Exercícios complementares envolvendo a equação de Torricelli

Exercícios complementares envolvendo a equação de Torricelli
01. (Vunesp-SP) Um veículo está rodando à velocidade de 36 km/h numa estrada reta e
horizontal, quando o motorista aciona o freio. Supondo que a velocidade do veículo se reduz
uniformemente à razão de 4 m/s em cada segundo a partir do momento em que o freio foi
acionado, determine:
a) o tempo decorrido entre o instante do acionamento do freio e o instante em que o veículo pára;
b) a distância percorrida pelo veículo nesse intervalo de tempo.
02. (Fuvest-SP) Um veículo parte do repouso, em movimento retilíneo e acelera à razão
constante de 2 m/s2. Pode-se dizer que sua velocidade e a distância percorrida, após 3 s, valem,
respectivamente
a) 6 m/s e 9 m
b) 6 m/s e 18 m
c) 3 m/s e 12 m
d) 12 m/s e 36 m
e) 2 m/s e 12 m
03. (UFPA-PA) Ao sair de uma curva a 72 km/h, um motorista se surpreende com uma lombada
eletrônica a sua frente. No momento em que aciona os freios, está a 100 m da lombada.
Considerando-se que o carro desacelera a – 1,5 m/s2, a velocidade escalar indicada, no exato
momento em que o motorista cruza a lombada, em km/h, é:
a) 10
b) 24
c) 36
d) 40
e) 50
04. (Vunesp-SP) Um motorista, dirigindo seu veículo à velocidade escalar constante de 72 km/h,
numa avenida retilínea, vê a luz vermelha do semáforo acender quando está a 35 m do
cruzamento. Suponha que entre o instante em que ele vê a luz vermelha e o instante em que
aciona os freios decorra um intervalo de tempo de 0,50 s. Admitindo-se que a aceleração escalar
produzida pelos freios seja constante, qual o módulo dessa aceleração, em m/s2, para que o
carro pare exatamente no cruzamento?
a) 2,0
b) 4,0
c) 6,0
d) 8,0
e) 10
Exercícios complementares envolvendo a equação de Torricelli
05. (Mackenzie-SP) Um trem de 120 m de comprimento se desloca com velocidade escalar de
20 m/s. Esse trem, ao iniciar a travessia de uma ponte, freia uniformemente, saindo
completamente da mesma 10 s após com velocidade escalar de 10 m/s. O comprimento da ponte
é:
a) 150 m
b) 120 m
c) 90 m
d) 60 m
e) 30 m
06. (PUC-Campinas-SP) Uma automóvel parte do repouso no instante t = 0 e acelera
uniformemente com 5,0 m/s2, durante 10 s. A velocidade escalar média do automóvel entre os
instantes t = 6,0 s e t = 10 s, em m/s, foi de:
a) 40
b) 35
c) 30
d) 25
e) 20
07. (UFSE) Um veículo, partindo do repouso, move-se em linha reta com aceleração constante
a = 2 m/s2. A distância percorrida pelo veículo após 10 s é de:
a) 200 m
b) 100 m
c) 50 m
d) 20 m
e) 10 m
08. (Cesgranrio-RJ) Um automóvel, partindo do repouso, leva 5,0 s para percorrer 25 m, em
movimento uniformemente variado. A velocidade final do automóvel é de:
a) 5,0 m/s
b) 10 m/s
c) 15 m/s
d) 20 m/s
e) 25 m/s
Exercícios complementares envolvendo a equação de Torricelli
09. (FEI-SP) Uma motocicleta, com velocidade escalar de 72 km/h tem seus freios acionados
bruscamente e pára após 20 s. Admita que, durante a freada, a aceleração escalar se manteve
constante.
a) Qual o módulo da aceleração escalar que os freios proporcionaram à motocicleta?
b) Qual a distância percorrida pela motocicleta desde o instante em que foram acionados os
freios até a parada total da mesma?
10. (Mackenzie-SP) Analisando o movimento de um corpúsculo, com aceleração constante em
trajetória retilínea, um estudante verifica que, nos instantes 10 s e 30 s, contados do início do
movimento, as velocidades escalares desse corpúsculo são, respectivamente, iguais a 15 m/s e
25 m/s. Com esses dados, o estudante deduz que a distância percorrida pelo corpúsculo entre
esses dois instantes é:
a) 200 m
b) 250 m
c) 350 m
d) 400 m
e) 450 m
11. (Vunesp-SP) Um jovem afoito parte com seu carro do repouso, numa avenida horizontal e
retilínea, com aceleração escalar constante de 3,0 m/s2. Mas, 10 segundos depois da partida,
ele percebe a presença de fiscalização logo adiante. Nesse instante, ele freia, parando junto ao
posto onde se encontram os guardas.
a) Se a velocidade escalar máxima permitida nessa avenida é 80 km/h, ele deve ser multado?
Justifique.
b) Se a freada durou 5,0 s, com aceleração escalar constante, qual a distância total percorrida
pelo jovem, desde o ponto de partida até o posto de fiscalização?
12. (UFES) O projeto de expansão do Aeroporto de Vitória prevê a construção de uma nova
pista. Considere-se que essa pista foi projetada para que o módulo máximo da aceleração das
aeronaves, em qualquer aterrissagem, seja 20% da aceleração da gravidade g = 10 m/s2.
Supondo-se que uma aeronave comercial típica toque o início da pista com uma velocidade
horizontal de 360 km/h, o comprimento mínimo da pista será de:
a) 1,3 km
b) 2,1 km
c) 2,5 km
d) 3,3 km
e) 5,0 km
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13. (Mackenzie-SP) Um trem de 100 m de comprimento, com velocidade escalar de 30 m/s,
começa a frear com aceleração escalar constante de módulo 2,0 m/s2, no instante em que inicia
a ultrapassagem de um túnel. Esse trem pára no momento em que seu último vagão está saindo
do túnel. O comprimento do túnel é:
a) 25 m
b) 50 m
c) 75 m
d) 100 m
e) 125 m
14. (UFSCar-SP) Uma partícula se move em uma reta com aceleração constante. Sabe-se que
no intervalo de tempo de 10 s, ela passa duas vezes pelo mesmo ponto dessa reta, com
velocidades de mesmo módulo, │v│ = 4,0 m/s, em sentidos opostos. O módulo do deslocamento
e o espaço percorrido pela partícula, nesse intervalo de tempo, são respectivamente:
a) 0,0 m e 10 m
b) 0,0 m e 20 m
c) 10 m e 5,0 m
d) 10 m e 10 m
e) 20 m e 20 m
15. (Unicamp-SP) A tabela abaixo mostra valores da velocidade de um atleta da São Silvestre
em função do tempo, nos segundos iniciais da corrida.
v(m/s) 0,0
1,8
3,6
5,4
7,2
9,0
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
t(s)
Nesses 5,0 segundos iniciais, pede-se:
a) a aceleração escalar constante do atleta;
b) o gráfico da velocidade escalar do atleta em função do tempo.
Exercícios complementares envolvendo a equação de Torricelli
Gabarito
1. Temos a situação mostrada na ilustração:
v = 36 km/h = 10 m/s
a = – 4 m/s2
v=0
a) Utilizando a expressão v = vo + at, obtemos o tempo gasto entre o instante do acionamento do
freio e o instante em que o veículo pára. Teremos:
v = vo + at
onde
v=0
vo = 10 m/s
a = – 4 m/s2
Ficamos com
v = vo + at
0 = 10 + (– 4).t
4t = 10
t = 2,5 s
b) E utilizando a equação de Torricelli podemos determinar a distância percorrida pelo veículo
até parar.
v2 = vo2 + 2.a.X
Onde
v=0
vo = 10 m/s
a = – 4 m/s2
Ficamos com
v2 = vo2 + 2.a.X
(0)2 = (10)2 + 2.(– 4).X
0 = 100 – 8.X
8.X = 100
X = 12,5 m
Exercícios complementares envolvendo a equação de Torricelli
2. Alternativa A
Temos a situação mostrada na ilustração:
v=0
a = 2 m/s2
t=3s
v=?
a) Utilizando a expressão v = vo + at, obtemos a velocidade do veículo após 3 s. Teremos:
v = vo + at
onde
vo = 0
v=?
a = 2 m/s2
t=3s
Ficamos com
v = vo + at
v = 0 + (2).3
v = 6 m/s
b) E utilizando a equação de Torricelli podemos determinar a distância percorrida pelo veículo
em 3 s.
v2 = vo2 + 2.a.X
Onde
vo = 0
v=6
a = 2 m/s2
Ficamos com
v2 = vo2 + 2.a.X
(6)2 = (0)2 + 2.(2).X
36 = 0 + 4.X
4.X = 36
X = 9 m
Exercícios complementares envolvendo a equação de Torricelli
3. Alternativa C
Temos a situação mostrada na ilustração:
v = 72 km/h = 20 m/s
a = – 1,5 m/s2
v=?
X = 100 m
Utilizando a equação de Torricelli podemos determinar a velocidade do veículo depois de
percorrer 100 m.
v2 = vo2 + 2.a.X
Onde
vo = 72 km/h = 20 m/s
v=?
a = – 1,5 m/s2
X = 100 m
Ficamos com
v2 = vo2 + 2.a.X
v2 = (20)2 + 2.(– 1,5).100
v2 = 400 – 300
v2 = 100
v = 10 m/s
Transformando em km/h temos 10 m/s = 36 km/h
4. Alternativa D
Com uma velocidade de 72 km/h = 20 m/s, ele demora 0,5 s para acionar os freios. Ele se desloca
em movimento uniforme por uma distância (∆X) de:
v = ∆X/∆t
20 = ∆X/0,5
∆X = 10 m
Como estava a 35 m do semáforo, agora, está a 25 m (35 m – 10 m). Nesse instante o freio
começa a funcionar e o movimento a partir daí é uniformemente variado.
Aplicando a equação de Torricelli temos:
v2 = v02 + 2a∆X
onde
vo = 20 m/s
Exercícios complementares envolvendo a equação de Torricelli
v=0
a=?
X = 25 m
Ficamos com
v2 = vo2 + 2.a.X
02 = (20)2 + 2.a.25
0 = 400 + 50a
– 50a = 400
a = – 8 m/s2
Em módulo teremos |a| = 8
5. Alternativa E
Temos a situação mostrada na ilustração:
v = 20 m/s
v = 10 m/s
120 m
C=?
Utilizando a expressão v = v0 + at, determinamos a desaceleração do trem:
v = v0 + at
10 = 20 + a.10
10 − 20 = 10a
10a = − 10
a = − 10/10
a = − 1 m/s2
E utilizando os dados acima na equação de Torricelli temos:
v2 = v02 + 2a∆X
102 = 202 + 2.(−1).∆X
100 = 400 − 2∆X
2∆X = 400 – 100
2∆X = 300
∆X = 300/2
∆s = 150 m
Exercícios complementares envolvendo a equação de Torricelli
Considerando que o trem para passar totalmente pela ponte deve deslocar o seu comprimento
total, o valor encontrado (150 m) não corresponde ao comprimento da ponte. O valor encontrado
corresponde à soma do comprimento do trem e do comprimento da ponte. Teremos então:
Comprimento do trem + comprimento da ponte = 150
120 + C = 150
C = 150 – 120
C = 30 m
6. Alternativa A
Para determinação da velocidade média utilizaremos a expressão
vmédia = ∆X
∆t
Foi fornecido no enunciado que o intervalo de tempo ∆t = 10 s vale 10 s. precisamos então
determinar o valor de ∆X.
Calculando a velocidade do veículo no instante t = 6 s temos:
v = v0 + at
v = 0 + 5,0∙6,0
v = 30 m/s
Calculando a velocidade no instante t = 10 s temos:
v = v0 + at
v = 0 + 5,0∙10
v = 50 m/s
E pela equação de Torricelli, podemos determinar a distância percorrida.
v2 = v02 + 2a∆X
onde
v = 50 m/s
v0 = 30 m/s
a = 5 m/s2
(50)2 = (30)2 + 2.5.∆X
2.500 = 900 + 10.∆X
2.500 – 900 = 10.∆X
10.∆X = 1.600
∆X = 160 m
Temos então que entre os instantes 6 s e 10 s (∆t = 4 s), o veículo percorreu a distância de 160
m. A velocidade média desenvolvida foi de:
vmédia = ∆X
∆t
vmédia = 160
4
vmédia = 40 m/s
Exercícios complementares envolvendo a equação de Torricelli
7. Alternativa B
A velocidade do veículo, que partiu do repouso, após 10 s, será:
v = v0 + at
v = 0 + 2.10
v = 20 m/s
E utilizando a expressão de Torricelli, teremos:
v2 = v02 + 2a∆X
(20)2 = 02 + 2.2.∆X
400 = 4.∆X
∆X = 100 m
8. Alternativa B
Podemos inicialmente determinar a aceleração do automóvel, através da expressão:
X = Xo + vo.t + at2/2
25 = 0∙5,0 + a.(5)2/2
25 = a.25
2
50 = a.25
a = 50/25
a = 2 m/s2
Aplicando a equação de Torricelli:
v2 = v02 + 2a∆s
v2 = 02 + 2.2.25
v2 = 100
v = 10 m/s
9.
a) Utilizando a expressão v = vo + a.t:
Com a velocidade de 72 km/h = 20 m/s podemos calcular:
v = v0 + at
0 = 20 + a∙20
− 20∙a = 20
a = 20/(−20)
a = − 1 m/s2
Em módulo:
│a│ = − 1 m/s2
b) Aplicando a equação de Torricelli:
v2 = v02 + 2a∆X
02 = 202 +2(− 1).∆X
Exercícios complementares envolvendo a equação de Torricelli
0 = 400 – 2.∆X
2∆X = 400 m
∆X = 200 m
10. Alternativa D
Temos a situação mostrada na ilustração:
t = 10 s
vo = 15 m/s
t = 30 s
v = 25 m/s
a=?
∆X = ?
Determinando-se inicialmente a aceleração do veículo a partir da expressão
a = ∆v
∆t
a = 25 – 15
30 - 10
a = 10
20
a = 0,5 m/s2
E aplicando a equação de Torricelli:
v2 = v02 + 2a∆X
252 = 152 +2.0,5.∆X
625 = 225 +1.∆X
∆X = 622 – 225
∆X = 400 m
11.
a) Considerando que ele partiu do repouso e se movimenta com aceleração de 3 m/s2, sua
velocidade depois de 10 s será
v = v0 + at
v = 0 + 3.10
v = 30 m/s = 108 km/h
Considerando que a velocidade máxima permitida é de 80 km/h, o motorista deve ser multado.
Exercícios complementares envolvendo a equação de Torricelli
b) Depois de 10 s o veículo se movimentava 30 m/s. Ele começa a frear e demora 5 s até parar
(v = 0). Sua desaceleração nesse intervalo de tempo foi de:
a = ∆v
∆t
a = 0 – 30
5–0
a = – 30
5
a = – 6 m/s2
A distância percorrida na freada será:
v2 = v02 + 2a∆X
02 = 302 + 2(− 6).∆X
0 = 900 – 12.∆X
12.∆X = 900
∆X= 900/12
∆X = 75
Além disso, precisamos determinar a distância percorrida pelo veículo desde o início do
movimento (v = 0) até começar a frear (v = 30 m/s):
v2 = v02 + 2a∆s
302 = 02 + 2.3.∆X
900 = 0 + 6.∆X
6∆X = 900
∆X = 900/6
∆X = 150 m
E a distância total percorrido, de o início até o posto policial será:
d = 75 + 150
d = 225 m
12. Alternativa C
v = 360 km/h = 100 m/s
a = 20% de g
v=0
A distância percorrida pelo avião desde o momento em que toca na pista até parar será
determinada pela equação de Torricelli:
Exercícios complementares envolvendo a equação de Torricelli
v2 = v02 + 2a∆X
onde
v=0
v0 = 100 m/s
a = 20% de g = 20% de 10 = 2 m/s2
Considerando que o avião está freando tem-se a = – 2 m/s2, teremos:
v2 = v02 + 2a∆X
02 = (100)2 + 2(– 2).∆X
0 = 10.000 – 4.∆X
4.∆X = 10.000
∆X = 2.500 m = 2,5 km
13. Alternativa E
Situação inicial
a = 2 m/s2
v = 30 m/s
100 m
Situação final
v=0
C
100 m
∆X = C + 100
Pela Equação de Torricelli
v2 = v02 + 2a∆X
02 = 302 + 2(− 2)(C + 100)
0 = 900 − 4(C + 100)
0 = 900 – 4C − 400
4C = 500
Exercícios complementares envolvendo a equação de Torricelli
C = 500/4
C = 125 m
14. Alternativa B
Quando um móvel passa por uma posição e volta novamente nesta posição seu deslocamento
escalar
vale
zero,
pois
a
posição
inicial
é
igual
à
posição
final.
- Calculando a aceleração:
Na “ida” a partícula passa pelo ponto com velocidade de 4 m/s e demora a metade do tempo (5
s) indicado no enunciado do exercício para parar. Dessa maneira temos:
vo = 4 m/s
vf = 0
t = 5 s
a = ∆v/∆t
a = (0 − 4)/5
a = − 0,8 m/s2
Para o cálculo da distância percorrida na ida teremos:
v2 = v02 + 2a∆X
02 = (4)2 + 2(− 0,8).∆X
1,6∆X = 16
∆X = 16/1,6
∆X = 10 m
Como a distância até parar é igual à distância para o móvel retornar ao ponto com a mesma
velocidade de módulo │v│ = 4,0 m/s, a distância total percorrida pelo móvel é 20 m.
15.
a)
Considerando que a aceleração escalar é constante pode-se escolher um intervalo de tempo
qualquer para determinação da aceleração.
Escolhendo-se o intervalo 0 e 5 s teremos:
vo = 0
vf = 9 m/s
t = 5 s
a = ∆v/∆t
a = (9 − 0)/5
a = 1,8 m/s2
Exercícios complementares envolvendo a equação de Torricelli
b)
v (m/s)
9
’
8
’
7
’
6
’
5
’
4
’
3
’
2
’
1
’
1
’
2
’
3
’
4
’
5
’
t (s)