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Quarto Conjunto de Problemas do 18.155
No caso de alunos da graduação, irei considerar que a solução de apenas de um dos
problema aqui propostos é trabalho suficiente para esta semana . Observe que o primeiro
problema é considerado o resultado de maior profundidade na teoria “elementar “das
distribuições.
Problema 1 (Teorema base de Schwartz ).
(1) Mostre (utilizando em grande parte o que foi visto em classe) que a topologia
S(
) pode ser expressa como a projeção do limite das topologias de Hilbert no
espaço pesado de Sobolev ⟨x⟩ -kHk( ) quando k → ∞.
(2) Conclua que o espaço dual S’(Rn) pode ser topologizado como o limite indutivo
do espaço pesado de Sobolev ⟨x⟩ kH-k(
) com k → ∞.
(3) Mostre que a multiplicação da transformada de Fourier por ⟨x⟩m para qualquer m
e o mapa ⟨D⟩m (definido como o mapa anterior conjugado pela transformada de
Fourier) são todos isomórficos tanto em S(
) como em S(
).
(4) Mostre que para um mapa linear (um operador)
(0.1)
A : S(
) → S’( )
a continuidade em relação a estas topologias é equivalente à existência de algum k
tal que A se estende pela continuidade (nas normas de Hilbert) para A : ⟨x⟩ -kHk(
)
k -k
→ ⟨x⟩ H ( ).
(5) Mostre como compor A no lado direito e esquerdo com mapas de (3) e chegar a
um mapa contínuo e linear A’ a partir de H-n (
) para Hn (
).
(6) Lembre do teorema da imersão de Sobolev e que a função delta em qualquer
ponto esta em H-n (
) e use isto para concluir que a formula a(x, y) = (A’( δy))(x)
define uma função contínua em e limitada 2n).
(7) Mostre que o mapa
S(
)×S(
) → S( 2n ), (φ, ψ) → φ ψ(x, y) (x, y) = φ(x) ψ(y)
É conjuntamente contínuo (ou seja, é contínuo no produto métrica topologia ).
(8) Mostre que se β ∈ S’( 2n ) então a formula
(0.2)
(Bψ)φ) = β(φ ψ) ∀ φ, ψ ∈ S( )
define um mapa contínuo linear B : S(
) → S’(
).
(9) Voltando para a (6) mostre que a vista como uma distribuição define A’ desta
forma.
(10) Conclua que todo operador contínuo (0.1) provem da construção (0.2).
(11) Se você ainda tiver energia, mostre que procedendo de forma inversa
determina-se β
via B através de (0.2) e finalmente chega-se ao teorema central de Schwartz :
(12)
Teorema 0.1. Existe uma correspondência 1-1entre mapas linear e
contínuos
(0.3)
A : S(
) → S( ’)
e elementos de S’( n+n’ ).
Problema 2. Trabalhe sobre o comportamento da equação do calor.
i)Mostre que a função em ×
, para n ≥ 1,
 −n
 x2  t > 0
2

t exp  −
 4t 
F (t , x) = 



t≤0
0
é mensurável, limitada em qualquer conjunto {|(t, x)| ≥ R} e é integrável em {|(t, x )|
≤ R} para qualquer R > 0.
ii) Conclua que F define uma distribuição temperada em n+1.
iii) Mostre que F é C ∞ fora da origem.
iv) Mostre que F satisfaz a equação do calor
n


 ∂ t − ∑ ∂ 2x F (t , x ) = 0 em (t, x) ≠ 0.

j 
j =1


v) Mostre que F satisfaz
(0.4)
F(s2 t, sx) = s-n F(t, x ) in S’( n+1 )
onde o lado esquerdo é definido pela dualidade “F(s2 t, sx) = Fs” onde
 t x
F s (φ ) = s − n − 2 F (φ1 s ), φ1 s (t , x ) = φ  2 ,  .
s s
vi) Conclua que
n


 ∂ t − ∑ ∂ 2x  F (t , x) = (t , x)
j 

j =1


onde G(t, x) satisfaz
(0.5)
G(s2t, sx ) = s-n-2G(t, x ) in S’( n+1 )
no mesmo sentido que acima e tem suporte no máximo em {0}.
vii) Portanto deduzimos que
n


 ∂ t − ∑ ∂ 2x  F (t , x ) = cδ (t )δ ( x)
(0.6)

j 
j =1


para alguma constante real c.
Sugestão: Cheque qual distribuição com suporte em (0, 0) satisfaz (0.5).
viii) Se ψ ∈ Cc∞ ( n+1) mostre que u = F « ψ satisfaz c
(0.7)
u ∈C∞( n+1 ) e
sup
x∈R , t ∈[− S , S
n
(1 + x )D u(t , x ) < ∞∀S > 0,α ∈ N
]
N
α
ix) Supondo que u satisfaz (0.7) e é uma solução real de
n


 ∂ t − ∑ ∂2x u (t , x ) = 0

j 
j =1


n+1
em
, mostre que
v(t ) = ∫ n u 2 (t , x )
R
n +1
, N.
é função não crescente de t.
Sugestão: Multiplique a equação por u e integre sobre uma faixa [t1 , t2 ] ×
.
x) Mostre que c em (0.6) é não zero por meio de uma contradição da hipótese que é
zero. Mais precisamente,mostre que se c = 0 então u em viii) satisfaz as condições
de ix)e também desvanece em t < T para algum T (dependendo de ψ). Conclua que
u = 0 para todo ψ. Usando as propriedades da convolução mostre que isto por sua
vez implica F = 0 que é uma contradição.
1
xi) Finalmente agora que sabemos que E = F é uma solução fundamental do
c
operador calor que desvanece em t < 0; explique porque isto nos permite mostrar
que para qualquer ψ ∈ Cc∞ ( ×
) existe uma solução de
(0.8)
n


 ∂ t − ∑ ∂ 2x u = ψ , u = 0 em t < T para algum T.
j 

j =1


Qual é o maior valor de T para o qual is to se verifica?
xii) CPode você fornecer uma explicação heurística ou mesmo rigorosa de porque
 x2
dx ?
c = ∫ exp  −
 4 

