-t)
= (k2/4) - t2 = P = xy.
Nota-se que na etapa [1] o problema é formulado, na [2] os
dados são apresentados, na [3] a resposta é dada, na [4] o método
de solução é explicado com números e, finalmente, na [5] a resposta
é testada.
A “receita” acima é usada repetidamente em problemas semelhantes. Ela tem significado histórico e interesse atual por várias
razões. Antes de tudo não é a maneira como resolveríamos hoje o
sistema (A). O procedimento padrão nos atuais textos escolares
de álgebra é resolver, digamos, a primeira equação para y (em
termos de x), substituir na segunda equação e, então, resolver a
equação quadrática resultante em x; isto é, usaríamos o método
de substituição. Os babilônios também sabiam resolver sistemas
por substituição, mas frequentemente preferiam usar seu método
paramétrico. Ou seja, usando-se notação moderna, eles concebiam x e y em termos de uma nova incógnita (ou parâmetro) t fazendo x=(k/2)+t e y=(k/2)-t.
Equações algébricas e notação
A fase antiga (elementar), que abrange o período de 1700 a.C.
a 1700 d.C., aproximadamente, caracterizou-se pela invenção gradual do simbolismo e pela resolução de equações (em geral coeficientes numéricos) por vários métodos, apresentando progressos
pouco importantes até a resolução “geral” das equações cúbicas e
quárticas e o inspirado tratamento das equações polinomiais em
geral feito por François Viète, também conhecido por Vieta (15401603).
Didatismo e Conhecimento
(k/2) + t = x.
(k/2) - t = y.
19
MATEMÁTICA
Então o produto
xy = ((k/2) + t) ((k/2) - t) = (k/2)2 - t2 = P
levava-os à relação (B):
(k/2)2 - P = t2
Não há dúvida de que os pitagóricos conheciam bem a álgebra
babilônica e, de fato, seguiam os métodos-padrão babilônios de resolução de equações. Euclides deixou registrados esses resultados
pitagóricos. Para ilustrá-lo, escolhemos o teorema correspondente
ao problema babilônio considerado acima.
Em segundo lugar, o problema acima tem significado histórico porque a álgebra grega (geométrica) dos pitagóricos e de Euclides seguia o mesmo método de solução - traduzida, entretanto,
em termos de segmentos de retas e áreas e ilustrada por figuras
geométricas. Alguns séculos depois, outro grego, Diofanto, também usou a abordagem paramétrica em seu trabalho com equações
“diofantinas”. Ele deu início ao simbolismo moderno introduzindo
abreviações de palavras e evitando o estilo um tanto intrincado da
álgebra geométrica.
Em terceiro lugar, os matemáticos árabes (inclusive al-Khowarizmi) não usavam o método empregado no problema acima;
preferiam eliminar uma das incógnitas por substituição e expressar
tudo em termos de palavras e números.
Antes de deixar a álgebra babilônica, notemos que eles eram
capazes de resolver uma variedade surpreendente de equações, inclusive certos tipos especiais de cúbicas e quárticas - todas com
coeficientes numéricos, naturalmente.
Do livro VI dos Elementos, temos a proposição 28 (uma versão simplificada):
Dada uma linha reta AB [isto é, x+y=k], construir ao longo
dessa linha um retângulo com uma dada área[xy = P], admitindo que o retângulo “fique aquém” em AB por uma quantidade
“preenchida” por outro retângulo [o quadrado BF na Figura
2], semelhante a um dado retângulo [que aqui nós admitimos ser
qualquer quadrado].
Álgebra no Egito
A álgebra surgiu no Egito quase ao mesmo tempo que na Babilônia; mas faltavam à álgebra egípcia os métodos sofisticados da
álgebra babilônica, bem como a variedade de equações resolvidas,
a julgar pelo Papiro Moscou e o Papiro Rhind - documentos egípcios que datam de cerca de 1850 a.C. e 1650 a.C., respectivamente,
mas refletem métodos matemáticos de um período anterior. Para
equações lineares, os egípcios usavam um método de resolução
consistindo em uma estimativa inicial seguida de uma correção
final - um método ao qual os europeus posteriormente deram o
nome um tanto abstruso de “regra da falsa posição”. A álgebra do
Egito, como a da Babilônia, era retórica.
O sistema de numeração egípcio, relativamente primitivo em
comparação com o dos babilônios, ajuda a explicar a falta de sofisticação da álgebra egípcia. Os matemáticos europeus do século
XVI tiveram de estender a noção indo-arábica de número antes de
poderem avançar significativamente além dos resultados babilônios de resolução de equações.
Na solução desta construção solicitada (Fig.2) o trabalho de
Euclides é quase exatamente paralelo à solução babilônica do problema equivalente. Conforme indicado por T.L.Heath / EUCLID:
II, 263/, os passos são os seguintes:
Bissecte AB em M:
k/2
Construa o quadrado MBCD: (k/2)2
Usando VI, 25, construa o
quadrado DEFG com área
t2 = (k/2)2 - P
igual ao excesso de MBCD
sobre a área dada P:
Então é claro que
y = (k/2) - t
Como fazia frequentemente, Euclides deixou o outro caso
para o estudante - neste caso, x=(k/2)+t, o que Euclides certamente
percebeu mas não formulou.
Álgebra geométrica grega
A álgebra grega conforme foi formulada pelos pitagóricos e
por Euclides era geométrica. Por exemplo, o que nós escrevemos
como:
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2
era concebido pelos gregos em termos do diagrama apresentado na Figura 1 e era curiosamente enunciado por Euclides em Elementos, livro II, proposição 4:
Se uma linha reta é dividida em duas partes quaisquer, o quadrado sobre a linha toda é igual aos quadrados sobre as duas partes, junto com duas vezes o retângulo que as partes contém. [Isto
é, (a+b)2= a2 + 2ab + b2.]
Somos tentados a dizer que, para os gregos da época de Euclides, a2 era realmente um quadrado.
Didatismo e Conhecimento
20
MATEMÁTICA
É de fato notável que a maior parte dos problemas-padrão babilônicos tenham sido «refeitos» desse modo por Euclides. Mas
por quê? O que levou os gregos a darem à sua álgebra esta formulação desajeitada? A resposta é básica: eles tinham dificuldades
conceituais com frações e números irracionais. Mesmo que os matemáticos gregos fossem capazes de contornar as frações, tratando-as como razões de inteiros, eles tinham
dificuldades insuperáveis com números como a raiz quadrada de
2, por exemplo. Lembramos o “escândalo lógico” dos pitagóricos
quando descobriram que a diagonal de um quadrado unitário é incomensurável com o lado (ou seja, diag/lado é diferente da razão
de dois inteiros).
Assim, foi seu estrito rigor matemático que os forçou a usar
um conjunto de segmentos de reta como domínio conveniente de
elementos. Pois, ainda que raiz quadrada de 2 não possa ser expresso em termos de inteiros ou suas razões, pode ser representado como um segmento de reta que é precisamente a diagonal do
quadrado unitário. Talvez não seja apenas um gracejo dizer que o
contínuo linear era literalmente linear.
De passagem devemos mencionar Apolônio (c. 225 a.C.), que
aplicou métodos geométricos ao estudo das secções cônicas. De
fato, seu grande tratado Secções cônicas contém mais geometria
analítica das cônicas - toda fraseada em terminologia geométrica do que os cursos universitários de hoje.
A matemática grega deu uma parada brusca. A ocupação romana tinha começado, e não encorajava a erudição matemática,
ainda que estimulasse alguns outros ramos da cultura grega. Devido ao estilo pesado da álgebra geométrica, esta não poderia sobreviver somente na tradição escrita; necessitava de um meio de
comunicação vivo, oral. Era possível seguir o fluxo de ideias desde
que um instrutor apontasse para diagramas e explicasse; mas as
escolas de instrução direta não sobreviveram.
7 TEORIA DOS NÚMEROS.
Teoria dos números.
A teoria dos números é o estudo dos números naturais ou
inteiros positivos 1, 2, 3, 4,... e suas propriedades. O matemático
Leopold Kronecker certa vez observou que, ao se tratar de matemática, Deus criou os números naturais e o resto é obra da humanidade. Contudo, os inteiros positivos representam, sem sombra de
dúvida, a primeira criação matemática humana, e é difícil imaginar
a humanidade destituída da habilidade de contar.
Embora os números naturais constituam, em um certo sentido,
o sistema matemático mais elementar, o estudo de suas propriedades tem exercido grande fascínio na mente humana desde as mais
remotas épocas da antiguidade, desafiando inúmeras gerações de
matemáticos e leigos, que apreciam os seus enunciados simples e
intrigantes, cujas demonstrações estão além de qualquer simplicidade.
Dentre os tesouros do antigo Egito se encontra o papiro Rhind
descrevendo a matemática praticada no Egito há aproximadamente
2000 anos a.C.. Registros históricos mostram que os sumérios desenvolveram algum tipo de aritmética pois, por volta de 3500 a.C.,
possuíam um calendário e, por volta de 2500 a.C., desenvolveram
um sistema numérico utilizando o número 60 como base. Os babilônios seguiram essa tradição e se tornaram exímios calculistas;
tábuas de barro da Babilônia, datando de 2000 a.C., foram encontradas com elaboradas tabelas matemáticas. Ao final do terceiro
milênio a.C. tábuas cuneiformes da Mesopotâmia mostravam que
a Aritmética já era bastante sofisticada.
Os números foram utilizados nas transações comerciais por
mais de 2000 anos até que se pensasse em estudá-los de forma
sistemática. A primeira abordagem científica ao estudo dos números inteiros, isto é, a verdadeira origem da teoria dos números,
é geralmente atribuída aos gregos. Por volta de 600 a.C. Pitágoras
e seus discípulos fizeram vários estudos interessantes. Eles foram
os primeiros a classificar os inteiros de várias maneiras: números
pares, ímpares, primos, etc..
Na verdade não são exatamente os números naturais que
exercem fascínio estético, místico e prático, mas as relações que
eles estabelecem entre si. É dentro dessas relações profundas e sutis que se encontra a beleza, encanto e fascínio que os números
exercem através das gerações.
A teoria dos números é a área da matemática cujo objetivo é descobrir e estabelecer as relações profundas e sutis que
números de tipos diferentes guardam entre si. Por exemplo,
considere os quadrados dos números naturais 1, 4, 9, 16, 25,...
. Se tomarmos a soma de dois quadrados, eventualmente obteremos como resultado um outro quadrado. O exemplo mais
famoso é: , mas existem outros exemplos: , , e muitos outros. As
ternas deste tipo, (3, 4, 5), (5, 12, 13), (20, 21, 29), são denominadas ternas pitagóricas. Por outro lado
não é um
quadrado. Portanto seguem questões como “Existem infinitas ternas pitagóricas?” e “ Se a resposta for positiva, poderemos encontrar uma fórmula que as descrevam em sua totalidade?”. Esses
são alguns dos tipos de questões que a teoria dos números investiga.
Álgebra na Europa
A álgebra que entrou na Europa (via Liber abaci de Fibonacci
e traduções) havia regredido tanto em estilo como em conteúdo.
O semi-simbolismo (sincopação) de Diofanto e Brahmagupta e
suas realizações relativamente avançadas não estavam destinados
a contribuir para uma eventual irrupção da álgebra.
A renascença e o rápido florescimento da álgebra na Europa
foram devidos aos seguintes fatores:
1. facilidade de manipular trabalhos numéricos através do
sistema de numeração indo-arábico, muito superior aos sistemas
(tais como o romano) que requeriam o uso do ábaco;
2. invenção da imprensa com tipos móveis, que acelerou a
padronização do simbolismo mediante a melhoria das comunicações, baseada em ampla distribuição;
3. ressurgimento da economia, sustentando a atividade intelectual; e a retomada do comércio e viagens, facilitando o intercâmbio de ideias tanto quanto de bens.
Cidades comercialmente fortes surgiram primeiro na Itália, e
foi lá que o renascimento algébrico na Europa efetivamente teve
início.
Fonte: http://www.somatematica.com.br/algebra.php.
Didatismo e Conhecimento
21
MATEMÁTICA
A teoria dos números é povoada por uma variedade enorme
de objetos: números primos, quadrados, ímpares e perfeitos; conjuntos dos números racionais, algébricos, e transcendentes, algumas funções analíticas bastante específicas tais como séries de
Dirichlet e formas modulares; equações tais como a de Fermat e
de Pell, curvas elípticas, códigos, alguns objetos geométricos tais
como reticulados, feixes sobre Z e muitos outros que encontraremos em nossa jornada através da teoria dos números.
Fonte:http://www.somatematica.com.br/coluna/gisele/25052001.php
Definições.
a) Ângulo é a região plana limitada por duas semirretas de
mesma origem.
b) Ângulos congruentes: Dois ângulos são ditos congruentes
se têm a mesma medida.
c) Bissetriz de um ângulo: É a semirreta de origem no vértice
do ângulo que divide esse ângulo em dois ângulos congruentes.
Perímetro: entendendo o que é perímetro.
8 GEOMETRIA.
Imagine uma sala de aula de 5m de largura por 8m de
comprimento.
Quantos metros lineares serão necessários para colocar rodapé
nesta sala, sabendo que a porta mede 1m de largura e que nela não
se coloca rodapé?
A Geometria é a parte da matemática que estuda as figuras e
suas propriedades. A geometria estuda figuras abstratas, de uma
perfeição não existente na realidade. Apesar disso, podemos ter
uma boa ideia das figuras geométricas, observando objetos reais,
como o aro da cesta de basquete que sugere uma circunferência,
as portas e janelas que sugerem retângulos e o dado que sugere
um cubo.
Reta, semirreta e segmento de reta
A conta que faríamos seria somar todos os lados da sala,
menos 1m da largura da porta, ou seja:
P = (5 + 5 + 8 + 8) – 1
P = 26 – 1
P = 25
Definições.
a) Segmentos congruentes.
Dois segmentos são congruentes se têm a mesma medida.
b) Ponto médio de um segmento.
Um ponto P é ponto médio do segmento AB se pertence ao
segmento e divide AB em dois segmentos congruentes.
c) Mediatriz de um segmento.
É a reta perpendicular ao segmento no seu ponto médio
Colocaríamos 25m de rodapé.
A soma de todos os lados da planta baixa se chama Perímetro.
Portanto, Perímetro é a soma dos lados de uma figura plana.
Ângulo
Área
Área é a medida de uma superfície.
A área do campo de futebol é a medida de sua superfície
(gramado).
Se pegarmos outro campo de futebol e colocarmos em uma
malha quadriculada, a sua área será equivalente à quantidade de
quadradinho. Se cada quadrado for uma unidade de área:
Didatismo e Conhecimento
22
MATEMÁTICA
Pegamos um retângulo e colocamos em uma malha
quadriculada onde cada quadrado tem dimensões de 1 cm. Se
contarmos, veremos que há 24 quadrados de 1 cm de dimensões
no retângulo. Como sabemos que a área é a medida da superfície
de uma figuras podemos dizer que 24 quadrados de 1 cm de
dimensões é a área do retângulo.
Veremos que a área do campo de futebol é 70 unidades de
área.
A unidade de medida da área é: m² (metros quadrados), cm²
(centímetros quadrados), e outros.
Se tivermos uma figura do tipo:
O retângulo acima tem as mesmas dimensões que o outro,
só que representado de forma diferente. O cálculo da área do
retângulo pode ficar também da seguinte forma:
A = 6 . 4 A = 24 cm²
Podemos concluir que a área de qualquer retângulo é:
Sua área será um valor aproximado. Cada
é uma unidade,
então a área aproximada dessa figura será de 4 unidades.
No estudo da matemática calculamos áreas de figuras planas e
para cada figura há uma fórmula pra calcular a sua área.
A=b.h
Quadrado
É o quadrilátero que tem os lados congruentes e todos os
ângulos internos a congruentes (90º).
Retângulo
É o quadrilátero que tem todos os ângulos internos congruentes
e iguais a 90º.
No cálculo da área de qualquer retângulo podemos seguir o
raciocínio:
Sua área também é calculada com o produto da base pela
altura. Mas podemos resumir essa fórmula:
Como todos os lados são iguais, podemos dizer que base é
igual a e a altura igual a , então, substituindo na fórmula A = b .
h, temos:
A= .
A= ²
Didatismo e Conhecimento
23
MATEMÁTICA
Trapézio
É o quadrilátero que tem dois lados paralelos. A altura de um
trapézio é a distância entre as retas suporte de suas bases.
Segundo: o dividimos em dois triângulos:
A área desse trapézio pode ser calculada somando as áreas dos
dois triângulos (∆CFD e ∆CEF).
Antes de fazer o cálculo da área de cada triângulo
separadamente observamos que eles possuem bases diferentes e
alturas iguais.
Em todo trapézio, o segmento que une os pontos médios
dos dois lados não paralelos, é paralelo às bases e vale a média
aritmética dessas bases.
Cálculo da área do ∆CEF:
A∆1 = B . h
2
Cálculo da área do ∆CFD:
A∆2 = b . h
2
A área do trapézio está relacionada com a área do triângulo
que é calculada utilizando a seguinte fórmula:
A = b . h (b = base e h = altura).
2
Observe o desenho de um trapézio e os seus elementos mais
importantes (elementos utilizados no cálculo da sua área):
Somando as duas áreas encontradas, teremos o cálculo da
área de um trapézio qualquer:
AT = A∆1 + A∆2
AT = B . h + b . h
2
2
AT = B . h + b . h → colocar a altura (h) em evi2
dência, pois é um termo comum aos dois fatores.
AT = h (B + b)
2
Um trapézio é formado por uma base maior (B), por uma base
menor (b) e por uma altura (h).
Para fazermos o cálculo da área do trapézio é preciso dividi-lo
em dois triângulos, veja como:
Portanto, no cálculo da área de um trapézio qualquer
utilizamos a seguinte fórmula:
A = h (B + b)
2
Primeiro: completamos as alturas no trapézio:
h = altura
B = base maior do trapézio
b = base menor do trapézio
Didatismo e Conhecimento
24
MATEMÁTICA
Losango
Propriedades dos triângulos
É o quadrilátero que tem os lados congruentes.
1) Em todo triângulo, a soma das medidas dos 3 ângulos
internos é 180º.
Em todo losango as diagonais são:
2) Em todo triângulo, a medida de um ângulo externo é igual à
soma das medidas dos 2 ângulos internos não adjacentes.
a) perpendiculares entre si;
b) bissetrizes dos ângulos internos.
A área do losango é definida pela seguinte fórmula:
S=
d .D Onde D é a diagonal maior e d é a menor.
2
Triângulo
Figura geométrica plana com três lados.
3) Em todo triângulo, a soma das medidas dos 3 ângulos
externos é 360º.
Ângulo externo. O ângulo externo de qualquer polígono
convexo é o ângulo formado entre um lado e o prolongamento do
outro lado.
4) Em todo triângulo isósceles, os ângulos da base são
congruentes. Observação - A base de um triângulo isósceles é o
seu lado diferente.
Classificação dos triângulos.
a) quanto aos lados:
- triângulo equilátero.
- triângulo isósceles.
- triângulo escaleno.
b) quanto aos ângulos:
- triângulo retângulo.
- triângulo obtusângulo.
- triângulo acutângulo.
Didatismo e Conhecimento
Altura - É a distância entre o vértice e a reta suporte do lado
oposto.
25
MATEMÁTICA
Exercícios
Área do triangulo
1. Seja um paralelogramo com as medidas da base e da altura
respectivamente, indicadas por b e h. Se construirmos um outro
paralelogramo que tem o dobro da base e o dobro da altura do
outro paralelogramo, qual será relação entre as áreas dos paralelogramos?
2. Os lados de um triângulo equilátero medem 5 mm. Qual é a
área deste triângulo equilátero?
3. Qual é a medida da área de um paralelogramo cujas medidas da altura e da base são respectivamente 10 cm e 2 dm?
Segmentos proporcionais
Teorema de Tales.
4. As diagonais de um losango medem 10 cm e 15 cm. Qual é
a medida da sua superfície?
Em todo feixe de retas paralelas, cortado por uma reta
transversal, a razão entre dois segmento quaisquer de uma
transversal é igual à razão entre os segmentos correspondentes da
outra transversal.
5. Considerando as informações constantes no triangulo PQR,
pode-se concluir que a altura PR desse triângulo mede:
Semelhança de triângulos
Definição.
Dois triângulos são semelhantes se têm os ângulos dois a dois
congruentes e os lados correspondentes dois a dois proporcionais.
a)5
b)6
c)7
d)8
6. Num cartão retangular, cujo comprimento é igual ao dobro
de sua altura, foram feitos dois vincos AC e BF, que formam, entre
si, um ângulo reto (90°). Observe a figura:
Definição mais “popular”.
Dois triângulos são semelhantes se um deles é a redução ou a
ampliação do outro.
Importante - Se dois triângulos são semelhantes, a
proporcionalidade se mantém constante para quaisquer dois
segmentos correspondentes, tais como: lados, medianas, alturas,
raios das circunferências inscritas, raios das circunferências
circunscritas, perímetros, etc.
Considerando AF=16cm e CB=9cm, determine:
a) as dimensões do cartão;
b) o comprimento do vinco AC
Didatismo e Conhecimento
26
MATEMÁTICA
7. Na figura, os ângulos assinalados sao iguais, AC=2 e AB=6.
A medida de AE é:
a)6/5
3. Sabemos que 2 dm equivalem a 20 cm, temos:
h=10
b=20
b)7/4c)9/5d)3/2e)5/4
Substituindo na fórmula:
=
üüü =
.
20.10
= 100 =
² 2
²
4. Para o cálculo da superfície utilizaremos a fórmula que envolve as diagonais, cujos valores temos abaixo:
d1=10
d2=15
8. Na figura a seguir, as distâncias dos pontos A e B à reta valem 2 e 4. As projeções ortogonais de A e B sobre essa reta são os
pontos C e D. Se a medida de CD é 9, a que distância de C deverá
estar o ponto E, do segmento CD, para que CÊA=DÊB
a)3
b)4
c)5
d)6
e)7
Utilizando na fórmula temos:
S=
5.
x 9
= ⇒ x ² = 144 ⇒ x = 12
16 x
a ) x 12(
altura ); 2 x 24(comprimento)
=
=
b) AC =
7.
10. Na figura, os ângulos ABC, ACD, CÊD, são retos. Se
AB=2 3 m e CE= 3 m, a razão entre as áreas dos triângulos
ABC e CDE é:
a)6
b)4
c)3
d)2
e) 3
Respostas
1. A2 = (2b)(2h) = 4bh = 4A1
8.
2. Segundo o enunciado temos:
l=5mm
Substituindo na fórmula:
l² 3
5² 3
⇒=
S
= 6, 25 3 ⇒ =
S 10,8
4
4
Didatismo e Conhecimento
4
6
36
= ⇒ PR = =6
6
PR 9
6.
9. Para ladrilhar uma sala são necessários exatamente 400 peças iguais de cerâmica na forma de um quadrado. Sabendo-se que
a área da sala tem 36m², determine:
a) a área de cada peça, em m².
b) o perímetro de cada peça, em metros.
=
S
d1.d 2
10.15
⇒
= 75cm ²
2
2
27
9² + x ² =
81 + 144 = 15
MATEMÁTICA
9.
A forma intrínseca é mais flexível, por exemplo na relatividade onde o espaço-tempo não podem ser naturalmente tratados
extrinsecamente. É mais difícil de se definir curvatura do ponto
de vista intrínseco, e outras estruturas como conexão, então há um
preço a ser pago.
Essas duas maneiras diferentes de tratamento podem ser conciliadas, por exemplo a geometria extrínseca pode ser considerada
como uma estrutura adicional à intrínseca.
Fonte: http://www.ensinoeinformacao.com/#!geometria-diferencial/c17gk
10.
10 PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA.
Probabilidade
Ponto Amostral, Espaço Amostral e Evento
Em uma tentativa com um número limitado de resultados,
todos com chances iguais, devemos considerar:
Ponto Amostral: Corresponde a qualquer um dos resultados
possíveis.
Espaço Amostral: Corresponde ao conjunto dos resultados
possíveis; será representado por S e o número de elementos do
espaço amostra por n(S).
Evento: Corresponde a qualquer subconjunto do espaço
amostral; será representado por A e o número de elementos do
evento por n(A).
9 GEOMETRIA DIFERENCIAL.
História
A Geometria Diferencial, originada da junção do Cálculo com
a Geometria, nasceu, de certo modo, como uma ciência aplicada, principalmente em questões originadas da cartografia, de onde
herdou parte de sua terminologia inicial. Posteriormente passou a
ser de grande utilidade na Astronomia e na Engenharia. Embora
o Cálculo fosse suficiente para o entendimento e a aplicação das
leis de Newton, não o foi para a Teoria da Relatividade que nasceu
sobre os alicerces do conhecimento estabelecido pela Geometria
Diferencial. A interação entre a Geometria Diferencial e a Análise
tem sido fator de desenvolvimento de ambas as disciplinas. No
espírito da Geometria Analítica de Descartes, questões profundas
de Análise têm sido resolvidas através da Geometria e vice-versa.
Todo um capítulo, extremamente atual e de grande potencial para
aplicações, das equações diferenciais parciais não-lineares, foi desenvolvido sob a inspiração de questões geométricas. A computação gráfica esta começando a demonstrar que a Geometria Diferencial estará proximamente presente e acessível para um público
bem mais amplo, quer na área científica, quer na área empresarial,
fornecendo a interface gráfica adequada à apresentação de resultados, ao desenvolvimento de novas tecnologias e ao planejamento
de novos produtos.
Os conjuntos S e Ø também são subconjuntos de S, portanto
são eventos.
Ø = evento impossível.
S = evento certo.
Conceito de Probabilidade
As probabilidades têm a função de mostrar a chance
de ocorrência de um evento. A probabilidade de ocorrer um
determinado evento A, que é simbolizada por P(A), de um espaço
amostral S ≠ Ø, é dada pelo quociente entre o número de elementos
A e o número de elemento S. Representando:
Exemplo: Ao lançar um dado de seis lados, numerados de 1 a
6, e observar o lado virado para cima, temos:
- um espaço amostral, que seria o conjunto S {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
- um evento número par, que seria o conjunto A1 = {2, 4, 6}
C S.
- o número de elementos do evento número par é n(A1) = 3.
- a probabilidade do evento número par é 1/2, pois
Intrínseco versus extrínseco
Inicialmente e até a metade do século XIX, a geometria diferencial era vista de uma maneria extrínseca: curvas, superfícies
eram consideradas dentro de um espaço euclidiano de dimensão
maior (um plano em um espaço tridimensional, por exemplo). Começando com o trabalho de Riemann, a maneira intrínseca de se
tratar a geometria foi desenvolvida, na qual não se pode ‘sair’ do
objeto geométrico.
Didatismo e Conhecimento
28
MATEMÁTICA
Propriedades de um Espaço Amostral Finito e Não Vazio
Considerando que A ∩ B, nesse caso A e B serão denominados
mutuamente exclusivos. Observe que A ∩ B = 0, portanto: P(A
B) = P(A) + P(B). Quando os eventos A1, A2, A3, …, An de S
forem, de dois em dois, sempre mutuamente exclusivos, nesse
caso temos, analogicamente:
P(A1 A2 A3 … An) = P(A1) + P(A2) + P(A3) + ... +
P(An)
- Em um evento impossível a probabilidade é igual a zero. Em
um evento certo S a probabilidade é igual a 1. Simbolicamente:
P(Ø) = 0 e P(S) = 1.
- Se A for um evento qualquer de S, neste caso: 0 ≤ P(A) ≤ 1.
- Se A for o complemento de A em S, neste caso: P(A) = 1 P(A).
Eventos Exaustivos
Demonstração das Propriedades
Quando os eventos A1, A2, A3, …, An de S forem, de dois em
dois, mutuamente exclusivos, estes serão denominados exaustivos
se A1 A2 A3 … An = S
Considerando S como um espaço finito e não vazio, temos:
Então, logo:
Portanto: P(A1) + P(A2) + P(A3) + ... + P(An) = 1
Probabilidade Condicionada
Considere dois eventos A e B de um espaço amostral S, finito
e não vazio. A probabilidade de B condicionada a A é dada pela
probabilidade de ocorrência de B sabendo que já ocorreu A. É
representada por P(B/A).
União de Eventos
Considere A e B como dois eventos de um espaço amostral S,
finito e não vazio, temos:
Veja:
A
B
S
Eventos Independentes
Logo: P(A
B) = P(A) + P(B) - P(A
B)
Considere dois eventos A e B de um espaço amostral S, finito
e não vazio. Estes serão independentes somente quando:
Eventos Mutuamente Exclusivos
P(A/N) = P(A)
A
B
S
Didatismo e Conhecimento
29
P(B/A) = P(B)
MATEMÁTICA
Intersecção de Eventos
QUESTÕES
Considerando A e B como dois eventos de um espaço amostral
S, finito e não vazio, logo:
01. A probabilidade de uma bola branca aparecer ao se retirar
uma única bola de uma urna que contém, exatamente, 4 bolas
brancas, 3 vermelhas e 5 azuis é:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
02. As 23 ex-alunas de uma turma que completou o Ensino
Médio há 10 anos se encontraram em uma reunião comemorativa.
Várias delas haviam se casado e tido filhos. A distribuição das
mulheres, de acordo com a quantidade de filhos, é mostrada no
gráfico abaixo. Um prêmio foi sorteado entre todos os filhos dessas
ex-alunas. A probabilidade de que a criança premiada tenha sido
um(a) filho(a) único(a) é
Assim sendo:
P(A ∩ B) = P(A) . P(B/A)
P(A ∩ B) = P(B) . P(A/B)
Considerando A e B como eventos independentes, logo
P(B/A) = P(B), P(A/B) = P(A), sendo assim: P(A ∩ B) = P(A) .
P(B). Para saber se os eventos A e B são independentes, podemos
utilizar a definição ou calcular a probabilidade de A ∩ B. Veja a
representação:
A e B independentes ↔ P(A/B) = P(A) ou
A e B independentes ↔ P(A ∩ B) = P(A) . P(B)
(A)
Lei Binominal de Probabilidade
(B)
(C)
(D)
(E)
03. Retirando uma carta de um baralho comum de 52 cartas,
qual a probabilidade de se obter um rei ou uma dama?
Considere uma experiência sendo realizada diversas vezes,
dentro das mesmas condições, de maneira que os resultados de cada
experiência sejam independentes. Sendo que, em cada tentativa
ocorre, obrigatoriamente, um evento A cuja probabilidade é p ou o
complemento A cuja probabilidade é 1 – p.
04. Jogam-se dois dados “honestos” de seis faces, numeradas
de 1 a 6, e lê-se o número de cada uma das duas faces voltadas para
cima. Calcular a probabilidade de serem obtidos dois números
ímpares ou dois números iguais?
Problema: Realizando-se a experiência descrita exatamente n
vezes, qual é a probabilidade de ocorrer o evento A só k vezes?
05. Uma urna contém 500 bolas, numeradas de 1 a 500. Uma
bola dessa urna é escolhida ao acaso. A probabilidade de que seja
escolhida uma bola com um número de três algarismos ou múltiplo
de 10 é
(A) 10%
(B) 12%
(C) 64%
(D) 82%
(E) 86%
Resolução:
- Se num total de n experiências, ocorrer somente k vezes
o evento A, nesse caso será necessário ocorrer exatamente n – k
vezes o evento A.
- Se a probabilidade de ocorrer o evento A é p e do evento A é
1 – p, nesse caso a probabilidade de ocorrer k vezes o evento A e
n – k vezes o evento A, ordenadamente, é:
06. Uma urna contém 4 bolas amarelas, 2 brancas e 3 bolas
vermelhas. Retirando-se uma bola ao acaso, qual a probabilidade
de ela ser amarela ou branca?
07. Duas pessoas A e B atiram num alvo com probabilidade
40% e 30%, respectivamente, de acertar. Nestas condições, a
probabilidade de apenas uma delas acertar o alvo é:
(A) 42%
(B) 45%
(C) 46%
(D) 48%
(E) 50%
- As k vezes em que ocorre o evento A são quaisquer entre as
n vezes possíveis. O número de maneiras de escolher k vezes o
evento A é, portanto Cn,k.
- Sendo assim, há Cn,k eventos distintos, mas que possuem
a mesma probabilidade pk . (1 – p)n-k, e portanto a probabilidade
desejada é: Cn,k . pk . (1 – p)n-k
Didatismo e Conhecimento
30
MATEMÁTICA
08. Num espaço amostral, dois eventos independentes A e B
são tais que P(A U B) = 0,8 e P(A) = 0,3. Podemos concluir que o
valor de P(B) é:
(A) 0,5
(B) 5/7
(C) 0,6
(D) 7/15
(E) 0,7
Para encontrarmos n(B) recorremos à fórmula do termo geral
da P.A., em que
a1 = 10
an = 500
r = 10
Temos an = a1 + (n – 1) . r → 500 = 10 + (n – 1) . 10 → n = 50
Dessa forma, p(B) = 50/500.
09. Uma urna contém 6 bolas: duas brancas e quatro pretas.
Retiram-se quatro bolas, sempre com reposição de cada bola antes
de retirar a seguinte. A probabilidade de só a primeira e a terceira
serem brancas é:
(A)
(B)
(C)
(D)
A Ω B: o número tem 3 algarismos e é múltiplo de 10;
A Ω B = {100, 110, ..., 500}.
De an = a1 + (n – 1) . r, temos: 500 = 100 + (n – 1) . 10 → n =
41 e p(A B) = 41/500
(E)
Por fim, p(A.B) =
10. Uma lanchonete prepara sucos de 3 sabores: laranja,
abacaxi e limão. Para fazer um suco de laranja, são utilizadas 3
laranjas e a probabilidade de um cliente pedir esse suco é de 1/3.
Se na lanchonete, há 25 laranjas, então a probabilidade de que,
para o décimo cliente, não haja mais laranjas suficientes para fazer
o suco dessa fruta é:
(A) 1 (B)
(C)
(D)
06.
Sejam A1, A2, A3, A4 as bolas amarelas, B1, B2 as brancas e V1,
V2, V3 as vermelhas.
Temos S = {A1, A2, A3, A4, V1, V2, V3 B1, B2} → n(S) = 9
A: retirada de bola amarela = {A1, A2, A3, A4}, n(A) = 4
B: retirada de bola branca = {B1, B2}, n(B) = 2
(E)
Respostas
01.
Como A B = , A e B são eventos mutuamente exclusivos;
Logo:
P(A
B)
=
P(A)
+
P(B)
=
02.
A partir da distribuição apresentada no gráfico:
08 mulheres sem filhos.
07 mulheres com 1 filho.
06 mulheres com 2 filhos.
02 mulheres com 3 filhos.
07.
Se apenas um deve acertar o alvo, então podem ocorrer os
seguintes eventos:
(A) “A” acerta e “B” erra; ou
(B) “A” erra e “B” acerta.
Comoas 23 mulheres têm um total de 25 filhos, a probabilidade
de que a criança premiada tenha sido um(a) filho(a) único(a) é
igual a P = 7/25.
Assim, temos:
P (A B) = P (A) + P (B)
P (A B) = 40% . 70% + 60% . 30%
P (A B) = 0,40 . 0,70 + 0,60 . 0,30
P (A B) = 0,28 + 0,18
P (A B) = 0,46
P (A B) = 46%
03. P(dama ou rei) = P(dama) + P(rei) =
04. No lançamento de dois dados de 6 faces, numeradas de 1 a
6, são 36 casos possíveis. Considerando os eventos A (dois números
ímpares) e B (dois números iguais), a probabilidade pedida é:
08.
Sendo A e B eventos independentes, P(A B) = P(A) . P(B) e
como P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B). Temos:
P(A B) = P(A) + P(B) – P(A) . P(B)
0,8 = 0,3 + P(B) – 0,3 . P(B)
0,7 . (PB) = 0,5
P(B) = 5/7.
05. Sendo Ω, o conjunto espaço amostral, temos n(Ω) = 500
A: o número sorteado é formado por 3 algarismos;
A = {100, 101, 102, ..., 499, 500}, n(A) = 401 e p(A) = 401/500
B: o número sorteado é múltiplo de 10;
B = {10, 20, ..., 500}.
Didatismo e Conhecimento
31
MATEMÁTICA
09.
Representando
por
probabilidade pedida, temos:
=
=
Por exemplo, podemos escolher um nível de significância de,
digamos, 5%, e calcular um valor crítico de um parâmetro (por
exemplo a média) de modo que a probabilidade de ela exceder
esse valor, dada a verdade da hipótese nulo, ser 5%. Se o valor
estatístico calculado (ou seja, o nível de 5% de significância anteriormente escolhido) exceder o valor crítico, então é significante
“ao nível de 5%”.
Se o nível de significância (ex: 5% anteriormente dado) é menor, o valor é menos provavelmente um extremo em relação ao valor
crítico. Deste modo, um resultado que é “significante ao nível de
1%” é mais significante do que um resultado que é significante “ao
nível de 5%”. No entanto, um teste ao nível de 1% é mais susceptível de padecer do erro de tipo II do que um teste de 5% e por isso
terá menos poder estatístico.
Ao divisar um teste de hipóteses, o técnico deverá tentar maximizar o poder de uma dada significância, mas ultimamente tem de
reconhecer que o melhor resultado que se pode obter é um compromisso entre significância e poder, em outras palavras, entre os erros
de tipo I e tipo II.
É importante ressaltar que os valores p Fisherianos são filosoficamente diferentes dos erros de tipo I de Neyman-Pearson. Esta
confusão é infelizmente propagada por muitos livros de estatística.
a
10. Supondo que a lanchonete só forneça estes três tipos de
sucos e que os nove primeiros clientes foram servidos com apenas
um desses sucos, então:
I- Como cada suco de laranja utiliza três laranjas, não é
possível fornecer sucos de laranjas para os nove primeiros clientes,
pois seriam necessárias 27 laranjas.
II- Para que não haja laranjas suficientes para o próximo
cliente, é necessário que, entre os nove primeiros, oito tenham
pedido sucos de laranjas, e um deles tenha pedido outro suco.
A probabilidade de isso ocorrer é:
ESTATÍSTICA.
Divisão da Estatística:
A estatística é, hoje em dia, um instrumento útil e, em alguns
casos, indispensável para tomadas de decisão em diversos campos:
científico, econômico, social, político…
Todavia, antes de chegarmos à parte de interpretação para tomadas de decisão, há que proceder a um indispensável trabalho
de recolha e organização de dados, sendo a recolha feita através
de recenseamentos (ou censos ou levantamentos estatísticos) ou
sondagens.
Existem indícios que há 300 mil anos a.C. já se faziam censos
na China, Babilônia e no Egito. Censos estes que se destinavam à
taxação de impostos.
Estatística pode ser pensada como a ciência de aprendizagem
a partir de dados. No nosso quotidiano, precisamos tomar decisões, muitas vezes decisões rápidas.
- Estatística Descritiva: Média (Aritmética, Geométrica, Harmônica, Ponderada) - Mediana - Moda - Variância - Desvio padrão
- Coeficiente de variação.
- Inferência Estatística: Testes de hipóteses - Significância Potência - Hipótese nula/Hipótese alternativa - Erro de tipo I - Erro
de tipo II - Teste T - Teste Z - Distribuição t de Student - Normalização - Valor p - Análise de variância.
- Estatística Não-Paramétrica: Teste Binomial - Teste Quiquadrado (uma amostra, duas amostras independentes, k amostras
independentes) - Teste Kolmogorov-Smirnov (uma amostra, duas
amostras independentes) - Teste de McNemar - Teste dos Sinais Teste de Wilcoxon - Teste de Walsh - Teste Exata de Fisher - Teste Q
de Cochran - Teste de Kruskal-Wallis - Teste de Friedman.
- Análise da Sobrevivência: Função de sobrevivência - KaplanMeier - Teste log-rank - Taxa de falha - Proportional hazards models.
- Amostragem: Amostragem aleatória simples (com reposição,
sem reposição) - Amostragem estratificada - Amostragem por conglomerados - Amostragem sistemática - estimador razão - estimador
regressão.
- Distribuição de Probabilidade: Normal - De Pareto - De Poisson - De Bernoulli - Hipergeométrica - Binomial - Binomial negativa - Gama - Beta - t de Student - F-Snedecor.
- Correlação: Variável de confusão - Coeficiente de correlação
de Pearson - Coeficiente de correlação de postos de Spearman - Coeficiente de correlação tau de Kendall).
Regressão: Regressão linear - Regressão não-linear - Regressão
logística - Método dos mínimos quadrados - Modelos Lineares Generalizados - Modelos para Dados Longitudinais.
- Análise Multivariada: Distribuição normal multivariada Componentes principais - Análise fatorial - Análise discriminante
- Análise de “Cluster” (Análise de agrupamento) - Análise de Correspondência.
- Séries Temporais: Modelos para séries temporais - Tendência
e sazonalidade - Modelos de suavização exponencial - ARIMA Modelos sazonais.
Em linhas gerais a Estatística fornece métodos que auxiliam
o processo de tomada de decisão através da análise dos dados que
possuímos.
Em Estatística, um resultado é significante, portanto, tem
significância estatística, se for improvável que tenha ocorrido por
acaso (que em estatística e probabilidade é tratado pelo conceito de
chance), caso uma determinada hipótese nula seja verdadeira, mas
não sendo improvável caso a hipótese base seja falsa. A expressão
teste de significância foi cunhada por Ronald Fisher.
Mais concretamente, no teste de hipóteses com base em frequência estatística, a significância de um teste é a probabilidade
máxima de rejeitar acidentalmente uma hipótese nula verdadeira
(uma decisão conhecida como erro de tipo I). O nível de significância de um resultado é também chamado de α e não deve ser
confundido com o valor p (p-value).
Didatismo e Conhecimento
32
MATEMÁTICA
Panorama Geral:
- Variáveis nominais permitem apenas classificação qualitativa. Ou seja, elas podem ser medidas apenas em termos de quais
itens pertencem a diferentes categorias, mas não se pode quantificar nem mesmo ordenar tais categorias. Por exemplo, pode-se
dizer que 2 indivíduos são diferentes em termos da variável A
(sexo, por exemplo), mas não se pode dizer qual deles “tem mais”
da qualidade representada pela variável. Exemplos típicos de variáveis nominais são sexo, raça, cidade, etc.
- Variáveis ordinais permitem ordenar os itens medidos em
termos de qual tem menos e qual tem mais da qualidade representada pela variável, mas ainda não permitem que se diga “o quanto
mais”. Um exemplo típico de uma variável ordinal é o status sócio-econômico das famílias residentes em uma localidade: sabese que média-alta é mais “alta” do que média, mas não se pode
dizer, por exemplo, que é 18% mais alta. A própria distinção entre mensuração nominal, ordinal e intervalar representa um bom
exemplo de uma variável ordinal: pode-se dizer que uma medida
nominal provê menos informação do que uma medida ordinal,
mas não se pode dizer “quanto menos” ou como esta diferença se
compara à diferença entre mensuração ordinal e intervalar.
- Variáveis intervalares permitem não apenas ordenar em postos os itens que estão sendo medidos, mas também quantificar
e comparar o tamanho das diferenças entre eles. Por exemplo,
temperatura, medida em graus Celsius constitui uma variável intervalar. Pode-se dizer que a temperatura de 40C é maior do que
30C e que um aumento de 20C para 40C é duas vezes maior do
que um aumento de 30C para 40C.
Relações entre variáveis: Duas ou mais variáveis quaisquer
estão relacionadas se em uma amostra de observações os valores
dessas variáveis são distribuídos de forma consistente. Em outras
palavras, as variáveis estão relacionadas se seus valores correspondem sistematicamente uns aos outros para aquela amostra de
observações. Por exemplo, sexo e WCC seriam relacionados se a
maioria dos homens tivesse alta WCC e a maioria das mulheres
baixa WCC, ou vice-versa; altura é relacionada ao peso porque
tipicamente indivíduos altos são mais pesados do que indivíduos
baixos; Q.I. está relacionado ao número de erros em um teste se
pessoas com Q.I.’s mais altos cometem menos erros.
Variáveis: São características que são medidas, controladas
ou manipuladas em uma pesquisa. Diferem em muitos aspectos,
principalmente no papel que a elas é dado em uma pesquisa e na
forma como podem ser medidas.
Pesquisa “Correlacional” X Pesquisa “Experimental”: A
maioria das pesquisas empíricas pertencem claramente a uma dessas duas categorias gerais: em uma pesquisa correlacional (Levantamento) o pesquisador não influencia (ou tenta não influenciar)
nenhuma variável, mas apenas as mede e procura por relações
(correlações) entre elas, como pressão sangüínea e nível de colesterol. Em uma pesquisa experimental (Experimento) o pesquisador
manipula algumas variáveis e então mede os efeitos desta manipulação em outras variáveis; por exemplo, aumentar artificialmente
a pressão sangüínea e registrar o nível de colesterol. A análise dos
dados em uma pesquisa experimental também calcula “correlações” entre variáveis, especificamente entre aquelas manipuladas
e as que foram afetadas pela manipulação. Entretanto, os dados experimentais podem demonstrar conclusivamente relações causais
(causa e efeito) entre variáveis. Por exemplo, se o pesquisador descobrir que sempre que muda a variável A então a variável B também muda, então ele poderá concluir que A “influencia” B. Dados
de uma pesquisa correlacional podem ser apenas “interpretados”
em termos causais com base em outras teorias (não estatísticas)
que o pesquisador conheça, mas não podem ser conclusivamente
provar causalidade.
Variáveis dependentes e variáveis independentes: Variáveis independentes são aquelas que são manipuladas enquanto
que variáveis dependentes são apenas medidas ou registradas. Esta
distinção confunde muitas pessoas que dizem que “todas variáveis
dependem de alguma coisa”. Entretanto, uma vez que se esteja
acostumado a esta distinção ela se torna indispensável. Os termos
variável dependente e independente aplicam-se principalmente à
pesquisa experimental, onde algumas variáveis são manipuladas,
e, neste sentido, são “independentes” dos padrões de reação inicial, intenções e características dos sujeitos da pesquisa (unidades
experimentais).Espera-se que outras variáveis sejam “dependentes” da manipulação ou das condições experimentais. Ou seja, elas
dependem “do que os sujeitos farão” em resposta. Contrariando
um pouco a natureza da distinção, esses termos também são usados em estudos em que não se manipulam variáveis independentes, literalmente falando, mas apenas se designam sujeitos a “grupos experimentais” baseados em propriedades pré-existentes dos
próprios sujeitos. Por exemplo, se em uma pesquisa compara-se a
contagem de células brancas (White Cell Count em inglês, WCC)
de homens e mulheres, sexo pode ser chamada de variável independente e WCC de variável dependente.
Níveis de Mensuração: As variáveis diferem em “quão bem”
elas podem ser medidas, isto é, em quanta informação seu nível
de mensuração pode prover. Há obviamente algum erro em cada
medida, o que determina o “montante de informação” que se pode
obter, mas basicamente o fator que determina a quantidade de informação que uma variável pode prover é o seu tipo de nível de
mensuração. Sob este prisma as variáveis são classificadas como
nominais, ordinais e intervalares.
Didatismo e Conhecimento
Importância das relações entre variáveis: Geralmente o
objetivo principal de toda pesquisa ou análise científica é encontrar relações entre variáveis. A filosofia da ciência ensina que não
há outro meio de representar “significado” exceto em termos de
relações entre quantidades ou qualidades, e ambos os casos envolvem relações entre variáveis. Assim, o avanço da ciência sempre
tem que envolver a descoberta de novas relações entre variáveis.
Em pesquisas correlacionais a medida destas relações é feita de
forma bastante direta, bem como nas pesquisas experimentais.
Por exemplo, o experimento já mencionado de comparar WCC
em homens e mulheres pode ser descrito como procura de uma
correlação entre 2 variáveis: sexo e WCC. A Estatística nada mais
faz do que auxiliar na avaliação de relações entre variáveis.
Aspectos básicos da relação entre variáveis: As duas propriedades formais mais elementares de qualquer relação entre variáveis são a magnitude (“tamanho”) e a confiabilidade da relação.
33
MATEMÁTICA
Significância estatística e o número de análises realizadas:
Desnecessário dizer quanto mais análises sejam realizadas em um
conjunto de dados, mais os resultados atingirão “por acaso” o nível
de significância convencionado. Por exemplo, ao calcular correlações entre dez variáveis (45 diferentes coeficientes de correlação), seria razoável esperar encontrar por acaso que cerca de dois
(um em cada 20) coeficientes de correlação são significantes ao
nível-p 0,05, mesmo que os valores das variáveis sejam totalmente
aleatórios, e aquelas variáveis não se correlacionem na população.
Alguns métodos estatísticos que envolvem muitas comparações,
e portanto uma boa chance para tais erros, incluem alguma “correção” ou ajuste para o número total de comparações. Entretanto,
muitos métodos estatísticos (especialmente análises exploratórias
simples de dados) não oferecem nenhum remédio direto para este
problema. Cabe então ao pesquisador avaliar cuidadosamente a
confiabilidade de descobertas não esperadas.
- Magnitude é muito mais fácil de entender e medir do que a
confiabilidade. Por exemplo, se cada homem em nossa amostra tem
um WCC maior do que o de qualquer mulher da amostra, poderiase dizer que a magnitude da relação entre as duas variáveis (sexo e
WCC) é muito alta em nossa amostra. Em outras palavras, poderiase prever uma baseada na outra (ao menos na amostra em questão).
- Confiabilidade é um conceito muito menos intuitivo, mas
extremamente importante. Relaciona-se à “representatividade” do
resultado encontrado em uma amostra específica de toda a população. Em outras palavras, diz quão provável será encontrar uma
relação similar se o experimento fosse feito com outras amostras
retiradas da mesma população, lembrando que o maior interesse está
na população. O interesse na amostra reside na informação que ela
pode prover sobre a população. Se o estudo atender certos critérios
específicos (que serão mencionados posteriormente) então a confiabilidade de uma relação observada entre variáveis na amostra pode
ser estimada quantitativamente e representada usando uma medida
padrão (chamada tecnicamente de nível-p ou nível de significância
estatística).
Significância Estatística (nível-p): A significância estatística de um resultado é uma medida estimada do grau em que este
resultado é “verdadeiro” (no sentido de que seja realmente o que
ocorre na população, ou seja no sentido de “representatividade da
população”). Mais tecnicamente, o valor do nível-p representa um
índice decrescente da confiabilidade de um resultado. Quanto mais
alto o nível-p, menos se pode acreditar que a relação observada entre
as variáveis na amostra é um indicador confiável da relação entre
as respectivas variáveis na população. Especificamente, o nível-p
representa a probabilidade de erro envolvida em aceitar o resultado
observado como válido, isto é, como “representativo da população”.
Por exemplo, um nível-p de 0,05 (1/20) indica que há 5% de probabilidade de que a relação entre as variáveis, encontrada na amostra,
seja um “acaso feliz”. Em outras palavras, assumindo que não haja
relação entre aquelas variáveis na população, e o experimento de interesse seja repetido várias vezes, poderia-se esperar que em aproximadamente 20 realizações do experimento haveria apenas uma em
que a relação entre as variáveis em questão seria igual ou mais forte
do que a que foi observada naquela amostra anterior. Em muitas
áreas de pesquisa, o nível-p de 0,05 é costumeiramente tratado como
um “limite aceitável” de erro.
Força X Confiabilidade de uma relação entre variáveis:
Foi dito anteriormente que força (magnitude) e confiabilidade são
dois aspectos diferentes dos relacionamentos entre variáveis. Contudo, eles não são totalmente independentes. Em geral, em uma
amostra de um certo tamanho quanto maior a magnitude da relação
entre variáveis, mais confiável a relação.
Assumindo que não há relação entre as variáveis na população, o resultado mais provável deveria ser também não encontrar
relação entre as mesmas variáveis na amostra da pesquisa. Assim,
quanto mais forte a relação encontrada na amostra menos provável
é a não existência da relação correspondente na população. Então a magnitude e a significância de uma relação aparentam estar
fortemente relacionadas, e seria possível calcular a significância a
partir da magnitude e vice-versa. Entretanto, isso é válido apenas
se o tamanho da amostra é mantido constante, porque uma relação
de certa força poderia ser tanto altamente significante ou não significante de todo dependendo do tamanho da amostra.
Por que a significância de uma relação entre variáveis depende do tamanho da amostra: Se há muito poucas observações
então há também poucas possibilidades de combinação dos valores das variáveis, e então a probabilidade de obter por acaso uma
combinação desses valores que indique uma forte relação é relativamente alta. Considere-se o seguinte exemplo:
Há interesse em duas variáveis (sexo: homem, mulher; WCC:
alta, baixa) e há apenas quatro sujeitos na amostra (2 homens e 2
mulheres). A probabilidade de se encontrar, puramente por acaso, uma relação de 100% entre as duas variáveis pode ser tão alta
quanto 1/8. Explicando, há uma chance em oito de que os dois
homens tenham alta WCC e que as duas mulheres tenham baixa
WCC, ou vice-versa, mesmo que tal relação não exista na população. Agora considere-se a probabilidade de obter tal resultado por
acaso se a amostra consistisse de 100 sujeitos: a probabilidade de
obter aquele resultado por acaso seria praticamente zero.
Observando um exemplo mais geral. Imagine-se uma população teórica em que a média de WCC em homens e mulheres é
exatamente a mesma. Supondo um experimento em que se retiram pares de amostras (homens e mulheres) de um certo tamanho
da população e calcula-se a diferença entre a média de WCC em
cada par de amostras (supor ainda que o experimento será repetido
várias vezes). Na maioria dos experimento os resultados das diferenças serão próximos de zero. Contudo, de vez em quando, um
par de amostra apresentará uma diferença entre homens e mulhe-
Como determinar que um resultado é “realmente” significante: Não há meio de evitar arbitrariedade na decisão final de qual
nível de significância será tratado como realmente “significante”.
Ou seja, a seleção de um nível de significância acima do qual os
resultados serão rejeitados como inválidos é arbitrária. Na prática,
a decisão final depende usualmente de: se o resultado foi previsto
a priori ou apenas a posteriori no curso de muitas análises e comparações efetuadas no conjunto de dados; no total de evidências
consistentes do conjunto de dados; e nas “tradições” existentes na
área particular de pesquisa. Tipicamente, em muitas ciências resultados que atingem nível-p 0,05 são considerados estatisticamente
significantes, mas este nível ainda envolve uma probabilidade de
erro razoável (5%). Resultados com um nível-p 0,01 são comumente
considerados estatisticamente significantes, e com nível-p 0,005 ou
nível-p 0,001 são freqüentemente chamados “altamente” significantes. Estas classificações, porém, são convenções arbitrárias e apenas
informalmente baseadas em experiência geral de pesquisa. Uma
conseqüência óbvia é que um resultado considerado significante a
0,05, por exemplo, pode não sê-lo a 0,01.
Didatismo e Conhecimento
34
MATEMÁTICA
res consideravelmente diferente de zero. Com que freqüência isso
acontece? Quanto menor a amostra em cada experimento maior a
probabilidade de obter esses resultados errôneos, que, neste caso,
indicariam a existência de uma relação entre sexo e WCC obtida
de uma população em que tal relação não existe. Observe-se mais
um exemplo (“razão meninos para meninas”, Nisbett et al., 1987):
Há dois hospitais: no primeiro nascem 120 bebês a cada dia
e no outro apenas 12. Em média a razão de meninos para meninas
nascidos a cada dia em cada hospital é de 50/50. Contudo, certo
dia, em um dos hospitais nasceram duas vezes mais meninas do
que meninos. Em que hospital isso provavelmente aconteceu? A
resposta é óbvia para um estatístico, mas não tão óbvia para os
leigos: é muito mais provável que tal fato tenha ocorrido no hospital menor. A razão para isso é que a probabilidade de um desvio
aleatório da média da população aumenta com a diminuição do
tamanho da amostra (e diminui com o aumento do tamanho da
amostra).
Por que pequenas relações podem ser provadas como
significantes apenas por grandes amostras: Os exemplos dos
parágrafos anteriores indicam que se um relacionamento entre as
variáveis em questão (na população) é pequeno, então não há meio
de identificar tal relação em um estudo a não ser que a amostra seja
correspondentemente grande. Mesmo que a amostra seja de fato
“perfeitamente representativa” da população o efeito não será estatisticamente significante se a amostra for pequena. Analogamente,
se a relação em questão é muito grande na população então poderá
ser constatada como altamente significante mesmo em um estudo
baseado em uma pequena amostra. Mais um exemplo:
Se uma moeda é ligeiramente viciada, de tal forma que quando lançada é ligeiramente mais provável que ocorram caras do que
coroas (por exemplo uma proporção 60% para 40%). Então dez
lançamentos não seriam suficientes para convencer alguém de que
a moeda é viciada, mesmo que o resultado obtido (6 caras e 4 coroas) seja perfeitamente representativo do viesamento da moeda.
Entretanto, dez lançamentos não são suficientes para provar nada?
Não, se o efeito em questão for grande o bastante, os dez lançamentos serão suficientes. Por exemplo, imagine-se que a moeda
seja tão viciada que não importe como venha a ser lançada o resultado será cara. Se tal moeda fosse lançada dez vezes, e cada lançamento produzisse caras, muitas pessoas considerariam isso prova
suficiente de que há “algo errado” com a moeda. Em outras palavras, seria considerada prova convincente de que a população teórica de um número infinito de lançamentos desta moeda teria mais
caras do que coroas. Assim, se a relação é grande, então poderá ser
considerada significante mesmo em uma pequena amostra.
mente grande. A significância estatística representa a probabilidade de que um resultado similar seja obtido se toda a população
fosse testada. Assim, qualquer coisa que fosse encontrada após
testar toda a população seria, por definição, significante ao mais
alto nível possível, e isso também inclui todos os resultados de
“relação inexistente”.
Como medir a magnitude (força) das relações entre variáveis: Há muitas medidas da magnitude do relacionamento entre
variáveis que foram desenvolvidas por estatísticos: a escolha de
uma medida específica em dadas circunstâncias depende do número de variáveis envolvidas, níveis de mensuração usados, natureza
das relações, etc. Quase todas, porém, seguem um princípio geral:
elas procuram avaliar a relação comparando-a de alguma forma
com a “máxima relação imaginável” entre aquelas variáveis específicas. Tecnicamente, um modo comum de realizar tais avaliações
é observar quão diferenciados são os valores das variáveis, e então
calcular qual parte desta “diferença global disponível” seria detectada na ocasião se aquela diferença fosse “comum” (fosse apenas
devida à relação entre as variáveis) nas duas (ou mais) variáveis
em questão. Falando menos tecnicamente, compara-se “o que é
comum naquelas variáveis” com “o que potencialmente poderia
haver em comum se as variáveis fossem perfeitamente relacionadas”. Outro exemplo:
Em uma amostra o índice médio de WCC é igual a 100 em
homens e 102 em mulheres. Assim, poderia-se dizer que, em média, o desvio de cada valor da média de ambos (101) contém uma
componente devida ao sexo do sujeito, e o tamanho desta componente é 1. Este valor, em certo sentido, representa uma medida
da relação entre sexo e WCC. Contudo, este valor é uma medida
muito pobre, porque não diz quão relativamente grande é aquela
componente em relação à “diferença global” dos valores de WCC.
Há duas possibilidades extremas: S
- Se todos os valore de WCC de homens são exatamente iguais
a 100 e os das mulheres iguais a 102 então todos os desvios da média conjunta na amostra seriam inteiramente causados pelo sexo.
Poderia-se dizer que nesta amostra sexo é perfeitamente correlacionado a WCC, ou seja, 100% das diferenças observadas entre os
sujeitos relativas a suas WCC’s devem-se a seu sexo.
- Se todos os valores de WCC estão em um intervalo de 0 a
1000, a mesma diferença (de 2) entre a WCC média de homens
e mulheres encontrada no estudo seria uma parte tão pequena na
diferença global dos valores que muito provavelmente seria considerada desprezível. Por exemplo, um sujeito a mais que fosse
considerado poderia mudar, ou mesmo reverter, a direção da diferença. Portanto, toda boa medida das relações entre variáveis tem
que levar em conta a diferenciação global dos valores individuais
na amostra e avaliar a relação em termos (relativos) de quanto desta diferenciação se deve à relação em questão.
Pode uma “relação inexistente” ser um resultado significante: Quanto menor a relação entre as variáveis maior o tamanho de amostra necessário para prová-la significante. Por exemplo, imagine-se quantos lançamentos seriam necessários para
provar que uma moeda é viciada se seu viesamento for de apenas
0,000001 %! Então, o tamanho mínimo de amostra necessário
cresce na mesma proporção em que a magnitude do efeito a ser
demonstrado decresce. Quando a magnitude do efeito aproxima-se
de zero, o tamanho de amostra necessário para prová-lo aproximase do infinito. Isso quer dizer que, se quase não há relação entre
duas variáveis o tamanho da amostra precisa quase ser igual ao
tamanho da população, que teoricamente é considerado infinitaDidatismo e Conhecimento
“Formato geral” de muitos testes estatísticos: Como o objetivo principal de muitos testes estatísticos é avaliar relações entre
variáveis, muitos desses testes seguem o princípio exposto no item
anterior. Tecnicamente, eles representam uma razão de alguma
medida da diferenciação comum nas variáveis em análise (devido
à sua relação) pela diferenciação global daquelas variáveis. Por
exemplo, teria-se uma razão da parte da diferenciação global dos
valores de WCC que podem se dever ao sexo pela diferenciação
global dos valores de WCC. Esta razão é usualmente chamada de
35
MATEMÁTICA
Ilustração de como a distribuição normal é usada em raciocínio estatístico (indução): Retomando o exemplo já discutido, onde pares de amostras de homens e mulheres foram retirados
de uma população em que o valor médio de WCC em homens
e mulheres era exatamente o mesmo. Embora o resultado mais
provável para tais experimentos (um par de amostras por experimento) é que a diferença entre a WCC média em homens e mulheres em cada par seja próxima de zero, de vez em quando um
par de amostras apresentará uma diferença substancialmente diferente de zero. Quão freqüentemente isso ocorre? Se o tamanho da
amostra é grande o bastante, os resultados de tais repetições são
“normalmente distribuídos”, e assim, conhecendo a forma da curva normal pode-se calcular precisamente a probabilidade de obter
“por acaso” resultados representando vários níveis de desvio da
hipotética média populacional 0 (zero). Se tal probabilidade calculada é tão pequena que satisfaz ao critério previamente aceito
de significância estatística, então pode-se concluir que o resultado
obtido produz uma melhor aproximação do que está acontecendo
na população do que a “hipótese nula”. Lembrando ainda que a
hipótese nula foi considerada apenas por “razões técnicas” como
uma referência contra a qual o resultado empírico (dos experimentos) foi avaliado.
razão da variação explicada pela variação total. Em estatística o
termo variação explicada não implica necessariamente que tal variação é “compreendida conceitualmente”. O termo é usado apenas
para denotar a variação comum às variáveis em questão, ou seja, a
parte da variação de uma variável que é “explicada” pelos valores
específicos da outra variável e vice-versa.
Como é calculado o nível de significância estatístico: Assuma-se que já tenha sido calculada uma medida da relação entre duas variáveis (como explicado acima). A próxima questão é
“quão significante é esta relação”? Por exemplo, 40% da variação
global ser explicada pela relação entre duas variáveis é suficiente
para considerar a relação significante? “Depende”. Especificamente, a significância depende principalmente do tamanho da amostra. Como já foi explicado, em amostras muito grandes mesmo
relações muito pequenas entre variáveis serão significantes, enquanto que em amostras muito pequenas mesmo relações muito
grandes não poderão ser consideradas confiáveis (significantes).
Assim, para determinar o nível de significância estatística tornase necessária uma função que represente o relacionamento entre
“magnitude” e “significância” das relações entre duas variáveis,
dependendo do tamanho da amostra. Tal função diria exatamente
“quão provável é obter uma relação de dada magnitude (ou maior)
de uma amostra de dado tamanho, assumindo que não há tal relação entre aquelas variáveis na população”. Em outras palavras,
aquela função forneceria o nível de significância (nível-p), e isso
permitiria conhecer a probabilidade de erro envolvida em rejeitar a idéia de que a relação em questão não existe na população.
Esta hipótese “alternativa” (de que não há relação na população) é
usualmente chamada de hipótese nula. Seria ideal se a função de
probabilidade fosse linear, e por exemplo, apenas tivesse diferentes inclinações para diferentes tamanhos de amostra. Infelizmente,
a função é mais complexa, e não é sempre exatamente a mesma.
Entretanto, em muitos casos, sua forma é conhecida e isso pode ser
usado para determinar os níveis de significância para os resultados
obtidos em amostras de certo tamanho. Muitas daquelas funções
são relacionadas a um tipo geral de função que é chamada de normal (ou gaussiana).
Todos os testes estatísticos são normalmente distribuídos:
Não todos, mas muitos são ou baseados na distribuição normal diretamente ou em distribuições a ela relacionadas, e que podem ser
derivadas da normal, como as distribuições t, F ou Chi-quadrado
(Qui-quadrado). Tipicamente, estes testes requerem que as variáveis analisadas sejam normalmente distribuídas na população, ou
seja, que elas atendam à “suposição de normalidade”. Muitas variáveis observadas realmente são normalmente distribuídas, o que
é outra razão por que a distribuição normal representa uma “característica geral” da realidade empírica. O problema pode surgir
quando se tenta usar um teste baseado na distribuição normal para
analisar dados de variáveis que não são normalmente distribuídas.
Em tais casos há duas opções. Primeiramente, pode-se usar algum
teste “não paramétrico” alternativo (ou teste “livre de distribuição”); mas isso é freqüentemente inconveniente porque tais testes
são tipicamente menos poderosos e menos flexíveis em termos
dos tipos de conclusões que eles podem proporcionar. Alternativamente, em muitos casos ainda se pode usar um teste baseado na
distribuição normal se apenas houver certeza de que o tamanho
das amostras é suficientemente grande. Esta última opção é baseada em um princípio extremamente importante que é largamente
responsável pela popularidade dos testes baseados na distribuição
normal. Nominalmente, quanto mais o tamanho da amostra aumente, mais a forma da distribuição amostral (a distribuição de
uma estatística da amostra) da média aproxima-se da forma da
normal, mesmo que a distribuição da variável em questão não seja
normal. Este princípio é chamado de Teorema Central do Limite.
Por que a distribuição normal é importante: A “distribuição normal” é importante porque em muitos casos ela se aproxima bem da função introduzida no item anterior. A distribuição
de muitas estatísticas de teste é normal ou segue alguma forma
que pode ser derivada da distribuição normal. Neste sentido, filosoficamente, a distribuição normal representa uma das elementares “verdades acerca da natureza geral da realidade”, verificada
empiricamente, e seu status pode ser comparado a uma das leis
fundamentais das ciências naturais. A forma exata da distribuição
normal (a característica “curva do sino”) é definida por uma função que tem apenas dois parâmetros: média e desvio padrão.
Uma propriedade característica da distribuição normal é que
68% de todas as suas observações caem dentro de um intervalo de
1 desvio padrão da média, um intervalo de 2 desvios padrões inclui
95% dos valores, e 99% das observações caem dentro de um intervalo de 3 desvios padrões da média. Em outras palavras, em uma
distribuição normal as observações que tem um valor padronizado
de menos do que -2 ou mais do que +2 tem uma freqüência relativa de 5% ou menos (valor padronizado significa que um valor é
expresso em termos de sua diferença em relação à média, dividida
pelo desvio padrão).
Didatismo e Conhecimento
Como se conhece as consequências de violar a suposição
de normalidade: Embora muitas das declarações feitas anteriormente possam ser provadas matematicamente, algumas não têm
provas teóricas e podem demonstradas apenas empiricamente via
experimentos Monte Carlo (simulações usando geração aleatória
de números). Nestes experimentos grandes números de amostras
são geradas por um computador seguindo especificações pré-de36
MATEMÁTICA
Média Aritmética
signadas e os resultados de tais amostras são analisados usando
uma grande variedade de testes. Este é o modo empírico de avaliar o tipo e magnitude dos erros ou viesamentos a que se expõe
o pesquisador quando certas suposições teóricas dos testes usados
não são verificadas nos dados sob análise. Especificamente, os estudos de Monte Carlo foram usados extensivamente com testes
baseados na distribuição normal para determinar quão sensíveis
eles eram à violações da suposição de que as variáveis analisadas
tinham distribuição normal na população. A conclusão geral destes
estudos é que as conseqüências de tais violações são menos severas do que se tinha pensado a princípio. Embora estas conclusões
não devam desencorajar ninguém de se preocupar com a suposição
de normalidade, elas aumentaram a popularidade geral dos testes
estatísticos dependentes da distribuição normal em todas as áreas
de pesquisa.
Definição
A média dos elementos do conjunto numérico A relativa à
adição é chamada média aritmética.
Cálculo da média aritmética
Se x for a média aritmética dos elementos do conjunto
numérico A = {x1; x2; x3; ...; xn}, então, por definição:
n parcelas
e, portanto,
Objeto da Estatística: Estatística é uma ciência exata que
visa fornecer subsídios ao analista para coletar, organizar, resumir,
analisar e apresentar dados. Trata de parâmetros extraídos da população, tais como média ou desvio padrão. A estatística fornecenos as técnicas para extrair informação de dados, os quais são muitas vezes incompletos, na medida em que nos dão informação útil
sobre o problema em estudo, sendo assim, é objetivo da Estatística
extrair informação dos dados para obter uma melhor compreensão
das situações que representam. Quando se aborda uma problemática envolvendo métodos estatísticos, estes devem ser utilizados
mesmo antes de se recolher a amostra, isto é, deve-se planejar a
experiência que nos vai permitir recolher os dados, de modo que,
posteriormente, se possa extrair o máximo de informação relevante para o problema em estudo, ou seja, para a população de onde os
dados provêm. Quando de posse dos dados, procura-se agrupá-los
e reduzi-los, sob forma de amostra, deixando de lado a aleatoriedade presente. Seguidamente o objetivo do estudo estatístico pode
ser o de estimar uma quantidade ou testar uma hipótese, utilizando-se técnicas estatísticas convenientes, as quais realçam toda a
potencialidade da Estatística, na medida em que vão permitir tirar
conclusões acerca de uma população, baseando-se numa pequena
amostra, dando-nos ainda uma medida do erro cometido.
Exemplo: Ao chegarmos a uma churrascaria, não precisamos
comer todos os tipos de saladas, de sobremesas e de carnes disponíveis, para conseguirmos chegar a conclusão de que a comida é
de boa qualidade. Basta que seja provado um tipo de cada opção
para concluirmos que estamos sendo bem servidos e que a comida
está dentro dos padrões.
x=
x1; x2 ; x3;...; xn
n
Conclusão
A média aritmética dos n elementos do conjunto numérico A é
a soma de todos os seus elementos, dividida por n.
Exemplo
Calcular a média aritmética entre os números 3, 4, 6, 9, e 13.
Resolução
Se x for a média aritmética dos elementos do conjunto (3, 4, 6,
9, 13), então x será a soma dos 5 elementos, dividida por 5. Assim:
x=
3 + 4 + 6 + 9 + 13
35
↔x=
↔x=7
15
5
A média aritmética é 7.
Média Aritmética Ponderada
Definição
A média dos elementos do conjunto numérico A relativa à
adição e na qual cada elemento tem um “determinado peso” é
chamada média aritmética ponderada.
Noção Geral de Média
Cálculo da média aritmética ponderada
Considere um conjunto numérico A = {x1; x2; x3; ...; xn} e
efetue uma certa operação com todos os elementos de A.
Se for possível substituir cada um dos elementos do conjunto A
por um número x de modo que o resultado da operação citada seja
o mesmo diz-se, por definição, que x será a média dos elementos
de A relativa a essa operação.
Se x for a média aritmética ponderada dos elementos do
conjunto numérico A = {x1; x2; x3; ...; xn} com “pesos” P1; P2; P3;
...; Pn, respectivamente, então, por definição:
P1 . x + P2 . x + P3 . x + ... + Pn . x =
= P1 . x1 + P2 . x2 + P3 . x3 + ... + Pn . xn
(P1 + P2 + P3 + ... + Pn) . x =
= P1 . x1 + P2 . x2 + P3 . x3 + ... + Pn . xn e, portanto,
x=
Didatismo e Conhecimento
37
P1 .x1; P2 .x2 ; P3 .x3;...Pn xn
P1 + P2 + P3 + ...+ Pn
MATEMÁTICA
x=
Observe que se P1 = P2 = P3 = ... = Pn = 1, então:
x1; x2 ; x3;...; xn que é a média aritmética simples.
9. Determine a média salarial de uma empresa, cuja folha de
pagamento é assim discriminada:
n
Conclusão
A média aritmética ponderada dos n elementos do conjunto
numérico A é a soma dos produtos de cada elemento multiplicado
pelo respectivo peso, dividida pela soma dos pesos.
Profissionais → Quantidade
→ Salário
Serventes
→ 20 profissionais
→ R$ 320,00
Técnicos
→ 10 profissionais
→ R$ 840,00
Engenheiros → 5 profissionais
10. Calcule a média ponderada entre 5, 10 e 15 para os respectivos pesos 10, 5 e 20.
Exemplo
Calcular a média aritmética ponderada dos números 35, 20 e
10 com pesos 2, 3, e 5, respectivamente.
Respostas
1) Resposta “5”.
Solução:
M.A. ( 2 e 8 ) = 2 + 8 / 2 = 10 / 2 = 5 → M.A. ( 2 e 8 ) = 5.
Resolução
Se x for a média aritmética ponderada, então:
x=
2) Resposta “6”.
Solução:
M.A. ( 3, 5 e 10 ) = 3 + 5 + 10 / 3 = 18 / 3 = 6 → M.A. ( 3, 5
e 10 ) = 6.
3) Resposta “10”.
Solução: Para resolver esse exercício basta fazer a soma dos
números e dividi-los por quatro, que é a quantidade de números,
portanto:
2.35 + 3.20 + 5.10
70 + 60 + 50
180
↔x=
↔x=
↔ x = 18
2 + 3+ 5
10
10
A média aritmética ponderada é 18.
Observação: A palavra média, sem especificar se é aritmética,
deve ser entendida como média aritmética.
Exercícios
M .A =
1. Determine a média aritmética entre 2 e 8.
3. Qual é a média aritmética simples dos números 11, 7, 13
4) Resposta “164”.
Solução: Quando falamos de média aritmética simples, ao diminuirmos um dos valores que a compõe, precisamos aumentar
a mesma quantidade em outro valor, ou distribuí-la entre vários
outros valores, de sorte que a soma total não se altere, se quisermos
obter a mesma média.
Neste exercício, três dos elementos devem ter o menor valor
possível, de sorte que o quarto elemento tenha o maior valor dentre
eles, tal que a média aritmética seja igual a 44. Este será o maior
valor que o quarto elemento poderá assumir.
Em função do enunciado, os três menores valores inteiros, pares, distintos e não nulos são:2, 4 e 6. Identificando como x este
quarto valor, vamos montar a seguinte equação:
4. A média aritmética simples de 4 números pares distintos,
pertences ao conjunto dos números inteiros não nulos é igual a
44. Qual é o maior valor que um desses números pode ter?
5. Calcule a média aritmética simples em cada um dos seguintes casos:
a) 15; 48; 36
b) 80; 71; 95; 100
c) 59; 84; 37; 62; 10
d) 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9
2+4+6+x
= 44
4
6. Qual é a média aritmética ponderada dos números 10, 14,
18 e 30 sabendo-se que os seus pesos são respectivamente 1, 2, 3
e 5?
Solucionando-a temos:
7. Calcular a média ponderada entre 3, 6 e 8 para os respectivos pesos 5 , 3 e 2.
Logo, o maior valor que um desses números pode ter é 164.
8. Numa turma de 8ª série 10 alunos possuem 14 anos, 12
alunos possuem 15 anos e oito deles 16 anos de idade. Qual será
a idade média dessa turma?
Didatismo e Conhecimento
11+ 7 + 13 + 9 40
=
= 10
4
4
Logo, a média aritmética é 10.
2. Determine a média aritmética entre 3, 5 e 10.
e 9?
→ R$ 1.600,00
38
MATEMÁTICA
5) Solução:
a) (15 + 48 + 36)/3 =
99/3 = 33
Pegamos então este produto e extraímos a sua raiz cúbica,
chegando ao valor médio 6.
Extraímos a raiz cúbica, pois o conjunto é composto de 3 elementos. Se fossem n elementos, extrairíamos a raiz de índice n.
Neste exemplo teríamos a seguinte solução:
b) (80 + 71 + 95 + 100)/4=
346/4 = 86,5
c) (59 + 84 + 37 + 62 + 10)/5=
= 252/5
= 50,4
3
Utilidades da Média Geométrica
Progressão Geométrica
d) (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9)/9=
45/9 =
=5
Uma das utilizações deste tipo de média é na definição de uma
progressão geométrica que diz que em toda PG., qualquer termo
é média geométrica entre o seu antecedente e o seu consequente:
6) Resposta “22”.
Solução: Neste caso a solução consiste em multiplicarmos
cada número pelo seu respectivo peso e somarmos todos estes produtos. Este total deve ser então dividido pela soma total dos pesos:
an = an−1 .an+1
Tomemos como exemplo três termos consecutivos de uma
PG.: 7, 21 e 63.
Temos então que o termo 21 é média geométrica dos termos
7 e 63.
10.1+ 14.2 + 18.3 + 30.5 10 + 28 + 54 + 150 242
=
=
= 22
1+ 2 + 3 + 5
11
11
Vejamos:
Logo, a média aritmética ponderada é 22.
7.63 ⇒ 441 ⇒ 21
7) Resposta “4,9”.
Solução:
MP =
Variações Percentuais em Sequência
3.5 + 6.3 + 8.2 15 + 18 + 16 49
=
=
= 4,9
5 + 3+ 2
10
10
Outra utilização para este tipo de média é quando estamos trabalhando com variações percentuais em sequência.
8) Resposta “ ±14,93 ”
Solução:
MP =
Exemplo
Digamos que uma categoria de operários tenha um aumento
salarial de 20% após um mês, 12% após dois meses e 7% após
três meses. Qual o percentual médio mensal de aumento desta categoria?
14.10 + 15.12 + 16.8 140 + 180 + 128 448
=
=
= ±14,93
10 + 12 + 8
30
30
9) Resposta “ ≅ R$651, 43 ”
Solução: Estamos diante de um problema de média aritmética
ponderada, onde as quantidades de profissionais serão os pesos. E
com isso calcularemos a média ponderada entre R$ 320,00 , R$
840,00 e R$ 1 600,00 e seus respectivos pesos 20 , 10 e 5. Portanto:
MP =
Sabemos
que
para
acumularmos
um
aumento
de 20%, 12% e 7% sobre o valor de um salário, devemos
multiplicá-lo sucessivamente por 1,2, 1,12 e 1,07 que são os
fatores correspondentes a tais percentuais.
A partir dai podemos calcular a média geométrica destes
fatores:
320.20 + 840.10 + 1600.5 22.800
=
≅ R$651, 43
20 + 10 + 5
35
3
10) Resposta “11,42”.
Solução:
MP =
4.6.9 ⇒ 3 216 ⇒ 6
Como sabemos, um fator de 1, 128741 corresponde a 12,
8741% de aumento.
Este é o valor percentual médio mensal do aumento salarial,
ou seja, se aplicarmos três vezes consecutivas o percentual 12,
8741%, no final teremos o mesmo resultado que se tivéssemos
aplicado os percentuais 20%, 12% e 7%.
5.10 + 10.5 + 15.20 50 + 50 + 300 400
=
=
= 11, 42
10 + 5 + 20
35
35
Média Geométrica
Este tipo de média é calculado multiplicando-se todos os valores e extraindo-se a raiz de índice n deste produto.
Digamos que tenhamos os números 4, 6 e 9, para obtermos o
valor médio geométrico deste conjunto, multiplicamos os elementos e obtemos o produto 216.
Didatismo e Conhecimento
1,2.1,12.1,07 ⇒ 3 1, 43808 ⇒ 1,128741
39
MATEMÁTICA
Aplicação Prática
Digamos que o salário desta categoria de operários seja
de R$ 1.000,00, aplicando-se os sucessivos aumentos temos:
Salário
Inicial
+%
Informado
Salário
final
Salário
inicial
+%
médio
Salário
final
R$
1.000,00
20%
R$
1.200,00
R$
1.000,00
12, 8417
R$
1.128,74
R$
1.200,00
12%
R$
1.334,00
R$
1.287,74
12, 8417
R$
1.274,06
R$
1.334,00
7%
R$
1.438,00
R$
1.274,06
12, 8417
R$
1.438,08
Dentre todos os retângulos com a área igual a 64 cm², qual
é o retângulo cujo perímetro é o menor possível, isto é, o mais
econômico? A resposta a este tipo de questão é dada pela média
geométrica entre as medidas do comprimento a e da largura b, uma
vez que a.b = 64.
A média geométrica G entre a e b fornece a medida desejada.
G = R[a × b] = R[64] = 8
Resposta
É o retângulo cujo comprimento mede 8 cm e é lógico que
a altura também mede 8 cm, logo só pode ser um quadrado! O
perímetro neste caso é p = 32 cm. Em qualquer outra situação em
que as medidas dos comprimentos forem diferentes das alturas,
teremos perímetros maiores do que 32 cm.
Observe que o resultado final de R$ 1.438,08 é o mesmo nos
dois casos. Se tivéssemos utilizado a média aritmética no lugar da
média geométrica, os valores finais seriam distintos, pois a média
aritmética de 13% resultaria em um salário final de R$ 1.442,90,
ligeiramente maior como já era esperado, já que o percentual
de 13% utilizado é ligeiramente maior que os 12, 8417% da média
geométrica.
Interpretação gráfica
A média geométrica entre dois segmentos de reta pode ser
obtida geometricamente de uma forma bastante simples.
Cálculo da Média Geométrica
Em uma fórmula: a média geométrica de a1, a2, ..., an é
⎛ n ⎞
⎜⎝ ∏ ai ⎟⎠
i=1
1/n
Sejam AB e BC segmentos de reta. Trace um segmento de reta
que contenha a junção dos segmentos AB e BC, de forma que eles
formem segmentos consecutivos sobre a mesma reta.
= (a1 .a2 ...an )1/n = n a1 .a2 ...an
A média geométrica de um conjunto de números é sempre
menor ou igual à média aritmética dos membros desse conjunto
(as duas médias são iguais se e somente se todos os membros do
conjunto são iguais). Isso permite a definição da média aritmética
geométrica, uma mistura das duas que sempre tem um valor intermediário às duas.
A média geométrica é também a média aritmética harmônica no sentido que, se duas sequências (an) e (hn) são definidas:
an+1 =
E
hn+1 =
Dessa junção aparecerá um novo segmento AC. Obtenha o
ponto médio O deste segmento e com um compasso centrado em
O e raio OA, trace uma semi-circunferência começando em A e
terminando em C. O segmento vertical traçado para cima a partir
de B encontrará o ponto D na semi-circunferência. A medida do
segmento BD corresponde à média geométrica das medidas dos
segmentos AB e BC.
an + hn
x+y
,a1 =
2
2
2
2
,h =
1 1 1 1 1
+
+
an hn
x y
Exercícios
1. Determine a média proporcional ou geométrica entre 2 e 8.
então an e hn convergem para a média geométrica de x e y.
2. Determine a média geométrica entre 1, 2 e 4.
Cálculo da Media Geométrica Triangular
Bom primeiro observamos o mapa e somamos as áreas dos
quadrados catetos e dividimos pela hipotenusa e no final pegamos
a soma dos ângulos subtraindo o que esta entre os catetos e dividimos por PI(3,1415...) assim descobrimos a media geométrica dos
triângulos.
3. Determine a média geométrica entre dois números sabendo
que a média aritmética e a média harmônica entre eles são, respectivamente, iguais a 4 e 9.
4. A média geométrica entre 3 números é 4. Quanto devo
multiplicar um desses números para que a média aumente 2 unidades ?
Exemplo
A média geométrica entre os números 12, 64, 126 e 345, é
dada por:
5. Qual é a média geométrica dos números 2, 4, 8, 16 e 32?
G = R4[12 ×64×126×345] = 76,013
Didatismo e Conhecimento
40
MATEMÁTICA
6. Dados dois números quaisquer, a média aritmética simples
e a média geométrica deles são respectivamente 20 e 20,5. Quais
são estes dois números?
Repare que todos os números são potência de 2, podemos então escrever:
5
7. A média geométrica entre dois números é igual a 6. Se a eles
juntarmos o número 48, qual será a média geométrica entre estes
três números?
Como dentro do radical temos um produto de potências de
mesma base, somando-se os expoentes temos:
5
8. Calcule a média geométrica entre 4 e 9.
9. Calcule a média geométrica entre 3, 3, 9 e 81
2.2 2.2 3.2 4.2 5 ⇒ 5 215
Finalmente dividindo-se o índice e o expoente por 5 e resolvendo a potência resultante:
10. Calcule a média geométrica entre 1, 1, 1, 32 e 234.
5
Respostas
215 ⇒ 1 2 3 ⇒ 2 3 ⇒ 8
Logo, a média geométrica deste conjunto é 8.
6) Resposta “16, 25”.
Solução: Chamemos de a e b estes dois números. A média
aritmética deles pode ser expressa como:
1) Resposta “4”.
Solução:
M .G.(2e8) = 2 2 × 8 = 16 = 4 ⇒ M .G.(2e8) = 4
a+b
= 20,5
2
2) Resposta “2”.
Solução:
Já média geométrica pode ser expressa como:
M .G.(1,2e4) = 3 1× 2 × 4 = 3 8 = 2 ⇒ M .G.(1,2e4) = 2
a.b = 20
Observação: O termo média proporcional deve ser, apenas,
utilizado para a média geométrica entre dois números.
3) Resposta “6”.
Solução: Aplicando a relação: g2 = a.h, teremos:
Vamos isolar a na primeira equação:
a+b
= 20,5 ⇒ a + b = 20,5.2 ⇒ a = 41− b
2
g2 = 4.9 → g2 = 36 → g = 6 → MG. (4, 9) = 6.
4) Resposta “
2.4.8.16.32 ⇒ 5 2.2 2.2 3.2 4.2 5
Agora para que possamos solucionar a segunda equação, é necessário que fiquemos com apenas uma variável na mesma. Para
conseguirmos isto iremos substituir a por 41 - b:
27
”
8
Solução: Se a média geométrica entre 3 números é 4, podemos escrever:
a.b = 20 ⇒ (41− b).b = 20 ⇒
(
41b − b 2
⇒ 41b − b 2 = 400 ⇒ −b 2 + 41b − 400 = 0
) = 20
2
2
M .G. = 3 x.y.z ⇒ 4 = 3 x.y.z ⇒ x.y.z = 64
Note que acabamos obtendo uma equação do segundo grau:
Se multiplicarmos um deles por m, a nova média será:
-b2 + 41b - 400 = 0
4 + 2 = 3 x.y.z.m ⇒ 6 = 3 x.y.z.m ⇒ x.y.z.m = 216
216 27
=
e como x . y . z = 64 → 64 . m = 216 → m =
64
8
Solucionando a mesma temos:
−b 2 + 41b − 400 = 0 ⇒ b =
5) Resposta “8”.
Solução: Se dispusermos de uma calculadora científica, este
exercício pode ser solucionado multiplicando-se todos os números
e extraindo-se do produto final, a raiz de índice cinco, pois se tratam de cinco números:
5
⎧
−41+ 81
−41+ 9
−32
⇒ b1 =
⇒ b1 =
⇒ b1 = 16
⎪⎪b1 =
−2
−2
−2
⇒⎨
⎪b = −41− 81 ⇒ b = −41+ 9 ⇒ b = −50 ⇒ b = 25
2
2
2
⎪⎩ 2
−2
−2
−2
2.4.8.16.32 ⇒ 5 32768 ⇒ 8
O número b pode assumir, portanto os valores 16 e 25. É de
se esperar, portanto que quando b for igual a 16, que a seja igual
a 25 e quando b for igual a 25, que a seja igual a 16. Vamos conferir.
Se não dispusermos de uma calculadora científica esta solução
ficaria meio inviável, pois como iríamos extrair tal raiz, isto sem
contar na dificuldade em realizarmos as multiplicações?
Didatismo e Conhecimento
−41 ± 412 − 4.(−1).(−400)
2.(−1)
41
MATEMÁTICA
Para a sua determinação utiliza-se a seguinte regra, depois de
ordenada a amostra de n elementos: Se n é ímpar, a mediana é o
elemento médio. Se n é par, a mediana é a semi-soma dos dois
elementos médios.
A mediana, m, é uma medida de localização do centro da distribuição dos dados, definida do seguinte modo:
Ordenados os elementos da amostra, a mediana é o valor
(pertencente ou não à amostra) que a divide ao meio, isto é, 50%
dos elementos da amostra são menores ou iguais à mediana e os
outros 50% são maiores ou iguais à mediana.
Para a sua determinação utiliza-se a seguinte regra, depois de
ordenada a amostra de n elementos:
- Se n é ímpar, a mediana é o elemento médio.
- Se n é par, a mediana é a semi-soma dos dois elementos
médios.
Sabemos que a = 41 - b, portanto atribuindo a b um de seus
possíveis valores, iremos encontrar o valor de a.
Para b = 16 temos:
a = 41 - b ⇒ 41 - 16 ⇒ a = 25
Para b = 25 temos:
a = 41 - b ⇒ a = 41 - 25 ⇒ a = 16
Logo, os dois números são 16, 25.
7) Resposta “12”.
Solução: Se chamarmos de P o produto destes dois números,
a partir do que foi dito no enunciado podemos montar a seguinte
equação:
Se se representarem os elementos da amostra ordenada com
a seguinte notação: X1:n, X2:n, ..., Xn:n; então uma expressão para o
cálculo da mediana será:
P =6
Elevando ambos os membros desta equação ao quadrado, iremos obter o valor numérico do produto destes dois números:
2
P = 6 ⇒ ( P) = 6 2 ⇒ P = 36
Agora que sabemos que o produto de um número pelo outro
é igual 36, resta-nos multiplicá-lo por 48 e extraímos a raiz cúbica
deste novo produto para encontrarmos a média desejada:
Como medida de localização, a mediana é mais robusta do
que a média, pois não é tão sensível aos dados. Consideremos o
seguinte exemplo: um aluno do 10º ano obteve as seguintes notas:
10, 10, 10, 11, 11, 11, 11, 12. A média e a mediana da amostra
anterior são respectivamente.
M = 3 36.48 ⇒ M = 3 (2 2.32 ).(2 4.3) ⇒ M = 3 2 6.33
⇒ M = 2 2.3 ⇒ M = 4.3 ⇒ M = 12
Note que para facilitar a extração da raiz cúbica, realizamos
a decomposição dos números 36 e 48 em fatores primos. Acesse
a página decomposição de um número natural em fatores primos
para maiores informações sobre este assunto.
=10.75
Logo, ao juntarmos o número 48 aos dois números iniciais, a
média geométrica passará a ser 12.
8) Resposta “6”.
Solução: G = 2 4.9 = 6
e
=11
Admitamos que uma das notas de 10 foi substituída por uma
de 18. Neste caso a mediana continuaria a ser igual a 11, enquanto
que a média subiria para 11.75.
9) Resposta “9”.
Solução: G = 4 3.3.9.81 = 9
10) Resposta “6”.
Solução: G = 5 1.1.1.32.243 = 6
Média e Mediana: Se se representarmos os elementos da
amostra ordenada com a seguinte notação: X1:n, X2:n, ..., Xn: “n”
então uma expressão para o cálculo da mediana será:
Como medida de localização, a mediana é mais robusta do
que a média, pois não é tão sensível aos dados.
- Quando a distribuição é simétrica, a média e a mediana coincidem.
- A mediana não é tão sensível, como a média, às observações que são muito maiores ou muito menores do que as restantes
(outliers). Por outro lado a média reflete o valor de todas as observações.
Mediana: é o valor que tem tantos dados antes dele, como
depois dele. Para se medir a mediana, os valores devem estar por
ordem crescente ou decrescente. No caso do número de dados ser
ímpar, existe um e só um valor central que é a mediana. Se o número de dados é par, toma-se a média aritmética dos dois valores
centrais para a mediana.
É uma medida de localização do centro da distribuição dos dados, definida do seguinte modo: Ordenados os elementos da amostra, a mediana é o valor (pertencente ou não à amostra) que a divide ao meio, isto é, 50% dos elementos da amostra são menores ou
iguais à mediana e os outros 50% são maiores ou iguais à mediana. Didatismo e Conhecimento
42
MATEMÁTICA
A média ao contrário da mediana, é uma medida muito influenciada por valores “muito grandes” ou “muito pequenos”,
mesmo que estes valores surjam em pequeno número na amostra.
Estes valores são os responsáveis pela má utilização da média em
muitas situações em que teria mais significado utilizar a mediana.
A partir do exposto, deduzimos que se a distribuição dos dados:
- for aproximadamente simétrica, a média aproxima-se da mediana.
- for enviesada para a direita (alguns valores grandes como
“outliers”), a média tende a ser maior que a mediana.
- for enviesada para a esquerda (alguns valores pequenos
como “outliers”), a média tende a ser inferior à mediana.
Calcular a média e a mediana e comentar os resultados obtidos.
Resolução:
= = (75.23+100.58+...+400.7+1700.2)/160 =
156,10
Resolução: euros. m = semi-soma dos elementos de ordem 80
e 81 = 100 euros.
Comentário: O fato de termos obtido uma média de 156,10 e
uma mediana de 100, é reflexo do fato de existirem alguns, embora
poucos, salários muito altos, relativamente aos restantes. Reparese que, numa perspectiva social, a mediana é uma característica
mais importante do que a média. Na realidade 50% dos trabalhadores têm salário menor ou igual a 100 €, embora a média de
156,10 € não transmita essa ideia.
Vejamos de uma outra forma: Sabes, quando a distribuição
dos dados é simétrica ou aproximadamente simétrica, as medidas
de localização do centro da amostra (média e mediana) coincidem
ou são muito semelhantes. O mesmo não se passa quando a distribuição dos dados é assimétrica, fato que se prende com a pouca
resistência da média.
Representando as distribuições dos dados (esta observação é
válida para as representações gráficas na forma de diagramas de
barras ou de histograma) na forma de uma mancha, temos, de um
modo geral:
Dado um histograma é fácil obter a posição da mediana, pois
esta está na posição em que passando uma linha vertical por esse
ponto o histograma fica dividido em duas partes com áreas iguais.
Moda: é o valor que ocorre mais vezes numa distribuição, ou
seja, é o de maior efetivo e, portanto, de maior frequência. Definese moda como sendo: o valor que surge com mais frequência se os
dados são discretos, ou, o intervalo de classe com maior frequência se os dados são contínuos. Assim, da representação gráfica dos
dados, obtém-se imediatamente o valor que representa a moda ou
a classe modal. Esta medida é especialmente útil para reduzir a informação de um conjunto de dados qualitativos, apresentados sob
a forma de nomes ou categorias, para os quais não se pode calcular
a média e por vezes a mediana.
Para um conjunto de dados, define-se moda como sendo: o
valor que surge com mais frequência se os dados são discretos,
ou, o intervalo de classe com maior frequência se os dados são
contínuos. Assim, da representação gráfica dos dados, obtém-se
imediatamente o valor que representa a moda ou a classe modal.
Como medida de localização, a mediana é mais resistente do
que a média, pois não é tão sensível aos dados.
- Quando a distribuição é simétrica, a média e a mediana coincidem.
- A mediana não é tão sensível, como a média, às observações que são muito maiores ou muito menores do que as restantes
(outliers). Por outro lado a média reflete o valor de todas as observações.
Assim, não se pode dizer em termos absolutos qual destas medidas de localização é preferível, dependendo do contexto em que
estão a ser utilizadas.
Exemplo: Os salários dos 160 empregados de uma determinada empresa, distribuem-se de acordo com a seguinte tabela de
frequências:
Salário (em euros)
75 100 145 200 400
Frequência absoluta
23
58
7
2
Frequência acumulada
23
81 131 151 158
160
50
Didatismo e Conhecimento
20
1700
Esta medida é especialmente útil para reduzir a informação de
um conjunto de dados qualitativos, apresentados sob a forma de
nomes ou categorias, para os quais não se pode calcular a média
e por vezes a mediana (se não forem susceptíveis de ordenação).
43
MATEMÁTICA
Escalas – Tabelas – Gráficos
Tipos de gráficos: Os dados podem então ser representados
de várias formas:
Diagramas de Barras
Quartis: Generalizando a noção de mediana m, que como
vimos anteriormente é a medida de localização, tal que 50% dos
elementos da amostra são menores ou iguais a m, e os outros 50%
são maiores ou iguais a m, temos a noção de quartil de ordem p,
com 0<p<1, como sendo o valor Qp tal que 100p% dos elementos
da amostra são menores ou iguais a Qp e os restantes 100 (1-p)%
dos elementos da amostra são maiores ou iguais a Qp.
Tal como a mediana, é uma medida que se calcula a partir da
amostra ordenada. Um processo de obter os quartis é utilizando a
Função Distribuição Empírica.
Generalizando ainda a expressão para o cálculo da mediana,
temos uma expressão análoga para o cálculo dos quartis:
Diagramas Circulares
Qp =
onde representamos por [a], o maior inteiro contido em a.
Aos quartis de ordem 1/4 e 3/4 , damos respectivamente o
nome de 1º quartil e 3º quartil. Exemplo: Tendo-se decidido registrar os pesos dos alunos de uma determinada turma prática do 10º
ano, obtiveram-se os seguintes valores (em kg):
52
56
62
54
52
51
60
61
56
55
56
54
57
67
61
Histogramas
49
a) Determine os quantis de ordem 1/7, 1/2 e os 1º e 3º quartis.
b) Um aluno com o peso de 61 kg, pode ser considerado “normal”, isto é nem demasiado magro, nem demasiado gordo?
Resolução: Ordenando a amostra anterior, cuja dimensão é 16,
temos:
49
51
52
52
54
54
55
56
56
56
57
60
61
61
62
67
a) 16 . 1/7 = 16/7, onde [16/7] = 2 e Q1/7 = x3 : 16 = 52
16 . 1/4 = 4, onde Q1/2 = [x8 : 16 + x9 : 16]/2 = 56
16 . 1/2 = 8, onde Q1/4 = [x4 : 16 + x5 : 16]/2 = 53
16 . 3/4 = 12, onde Q3/4 = [x12 : 16 + x13 : 16]/2 = 60.5
Pictogramas
b) Um aluno com 61 kg pode ser considerado um pouco “forte”, pois naquela turma só 25% dos alunos é que têm peso maior
ou igual a 60.5 kg.
Didatismo e Conhecimento
1ª
2ª
3ª
4ª
5ª
44
(4)
(4)
= 1 unidade
(8)
(5)
(10)
MATEMÁTICA
Tabela de Frequências: Como o nome indica, conterá os valores da variável e suas respectivas contagens, as quais são denominadas frequências absolutas ou simplesmente, frequências. No
caso de variáveis qualitativas ou quantitativas discretas, a tabela
de freqüência consiste em listar os valores possíveis da variável,
numéricos ou não, e fazer a contagem na tabela de dados brutos
do número de suas ocorrências. A frequência do valor i será representada por ni, a frequência total por n e a freqüência relativa por
fi = ni/n.
Para variáveis cujos valores possuem ordenação natural (qualitativas ordinais e quantitativas em geral), faz sentido incluirmos
também uma coluna contendo as frequências acumuladas f ac, obtidas pela soma das frequências de todos os valores da variável,
menores ou iguais ao valor considerado.
No caso das variáveis quantitativas contínuas, que podem assumir infinitos valores diferentes, é inviável construir a tabela de
frequência nos mesmos moldes do caso anterior, pois obteríamos
praticamente os valores originais da tabela de dados brutos. Para
resolver este problema, determinamos classes ou faixas de valores
e contamos o número de ocorrências em cada faixa. Por ex., no
caso da variável peso de adultos, poderíamos adotar as seguintes
faixas: 30 |— 40 kg, 40 |— 50 kg, 50 |— 60, 60 |— 70, e assim por
diante. Apesar de não adotarmos nenhuma regra formal para estabelecer as faixas, procuraremos utilizar, em geral, de 5 a 8 faixas
com mesma amplitude.
Eventualmente, faixas de tamanho desigual podem ser convenientes para representar valores nas extremidades da tabela.
Exemplo:
Didatismo e Conhecimento
Gráfico de Barras: Para construir um gráfico de barras, representamos os valores da variável no eixo das abscissas e suas
as frequências ou porcentagens no eixo das ordenadas. Para cada
valor da variável desenhamos uma barra com altura correspondendo à sua freqüência ou porcentagem. Este tipo de gráfico é interessante para as variáveis qualitativas ordinais ou quantitativas discretas, pois permite investigar a presença de tendência nos dados.
Exemplo:
Diagrama Circular: Para construir um diagrama circular ou
gráfico de pizza, repartimos um disco em setores circulares correspondentes às porcentagens de cada valor (calculadas multiplicando-se a frequência relativa por 100). Este tipo de gráfico adapta-se
muito bem para as variáveis qualitativas nominais. Exemplo:
45
MATEMÁTICA
Gráfico de Ogiva:
Apresenta uma distribuição de frequências acumuladas, utiliza uma poligonal ascendente utilizando os pontos extremos.
Histograma: O histograma consiste em retângulos contíguos
com base nas faixas de valores da variável e com área igual à frequência relativa da respectiva faixa. Desta forma, a altura de cada
retângulo é denominada densidade de frequência ou simplesmente
densidade definida pelo quociente da área pela amplitude da faixa.
Alguns autores utilizam a frequência absoluta ou a porcentagem na
construção do histograma, o que pode ocasionar distorções (e, consequentemente, más interpretações) quando amplitudes diferentes
são utilizadas nas faixas. Exemplo:
11 ANÁLISE DE ALGORITMOS.
A análise de algoritmos estuda a correção e o desempenho de
algoritmos. Em outras palavras, a análise de algoritmos procura
respostas para perguntas do seguinte tipo: Este algoritmo resolve
o meu problema? Quanto tempo o algoritmo consome para
processar uma ‘entrada’ de tamanho n?. (A resposta à segunda
pergunta é necessariamente um tanto grosseira, algo como o
consumo de tempo é proporcional a n² log n no pior caso.)
Além disso, a análise de algoritmos estuda certos paradigmas
(como divisão-e-conquista, programação dinâmica, gula, busca
local, aproximação, etc.) que se mostraram úteis na criação de
algoritmos para vários problemas computacionais.
Gráfico de Linha ou Sequência: Adequados para apresentar
observações medidas ao longo do tempo, enfatizando sua tendência ou periodicidade. Exemplo:
Fonte: http://www.ime.usp.br/~pf/analise_de_algoritmos/
12 NOÇÕES DE PROGRAMAÇÃO LINEAR.
A programação linear, no campo da programação matemática,
é uma área da pesquisa operacional com vasta aplicação em apoio à
decisão. O termo “programação”, tanto linear quanto matemática,
não tem a ver diretamente com programação de computadores,
ou linguagem de programação. Este termo tem origem em suas
aplicações, originalmente desenvolvido para resolver problemas
industriais. Assim, o termo “programação” da programação
linear está relacionado ao planejamento de recursos escassos
visando atender as condições operacionais. Estas, por sua vez, são
representadas por equações e funções lineares.
A aplicação da programação linear em apoio à decisão ocorre
na condição que se decide para atingir um objetivo. Este, por
sua vez, é resultante da alocação ótima dos recursos. Por isso
caracterizamos a programação linear como uma técnica de
otimização. No problema de otimização em siderurgia, por
Polígono de Frequência:
Semelhante ao histograma, mas construído a partir dos pontos
médios das classes. Exemplo:
Didatismo e Conhecimento
46
MATEMÁTICA
exemplo, buscamos determinar a alocação ótima dos recursos de
produção de forma a atender as limitações de capacidades de cada
usina e maximizar o lucro resultante. Tanto a função de maximizar
o lucro quanto as restrições de capacidade de cada planta são
representados por funções lineares. Neste exemplo, o tomador de
decisão pode escolher diversas combinações de alocação de seus
produtos, no entanto apenas uma combinação é a mais lucrativa.
Esta e a combinação ótima que maximiza o lucro, uma função
linear, do problema de programação linear.
13 ANÁLISE COMBINATÓRIA.
Análise combinatória é uma parte da matemática que estuda,
ou melhor, calcula o número de possibilidades, e estuda os métodos
de contagem que existem em acertar algum número em jogos de
azar. Esse tipo de cálculo nasceu no século XVI, pelo matemático
italiano Niccollo Fontana (1500-1557), chamado também de
Tartaglia. Depois, apareceram os franceses Pierre de Fermat (16011665) e Blaise Pascal (1623-1662). A análise desenvolve métodos
que permitem contar, indiretamente, o número de elementos de um
conjunto. Por exemplo, se quiser saber quantos números de quatro
algarismos são formados com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 9, é
preciso aplicar as propriedades da análise combinatória. Veja quais
propriedades existem:
- Princípio fundamental da contagem
- Fatorial
- Arranjos simples
- Permutação simples
- Combinação
- Permutação com elementos repetidos
Programação linear: equações e funções são lineares
Princípio fundamental da contagem: é o mesmo que a Regra
do Produto, um princípio combinatório que indica quantas vezes
e as diferentes formas que um acontecimento pode ocorrer. O
acontecimento é formado por dois estágios caracterizados como
sucessivos e independentes:
• O primeiro estágio pode ocorrer de m modos distintos.
• O segundo estágio pode ocorrer de n modos distintos.
Embora originalmente o tempo “programação” de programação
linear não tem a ver diretamente com programação de computadores,
os problemas reais não podem ser resolvidos manualmente, dada a
dimensão de problemas reais. Com a evolução da tecnologia de
hardware e software, os algoritmos de programação linear são
implementados em uma linguagem computacional para viabilizar
a resolução de problemas reais em menor tempo. A programação
linear, dessa forma, teve seu desenvolvimento junto com o
desenvolvimento dos computadores, a partir da década de quarenta.
A programação linear é uma das técnicas mais usadas dentre
outras grandes áreas da pesquisa operacional, como simulação,
teoria de filas, programação dinâmica, teoria dos jogos. O problema
de programação linear foi inventado pelo matemático Russo L.
Kantorovich em 1939. L. Kantorovich e T. Koopmans ganharam
o prêmio Nobel por suas contribuições à teoria de alocação ótima
de recursos. No entanto, o algoritmo mais utilizado para resolver
problemas de programação linear é o simplex e suas variações
(primal simplex, dual simplex, simplex revisado) formalizado
por George Dantzig em 1947 enquanto trabalhava no projeto
de computação científica de otimização SCOOP (Scientific
Computation of Optimal Programs) na RAND (Research and
Development) Corporation para a Força Aérea Americana.
Diversas áreas utilizam a programação linear para apoio
a decisão. Dentre as áreas de aplicação estão: (i) planejamento
logístico de frotas e rotas, (ii) planejamento da produção de longo,
médio e curto prazo, (iii) decisão em escolha de mix de produtos em
manufatura, (iv) estratégias operacionais em mineração, siderurgia,
petroquímicas, agricultura, (v) decisão de localização de facilidade
ou instalação de fábricas ou centros de distribuição, (vi) decisão em
finanças na escolha da melhor carteira de investimentos, entre outros.
Desse modo, podemos dizer que o número de formas diferente
que pode ocorrer em um acontecimento é igual ao produto m . n
Exemplo: Alice decidiu comprar um carro novo, e inicialmente
ela quer se decidir qual o modelo e a cor do seu novo veículo. Na
concessionária onde Alice foi há 3 tipos de modelos que são do
interesse dela: Siena, Fox e Astra, sendo que para cada carro há
5 opções de cores: preto, vinho, azul, vermelho e prata. Qual é o
número total de opções que Alice poderá fazer?
Resolução: Segundo o Principio Fundamental da Contagem,
Alice tem 3×5 opções para fazer, ou seja,ela poderá optar por 15
carros diferentes. Vamos representar as 15 opções na árvore de
possibilidades:
Fonte:
http://www.marcogandra.com.br/2012/08/o-que-eprogramacao-linear.html
Didatismo e Conhecimento
47
MATEMÁTICA
2. Quando se diferir tanto pela natureza quanto pela ordem
de seus elementos, os problemas de contagem serão agrupados e
considerados distintos.
ac ≠ ca, neste caso os agrupamentos são denominados arranjos.
Pode ocorrer: O conjunto A é formado por algarismos e o
problema é contar os números por eles determinados.
Fatorial: Na matemática, o fatorial de um número natural n,
representado por n!, é o produto de todos os inteiros positivos
menores ou iguais a n. A notação n! foi introduzida por Christian
Kramp em 1808. A função fatorial é normalmente definida por:
Por exemplo, 5! = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 = 120
Note que esta definição implica em particular que 0! = 1,
porque o produto vazio, isto é, o produto de nenhum número é 1.
Deve-se prestar atenção neste valor, pois este faz com que a função
recursiva (n + 1)! = n! . (n + 1) funcione para n = 0.
Os fatoriais são importantes em análise combinatória. Por
exemplo, existem n! caminhos diferentes de arranjar n objetos
distintos numa sequência. (Os arranjos são chamados permutações)
E o número de opções que podem ser escolhidos é dado pelo
coeficiente binomial.
Generalizações: Um acontecimento é formado por k estágios
sucessivos e independentes, com n1, n2, n3, … , nk possibilidades para
cada. O total de maneiras distintas de ocorrer este acontecimento
é n1, n2, n3, … , nk
Técnicas de contagem: Na Técnica de contagem não importa
a ordem.
Considere A = {a; b; c; d; …; j} um conjunto formado por 10
elementos diferentes, e os agrupamentos ab, ac e ca”.
Arranjos simples: são agrupamentos sem repetições em que
um grupo se torna diferente do outro pela ordem ou pela natureza
dos elementos componentes. Seja A um conjunto com n elementos
e k um natural menor ou igual a n. Os arranjos simples k a k dos
n elementos de A, são os agrupamentos, de k elementos distintos
cada, que diferem entre si ou pela natureza ou pela ordem de seus
elementos.
ab e ac são agrupamentos sempre distintos, pois se diferenciam
pela natureza de um dos elemento.
ac e ca são agrupamentos que podem ser considerados
distintos ou não distintos pois se diferenciam somente pela ordem
dos elementos.
Quando os elementos de um determinado conjunto A forem
algarismos, A = {0, 1, 2, 3, …, 9}, e com estes algarismos
pretendemos obter números, neste caso, os agrupamentos de 13
e 31 são considerados distintos, pois indicam números diferentes.
Cálculos do número de arranjos simples:
Na formação de todos os arranjos simples dos n elementos de
A, tomados k a k:
Quando os elementos de um determinado conjunto A
forem pontos, A = {A1, A2, A3, A4, A5…, A9}, e com estes
pontos pretendemos obter retas, neste caso os agrupamentos
são iguais, pois indicam a mesma reta.
n
→ possibilidades na escolha do 1º elemento.
n - 1 → possibilidades na escolha do 2º elemento, pois um
deles já foi usado.
n - 2 → possibilidades na escolha do 3º elemento, pois dois
deles já foi usado.
.
n - (k - 1) → possibilidades na escolha do kº elemento, pois
l-1 deles já foi usado.
Conclusão: Os agrupamentos...
1. Em alguns problemas de contagem, quando os agrupamentos
se diferirem pela natureza de pelo menos um de seus elementos, os
agrupamentos serão considerados distintos. ac = ca, neste caso os
agrupamentos são denominados combinações.
Pode ocorrer: O conjunto A é formado por pontos e o problema
é saber quantas retas esses pontos determinam.
Didatismo e Conhecimento
48
MATEMÁTICA
No Princípio Fundamental da Contagem (An, k), o número total
de arranjos simples dos n elementos de A (tomados k a k), temos:
Se trocarmos os 3 elementos das 4 combinações obtemos
todos os arranjos 3 a 3:
An,k = n (n - 1) . (n - 2) . ... . (n – k + 1)
(é o produto de k fatores)
Multiplicando e dividindo por (n – k)!
abc
abd
acd
bcd
acb
adb
adc
bdc
bac
bad
cad
cbd
bca
bda
cda
cdb
cab
dab
dac
dbc
cba
dba
dca
dcb
4 combinações) x (6 permutações) = 24 arranjos
Note que n (n – 1) . (n – 2). ... .(n – k + 1) . (n – k)! = n!
Logo: C4,3 . P3 = A4,3
Podemos também escrever
Cálculo do número de combinações simples: O número total
de combinações simples dos n elementos de A representados por C
, tomados k a k, analogicamente ao exemplo apresentado, temos:
n,k
a) Trocando os k elementos de uma combinação k a k, obtemos
Pk arranjos distintos.
b) Trocando os k elementos das Cn,k . Pk arranjos distintos.
Permutações: Considere A como um conjunto com n
elementos. Os arranjos simples n a n dos elementos de A, são
denominados permutações simples de n elementos. De acordo com
a definição, as permutações têm os mesmos elementos. São os n
elementos de A. As duas permutações diferem entre si somente
pela ordem de seus elementos.
Portanto: Cn,k . Pk = An,k ou
Cálculo do número de permutação simples:
C n,k =
O número total de permutações simples de n elementos
indicado por Pn, e fazendo k = n na fórmula An,k = n (n – 1) (n – 2)
. … . (n – k + 1), temos:
A n,k
Pk
Lembrando que:
Pn = An,n= n (n – 1) (n – 2) . … . (n – n + 1) = (n – 1) (n – 2)
. … .1 = n!
Portanto: Pn = n!
Também pode ser escrito assim:
Combinações Simples: são agrupamentos formados com
os elementos de um conjunto que se diferenciam somente pela
natureza de seus elementos. Considere A como um conjunto com
n elementos k um natural menor ou igual a n. Os agrupamentos
de k elementos distintos cada um, que diferem entre si apenas
pela natureza de seus elementos são denominados combinações
simples k a k, dos n elementos de A.
Arranjos Completos: Arranjos completos de n elementos, de k
a k são os arranjos de k elementos não necessariamente distintos.
Em vista disso, quando vamos calcular os arranjos completos,
deve-se levar em consideração os arranjos com elementos distintos
(arranjos simples) e os elementos repetidos. O total de arranjos
completos de n elementos, de k a k, é indicado simbolicamente por
A*n,k dado por: A*n,k = nk
Exemplo: Considere A = {a, b, c, d} um conjunto com
elementos distintos. Com os elementos de A podemos formar 4
combinações de três elementos cada uma: abc – abd – acd – bcd
Se trocarmos ps 3 elementos de uma delas:
Permutações com elementos repetidos
Exemplo: abc, obteremos P3 = 6 arranjos disdintos.
abc
abd
acd
Considerando:
α elementos iguais a a,
β elementos iguais a b,
γ elementos iguais a c, …,
λ elementos iguais a l,
bcd
acb
bac
bca
Totalizando em α + β + γ + … λ = n elementos.
cab
cba
Didatismo e Conhecimento
49
MATEMÁTICA
Simbolicamente representado por Pnα, β, γ, …, λ o número
de permutações distintas que é possível formarmos com os n
elementos:
05. (UNIFESP) – As permutações das letras da palavra PROVA
foram listadas em ordem alfabética, como se fossem palavras de
cinco letras em um dicionário. A 73ª palavra nessa lista é
(A) PROVA.
(B) VAPOR.
(C) RAPOV.
(D) ROVAP.
(E) RAOPV.
Combinações Completas: Combinações completas de
n elementos, de k a k, são combinações de k elementos não
necessariamente distintos. Em vista disso, quando vamos calcular
as combinações completas devemos levar em consideração as
combinações com elementos distintos (combinações simples) e
as combinações com elementos repetidos. O total de combinações
completas de n elementos, de k a k, indicado por C*n,k
06. (MACKENZIE) – Numa empresa existem 10 diretores,
dos quais 6 estão sob suspeita de corrupção. Para que se analisem
as suspeitas, será formada uma comissão especial com 5 diretores,
na qual os suspeitos não sejam maioria. O número de possíveis
comissões é:
(A) 66
(B) 72
(C) 90
(D) 120
(E) 124
07. (ESPCEX) – A equipe de professores de uma escola possui
um banco de questões de matemática composto de 5 questões
sobre parábolas, 4 sobre circunferências e 4 sobre retas. De quantas
maneiras distintas a equipe pode montar uma prova com 8 questões,
sendo 3 de parábolas, 2 de circunferências e 3 de retas?
(A) 80
(B) 96
(C) 240
(D) 640
(E) 1.280
QUESTÕES
01. Quantos números de três algarismos distintos podem ser
formados com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 7 e 8?
02. Organiza-se um campeonato de futebol com 14 clubes,
sendo a disputa feita em dois turnos, para que cada clube enfrente
o outro no seu campo e no campo deste. O número total de jogos
a serem realizados é:
(A)182
(B) 91
(C)169
(D)196
(E)160
08. Numa clínica hospitalar, as cirurgias são sempre assistidas
por 3 dos seus 5 enfermeiros, sendo que, para uma eventualidade
qualquer, dois particulares enfermeiros, por serem os mais
experientes, nunca são escalados para trabalharem juntos. Sabendose que em todos os grupos participa um dos dois enfermeiros mais
experientes, quantos grupos distintos de 3 enfermeiros podem ser
formados?
(A) 06
(B) 10
(C) 12
(D) 15
(E) 20
03. Deseja-se criar uma senha para os usuários de um sistema,
começando por três letras escolhidas entre as cinco A, B, C, D e
E, seguidas de quatro algarismos escolhidos entre 0, 2, 4, 6 e 8. Se
entre as letras puder haver repetição, mas se os algarismos forem
todos distintos, o número total de senhas possíveis é:
(A) 78.125
(B) 7.200
(C) 15.000
(D) 6.420
(E) 50
09. Seis pessoas serão distribuídas em duas equipes para
concorrer a uma gincana. O número de maneiras diferentes de
formar duas equipes é
(A) 10
(B) 15
(C) 20
(D) 25
(E) 30
04. (UFTM) – João pediu que Cláudia fizesse cartões com
todas as permutações da palavra AVIAÇÃO. Cláudia executou
a tarefa considerando as letras A e à como diferentes, contudo,
João queria que elas fossem consideradas como mesma letra. A
diferença entre o número de cartões feitos por Cláudia e o número
de cartões esperados por João é igual a
(A) 720
(B) 1.680
(C) 2.420
(D) 3.360
(E) 4.320
Didatismo e Conhecimento
10. Considere os números de quatro algarismos do sistema
decimal de numeração. Calcule:
a) quantos são no total;
b) quantos não possuem o algarismo 2;
c) em quantos deles o algarismo 2 aparece ao menos uma vez;
d) quantos têm os algarismos distintos;
e) quantos têm pelo menos dois algarismos iguais.
50
MATEMÁTICA
Resoluções
08.
I) Existem 5 enfermeiros disponíveis: 2 mais experientes e
outros 3.
II) Para formar grupos com 3 enfermeiros, conforme o
enunciado, devemos escolher 1 entre os 2 mais experientes e 2
entre os 3 restantes.
III) O número de possibilidades para se escolher 1 entre os 2
mais experientes é
01.
02. O número total de jogos a serem realizados é A14,2 = 14 .
13 = 182.
03.
Algarismos
IV) O número de possibilidades para se escolher 2 entre 3
restantes é
Letras
As três letras poderão ser escolhidas de 5 . 5 . 5 =125 maneiras.
Os quatro algarismos poderão ser escolhidos de 5 . 4 . 3 . 2 =
120 maneiras.
O número total de senhas distintas, portanto, é igual a 125 .
120 = 15.000.
V) Assim, o número total de grupos que podem ser formados
é2.3=6
09.
10.
a) 9 . A*10,3 = 9 . 103 = 9 . 10 . 10 . 10 = 9000
b) 8 . A*9,3 = 8 . 93 = 8 . 9 . 9 . 9 = 5832
c) (a) – (b): 9000 – 5832 = 3168
d) 9 . A9,3 = 9 . 9 . 8 . 7 = 4536
e) (a) – (d): 9000 – 4536 = 4464
04.
I) O número de cartões feitos por Cláudia foi
II) O número de cartões esperados por João era
Binômio de Newton
Denomina-se Binômio de Newton , a todo binômio da forma
(a + b)n , sendo n um número natural .
Assim, a diferença obtida foi 2.520 – 840 = 1.680
05. Se as permutações das letras da palavra PROVA forem
listadas em ordem alfabética, então teremos:
P4 = 24 que começam por A
P4 = 24 que começam por O
P4 = 24 que começam por P
Exemplo: B = (3x - 2y)4 ( onde a = 3x, b = -2y e n = 4 [grau do binômio] ).
Exemplos de desenvolvimento de binômios de Newton :
a) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
b) (a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3ab2 + b3
c) (a + b)4 = a4 + 4 a3b + 6 a2b2 + 4ab3 + b4
d) (a + b)5 = a5 + 5 a4b + 10 a3b2 + 10 a2b3 + 5ab4 + b5
A 73.ª palavra nessa lista é a primeira permutação que começa
por R. Ela é RAOPV.
06. Se, do total de 10 diretores, 6 estão sob suspeita de
corrupção, 4 não estão. Assim, para formar uma comissão de 5
diretores na qual os suspeitos não sejam maioria, podem ser
escolhidos, no máximo, 2 suspeitos. Portanto, o número de
possíveis comissões é
Nota:
Não é necessário memorizar as fórmulas acima, já que elas
possuem uma lei de formação bem definida, senão vejamos:
Vamos tomar, por exemplo, o item (d) acima:
Observe que o expoente do primeiro e últimos termos são
iguais ao expoente do binômio, ou seja, igual a 5.
A partir do segundo termo, os coeficientes podem ser obtidos
a partir da seguinte regra prática de fácil memorização:
Multiplicamos o coeficiente de a pelo seu expoente e dividimos o resultado pela ordem do termo. O resultado será o coeficiente do próximo termo. Assim por exemplo, para obter o coeficiente
do terceiro termo do item (d) acima teríamos:
5.4 = 20; agora dividimos 20 pela ordem do termo anterior (2
por se tratar do segundo termo) 20:2 = 10 que é o coeficiente do
terceiro termo procurado.
07. C5,3 . C4,2 . C4,3 = 10 . 6 . 4 = 240
Didatismo e Conhecimento
51
MATEMÁTICA
Observe que os expoentes da variável a decrescem de n até 0
e os expoentes de b crescem de 0 até n. Assim o terceiro termo é
10 a3b2 (observe que o expoente de a decresceu de 4 para 3 e o de
b cresceu de 1 para 2).
Usando a regra prática acima, o desenvolvimento do binômio
de Newton (a + b)7 será:
(a + b)7 = a7 + 7 a6b + 21 a5b2 + 35 a4b3 + 35 a3b4 + 21 a2b5 +
7 ab6 + b7
ANOTAÇÕES
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Como obtivemos, por exemplo, o coeficiente do 6º termo (21
a2b5) ?
Pela regra: coeficiente do termo anterior = 35. Multiplicamos
35 pelo expoente de a que é igual a 3 e dividimos o resultado pela
ordem do termo que é 5.
Então, 35 . 3 = 105 e dividindo por 5 (ordem do termo anterior) vem 105:5 = 21, que é o coeficiente do sexto termo, conforme
se vê acima.
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Observações:
1) o desenvolvimento do binômio (a + b)n é um polinômio.
2) o desenvolvimento de (a + b)n possui n + 1 termos .
3) os coeficientes dos termos equidistantes dos extremos , no
desenvolvimento De (a + b)n são iguais .
4) a soma dos coeficientes de (a + b)n é igual a 2n .
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Fórmula do termo geral de um Binômio de Newton
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Um termo genérico Tp+1 do desenvolvimento de (a+b)n , sendo
p um número natural, é dado por
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⎛ n⎞
T p+1 = ⎜ ⎟ .a n− p .b p
⎝ p⎠
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onde
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⎛ n⎞
n!
⎜⎝ p ⎟⎠ = Cn. p = p!(n − p)!
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é denominado Número Binomial e Cn.p é o número de combinações simples de n elementos, agrupados p a p, ou seja, o número
de combinações simples de n elementos de taxa p.
Este número é também conhecido como Número Combinatório.
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Didatismo e Conhecimento
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MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES
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ANOTAÇÕES
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