σ σ σ σ - Centro de Estudos Espaço

Bioestatística
Dr Cláudio S. Sartori
FATEC
1
compreendida entre 5,25 e 5,31 m, apresentamos
uma estimativa por intervalo.
Inferência Estatística:
Introdução:
Inferência estatística é o processo de
estimativas de uma população a partir de propriedades
de uma amostra da população. Há dois tipos de
inferência estatística que discutiremos a seguir.
Do ponto de vista prático, é extremamente
mais importante poder deduzir informações relativas a
uma população mediante informações de amostras dela
extraídas.
Um problema importante na inferência
estatística é a extimação dos parâmetros populacionais
ou abreviadamente parâmetro, deduzidos da estatística
amostral.
•
Estimativas:
Envolve aproximadamente o valor de um
parâmetro desconhecido. Esse parâmetro é um número
descrevendo alguma propriedade numérica de uma
população.
Como exemplo, pode-se estar interessado em
obter uma estimativa do valor médio de todas as casas
de uma determinada cidade.
™ Estimativas imparciais:
Se a média de uma distribuição amostral de
uma estatística for igual ao parâmetro populacional
correspondente, a estatística será denominada de
estimador imparcial do parâmetro; se isso não ocorrer,
chamamos de estimador parcial. Tais valores
correspondentes desta estatística são denominados
estimadores imparciais ou parciais, respectivamente.
Exemplo 1 - A média da distribuição amostral
das médias, µ X é igual a µ, isto é, a média
A declaração do erro ou precisão de
uma estimativa é denominada de sua
fidedignidade.
Distribuições amostrais:
Considerem-se todas as amostras
possíveis de tamanho N que podem ser tiradas de
uma população dada (com ou sem reposição).
Para cada amostra pode-se tirar uma grandeza
estatística como uma média ou desvio padrão,
que varia de amostra para amostra. Desse modo
obtém-se uma distribuição da grandeza que é
denominada distribuição amostral. Se a
grandeza estatística adotada for a média da
amostra, a distribuição é denominada amostral
das médias.
Distribuição amostral das médias.
Admitindo-se amostras possíveis de
tamanho N são retiradas sem reposição de uma
população finita de tamanho Np > N. Se a média
e o desvio padrão da distribuição amostral das
médias forem designadas por µ X e σ X , e os
valores correspondentes da população forem µ e
σ. Então:
µx = µ
σx =
por
pontos
e
intervalos.
Quando estimamos um parâmtro populacional
por um número, denominamos de etimativa de ponto;
quando estimamos por dois números entre os quais
pode-se dizer que ele esteja situado, denominamos de
estimativa por intervalo. Tais estimativas indicam sua
precisão ou exatidão e são preferíveis às estimativas
por pontos.
Exemplo 2 - Se dissermos que uma certa
distância mede 5,28 ± 0,03 m , isto é, ela está
1
N
NP − N
N p −1
Se a população for finita, ou se a
amostragem for tomada com reposição, os
resultados acima tornam-se:
µx = µ
populacional. Por isso a estatística amostral X é uma
estimativa imparcial da populacional µ.
™ Estimativas
Fidedignidade.
σ
σx =
σ
N
Para grandes valores de N (N ≥ 30) a
distribuição
amostral
das
médias
é
aproximadamente normal, com a média µ X e o
desvio
padrão
σ X ,independentemente
da
população. Tal resultado é fruto do teorema do
limite central:
™ Teorema do Limite Central: À medida
que se aproxima o tamanho da amostra, a
distribuição de amostragem média se aproxima
da forma da distribuição normal, qualquer que
seja a forma da distribuição de população. Na
Bioestatística
Dr Cláudio S. Sartori
prática a distribuição de amostragem da média pode
ser considerada como aproximadamente normal
sempre que o tamanho da amostra for N > 30.
™ Erros padrões:
O desvio padrão de uma distribuição amostral
de uma grandeza estatística é frequentemente
denominado de seu erro padrão.
Lembremos que , tendo N conjunto de dados
xi, calculamos a média µ e o desvio padrão σ da forma:
N
µ=
N
∑ xi
i =1
σ=
N
∑ (xi − µ )
2
i =1
N
Se os dados xi forem distribuídos em
frequência fi:
N
µ=
∑ xi f i
i =1
N
∑ fi
i =1
N
σ=
∑ f i ( xi − µ )
2
i =1
N
∑ fi
i =1
2
2
FATEC
A tabela ilustra os valores da área da
curva normal padrão.
z
0
1
2
3
4
5
0,0
0,0000
0,0040
0,0080
0,0120
0,0160
0,0199
0,1
0,0398
0,0438
0,0478
0,0517
0,0557
0,0596
0,2
0,0793
0,0832
0,0871
0,0910
0,0948
0,0987
0,3
0,1179
0,1217
0,1255
0,1293
0,1331
0,1368
0,4
0,1554
0,1591
0,1628
0,1664
0,1700
0,1736
0,5
0,1915
0,1950
0,1985
0,2019
0,2054
0,2088
0,6
0,2258
0,2291
0,2324
0,2357
0,2389
0,2422
0,7
0,2580
0,2612
0,2642
0,2673
0,2704
0,2734
0,8
0,2881
0,2910
0,2939
0,2967
0,2996
0,3023
0,9
0,3159
0,3186
0,3212
0,3238
0,3264
0,3289
1,0
0,3413
0,3438
0,3461
0,3485
0,3508
0,3531
1,1
0,3643
0,3665
0,3686
0,3708
0,3729
0,3749
1,2
0,3849
0,3869
0,3888
0,3907
0,3925
0,3944
1,3
0,4032
0,4049
0,4066
0,4082
0,4099
0,4115
1,4
0,4192
0,4207
0,4222
0,4236
0,4251
0,4265
1,5
0,4332
0,4345
0,4357
0,4370
0,4382
0,4394
1,6
0,4452
0,4463
0,4474
0,4484
0,4495
0,4505
1,7
0,4554
0,4564
0,4573
0,4582
0,4591
0,4599
1,8
0,4641
0,4649
0,4656
0,4664
0,4671
0,4678
1,9
0,4713
0,4719
0,4726
0,4732
0,4738
0,4744
2,0
0,4772
0,4778
0,4783
0,4788
0,4793
0,4798
2,1
0,4821
0,4826
0,4830
0,4834
0,4838
0,4842
2,2
0,4861
0,4864
0,4868
0,4871
0,4875
0,4878
2,3
0,4893
0,4896
0,4898
0,4901
0,4904
0,4906
2,4
0,4918
0,4920
0,4922
0,4925
0,4927
0,4929
2,5
0,4938
0,4940
0,4941
0,4943
0,4945
0,4946
2,6
0,4953
0,4955
0,4956
0,4957
0,4959
0,4960
2,7
0,4965
0,4966
0,4967
0,4968
0,4969
0,4970
2,8
0,4974
0,4975
0,4976
0,4977
0,4977
0,4978
2,9
0,4981
0,4982
0,4982
0,4983
0,4984
0,4984
3,0
0,4987
0,4987
0,4987
0,4988
0,4988
0,4989
3,1
0,4990
0,4991
0,4991
0,4991
0,4992
0,4992
3,2
0,4993
0,4993
0,4994
0,4994
0,4994
0,4994
3,3
0,4995
0,4995
0,4995
0,4996
0,4996
0,4996
3,4
0,4997
0,4997
0,4997
0,4997
0,4997
0,4997
3,5
0,4998
0,4998
0,4998
0,4998
0,4998
0,4998
3,6
0,4998
0,4998
0,4998
0,4999
0,4999
0,4999
3,7
0,4999
0,4999
0,4999
0,4999
0,4999
0,4999
3,8
0,4999
3,9
0,5000
0,4999
0,5000
0,4999
0,5000
0,4999
0,5000
0,4999
0,5000
0,4999
0,5000
Bioestatística
Dr Cláudio S. Sartori
z
6
7
8
9
0,0
0,0239
0,0279
0,0319
0,0359
0,1
0,0636
0,0675
0,0714
0,0754
0,2
0,1026
0,1064
0,1103
0,1141
0,3
0,1406
0,1443
0,1480
0,1517
0,4
0,1772
0,1808
0,1844
0,1879
0,5
0,2123
0,2157
0,2190
0,2224
0,6
0,2454
0,2486
0,2518
0,2549
0,7
0,2764
0,2794
0,2823
0,2852
0,8
0,3051
0,3078
0,3106
0,3133
0,9
0,33151
0,3340
0,3365
0,3389
1,0
0,3554
0,3577
0,3599
0,3621
1,1
0,3770
0,3790
0,3810
0,3830
1,2
0,3962
0,3980
0,3997
0,4015
1,3
0,4131
0,4147
0,4162
0,4177
1,4
0,4279
0,4292
0,4306
0,4319
1,5
0,4406
0,4418
0,4429
0,4441
1,6
0,4515
0,4525
0,4535
0,4545
1,7
0,4608
0,4616
0,4625
0,4633
1,8
0,4686
0,4693
0,4699
0,4706
1,9
0,4750
0,4756
0,4761
0,4767
2,0
0,4803
0,4808
0,4812
0,4817
2,1
0,4846
0,4850
0,4854
0,4857
2,2
0,4881
0,4884
0,4887
0,4890
2,3
0,4909
0,4911
0,4913
0,4916
2,4
0,4931
0,4932
0,4934
0,4936
2,5
0,4948
0,4949
0,4951
0,4952
2,6
0,4961
0,4962
0,4963
0,4964
2,7
0,4971
0,4972
0,4973
0,4974
2,8
0,4979
0,4979
0,4980
0,4981
2,9
0,4985
0,4985
0,4986
0,4986
3,0
0,4989
0,4989
0,4990
0,4990
3,1
0,4992
0,4992
0,4993
0,4993
3,2
0,4994
0,4995
0,4995
0,4995
3,3
0,4996
0,4996
0,4996
0,4997
3,4
0,4997
0,4997
0,4997
0,4998
3,5
0,4998
0,4998
0,4998
0,4998
3,6
0,4999
0,4999
0,4999
0,4999
3,7
0,4999
0,4999
0,4999
0,4999
3,8
0,4999
0,4999
0,4999
0,4999
3,9
0,5000
0,5000
0,5000
3
FATEC
−
1
Yi =
e
σ 2π
( xi − µ ) 2
2σ 2
Se tratamos os dados na variável
reduzida z:
z=
x−µ
σ
z2
1 − 2i
Yi =
e
2π
Para a distribuição amostral das médias
Xi (
µX
supondo distribuição normal) com média
σ X teremos a relação:
X − µX
zi = i
σX
e desvio padrão
Xi :
X i = µ X + σ X zi
Ou, explicitando o valor
Exercícios:
0,5000
Lembramos que para uma distribuição normal
ou gaussiana de dados (xi ,Yi ) e desvio padrão σ e
média µ dados por :
3
1 - Uma população consiste de 5
números: 2,3,6,8 e 11. Considerem todas as
amostras possíveis de 2 elementos que dela
podem ser retiradas com reposição. Determinar:
a) A média da população.
b) O desvio padrão da população.
c) A média da distribuição amostral das
médias.
d) O desvio padrão da distribuição
amostral das médias, isto é, o erro padrão das
médias.
2. Resolver o problema anterior no caso
de amostragem sem repetição.
3. Admite-se que a altura de 3000
estudantes do sexo masculino de uma
universidade são normalmente distribuídas, com
a média 172,72 cm e o desvio padrão7,62 cm. Se
forem obtidas 80 amostras de 25 estudantes cada
uma, quais serão a média e o desvio padrão
esperados na distribuição amostral das médias
resultantes se a amostragem for feita:
a) Com reposição.
b) Sem reposição.
4. Em quantas amostras do problema
anterior pode-se esperar que a média se
encontre:
a) Entre 169,27 cm e 173,48 cm.
b) Abaixo de 169,65 cm?
5. Quinhentos rolamentos de esferas
têm um peso médio de 5,02 onças (1 onça =
0,028349 kg). e um desvio padrão de 0,3 onça.
Determinar a probabilidade de uma amostra de
Bioestatística
Área sob a Curva Gaussiana
dftr
0,45
0,4
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
-1,000 -,500
,000
,500
1,000
X
(a) 0 ≤ x ≤ 3
(b) -2,5 ≤ x ≤ 4,5
Respostas:
(a)
Área sob a Curva Gaussiana
Y(X)
dftr
0,45
0,4
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
,000
,500
1,000
1,500
X
2,000
2,500
3,000
Área sob a curva normal padrão
dftr
0,35
0,3
Y(z)
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
-2
-1,5
-1
-0,5
z
0
0,5
1
4
1,500
2,000
2,500
3,000
Área sob a curva normal padrão
dftr
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
-3,5
-3
-2,5
-2
-1,5
-1
z
11. Construa as distribuições Gaussiana e
Normal padrão para µ = 2 e σ = 0,816, com:
4
(b)
Y (X )
100 rolamentos de esferas, escolhidos ao acaso nesse
grupo, ter um peso total de:
a) Entre 496 e 500 onças.
b) Mais de 500 onças.
6. Suponha que a média de uma população
bastante grande seja µ = 50,0 e o desvio padrão σ =
12,0. Determine o desvio padrão para a distribuição de
amostragem das médias.
7. Sabe-se que a vida útil de operação de um
tubo de imagem de TV de certa marca é, em média, µ
= 9000 horas com um desvio padrão σ = 500 horas.
Determinar o valor esperado e o desvio padrão para a
distribuição de amostragem para a média, sendo o
tamanho da amostra n = 25.
8. Um analista financeiro toma uma amostra
aleatória de 10% de 300 contas e acha que o saldo
médio das contas é R $ 148,50. Sabendo que o desvio
padrão da distribuição das médias é R$ 35,75 encontre
o desvio padrão da amostra.
9. Dados os valores 3,5,7 e 8 encontre a
média da população e seu desvio padrão.
10. Se escolhermos uma população de 2
elementos, sem reposição, encontre a média e o desvio
padrão das médias para o problema anterior.
FATEC
Y(z)
Dr Cláudio S. Sartori
-0,5
0
0,5
1
Bioestatística
Dr Cláudio S. Sartori
Estimativas
Um problema importante da inferência
estatística é a estimação dos parâmetros populacionais,
ou parâmetros (média, variância, etc da população)
deduzidos da estatística amostral correspondente.
Estimativas imparciais são aquelas em que a média da
distribuição amostral é igual ao parâmetro
populacional correspondente. Caso contrário ela será
um estimador parcial.
Caso tenhamos duas estatísticas de
distribuições amostrais com a mesma média,
denominamos estimador eficiente da média, àquela
estatística de menor variância, enquanto as demais
recebem o nome de ineficientes.
A estimativa de um valor populacional pode
ser dada por pontos ou por dois números, entre os
quais ele pode ser considerado; ou seja, por meio de
um intervalo. Essas estimativas por intervalos são
preferíveis às estimativas por pontos.
™ Estimativas de intervalo de confiança dos
parâmetros populacionais.
Sejam µs e σs a média e o desvio padrão (erro
padrão) da distribuição amostral de uma estatística S.
Então a distribuição amostral de S é aproximadamente
Normal (o que se tem verificado para N ≥ 30 ); pode-se
esperar que se encontre uma estatística amostral real,
S, situada nos seguintes intervalos, com os seguintes
percentuais: (Entende-se: estar confiante de se
encontrar µs nos intervalos dados).
Intervalo
(µS - σS , µS + σS )
(µS - 2σS , µS + 2σS )
(µS - 3σS , µS + 3σS )
%
68,27
95,45
99,73
FATEC
Limite de Confiança
(%)
99,73
99
98
96
95,45
90
80
5
Coeficientes de confiança
zc .
3,00
2,58
2,33
2,05
2,00
1,645
1,28
1,00
68,27
50
0,6745
Estimativa do intervalo de confiança
das médias:
Se temos uma estatística S que é a
média
amostral X então os limites de
confiança de 95% e 99%, para a estimação da
média populacional µ, são dados por:
X ± 1,96σ X e X ± 2,58σ , respectivamente.
X
De um modo geral os limites de
confiança são dados por: X ± z C σ
X
X ± zC
Ou
µ ± zC
σ
N
σ
N
(Para amostragem de uma população
infinita ou quando a amostragem é retirada
com reposição).
Esses intervalos são denominados de
intervalos de confiança de 68,27%;95,45% e
99,73%para a avaliação de µS.
Os números extremos desses intervalos são
denominados de limites de confiança ou limites
fiduciais.
A percentagem de confiança é frequentemente
denominada de nível de confiança. Os números dos
limites de confiança são denominados de coeficientes
de confiança ou valores críticos , e representados por
zc. A tabela a seguir mostra os valores de zC
correspondente a diversos níveis de confiança adotados
na prática.
5
X ± zC
µ ± zC
σ
N
NP − N
NP −1
ou
σ
NP − N
N
NP −1
(Para amostragem com população
finita ou quando a amostragem é retirada sem
reposição).
Em geral, o desvio padrão da população
σ é desconhecido, de modo que, para se obterem
os limites de confiança acima emprega-se a
estimativa da amostra s. Isso será satisfatório
desde que N ≥ 30. Para N < 30, a aproximação é
insuficiente e deve-se empregar a teoria de
pequenas amostras que veremos adiante.
Bioestatística
Dr Cláudio S. Sartori
todos os 1546 estudantes dessa universidade.
Determinar uma estimativa imparcial e
eficiente da média verdeira e da variância
verdadeira.
A média da distribuição amostral das
variâncias é igual a µ = N − 1σ 2 , onde σ2 é a
s2
N
variância populacional e N é o tamanho da amostra.
Então a variância amostral s2 é uma estimativa parcial
da variância populacional σ2. Chamando de variância
Alturas
(cm)
modificada σ̂ , que é uma estimativa imparcial de
σ2, teremos:
2
σˆ 2 =
151
159
167
175
183
N
σ a2
N −1
-
Lembremos que há uma relação entre sa e σa
dada por: σ = N − 1s . Para N muito grande, não há
a
a
N
muita diferença entre s e σ.
Exemplo1 - A amostra constante de 5
medidas do diâmetro de uma esfera foi registrada por
um cientista com os valores de 6.33, 6.37, 6.36, 6.32 e
6.37 cm. Determinar as estimativas imparciais e
eficientes da:
a) Média verdadeira.
b) Variância e o desvio padrão da amostra.
c) A variância e o desvio padrão da
população.
d) O intervalo de confiânça correspondente
a 95%.
a) A estimativa imparcial e eficiente da média
verdadeira é a média populacional:
x=
i =1
5
= 6.35
b) Desvio
σa =
c)
∑ ( xi − x )
da
amostra:
i =1
N
=
0 , 0022
5
= 0,0209 ;
5
18
42
27
8
N = Σfi
=100
N
x=
100
N
∑ fi
i =1
Cálculo
do
N
σa =
∑ f i (xi − x )
i =1
desvio
padrão:
2
=7,78 cm
N
N
σ2
N −1
⇒
σˆ 2 =
2
154,5
162,5
170,5
178,5
186,5
158
166
174
182
190
∑ xi f i ⇔ x = 17170 = 171,70
i =1
σˆ 2 =
padrão
Frequência
(f)
772,5
2 925,0
7 161,0
4819,5
1 492,0
Σxi fi = 17170,0
cm.
N
Ponto médio
(xi)
fX
5
∑ xi
6
FATEC
100
(7,78)2 ⇒ σˆ = 62,4659 = 7,79
99
Variância: σ a2 = 0,00044
A estimativa imparcial e eficiente da
variância
verdadeira
é
a
variância
populacional:
N
N
σˆ 2 =
σ a2 =
N −1
∑ ( xi − x )
i =1
N −1
d) X ± z σ = X ± z σˆ =
C
C
N
N
0.0234
= 6.35 ± 1.96
= 6.35 ± 0.00048
5
2
Note que, como N é grande, não há
diferença entre σˆ 2 , σ 2 ou entre σˆ , σ .
Exemplo 3 - Determine os intervalos de
confiança de:
a) 95%
2
2
99%= 0,0234
= 0,00055cm ⇒ σˆ = σ a = 0b),00055
Para a avaliação da altura média dos
estudantes da universidade do exemplo
anterior.
a) Lembrando que os limites de
confiança de 95% são dados por:
Exemplo 2 - Admita-se que as alturas de 100
estudantes do sexo masculino de uma universidade
representam uma amostra aleatória das alturas de
6
X ± 1,96
σ . Adotando x = 171,70 e
N
Bioestatística
Dr Cláudio S. Sartori
considerando como estimativa de σ , sˆ = 7,79 ,
teremos:
7,79
171,70 ± 1,96
= 171,70 ± 1,526
100
Consequentemente, o intervalo de confiança de
95% para a média da população µ é de 170,174 a
173,226 cm; ou:
170,17 < µ < 173,23
= 171, 70 ± 2, 58 7,79
= 171, 70 ± 2, 01
100
O intervalo de confiança de 99% para a média
da população µ é:
169,69 < µ < 173,71
Exemplo 4 - As medidas dos diâmetros de
uma amostra aleatória de 200 rolamentos esféricos
produzidos por certa máquina, durante uma semana,
apresentam a média de 0,824 polegada e o desvio
padrão de 0,042 polegada. Determinar os limites de
confiança de:
a) 95%
b) 99%
Para o diâmetro médio de todos os rolamentos
esféricos.
Limites de confiança:
a) X ± 1,96 σ = X ± 1,96 sˆ =
N
N
= 0,824 ± 1, 96
b)
X ± 2,58
σ
N
X ± 2,58
2,58
σ
7
σ ⇒ Erro da estimativa:
N
Tomando-se s = σ =0,05 segundo o
N
erro será de
2,58
b) Os limites de confiança de 99% são:
σ
sˆ
X ± 2,58
= X ± 2,58
N
N
0,042
200
FATEC
0,05
N
= 0,01 ⇒ N =
(2,58)(0,05)
⇒ N = 167
0,01
Exemplo 6 - Uma amostra aleatória de 50
graus em matemática, num total de 200,
apresenta a média de 75 e desvio padrão de 10.
a) Quais os limites de confiança de 95%, para a
estimativa da média dos 200 graus? b) Com que
grau de confiança se diria que a média dos 200
graus é 75 ±1?
a) Como o tamanho da população não
é muito grande, em comparação
com o tamanho da amostra, deve-se
ajustá-las. Então os limites de
confiança de 95% são:
σ
NP − N
X ± 1, 96
= 75 ± 1,96
= 0,824 ± 0, 0058 = 0,824 ± 0, 006
10
50
N
NP −1
=
200 − 50
= 75 ± 2, 4
200 − 1
b) X ± z cσ = X ± z σ
X
c
N
NP − N
NP −1
10 200 − 50
= 75 ± 1,23 z C
50 200 − 1
valor
= 0Como
,824 ±esse
0,0077
= deve
0,824ser
± 0igual
,008a 75 ±1
= 75 ± z C
= X ± 2,58
sˆ
042
= 0,824 ± 2,58 0,200
N
Exemplo 5 - Ao medir o tempo de reação, um
psicólogo avaliou que seu desvio padrão era de 0,05
segundos. Que extensão deve ser tomada para a
amostra destinada às medições para que se esteja:
a) 95% e b) 99% confiantes de que o erro
dessa estimativa não exceda a 0,01
segundo?
⇔ 1,23zc = 1 ⇒ zc = 0,81.
A área subentendida pela curva normal,
entre z = 0 e z = zc=0,81 é 0,2910; então
o grau de confiança desejado é:
2.(0,2910) = 0,582 ou 58,2%.
Exercícios
1. Foram determinados os valores:
8,3;10,6;9,7;8,8;10,2
e
9,4
quilos,
respectivamente, para os pesos de uma amostra.
b) 95% possuem limites de confiança:
Determinar aas estimativas para:
σ ⇒ Erro da estimativa:
σ
a) A média populacional. (9,5 kg).
X ± 1,96
1,96
b) A variância populacional. (0,74 kg).
N
N
c) Compare o desvio padrão da
Tomando-se s = σ =0,05 segundo o erro será de
amostracom sua estimativa para a
(1,96)(0,05)
0,05
população. (0,78 e 0,86 kg).
1,96
= 0,01 ⇒ N =
= 9,8 ⇒ N = 96,04
0,01
N
2. Uma amostra de 10 componentes
b) 99% possuem limites de confiança:
eletrônicos de televisão produzidas por uma
7
Dr Cláudio S. Sartori
Bioestatística
companhia apresentou a vida média de 1200 horas e o
desvio padrão de 100 horas. Estimar:
a) A média . (1200 h).
b) O desvio padrão populacional de todos os
componentes produzidos pela companhia.
(105,4 h).
3. A média e o desvio padrão das cargas
máximas suportadas por 60 cabos são dados por 11,09
t e 0,73 t , respectivamente. Determinar os limites de
confiança para a média de todos os cabos produzidos
para a companhia de:
a) 95%. (11,09 ± 0,18 t)
b) 99% (11,09 ± 0,24 t)
4. A média e o desvio padrão dos diâmetros de
uma amostra de 250 rebites fabricados por uma
companhia são:0,72642 e 0,00058 polegadas,
respectivamente. Determinar o limite de confiança para
todos os rebites fabricados pela companhia de:
a) 99 %. (0,72642 ± 0,000095 polegadas).
b) 98 %. (0,72642 ± 0,000085 polegadas).
c) 95 %. (0,72642 ± 0,000072 polegadas).
d) 90 %. (0,72642 ± 0,000060 polegadas).
5. Determine, em relação ao problema anterior, os
limites de confiança de 50% e o erro provável para a
média dos diâmetros. (0,72642 ± 0,000025 e 0,000025
polegadas).
6. Um analista de mercados obtém dados de uma
amostra de 100 consumidores de um total de 400 que
adquiriram uma oferta especial. As 100 pessoas
gastaram na loja, uma média de $ 24,57 com um
desvio padrão de $ 6,60. Usando um intervalo de 95%
de confiança, estimar:
a) O valor médio de compras para todos os 400
clientes. ($23,45 a $25,69).
b) O valor total das compras dos 400 clientes.
($9.380 a $10.276).
8
FATEC
8
Dr Cláudio S. Sartori
Bioestatística
Testes de Hipóteses:
Envolve a escolha de duas afirmações de uma
dada população. Tais afirmações são chamadas de
hipóteses.
Num teste de hipótese principiamos com um
valor suposto (hipotético) de um parâmetro da
população; depois de coletar uma amostra aleatória,
comparamos a estatística da amostra , tal como a
média amostral, com o parâmetro suposto, tal como a
média populacional hipotética. Então, aceitamos ou
rejeitamos o valor hipotético como sendo correto. O
valor hipotético é rejeitado somente se o resultado da
amostra for claramente improvável de ocorrer quando
a hipótese for verdadeira.
Uma hipótese nula H0 é o valor suposto do
parâmetro o qual é comparado com o resultado da
amostra. Ele é rejeitado somente se o resultado da
amostra for improvável sendo a hipótese considerada
verdadeira. A hipótese alternativa H1 é aceita somente
se a hipótese nula é rejeitada.
Dividimos em diversas etapas os testes de
hipóteses:
ETAPA 1 - Formular a hipótese nula H0 e a
hipótese alternativa H1.
ETAPA 2 - Especificar o nível de significância a
ser usado. O nível de significância é o padrão
estatístico especificado para rejeitar a hipótese nula.
Se é especificado um nível de significância de
5%, a hipótese nula é rejeitada somente se o resultado
da amostra é tão diferente do valor suposto que uma
diferença igual ou maior ocorreria por acaso com uma
Decisões possíveis
Aceitação da hipótese
nula
Rejeição da hipótese
nula
FATEC
9
probabilidade máxima de 0,05. Observamos que
se for utilizado um nível de significância de 5%,
existe uma probabilidade de 5% de rejeitar a
hipótese nula sendo a mesma verdadeira. Este é o
chamado Erro Tipo I. A probabilidade do Erro
Tipo I é sempre igual ao nível de significância
utilizado como padrão para rejeitar a hipótese
nula. Ele é simbolizado pela letra grega
minúscula "alfa" α, sendo que α representa o
nível de significância. Os níveis de significância
mais frequentementes utilizados em testes de
hipóteses são os de 1% e 5%.
Um Erro Tipo II ocorre quando a hipótese
nula é aceita sendo a mesma falsa.
ETAPA 3 - Selecionar a estatística do teste.
Poderá ser ou a estatística da amostra, ou uma
versão modificada da amostra.
A tabela a seguir ilustra as consequências
de decisões em testes de hipóteses.
Estados possíveis
Hipótese nula
Hipótese nula falsa
verdadeira
Aceita corretamente
Erro tipo II
Erro tipo I
ETAPA 4 - Estabelecer o valor crítico, ou
valores críticos da estatística do teste. Tendo
estabelecido a hipótese nula, o nível de significância e
a estatística a ser usada, agora estabelecemos o valor
crítico (ou valores críticos) da estatística de teste. Pode
existir um ou dois desses valores, segundo seja
efetuado um teste unilateral ou bilateral.
Quando manifestamos interesse nos valores
extremos da estatística, ou nos escores z de ambos os
lados da média, isto é, em ambas as extremidades da
distribuição, chamamos esses testes de bilaterais.
Muitas vezes, entretanto, pode-se ter interesse em
apenas nos valores extremos de um mesmo lado da
média, isto é, em uma extremidade da distribuição; por
9
Rejeita corretamente
exemplo, quando se está testando a hipótese de
um teste ser melhor do que o outro. Tais testes
denominam-se unilaterais.
Em ambos os casos, o valor crítico
identifica o valor da estatística de teste
necessário para rejeitar a hipótese nula.
ETAPA 5 - Determinar o valor real da
estatística de teste. Exemplo: para testar um valor
hipotético da média populacional, coleta-se uma
amostra aleatória e determina-se o valor da
média da amostra. Se o valor crítico for
estabelecido como um valor z, a média da
amostra será então, convertida em um valor z.
ETAPA 6 - Tomar a decisão. O valor
observado da estatística da amostra é comparado
Bioestatística
Dr Cláudio S. Sartori
com o valor crítico da estatística de teste. A hipótese
nula é, então, ou aceita ou rejeitada. Se a hipótese nula
é rejeitada, a hipótese alternativa é aceita. Esta decisão
terá relevância em relação a outras decisões a serem
tomadas por administradores, tais como se se deve ou
não manter um padrão de desempenho, ou sobre qual,
de duas estratégias de mercado, deve empregar-se.
A tabela abaixo indica para alguns testes o nível
de significância.
0,10
Nível de significância α
-1,28 ou
Valores críticos de z para testes
1,28
unilaterais
-1,645 e
Valores críticos de z para testes
1,645
bilaterais
Teste de um valor hipotético da média
utilizando a distribuição normal.
Pode-se utilizar a distribuição normal de
probabilidade para testar um valo hipotético da média
quando N > 30 ou, caso N < 30 e a população ser
normalmente distribuída e o desvio padrão ser
conhecido.
Um teste bilateral é utilizado quando estamos
interessados em possíveis desvios em ambas as
direções a partir do valor hipotético da média. A
fórmula utilizada para estabelecer os valores críticos da
média da amostra é similar à fórmula para determinar
os limites de confiança para estimar a média
populacional. Sendo µ a média da população, os
X RC = µ ± zσ x = 260 ± 1,96
σ
n
FATEC
2
valores críticos da média da amostra, sendo σ
conhecido são:
X RC = µ ± zσ x
Exemplo 1 - Um auditor deseja testar a
hipótese de que o valor médio de todas as contas
a receber em uma dada firma é de $ 260,00,
tomando para uma amostra N = 36 e calculando a
média amostral. Ele deseja rejeitar o valor
hipotético
se tal valor
0,05 de $ 260,00
0,01 somente
0,005
0,002for
claramente
contraditado
pela
média
da
amostra,
-1,645 ou
-2,33 ou
-2,58 ou
-2,88 ou
sendo
que, desta 2,33
maneira, é dado
1,645
2,58o valor suposto
2,88
o -1,96
"benefício
da-2,58
dúvida".
As
hipóteses
nula ee
e
e
-2,81
e
-3,08
alternativa
0: µ = $ 260,00
1,96 para esse
2,58teste são H
2,81
3,08 e
H1: µ ≠ $260,00.
Para a hipótese nula, determinar os valores
críticos da médiada amostra para testar a
hipótese a um nível de significância de 5%. Dado
que se conhece o desvio padrão dos valores das
contas a receber:
σ = $ 43,00.
Hipóteses: H0: : µ = $ 260,00 e H1: µ ≠
$260.
Nível de significância: α = 0,05
Estatística do teste: X Baseada numa
amostra de n = 36 e σ = $ 43,00.
X RC :
Valores críticos da média da
amostra.
= 260 ± 1,96
43 ⎧$245,95
=⎨
36 ⎩$274,05
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
Região de Aceitação
0
230
240
250
260
270
245,95
Região de rejeição
280
290
274,05
Região de rejeição
Portanto, para rejeitar a hipótese nula, a média
da amostra deve ter um valor menor que $245,95 ou
maior do que 274,05. Existem duas regiões de rejeição
no caso de um teste bilateral.
Quando o valor da média da amostra estiver
determinado, ele será transformado para um valor z, de
modo a poder ser comparado com os valores críticos
2
de z. A fórmula para essa transformação, sendo σ
conhecido é:
z = Xσ−xµ
Exemplo 2 - Para o teste de hipótese anterior,
suponha que a média seja de X = $240 .
Determine se se deve aceitar ou rejeitar a
Bioestatística
Dr Cláudio S. Sartori
FATEC
2
hipótese nula transformando tal média no valor de z
crítico correspondente:
z=
X −µ
σX
= 2407,−17260 = −2,79
0.05
0.04
0.03
0.02
Região de aceitação
0.01
0
-3
-2
-1
0
-1,96
Região de rejeição
1
2
3
1,96
z
Região de rejeição
Este valor de z encontra-se na região de
rejeição da da cauda esquerda; portanto rejeita-se a
hipótese nula e aceita-se a hipótese alternativa, isto é,
µ ≠ $260,00.
Um teste unilateral é apropriado quando
estamos interessados em possíveis desvios em apenas
uma direção, a partir do valor hipotético da média. No
exemplo anterior, o auditor pode não estar interessado
em que a verdadeira média de todas as contas a receber
supere $ 260,00, mas sim em que ela possa ser menor
que $ 260,00. Pode-se ter então as hipóteses: H0: µ ≥ $
260,00; H1: µ < $ 260,00.
Existe apenas uma região de rejeição em um
teste unilateral, e, para o exemplo acima, o teste é um
teste de cauda inferior. A região de rejeição de um
teste unilateral encontra-se sempre na cauda que
representa apoio à hipótese alternativa. O valor crítico
pode também ser determinado para a média ou em
termos de um valor z. Os valores críticos para testes
unilaterais diferem dos bilaterais devido às áreas, como
mostramos em tabela.
Exemplo 3 - Suponha que o auditor comece
com a hipótese nula de que o valor médio de todas as
contas a receber é no mínimo de X = $260 . Dado que
a média da amostra é $ 240,00, testar essa hipótese ao
nível de significância de 5%, através dos
procedimentos:
a)
Determinando o valor crítico do
valor médio da amostra, onde H0 : µ ≥ $ 260,00; e
tomando para H1: µ < $ 260,00.
2
xrc = µ 0 + zσ x = 260 + (−1,65)(7,17) = $248,17
Uma vez que X = $240 , o mesmo se
encontra na região de rejeição. Rejeita-se
portanto a hipótese nula e aceita-se a hipótese
alternativa de que µ < $ 260,00.
b) especificando o valor crítico em
termos de z, onde zc(α=0,05) = -1,65
z=
X −µ
σX
= 2407,−17260 = −2,79
Então se rejeita a hipótese nula.
Bioestatística
Dr Cláudio S. Sartori
FATEC
2
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0
-3
-2
-1
0
-1,67
z
248,17
260
Região de Rejeição
1
2
3
X
Região de aceitação
Os limites críticos de X (α = 0.05) são:
Erros Tipo I e Tipo II em testes de hipóteses.
A probabilidade do Erro Tipo I (A hipótese
nula é rejeitada sendo a mesma verdadeira) é igual ao
nível de significância α utilizado no teste de hipótese.
Isso ocorre pois a proporção da área na região de
rejeição é igual à proporção dos resultados amostrais
que ocorreriam naquela região se a hipótese nula fosse
verdadeira.
Já a probabilidade de Erro Tipo II (A hipótese
nula é aceita sendo a mesma falsa) é indicada pela letra
grega "beta" (β) . A maneira pela qual ela pode ser
determinada é relativa a um valor específico, incluído
dentro do intervalo da hipótese alternativa.
Exemplo 4 - O representante de um grupo
comunitário informa a uma pessoa que está interessada
em estabelecer um centro comercial, que a renda média
familiar na área é de $ 15.000,00. Suponha que, para o
tipo de zona em questão, é possível supor que a renda
média familiar tem distribuição aproximadamente
normal, e que se pode aceitar o desvio padrão como
sendo σ = $ 2.000,00 , com base em um estudo
anterior. Para uma amostra aleatória de 15 famílias, a
renda média familiar foi de $14.000,00 . Testar a
hipótese nula de que µ = $15.000,00 , estabelecendo os
limites críticos da média da amostra, utilizando um
nível de significância de 5%.
Observação: Mesmo se a amostra for
pequena, pode-se utilizar a distribuição normal, uma
vez que se supões a população normalmente
distribuída e uma vez que σ é conhecido.
H0: µ = $15.000,00 e H1: µ ≠ $15.000,00
2
X = µ ± zσ X = µ ±
σ
N
= 15000 ± 1,96 2000
15
⎧$16.013,93
= 15000 ± 1,96(516,80) = ⎨
⎩ $13987, 07
Uma vez que a média da amostra
X = $14.000,00 encontra-se na região de
aceitaçãoda hipótese nula, não se pode rejeitar a
afirmação do representante da comunidade a um
nível de significância de 5%.
Exemplo 5 - Resolver o exemplo 4
utillizando a variável reduzida z como estatística
do teste:
zcritico (α = 0.05) = ±1.96 Então:
σx =
σ
N
= 2000
= $516,80
15
z=
x −µ
σ
−15000
= 14000
= −1,93 . Logo
516 ,80
z = -1,93 está na região de aceitação da hipótese
nula. Não se pode rejeitar a informação do
representante da comunidade, ao nível de
significância de 0,05%.
Exemplo 6 - Para o exemplo anterior,
suponha que o desvio padrão da população é
desconhecido, o que seria o caso típico, e
suponha também, que a população dos valores de
renda não esteja normalmente distribuída. Para
uma amostra de N = 30 famílias, o desvio padrão
é de s = $ 2.000 e a média da amostra é
x = $14.000 . Testar a hipótese nula de que a
renda familiar média na população é, no mínimo,
Bioestatística
Dr Cláudio S. Sartori
$15.000,00, usando o nível de significância do teste de
5%.
Nota: A distribuição normal de probabilidade
pode ser usada por dois motivos: pelo Teorema do
Limite Central e z pode ser utilizado pois N ≥30.
Assim:
H0: µ ≥ $15.000,00; H1 : µ < $15.000,00
sx =
s
N
x −µ
sx
z=
=
2000
30
= $364,96
−15.000
= 14.000
= −2,74
364 ,96
z=
z c (α = 0,01) = +2,33
σx
−9000
= 8800
= −1,55
129 , 20
Exemplo 9 - Com respeito ao exemplo
anterior, suponha que a informação amostral foi
obtida de uma amostra de n = 35 televisores.
Testar a afirmação ao nível de significância de
5%.
H0: µ = ≥ 9000h; H1: µ < 9000h
z c (α = 0,05) = −1,65
σ x = σN = 500
= 84,46
35
z=
x −µ
σx
−9000
= 8800
= −2,37
84 , 46
Portanto rejeita-se a hipótese nula ao
nível de significância de 5%.
Exemplo 9 - Um analista de mercados
coleta informações de uma amostra aleatória de
100 clientes, dos 400 que compraram uma oferta
especial. As 100 pessoas gastaram uma média de
x = $24,57 na loja, com desvio padrão de $
6,60. Antes de ver esses resultados da amostra, o
gerente havia afirmado que a média das compras
feitas por aqueles que responderam à oferta
especial teria sido de, no mínimo, $ 25,00. Podese rejeitar essa afirmação utilizando um nível de
significância de 5%?
Observação: é necessário o fator de
correção finita quando N > 0,05Np
N
∑ xi
x = i =N1 = 450
40 = 11,25 min
H0: µ = ≥ $ 25,00; H1: µ < $ 25,00
sx =
z=
x −µ
2
Logo a hipótese nula não pode ser
rejeitada ao nível de significância de 5%.
Logo, rejeita-se a hipótese nula ao nível de
significância de 5%
Exemplo 7 - Um fabricante interessado na
compra de um novo equipamento para produzir
ferramentas especificou que o equipamento não deve
exigir, em média, mais do que 10 minutos de
manutenção para cada hora de operação. O agente de
compras visita uma companhia onde está instalado o
equipamento, e, pela informação que recolhe, nota que
40 horas de operação aleatoriamente selecionadas
incluem um total de 7 horas e 30 minutos de
manutenção, sendo que o desvio padrão do tempo de
manutenção por hora foi de 3,0 minutos. Com base
neste reultado amostral, pode-se rejeitar a hipótese de
que o equipamento possui as especificações sobre o
tempo de manutenção, ao nível de significância de
1 %?
H0: µ ≤ 10 min/hora; H1: µ > 10 min/hora
FATEC
s
= 340 = 0,47 min
N
x −µ
= 11,025, 47−10 = +2,66
sx
z c (α = 0,05) = −1,65
Rejeita-se portanto a hipótese nula ao nível de
significância de 1% e aceita-se a hipótese alternativa
de que o tempo médio de manutenção para esse
equipamento é maior de que 10 minutos por hora de
operação.
Exemplo 8 - O desvio padrão da vida útil de
um tubo de TV de determinada marca é de σ = 500
horas, sendo que a vida útil dos tubos é normalmente
distribuídas. O fabricante afirma que a vida útil média
é, no mínimo, de 9.000 horas. Testar esta informação,
ao nível de significância de 5%, denominando-a como
hipótese nula, e dado que a vida média em uma
amostra de n = 15 tubos foi de x = 8800h .
H0: µ = ≥ 9000h; H1: µ < 9000h
z c (α = 0,05) = −1,65
σ x = σN = 500
= 129,20
15
2
σx =
N p −N
σ
N
z=
N P −1
x −µ
σx
=
=
6, 60
100
400 −100
400 −1
24 , 57 − 25, 00
0, 57
= 0,57
= −0,75
Portanto não se pode rejeitar
afirmação ao nível de significância de 5%.
a
Testes de significância que envolvem
diferenças amostrais:
Sejam x1 e x 2 as médias obtidas em
duas grandes amostras, de tamanhos N1 e N2,
retiradas de populações respectivas que têm as
médias µ1 e µ2 e desvios padrões σ1 e σ2.
Considere-se a hipótese nula de que não há
diferença entre as médias populacionais, isto é,
µ1 = µ2, ou de que as amostras são retiradas de
duas populações que têm médias iguais.
Bioestatística
Dr Cláudio S. Sartori
Vemos que a distribuição amostral para a
diferença das médias é aproximadamente normal, com
média e desvio padrão dados por:
µ x1−x2 = µ1 − µ 2 ⇒ µ x1−x2 = 0 ; ( µ1 = µ 2 )
σ 12
σ x1− x2 =
N1
+
σ 22
N2
Exemplo 10 - Determinar a probabilidade de
obter-se entre 40 a 60 caras, inclusive, em 100 lances
de uma moeda honesta.
A média e o desvio padrão dos números de
caras, em 100 lances, de acordo com a Distribuição de
Bernoulli ou Binomial é dado por:
µ = Np : (p:probabilidade de obter-se
sucesso em um lançamento)
σ = Npq :
(q:probabilidade
de
insucesso em um lançamento (q = 1- p))
Lembre-se que a distribuição de Bernoulli é
N!
p X qN−X
p( X ) = CN , X p X q N − X =
X !( N − X )!
dada por (X: número de sucessos) :
A probabilidade é dada por:
⎛100⎞ 40 60 ⎛100⎞ 41 59
⎛100⎞ 60 40
P = ⎜⎜ ⎟⎟(12) (12) + ⎜⎜ ⎟⎟(12) (12) +…+ ⎜⎜ ⎟⎟(12) (12)
⎝ 40⎠
⎝ 41⎠
⎝ 60⎠
Utilizando o ajustamento da curva normal à
distribuição de Bernoulli:
FATEC
µ
=
100.0,5=50
3
e
σ = 100.0,5.0,5 = 5
Considerando a escala contínua, o
intervalo entre 40 e 60 caras, inclusive, é o
mesmo que entre 39,5 e 60,5 caras. Passando
para variável reduzida:
Z1 = (39,5 - 50)/5 = -2,10
Z2 = (60,5 - 50)/5 = +2,10
A área subebntendida entre a curva
normal de z1 a z2 dará a probabilidade: P =
0,9642.
Exemplo 11 - Para testar a hipótese de
que a moeda é honesta, adota-se a seguinte
decisão:
(1) Aceita-se a hipótese, se o número
de caras em uma única amostra de
100 lances, estiver entre 40 e 60,
inclusive.
(2) Rejeitá-la, caso contrário.
a) Determine a probabilidade de rejeitar
a hipótese, quando ela for realmente
correta.
A probabilidade de não se obter entre
40 e 60 caras, inclusive, é dada por: 1-0,9642 =
0,0358.
Então a probabilidade da hipótese ser
rejeitada quando ela for correta é de
0,0358=3,58%.
b) Interprete a regra de decisão e o
resultado do item a).
0.08
0.06
0.04
0.02
Região de
Rejeição
-3
Região de
Rejeição
Região de aceitação
-2
-1
1
z =-2.10
(39,5 caras)
2
3
z = 2.10
(60,5 caras)
Se uma única amostra de 100 lances resultar
em um escore z entre -2,10 e 2,10. Aceitar-se-á a
hipótese; caso contrário ela será rejeitada e dicidir-se-á
que a moeda é viciada. O erro cometido ao rejeitar a
3
hipótese, quando deveria ser aceita, é do Tipo I, e
a probabilidade de cometê-lo é igual a 0,0358,
conforme o item a).
Bioestatística
Dr Cláudio S. Sartori
c) Que conclusões se poderiam tirar do fato
de uma amostra de 100 lances apresentar 53 caras? 60
caras?
De acordo com a regra de decisão, deve-se
aceitar a hipótese da moeda ser honesta, em ambos os
casos.
d)
Poder-se-ia
estar
errado
nas
conclusões do item c? Explicar.
Sim. Poder-se-ia aceitar a hipótese quando
deveria ser rejeitada, e esse seria o caso, por exemplo,
se a probabilidade de caras fosse de 0,7 em vez de 0,5.
O erro cometido ao aceitar a hipótese, quando deveria
ser rejeitada, é do Tipo II da decisão.
Exemplo 12 - Em uma experiência sobre
percepção extra-sensorial (P.E.S), um sujeito, em uma
sala, é solicitado a declarar a cor vermelha ou preta de
uma carta escolhida, de um baralho bem embaralhado
de 50 cartas, por outro indivíduo colocado na mesma
sala. O sujeito desconhece quantas cartas vermelhas ou
pretas há no baralho. Se o sujeito identifica
corretamente 32 cartas, determinar se os resultados são
significativos, nos níveis de significância de:
a) 0,05
b) 0,01
Se p é a probabilidade do sujeito declarar a
cor da carta corretamente, enão deve-se
decidir entre as hipóteses:
H0: p = 0,5 e o sujeito está simplesmente
adivinhando.
H1: p > 0,5 e o sujeito tem faculdades em
P.E.S..
Escolhe-se um teste unilateral, pois não há
interesses em obter escores extremamente
baixos mas, ao contrário, na de obter escores
altos:
Média: µ = N p = 50 (0,5) = 25 e
Desvio Padrão:
σ = Npq ⇒ σ = 3,54
Para x = 32, em unidades reduzidas:
z=
x−µ
σ
= 323,−5425 = 1,98
Como
z c (α = 0,05) = −1,65
e o z
encontrado encontra-se na região crítica,
rejeita-se H0, ou seja o indivíduo apresenta
P.E.S.
Exemplo 13 - O fabricante de uma droga
medicinal reivindicou que ela era 90% eficaz em curar
uma alergia, em umperíodo de 8 horas. Em uma
amostra de 200 pessoas que tinham a alergia, a droga
curou 160 pessoas. Determinar se a pretensão do
fabricante é legítima
p: probabilidade de obter-se a cura da alergia.
2
2
FATEC
H0: p = 0,9 ⇒ A pretensão é correta.
H1: p < 0,9 ⇒ A pretensão é falsa.
Escolhemos um teste unilateral pois não
há interesse em determinar se a proporção de
pessoas curadas pela droga é muito baixa..
Se o nível de significância é α = 0,01 e
z(α) = -2,33
µ = Np =200.0,9 = 180
σ = Npq = 200.0,9.0,1 = 4,23
z = (x - µ) / σ = ( 160 - 180 ) / 4,23 = 4,73
Logo como z < -2,33 conclui-se que a
pretensão não é
legítima.
0.08
0.06
z = -2,33
0.04
0.02
-3
-2
-1
1
2
3
Exemplo 14 - A vida média de uma
amostra de 100 lâmpadas fluorescentes,
produzidas por uma companhia, foi calculada em
1570 horas, com o desvio padrão de 120 horas.
Se µ é a vidamédia de todas as lâmpadas
produzidas pela companhia, testar a hipótese de
µ = 1600 horas, em face da hipótese alternativa d
de µ ≠ 1600 horas, adotando o nível de
significância de:
a) α = 0,05
b) α = 0,01
H0: µ = 1600 h; H1: µ ≠ 1600 h
Teste tipo bilateral:
a) zc (α = 0,05) = ±1,96
σ x = σ = 120 = 12 h; µ x = µ
N
z=
x −µ
σx
=
100
1570−1600
12
= −2,50
⇔
Este valor está fora do intervalo (1.96,+1.96)
Logo rejeita-se H0 ao bnível de
significância de 0,05%
b) α = 0,01
Agora o intervalo é zc (α = 0,05) = ±
2,58 ((-2.58,+2.58))
Bioestatística
Dr Cláudio S. Sartori
Como -2.50 está dentro do intervalo, aceita-se
H0 no nível de significância de 0,01.
Exercícios:
1.
A tensão de ruptura dos cabos
produzidos por um fabricante apresenta a média de
1800 kg e o desvio padrão de 100 kg. Mediante nova
técnica no processo de fabricação, proclamou-se que a
tensão de ruptura pode ter aumentado. Para testar essa
declaração, ensaiou-se uma amostra de 50 cabos,
tendo-se determinado a tensão média de ruptura de
1850 kg. Pode-se confirmar a declaração no nível de
significância de 0,01?
2.
Referente ao exemplo 14, testar a
hipótese de µ = 1600 h em face da alternativa µ < 1600
h para o nível de significância de :
a) 0,05
b) 0,01
3
Uma companhia fabrica cabos cuja
tensão de ruptura têm média de 300 kg e desvio padrão
de 24 kg. Acredita-se que, mediante um processo
recentemente aperfeiçoado, a tensão média de ruptura
pode ser aumentada.
a)
Planejar uma regra de decisão para
rejeição do processo anrtigo, ao nível de significância
de 0,01, se foi resolvido submeter 64 cabos a ensaio.
b)
De acordo com a regra de decisão
adotada em a), qual é a probabilidade de aceitação do
processo antigo, quando, de fato, o novo aumentou a
tensão média de ruptura para 310 kg? Considerar que o
desvio padrão ainda é 24 kg.
4.
Um analista de mercados coleta
informações de uma amostra aleatória de 100 clientes,
dos 400 que compraram uma oferta especial. As 100
pessoas gastaram uma média de x = $24,57 na loja,
com desvio padrão de $ 6,60. Antes de ver esses
resultados da amostra, o gerente havia afirmado que a
média das compras feitas por aqueles que responderam
à oferta especial teria sido de, no mínimo, $ 25,00.
Pode-se rejeitar essa afirmação utilizando um nível de
significância de 1%?
5.
Um fabricante interessado na
compra de um novo equipamento para produzir
ferramentas especificou que o equipamento não deve
exigir, em média, mais do que 10 minutos de
manutenção para cada hora de operação. O agente de
compras visita uma companhia onde está instalado o
equipamento, e, pela informação que recolhe, nota que
40 horas de operação aleatoriamente selecionadas
incluem um total de 7 horas e 30 minutos de
manutenção, sendo que o desvio padrão do tempo de
3
FATEC
3
manutenção por hora foi de 3,0 minutos. Com
base neste reultado amostral, pode-se rejeitar a
hipótese de que o equipamento possui as
especificações sobre o tempo de manutenção, ao
nível de significância de
5 %?
Esboce o gráfico da distribiuição
normal explicitando as regiões de aceitação e
rejeição.
6.
Uma cadeia de lanchonetes
instalará um novo estabelecimento em um local
proposto se passarem pelo local, no mínimo, 200
carros por hora durante certos períodos do dia.
Para 20 horas aleatóriamente selecionadas
durante tais períodos, o número médio de carros
que passarem pelo local foi de x = 208,5 com
desvio padrão de 30. Supõe-se que a população
estatística seja aproximadamente normal. O
gerente da cadeia de lanchonete adota,
conservadoramente, a hipótese nula de que o
volume de tráfego não satisfaz a exigência, ou
seja, H0: µ ≤ 200,0. Pode essa hipótese ser
rejeitada a um níveld e significância de 5%?
7.
Suponha que os resultados
amostrais do problema anterior sejam baseados
em uma amostra de n = 50 horas. Pode a hipótese
nula ser rejeitada ao nível de significância de
5%?
8.
O valor médio das vendas por
estabelecimento varejista, durante o último ano
de um particular produto, foi de x = $3.425,00
para uma amostra de 25 estabelecimentos. Com
base em dados de vendas em outros produtos
similares, supõe-se que a distribuição das vendas
seja normal e que o valor do desvio padrão da
amostra seja de σ = $ 200,00. Suponha que tenha
sido afirmado que o verdadeiro valor das vendas
no estabelecimento é no mínimo de $ 3.500,00.
Testar essa afirmação ao nível de significância
de:
a) 5%
b) 1%
9.
Uma amostra de 50 firmas
tomadas de uma particular indústria, o número
médio de empregados por firma é de 420,5 com
desvio padrão amostral de 55,7. Existem ao todo
380 firmas nesta indústria. Antes que os dados
fossem coletados, foi feita a hipótese de que o
número médio de empregados por firma, nesta
indústria, não era superior a 408. Testar a
hipótese ao nível de significância de 5%.
Dr Cláudio S. Sartori
Bioestatística
10. Suponha que o analista do problema anterior
ignorasse o uso do fator de correção finita para
determinar o valor deo erro padrão da média. Qual
teria sido o resultado do teste, ainda usando o nível de
significância de 5%?
11.
Uma amostra de aleatória de 30
empregados no nível II de Secretariado foi submetido a
um teste de datilografia. Os resultados da amostra são:
x = 63,0 ppm (palavras por minuto) e σ = 5,0 ppm.
Testar a hipótese nula de que as secretárias, em geral,
não ultrapassam uma velocidade de datilografia de 60
ppm, usando um nível de significância de 1%.
12.
Um analista de departamento de
pessoal seleciona aleatoriamente os registros de 16
empregados horistas e acha um salário médio horário
de x = $7,50 com um desvio padrão de $ 1,00.
Supõe-se que os salários da firma sejam normalmente
distribuídos. Testar a hipótese nula H0 : µ = $ 8,00
usando um nível de significância de 10%.
4
FATEC
4
Bioestatística
Dr Cláudio S. Sartori
Exercícios - Revisão
1. Uma população consta de 4 números: 3,
7, 11 e 15. Considerar todas as amostras possíveis de 2
elementos, que podem ser retiradas com reposição.
Determinar:
a) A média populacional.
b) O desvio padrão da população.
c) A média da distribuição amostral das
médias.
d) O desvio padrão da distribuição amostral
das médias.
Dados:
µx = µ
σx =
σx =
σ
N
σ
N
NP − N
N p −1
σ
N
125
206
154
309
40
78
16
25
3
50
7
6
64
100
81
225
49
144
5
bairro, mostraram uma média de $29400,00 e
desvio padrão de $ 6325,00.
a) Encontre um intervalo de
confiança para a média de 95%, assumindo que
há 120 casas no bairro. Faça o gráfico da
distribuição gaussiana indicando os valores do
intervalo para a média populacional, µ, usando a
( xi −µ )2
−
expressão: Y = 1 e 2σ 2 e localize a média
i
σ 2π
amostral nesse gráfico.
b) Encontre um intervalo de
confiança para a média de 95%, assumindo que
há 1000 casas no bairro. Faça o gráfico da
distribuição gaussiana indicando os valores do
intervalo para a média populacional, µ, usando a
( xi −µ )2
−
expressão: Y = 1 e 2σ 2 e localize a média
i
σ 2π
amostral nesse gráfico. Utilize a aproximação de
que N < 10%Np.
; N < 10% N P
2. Para cada dado, encontre o intervalo de
confiança para a média populacional µ. N se refere ao
tamanho da amostra.
x
FATEC
Intervalo de Confiança
(%)
95
99
90
95
99
90
6. Testes sonoros feitos em 40 veículos
indicaram uma média de 65 decibéis e desvio
padrão de 6 decibéis.
a) Encontre um intervalo de 90% de
confiança para a média.
b) Quais são os limites de confiança?
7. Os dados a seguir indicam para
alguns dados econômicos para o Brasil.
3. Considere uma simulação feita em um
computador em que em uma amostra de 100 elementos
de uma população de média 50 e desvio padrão 5. O
número de elementos da população é muito maior que
o da amostra. Construa o intervalo de confiança de
95%.
4. Um médico quer estimar o tempo médio
que um determinado paciente espera para uma
consulta. Uma amostra de 50 pacientes mostraram uma
média de espera de 23,4 minutos e desvio padrão de
7.1 minutos. Encontre o intervalo de confiança de 95%
para a média µ
5. Um acessor de uma determinada cidade
deseja estimar o valor médio de casas em um certo
bairro. A média previamente conhecida é de
$23500,00. Uma amostra randômica de 40 casas no
5
Ano
PIB($)
(bi)
Cresci
mento
(%)
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
652
659
655
688
728
758
779
804
-4,3
1,0
-0,5
4,9
5,9
4,2
2,8
3,2
Renda
per
capita
($)
4526
4500
4407
4555
4752
4883
4949
5029
Cresc
iment
o (%)
-5,5
-0,6
-2,1
3,4
4,3
2,8
1,3
1,6
a) Utilizando uma média dos últimos 2
anos, faça uma projeção para o PIB e renda per
capita para os anos de 1998 e 1999.
b) Determine agora a média e o desvio
padrão dos 10 anos. Utilize:
Bioestatística
Dr Cláudio S. Sartori
N
µ=
∑ xi
i =1
N
N
σ=
∑ (xi − µ )
2
i =1
N
c) Construa um histograma para o PIB e a
renda per capita. Indique os valores das médias.
d) Construa a função gaussiana que representa
o Pib e a renda per capita. Através dela estime os
valores do PIB e renda per capita para os anos de 1998
e 1999. Compare com os valores da tabela.
e) Construa um intervalo de confiança de 95%
para a média do PIB e a renda per capita. Os valores de
1999 estão dentro dos limites de confiança?
8. Para testar a hipótese de que a moeda é
honesta, adota-se a seguinte decisão:
(3) Aceita-se a hipótese, se o número de
caras em uma única amostra de 100
lances, estiver dentro de um intervalo de
confiança de 95%.
(4) Rejeitá-la, caso contrário.
a) Construa o intervalo de confiança,
usando a aproximação normal para a
distribuição binomial.
b) Determine o número de caras
correspondente.
b) Que conclusões se poderiam tirar do fato
de uma amostra de 100 lances apresentar 53
caras? 60 caras? 20 caras? 78 caras?
Dados:
µ = Np : (p:probabilidade de obter-se
sucesso em um lançamento)
σ = Npq :
(q:probabilidade
de
insucesso em um lançamento (q = 1- p))
z=
X −µ
σ
Repita o problema para 99% de confiança.
9.
Uma experiência sobre percepção
extra-sensorial (P.E.S), um sujeito, em uma sala, é
solicitado a declarar a cor vermelha ou preta de uma
carta escolhida, de um baralho bem embaralhado de 50
cartas, por outro indivíduo colocado na mesma sala. O
sujeito desconhece quantas cartas vermelhas ou pretas
há no baralho. Se o sujeito identifica corretamente 32
cartas, determinar se os resultados são significativos,
nos níveis de significância de:
c) 0,05
d) 0,01
10. Um determinado tipo de plástico possui
uma resistência de 27 e um desvio padrão de 15 libras
por polegada quadrada ( 1 libra .≈ 0.45 kg ). Um novo
6
FATEC
6
processo será desenvolvido substituindo o
antigo, providenciando uma significativa
mudança na resistência do plástico. Uma amostra
de 40 peças feita com o novo processo dá uma
média de 30 libras por polegada quadrada.
Assumindo desvio padrão de 6 há suficiente
evidência para sugerir que a resistência do
produto aumentou a 5% de significância ?
11. Um industrial gostaria que seu
produto esteja pronto em pelo menos 700 horas.
Ele espera que seu produto não atrase muito nem
se adiante muito em relação a 700 horas. Numa
amostra de 48 produtos obteve-se média de 675 h
e desvio padrão de 77 h.
Faça o teste a 1% de significância.
12. Um pediatra mede um parâmetro de
recordação relativo a seus 38 pacientes. Ele
espera que seu resultado seja menor que a média
sempre adotada, de 6.5 dias. Os resultados
amostrais obtidos são:
8 7 2 6 9 4 5 3 7 8 10 7 7
6 4 10 3 6 8
2 5 4 4 5 3 8 7 4 6 3 7
12 4 3 6 6 9 4
Usando um nível de significância de
5%, construa o intervalo de confiânça e em
seguida faça o teste de hipótese explicitando a
hipótese nula e a alternativa. Indique na
gaussiana a média amostral.
13. O proprietário de uma empresa de
máquinas de copiar utiliza frequentemente, um
modelo de máquina denominado DW 140. O
proprietário está interessado em decidir nâo
utilizar esse modelo caso a média dos trabalhos
executados pela máquina exceder 40 min. Ele
mediu o tempo de trabalho da máquina para 36
trabalhos:
23 27 28 33 35 37 39 40 40
41 42 42 42 42 43 43 44 44 45 46
46 46 47
47 47 48 49 50 51 52 53 53
56 57 61 62
Use um nível de significância de 5%
para decidir se o proprietário utilizará o modelo
DW140 para seus trabalhos.
14. Um procedimento de treinamento
datilográfico padrão baseia-se em 64 palavras
datilografadas por minuto. Um instrutor analisou
38 candidatas a secretária e encontrou os
seguintes resultados (palavras por minuto):
Bioestatística
Dr Cláudio S. Sartori
56 60 60 70 60 59 41 66 67 33 55
43 61 71 73 60 56 77 43 58 65 67 71
56 48 90 82 46 68 36 27 52 64 54
49 69 46 68
Usando uma significância de 5% pode o
instrutor afirmar que a este nível a média seja diferente
de 64?
15. Há duas medidas de pressão sanguínea
utilizadas em exames: a correspondente à sístole,
quando o músculo do coração está contraindo e `a
diástole, quando o músculo do coração está relaxado.
Para adultos jovens, a pressão sístole/diástole vale
120/74 mm de Hg. Essa pressão tende a aumentar com
a idade. Para homens de 35-59 anos se encontra a
130/84. Alguns médicos estudaram a pressão
sanguínea para alguns (41) atletas em determinada
universidade e encontraram uma pressão média
(sístole/diástole) de 123/80 mm Hg). Utilizando uma
significância de 1% verifique se essa média está na
região de aceitação ou rejeição e escreva as hipóteses
nula e alternativa:
15.1) Para a pressão correspondente à sístole:
a) Comparada com adultos jovens e desvio
padrão de 2 mm Hg.
b) Comparada com adultos jovens e desvio
padrão de 4 mm Hg.
c) Comparada com homens de 35 - 59 anos
e desvio padrão de 2 mm Hg.
d) Comparada com homens de 35 - 59 anos
e desvio padrão de 4 mm Hg.
7
FATEC
15.2) Para a pressão correspondente à
diástole:
Comparada com adultos jovens e
desvio padrão de 2 mm Hg.
f) Comparada com adultos jovens e
desvio padrão de 4 mm Hg.
g) Comparada com homens de 35 - 59
anos e desvio padrão de 2 mm Hg.
h) Comparada com homens de 35 - 59
anos e desvio padrão de 4 mm Hg.
e)
Exercícios - Testes de Hipóteses
Uma companhia de ônibus
4.
avisa que o tempo de viagem entre duas cidades
é de 150 min. Um grupo de consumidores
reclamou que o tempo médio era maior que 150
minutos, atrassando assim seus compromissos.
Uma amostra de 40 viagens mostrou uma média
de 153 minutos e um desvio padrão de 7,5 min.
Usando um nível de significância de 5%, há
evidências suficientes para crer no grupo?
H0: µ = 150 min ;Ha: µ > 150 min
σ = 7,5 min
Como Ha apresenta sinal > o tipo do
teste é de "cauda direita".
Gráfico de:
1
e
2π 7.5
−
( x −150 ) 2
2⋅( 7 , 5 ) 2
0.4
0.05
0.3
0.04
0.03
0.2
0.02
0.1
0.01
0
120
0
130
140
150
Região de aceitação de H0
160
170
180
Região de rejeição a H0
151.951
Construção do intervalo de confiança: zα=0,05 = 1,645
µ + zC
σ
N
= 150 + 1.645
-4
7.5
= 150 + 1.951 = 151.951
40
7
-2
0
2
Região de aceitação de H0 Região de rejeição a H0
1.645
4
Bioestatística
Dr Cláudio S. Sartori
Como 153 pertence à regiãod e rejeição,
rejeita-se Ho, ou seja, o grupo está certo a um nívelde
confiança de 95%.
Podemos também utilizar a variável reduzida:
z=
z=
xa − µ
σ
N
µ + zC
σ
N
= 15 + 1.645
2
5.4
= 15 + 0.7637 = 15.7637
50
Decisão: Como 17.3 > 15, rejeita-se H0,
ou seja, aceita-se Ha de que µ > 15.
⇒
153 − 150
= 2.5298
1.1851
Como 2.5298 > 1.645, rejeita-se H0 a um
nível de confiança de 95%.
2. Uma psicóloga quer confirmar sua crença
que crianças maltratadas teriam elevados níveis de
depressão. Ela dá um teste chamado de POMS (Profile
of Mood States) parta uma amostra de 50 crianças
abusadas. Os resultados mostraram um escore de
depressão média de 17.3 e um desvio padrão de 5.4 . A
um nível de 5%, pode-se concluir que, as crianças
abusadas, têm em geral um nível de depressão maior
de 15 (que é a média para estudantes de colégio) ?
= 1,645
FATEC
3. O proprietário de uma empresa
perfuradora de poços artesianos suspeita que,
para um determinado tipo de solo, a
profundidade média na qual se encontrava água
era inferior a 500 pés. Perfurações realizadas em
32 regiões diferentes mostraram uma média de
486 pés e um desvio padrão de 53 pés. A um
nível de significância de 1 %, é justificada a
suspeita do proprietário?
H0 µ = 500 pés; Ha: µ < 500 pés Como
Ha contém <: Teste unilateral cauda esquerda.
H0 : µ = 15; Ha µ > 15
Teste unilateral cauda direita.
Construção do intervalo de confiança: zα=0,05
Construção do intervalo de confiança: zα=0,01 = 2,33
σ
53
= 500 + ( −2.33)
= 500 − 21.830 = 478.16
µ + zC
32
N
0.007
0.006
0.005
0.004
0.003
0.002
0.001
0
300
400
500
Rejeição a H0
600
700
Aceitação a H0
478.16
Gráfico de:
1
e
2π 53
−
( x −500 ) 2
2⋅( 53) 2
Como 486 pertence à região de aceitação,
aceita-se H0 a um nível de confiança de 5%, ou seja a
média da profundidade de perfuração de poços
artesianos é de 500 pés.
2
4. Um determinado tipo de plástico
possui uma resistência de 27 e um desvio padrão
de 15 libras por polegada quadrada ( 1 libra .≈
Bioestatística
Dr Cláudio S. Sartori
0.45 kg ). Um novo processo será desenvolvido
substituindo
o
antigo,
providenciando
uma
significativa mudança na resistência do plástico. Uma
amostra de 40 peças feita com o novo processo dá uma
média de 30 libras por polegada quadrada. Assumindo
desvio padrão de 6 há suficiente evidência para sugerir
que a resistência do produto aumentou a 1% de
significância ?
H0 µ = 27 libras/pol2 ; Ha: µ > 27 pés Como
Ha contém >: Teste unilateral cauda direita.
Construção do intervalo de confiança: zα=0,01
= 2,33
σ
15
= 27 + 2.33
= 27 + 5.526 = 32.526
µ + zC
40
N
Como 30 < 32.526, está na região de
aceitação, aceita-se H0 a 1% de significância.
Poderíamos resolver também:
z=
xa − µ
σ
=
N
30 − 27
15
40
= 1.265
Como 1.265 < 2.33 está na região de
aceitação, não se rejeita H0.
5. Um industrial gostaria que seu produto
esteja pronto em pelo menos 700 horas. Ele espera que
seu produto não atrase muito nem se adiante muito em
relação a 700 horas. Numa amostra de 48 produtos
obteve-se média de 675 h e desvio padrão de 77 h.
a) Complete o teste a 5% de significância.
b) Qual o tipo de erro de se cometer e com
que probabilidade?
a) H0 µ = 700 h ; Ha: µ ≠ 700 h
zα=0,01 = 1.96
µ ± zC
σ
N
= 700 ± 1.96
77
= 700 ± 21.783 ⇒ 678.216 < µ I < 721.783
48
Como 675 está na região de rejeição, rejeitase H0 a um nível de significância de 5%.
b) O erro é do Tipo I com 5% de
probabilidade.
2
FATEC
2
Bioestatística
Dr Cláudio S. Sartori
televisores vendidos eram pequenos, 35 de
tamanho médio e 10 grandes.
Exercícios de Revisão - Estatística
•
Distribuições t de Student e Qui Quadrado
a)
1. Construir um intervalo de confiança para
estimar a vida média útil dos tubos de imagem de TV
com base em uma amostra n = 15, desvio padrão e
média da amostra, respectivamente iguais a σ = 500 h
e µ = 8900 h, respectivamente.
2. Um encarregado de compras em um
supermercado toma uma amostra aleatória de 12 latas
de ervilha e encontra os seguintes dados:
Peso por lata (em 10
gramas)
15,7
15,8
15,9
16,0
16,1
16,2
χ
(ν )
Televisores
Tela
Pequena (<
14)
Tela
Grande
(> 21)
b) Calcule o valor de χ2 com base na tabela,
através de sua definição: (NE:Número de
eventos).
NE
( f e − f o )2
i =1
fe
χ =∑
1
2
2
3
3
1
<σ <
Tela
média
(14 – 20)
Frequência observada fo
em N = 100
Frequência esperada fe
Em N = 100
2
c) Verifique as hipóteses a 1 % de
significância:
H0: A percentagem de todas as compras de
televisores das categorias seguem 40%,
40%, 20%.
H1: O padrão atual das compras é diferente
do padrão histórico apresentado em H0.
3. Para o conjunto de 12 latas do exemplo
anterior, encontre, usando a distribuição Qui Quadado,
um intervalo de confiança de 95% para o desvio
Ns
Construa a tabela abaixo.
Número de latas
Determine:
a) O peso líquido médio em cada lata desta
amostra e o desvio padrão da amostra.
b) Use a distribuição t de Student para construir
um intervalo de confiança de 95%.
2
1− α2
3
FATEC
Ns
χ α2 (ν )
5. A tabela a seguir ilustra o número de
instalações de um sistema de ar-condicionado de
acordo com o tipo de sala usado em uma
indústria.
fo (número
observado)
fe (número
esperado)
A
6
10
Tipos de sala
B C
D
12 14
8
10
10
10
Total
40
40
a) Calcule o valor de χ2 com base na tabela.
b) Dada as hipóteses:
2
padrão da população:
Com ν = N – 1
4. Historicamente, um fabricante de televisores
vende 40% de aparelhos com tela pequena (menos de
14 polegadas), 40 % de aparelhos com telas médias (de
14 a 20 polegadas) e 20 % de aparelhos com telas
grandes ( 21 polegadas ou mais). Com o fim de
estabelecer programas apropriados de produção para o
próximo mês, ele toma uma amostra aleatória de 100
vendas durante o atual período e encontra que 55
3
H0: A quantidade de instalações está
igualmente distribuída entre as 4 salas.
H1: A quantidade de instalações não está
igualmente distribuída nas 4 salas
Testar a 5% de significância as
hipóteses acima.
6. Um gerente de departamento de pessoal
estima que 40% dos empregados de uma grande
empresa participará de um novo programa de
investimentos em ações. São feitos contatos com
uma amostra aleatória de 50 empregados, sendo
que 10 deles indicam sua intenção de participar.
Bioestatística
Dr Cláudio S. Sartori
Espera-se, com o emprego da distribuição normal, que
20 funcionários participem do programa.
a)
Monte a tabela abaixo.
Participação do
programa
Sim
Não
Total
fo
fe
20
30
50
b) A uma significância de 5% teste a hipótese
inicial de que
H0: percentual de participação = 40 %
H1: percentual de participação ≠ 40 %
Utilize um teste bilateral com a distribuição Qui
Quadrado.
c) Faça o mesmo teste a 1 % de significância.
7. Um fabricante de refrigeradores oferece três
linhas de produtos básicos, que podem ser
descritascomo "baixa" , "intermediária" e "alta" em
termos comparatuvos de preços. Antes de uma
promoção de vendas destinada a destacar as qualidades
de refrigeradores de preço alto, as vendas percentuais
das três categorias eram, respectivamente, 45, 30, 25.
De uma amostra aleatória de 50 refrigeradores
vendidos depois da promoção, as quantidades vendidas
nas categorias de preço baixa, intermediária e alta
foram, respectivamente, 15,15 e 20. Completar a tabela
abaixo e testar a hipótese nula de que o atual padrão de
vendas não difere do padrão histórico, utilizando um
nível de significância de 5%. Ou seja
H0: o atual padrão de vendas segue o padrão
histórico;
H1: o atual padrão de vendas difere do padrão
histórico.
Categoria
s
Baixa
Interme
diária
Alta
Total
fo (quantidade
vendida)
fe (quantidade que se
espera vender)
8. Em um trabalho publicado em 1908, Gosset
(Student) discutiu alguns .dados obtidos pelos
cientistas A. Cushny e A. Peebles, que estudaram os
efeitos de isômeros óticos de hyoscyamine
hydrobromide em induzir o sono nas pessoas. Os
dados obtidos eram de horas adicionais de sono por
4
FATEC
4
noite em 10 pacientes tratados com hyoscine e
são mostrados na tabela abaixo.
As drogas promoveriam horas adicionais de
sono se a média de sono para todos os pacientes
possíveis excedesse 0 (µ > 0). Estabeleceu-se as
hipóteses:
H0: µ = 0
Ha: µ > 0
Paciente
Horas
adicionais de
sono
1
1.9
2
0.8
3
1.1
4
0.1
5
-0.1
6
4.4
7
5.5
8
1.6
9
4.6
10
3.4
a) Encontre a média e o desvio padrão das
horas adicionais de sono por paciente.
b) A um nível de significância de 5%, confirme
se as drogas promovem o aumento de sono
ou não.
9. A associação americana do coração
recomenda que um nível de colesterol abaixo de
200 miligramas por 100 mililitros. Mediu-se o
nível de colesterol de mulheres com idade
inferior a 40 anos escolhidas randomicamente:
233 197 192 179 174 217 186 221 188 209 196
167 238 179 196 191.
A um nível de significância de 10 % é
razoável supor que mulheres abaixo de 40 anos
possuem nível de colesterol abaixo da média 200
?
H0: µ = 200 mg/100ml
Ha: µ < 200 mg/100ml
10.
Uma companhia de sorvete
argumenta que seu produto contém 500 cal por
quartil, (1 quartil equivale a 560 ml,
aproximadamente). Para comprovar essa
hipótese, foram analizados 24 potes de 1 quartil,
onde obteve-se uma média de 507 calorias e
desvio padrão de 21 calorias. Teste a hipºotese a
2 % de nível de significância utilizando a
distribuição t de Student.
H0: µ = 500 cal
Ha: µ ≠ 500 cal
11. Construa um intervalo de confiança
de 95% utilizando a distribuição t de Student
Bioestatística
Dr Cláudio S. Sartori
5
FATEC
para o nível médio de ansiedade de estudantes de
colégio, medidos por meio de um questionário, cuja
pontuação média para 20 estudantes equivale a 60
pontos com desvio padrão de 7.5 .
12. Uma indústria de produtos eletrônicos
utiliza na montagem de um produto, 4 linhas de
manufatura para produzir o mesmo produto. Cada
linha de produção é teoricamente equivalente, desde
que todos tenham a mesma razão de produção de
instrumentos necessários até o prazo de garantia do
produto. A companhia deseja checar esse processo. A
decisão foi tomada em observar os próximos 100
produtos que retornaram defeituosos e determinar
quantos chegam a cada linha de montagem. A linha de
montagem 1 é usada 2 vezes por dia enquanto as
linhas de montagem 2, 3 e 4 são utilizadas uma vez só.
Os produtos defeituosos que chegam nas linhas 1,2,3 e
4 são, respectivamente, 53,18,14 e 15.
a)
Determine as probabilidades com que
ocorrem os produtos defeituosos nas linhas de
produção.
b) Construa a tabela abaixo.
Linha de
1
2
3
4 Total
produção
Frequência
observada fo em
N = 100
Frequência
esperada fe
Em N = 100
c) Calcule o valor de χ2 com base na tabela,
através de sua definição: (NE:Número de eventos).
NE
( f e − f o )2
i =1
fe
χ =∑
2
d) Verifique as hipóteses a 1 % de significância:
H0: As linhas de produção seguem as
probebilidades encontradas (2/5 para linha 1,1/5 para
linha 2,1/5 para linha 3,1/5 para linha 4) para produtos
defeituosos.
H1: O padrão é maior do apresentado em H0.
13.
A tabela a seguir ilustra o número de
instalações de ventiladores de acordo com o tipo de
sala usado em uma indústria.
5
fo (número
observado)
fe (número
esperado)
A
6
5
Tipos de sala
B C D
12 12 10
15
5
15
Total
40
40
Calcule o valor de χ2 com base na
tabela.
d) Dada as hipóteses:
c)
H0: A quantidade de instalações está
igualmente distribuída entre as 4 salas.
H1: A quantidade de instalações não está
igualmente distribuída nas 4 salas
Testar a 5% de significância as
hipóteses acima.
Adaptados de General Statistics, Warren Chase and
Fred Bown, John Wiley & Sons, Inc., Third edition
Distribuições t de Student e Qui Quadrado
Bioestatística
Dr Cláudio S. Sartori
Teoria de Pequenas Amostras
Notamos anteriormente que para
distribuições de amostras com número N > 30,
denominadas de grandes amostras, as distribuições
eram aproximadamente normais, tornando-se a
aproximação melhor com o crescimento de N. Para
amostras com N < 30 essa aproximação não e boa
piora com o decréscimo de N. Elas são denominadas
de pequenas amostras e seu estudo é denominado de
teoria de pequenas amostras, onde duas distribuições
importantes, a Student t ou t de Student e a qui
quadrado serão estudadas.
•
do qual podem ser calculados x e s. Entretanto,
como µ deve ser avaliado, k =1.
O parâmetro de normalização pode ser
obtido e a distribuição t de student é dada por:
f ( x, µ , υ ) =
A Distribuição de Student t
x−µ
sˆ / N
Com
sˆ =
⎡ ⎛ x − µ ⎞2 ⎤
⎢ ⎜
⎟ ⎥
s ⎠ ⎥
⎛υ ⎞
Γ ⎜ ⎟ πυ ⎢1 + ⎝
⎢
⎥
υ
⎝2⎠
⎢
⎥
⎣
⎦
⎛ υ +1⎞
Γ⎜
⎟
⎝ 2 ⎠
N
N −1 s
Considerando-se amostras com tamanho N,
extraídas
de
uma
população
normal
(ou
aproximadamente normal) de média µ, e, se para
amostra , calcular-se o valor de t, por meio da média
amostral x e do desvio padrão s, pode-se determinar a
distribuição amostral de t.
Tal distribuição é dada por:
υ +1
2
f ( t ,υ ) =
⎡ t2 ⎤
⎛υ ⎞
Γ ⎜ ⎟ πυ ⎢1 + ⎥
⎝2⎠
⎣ υ⎦
υ +1
2
Aqui, Γ é a função Gamma, definida
por:
∞
Γ ( x ) = ∫ t x −1e − t dt
Y0
Y=
⎛ υ +1⎞
Γ⎜
⎟
⎝ 2 ⎠
Ou, reduzindo a variável:
Definimos a estatística :
t=
6
FATEC
N
0
⎛
t2 ⎞ 2
⎜⎜1 +
⎟⎟
N
−
1
⎝
⎠
ou
Y=
Y0
⎛ t2 ⎞
⎜⎜1 + ⎟⎟
υ⎠
⎝
(υ +1)
2
Onde ν (letra grega "nu") é denominada de
número de graus de liberdade.
Note que
υ = N −1
O número de graus de liberdade de uma
estatística é definido o número N de observações
independentes da amostras menos o número k de
parâmetros populacionais que devem ser estimados por
meio
das
observações
amostrais.
Então:
υ = N − k . No caso da estatística definida por t, o
número de observações independentes da amostra é N,
6
A forma gráfica da distribuição t de
Student está mostrada a seguir, para alguns
valores do grau de liberdade υ e comparadas
com a distribuição normal, pois para grandes
valores de N a distribuição t de Student se
aproxima com a normal reduzida:
2
1 − t2
Y=
e
2π
Pequena
Bibliografia
(http://history.math.csusb.edu/Mathematicians/G
osset.html)
Bioestatística
Dr Cláudio S. Sartori
Gosset trabalhou com um grande
número de estatísticos, como Fisher, Neyman e
Pearson.
http://ubmail.ubalt.edu/~harsham/statdata/opre330.htm#rt distributions
Γ(ν 2+1 ) 1
Chamamos de yν =
Γ(ν2 ) π ⋅ν
parâmetro relacionado à normalização de fν (t ) .
0.4
o
(n − 2 )!! π
( n −1 )
2
0.35
0.3
0.25
É importante salientar as propriedades da função
gamma:
Γ ( n2 ) =
7
FATEC
0.2
0.15
0.1
⇔ n = 1,3,5 ,
0.05
2
Γ(n ) = (n − 1)!⇔ n = 1,2,3,4,5,
-4
n !! é chamado de fatorial duplo, e é
definido por:
⎧n ⋅ (n − 2) ⋅ (n − 4) ⋅ 5⋅ 3⋅1 se n > 0 ímpar
⎪
n!!= ⎨ n ⋅ (n − 2) ⋅ (n − 4) ⋅ 6 ⋅ 4 ⋅ 2 se n > 0 par.
⎪
1se n = −1,0.
⎩
-2
0
2
4
Curvas t de Student para υ=4 ,Y0=0.4 , υ=1
Y0=0.35 e υ=2 Y0=0.33 comparadas
com a distribuição normal
(linha cheia).
N-1= 1
N-1= 2
N-1= 3
N-1= 4
N-1= 5
N-1= 6
Distribuição t de Student: Variável reduzida t
0,35
Com essas propriedades é possível encontrar
o parâmetro de normalização da distribuição, yυ.
0,3
y ( t)
0,25
William Gosset - 1876 em
Canterbury, Inglaterra -16 outubro
1937 em Beaconsfield, Inglaterra.
William foi educado em Winchester, onde em
Oxford estudou química a matemática. Trabalhou em
Dublin onde fez importante trabalho importante em
estatística. Em 1905 contatou Karl Pearson foi à
Londres estudar no laboratório de Pearson.
Neste tempo trabalhou no chamado limite de
Poisson, com a distribuição binomial e de amostragem,
desvio padrão, e do coeficiente de correlação. Publicou
mais tarde três trabalhos importantes que tinha
empreendido durante este ano que trabalhou no
laboratório de Pearson .
É familiarmente conhecido como "estudante"
mas não como Gosset.
De fato, Gosset escreveu sob pseudônimo de
"estudante" que explica porque seu nome não era
divulgado em virtude de resultados estatísticos
importantes. Inventou o t - teste para segurar amostras
pequenas para o controle de qualidade.
Descobriu o formulário da distribuição de t
por uma combinação do trabalho matemático e
empírico com os números aleatórios, uma aplicação
adiantada do método de Monte-Carlo.
7
0,2
0,15
0,1
0,05
-3
-2,5
-2
-1,5
-1
-0,5
0
t
0,5
1
1,5
2
2,5
3
A tabela ilustra a área compreendida
pela curva da distribuição t de Student, de -∞ a
tp :
Valores dos percentis t p
Distribuição t de Student
com ν graus de liberdade
(Área sombreada =p)
tp
Bioestatística
Dr Cláudio S. Sartori
FATEC
8
ν
t 0.995
t 0.99
t 0.975
t 0.95
t 0.9
t 0.8
t 0.75
t 0.7
t 0.6
t 0.55
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
40
60
120
∞
63,66
9,92
5,84
4,60
4,03
3,71
3,50
3,36
3,25
3,17
3,11
3,06
3,01
2,98
2,95
2,92
2,90
2,88
2,86
2,84
2,83
2,82
2,81
2,80
2,79
2,78
2,77
2,76
2,76
2,75
2,70
2,66
2,62
2,58
31,82
6,96
4,54
3,75
3,36
3,14
3,00
2,90
2,82
2,76
2,72
2,68
2,65
2,62
2,60
2,58
2,57
2,55
2,54
2,53
2,52
2,51
2,50
2,49
2,48
2,48
2,47
2,47
2,46
2,46
2,42
2,39
2,36
2,33
12,71
4,80
3,18
2,78
2,57
2,45
2,36
2,31
2,26
2,23
2,20
2,18
2,16
2,14
2,13
2,12
2,11
2,10
2,09
2,09
2,08
2,07
2,07
2,06
2,06
2,06
2,05
2,05
2,04
2,04
2,02
2,00
1,98
1,96
6,31
2,92
2,35
2,13
2,02
1,94
1,90
1,86
1,83
1,81
1,80
1,78
1,77
1,76
1,75
1,75
1,74
1,73
1,73
1,72
1,72
1,72
1,71
1,71
1,71
1,71
1,70
1,70
1,70
1,70
1,68
1,67
1,66
1,645
3,08
1,89
1,64
1,53
1,48
1,44
1,42
1,40
1,38
1,37
1,36
1,36
1,35
1,34
1,34
1,34
1,33
1,33
1,33
1,32
1,32
1,32
1,32
1,32
1,32
1,32
1,31
1,31
1,31
1,31
1,30
1,30
1,29
1,28
1,376
1,061
0,978
0,941
0,920
0,906
0,896
0,889
0,883
0,879
0,876
0,873
0,870
0,868
0,866
0,865
0,863
0,862
0,861
0,860
0,859
0,858
0,858
0,857
0,856
0,856
0,855
0,855
0,854
0,854
0,851
0,848
0,845
0,842
1,000
0,816
0,765
0,741
0,727
0,718
0,711
0,706
0,703
0,700
0,697
0,695
0,694
0,692
0,691
0,690
0,689
0,688
0,688
0,687
0,686
0,686
0,685
0,685
0,684
0,684
0,684
0,683
0,683
0,683
0,681
0,679
0,677
0,674
0,727
0,617
0,584
0,569
0,559
0,553
0,549
0,546
0,543
0,542
0,540
0,539
0,538
0,537
0,536
0,535
0,534
0,534
0,533
0,533
0,532
0,532
0,532
0,531
0,531
0,531
0,531
0,530
0,530
0,530
0,529
0,527
0,526
0,524
0,325
0,289
0,277
0,271
0,267
0,265
0,263
0,262
0,261
0,260
0,260
0,259
0,259
0,258
0,258
0,258
0,257
0,257
0,257
0,257
0,257
0,256
0,256
0,256
0,256
0,256
0,256
0,256
0,256
0,256
0,255
0,254
0,254
0,253
0,158
0,142
0,137
0,134
0.132
0,131
0,130
0,130
0,129
0,129
0,129
0,128
0,128
0,128
0,128
0,128
0,128
0,127
0,127
0,127
0,127
0,127
0,127
0,127
0,127
0,127
0,127
0,127
0,127
0,127
0,126
0,126
0,126
0,126
Número de graus de liberdade: υ
= N −1
Intervalo de Confiança com um determinado nível de significância α: µ ± t p
Bilaterais: t p
= ±t1−α ; Unilaterais: t p = t1−α
2
8
s
ν
Bioestatística
Dr Cláudio S. Sartori
Intervalos de Confiança da Distribuição tde Student:
FATEC
2
confiança desejado e do tamanho da amostra.
Também são tirados da tabela anterior.
Testes de Hipótese e Confiança:
Como na distribuição normal, podem ser
definidos intervalos de confiança de 95%, 99% e
outros para a distribuição t de Student, com o emprego
da tabela anterior. Dessa maneira, a média da
população µ pode ser avaliada dentro dos limites de
confiança especificados.
Por exemplo, -t0,975 e t0,975 são os valores de t,
para os quais 2,5% da área ficam localizados em cada
extremidade da distribuição t, então o intervalo de
confiança de 95% para t é:
− t 0,975 <
x−µ
N − 1 < t 0,975
s
Ou seja, verifica-se que a média µ é avaliado
para que caia no intervalo:
− t 0,975
s
N −1
< µ < t 0,975
São estendidos aos problemas que
envolvem pequenas amostras. A única diferença
é que tratamos ao escore t, com a estatística t de
Student.
Exemplo 1 - O gráfico da distribuição t
de Student está indicado abaixo, para 9 graus de
liberdade e Y0 = 1. Determinar os valores de t1
para os quais:
a) A área sombreada à direita é igual a
0,05.
b) A área sombreada total vale 0,05.
c) A área não sombreada total é 0,99.
d) A área sombreada à esquerda vale 0,01.
e) A área à esquerda de t1 = 0,90.
s
N −1
Com a confiança de 95% (ou probabilidade de
0,95). t0,975 representa o valor do percentil 97,5,
enquanto t0,025 = -t0,975 representa o do percentil 2,5.
Em geral, pode-se representar os limites de
confiança para as médias populacionais como sendo:
µ ± tc
s
υ
Os valores ± tc são chamados críticos ou
coeficientes de confiança e dependem do nível de
1
0.8
0.6
0.4
0.2
-4
-2
-t1
a) Área sobreada à direita é 0,05, então a área à
esquerda de t1 é 1-0,05=0,95 e t1 representa o percentil
950, e, pela tabela, t0.95 = 1,83.
b) Se a área total sombreada é 0,05, por simetria, a
área à direita é 0,025. Portanto a área à esquerda de t1
vale 1-0,025 = 0,975. t1 representa o percentil 97,50.
Na tabela encontra-se o valor de t0.975=2,26.
2
0
2
4
t1
c) Se a área não sombreada é 0,99, a área
total sombreada é 1 - 0,99 = 0,01 e a sombreada
à direita é 0,01/2=0,005. Na tabela se determina
t0,995=3,25.
d) Se a área sombreada à esquerda vale 0,01,
por simetria, à direita é 0,01. Na tabela, t0,99=2,82. Portanto o valor crítico de t, para o qual a
área sombreada à esquerda é 0,01 é igual a -2,82.
Bioestatística
Dr Cláudio S. Sartori
e) Se a área à esquerda de t1 é 0,90, então t1
corresponde ao 900 percentil; t0,90 = 1,38.
Exemplo 2 - Determinar os valores críticos de
t para os quais a área da extremidade direita da
distribuição t é 0,05, quando o número de graus de
liberdade ν for:
a) ν = 16
b) ν = 27
c) ν = 200
Os limites de confiança de 95% são
dados por:
= x ± t 0.975
s
N −1
Como N = 10 ⇒ ν = N - 1 = 9; Da tabela
encontramos t0.975 = 2,26.
Logo:
polegad
x ± t0.975 Ns −1 = 4, 38 ± 2, 26 0,06
10 −1
s
N −1
= x ± t 0.995
s
N −1
Como N = 10 ⇒ ν = N - 1 = 9; Da
tabela encontramos t0.995 = 3,25.
Os limites de confiança serão:
s
υ
s
N −1
= 4, 38 ± 3, 25
0,06
10 −1
= 4, 38 ± 0, 0650
Exemplo 5 - Antigamente, certa
máquina produzia arruelas que tinham a
espessura de 0,05 polegadas. Para se verificar se
a máquina está trabalhando adequadamente,
escolheu-se uma amostra de 10 arruelas cuja
espessura média é 0,053 polegada e cujo desvio
padrão é 0,003 polegada. Testar a hipótese de a
máquina estar trabalhando adequadamente,
adotando os níveis de significância de:
a) 0,05.
b) 0,01
Deseja-se decidir entre as hipóteses:
H0: µ = 0,05, e a máquina está
trabalhando adequadamente.
H1: µ ≠ 0,05 ela não está.
Tipo de teste: Bilateral.
Então:
t=
x−µ
s
N −1
=
0,053 − 0,05
0, 03
=3
10−1
a) Para α=0,05 Aceitamos H0 quando
t estiver compreendido entre -t0.975 e t 0,975.
Pela tabela, ν = 9; t0.975=2,26 e o
intervalo vai de -2.26 a 2.26.
Como t = 3, rejeita-se H0 ao nível de
significância de 0,05.
b) Se α=0,01, aceitamos H0 quando t
estiver compreendido entre -t0.995 e t 0,995
Pela tabela, ν = 9; t0.995= 3,25 e o
intervalo vai de -3.25 a 3.25.
Logo, como t = 3, aceita-se H0 ao nível
de 0,01.
Exemplo 6 - Um ensaio de tensões de
ruptura de 6 cabos produzidos por uma
companhia mostrou que a tensão média de
ruptura de 7750 kg e o desvio padrão de 145 kg,
as.
x ± t0.975
s
N −1
O intervalo de confiança de 99% será:
(4.315,4.445) polegadas.
Exemplo 4 - Uma amostra de 10 medidas de
diâmetro de uma esfera apresentou a média de
x = 4,38 polegadas e o desvio padrão s = 0,06
polegada. Determinar os limites de confiança de:
a) 95%
b) 99% para o diâmetro real.
s
N −1
x ± tc
x ± t0.995
Exemplo 3 - Os coeficientes de confiança de
95% (bilateral) para a distribuição normal são dados
por ±1,96. Quais serão os coeficientes correspondentes
para a distribuição t, quando:
a) ν = 9 ?
b) ν = 120 ?
c) ν = 30 ?
d) ν = 60 ?
A área total sombreada ( caudas) será de: 1 0,95 = 0,05. A área da extremidade direita é 0,025 e o
valor crítico correspondente de t é tc = t0.975. Então os
coeficientes de confiança desejados são ± t0.975
Logo:
a) ν = 9 ⇒ t0.975 = ± 2,26
b) ν = 120 ⇒ t0.975 = ± 2,09
c) ν = 30 ⇒ t0.975 = ± 2,04
d) ν = 60 ⇒ t0.975 = ± 2,00
x ± tc
2
Pode-se estar 95% confiante de que a
média verdadeira está compreendida entre 4,38 0,045 = 4,335 polegadas e 4,38+0,045 = 4,425
polegadas.
b) Os limites de confiança de 99 %
são:
x ± t0.995
Escolhendo-se t0.95 na tabela achamos:
a) ν = 16 ⇒ t0.95 = 1,75
b) ν = 27 ⇒ t0.95 = 1,70
c) ν = 200 ⇒ t0.95 = 1,645
a)
FATEC
= 4, 38 ± 0, 0452
2
Bioestatística
Dr Cláudio S. Sartori
ao passo que o fabricante declara que aquela tensão
média é de 8000 kg. Será verdadeira a declaração do
fabricante, aos níveis de significância de:
a) 0,05
b) 0,01
Deve-se decidir em: H0: µ = 8000 kg, e a
declaração do fabricante é justificada.
H1: µ < 8000 kg e ela
não o é. Teste tipo unilateral.
a)
t=
x−µ
s
=
N −1
7750 − 8000
145
= −3,86
6−1
Como ν = N - 1 = 6 - 1 = 5
Aceitamos H0 desde que t seja superior a t0.95; para ν = 5 ⇒ t0.95 = -2,02. Caso contrário, rejeitase H0. Como t = -3,86 < t0.95 rejeitamos H0 ao nível de
significância de 0.05.
b) Aceitaremos H0 desde que t > t0.99 ; para ν
= 5 ⇒ t0.99 = -3,36 ; ou seja t > -3,36
Como t = -3,86 < -3,36rejeita-se H0,
ou seja, é improvável a declaração do fabricante.
Exercícios:
A vida média de operação de 10
1.
lâmpadas é x = 4000h com o desvio padrão da
amostra de s = 200 horas. Supõe-se que o tempo de
operação das lâmpadas em geral tenha distribuição
aproximadamente normal. Estimar a vida média de
operação para a população das lâmpadas da qual foi
extraída a amostra, usando um intervalo de confiança
da forma:
x ± tc
s
N −1
2.
A hipótese nula formulada é de que a
média da vida útil de lâmpadas de uma determinada
marca, é, no mínimo, de 4200 horas, com desvio
padrão amostral de s = 200 horas. A vida útil das
lâmpadas segue uma distribuição normal. Teste a
hipótese nula a um nível de significância de 5%,
usando a distribuição t de Student.
3
Um representante de um grupo
comunitário informa, a um investidor interessado em
desenvolver um centro comercial, que a renda média
familiar na comunidade é no mínimo µ = $ 15000,00.
Supõe-se que os valores de renda na população
comunitária sejam normalmente distribuídos. Para uma
amostra aleatória de n = 15 famílias na comunidade, a
média amostral é de x = $14000,00 e o desvio
padrão amostral vale s = $ 2000,00. Testar a hipótese
nula ao nível de significância de 5%.
4.
Como agente de compras de um
certo supermercado, suponha que você tome uma
amostra aleatória de 12 latas de vagens em conserva na
3
FATEC
3
própria fábrica de enlatados. O peso líquido, em
10 gramas, encontrado em média por lata foi de
x = $15,97 , com s = 0,15. Foi afirmado que o
preço médio por lata, era de $ 16,00, sempre em
unidades de 10 gramas. Pode essa afirmação ser
rejeitada a um nível de significância de 10% ?
5.
Como agente de compras de
um certo supermercado, suponha que você tome
uma amostra aleatória de 12 latas de vagens em
conserva na própria fábrica de enlatados. O peso
líquido, em 10 gramas, encontrado em média por
lata foi de x = $15,97 , com s = 0,15. Foi
afirmado que o preço médio por lata, era de $
16,00, sempre em unidades de 10 gramas. Pode
essa afirmação ser rejeitada a um nível de
significância de 5% ?
6.
Para uma distribuição t de
Student com 10 graus de liberdade, determine o
valor de t1 de modo que:
a) A área à direita de t1 seja de 0,01.
b) A área à esquerda de t1 seja de 0,95.
c) A área à direirata de t1 seja de 0,10.
d) A soma das áreas à direita de t1 e à
esquerda de -t1 seja de 0,01.
e) A área entre -t1 e t1 seja de 0,85.
7. Determinar os valores críticos de t ,
para oa quais a área da extremidade direita da
distribuição será 0,01, se o número de graus de
liberdade for:
a) ν = 4
b) ν = 12
c) ν = 25
d) ν = 60
e) ν = 160
8.
Usando o software Excel da
Microsoft, elabore uma planilha para construir os
gráficos da distribuição t de Student com os
graus de liberdade:
a)
b)
c)
d)
ν=4
ν=6
ν=8
ν = 16
Utilize Y0 = 1.
Bioestatística
Dr Cláudio S. Sartori
FATEC
4
A distribuição de qui quadrado
Definimos a estatística:
N
χ2 =
Ns
σ
2
2
=
∑ ( X i − X )2
i =1
σ2
em que χ é a letra grega qui e χ2 é lido como
qui quadrado. Considerando-se amostras de tamanho
N retiradas de uma população normal, com o desvio
σ, e se, para cada amostra, for calculado o valor de χ2,
pode-se obter uma distribuição amostral desses
valores.
Essa distribuição é chamada de qui quadrado,
e é dada por:
Y = Y0 χ υ −2 e
−
χ2
2
Aqui: ν = N - 1 é o número de graus de
liberdade e Y0 é uma constante dependente de ν, de
modo que a área total subentendida pela curva é igual a
1.
As distribuições estão mostradas na figura
abaixo, para alguns valores de ν. (ν = 2,4,6,8,10)
N-1=
N-1=
N-1=
N-1=
N-1=
N-1=
Distribuição Qui-Quadrado
0,55
0,5
1
2
3
4
5
6
0,45
0,4
Y
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0
2
4
6
8
10
χ2
12
14
16
18
20
Tabela: Valores dos percentis
χ 2p
da
distribuição de Qui Quadrado com ν graus de
liberdade (Área sombreada =p) .
Intervalo de confiança para χ2
Como fizemos para as distribuições normal e t
de Student, podem ser definidos os limites e intervalos
de confiança de 95%, 99% e outros, para χ2, mediante
o emprego da tabela a seguir.
0
4
χ 2p
χ2
Bioestatística
Dr Cláudio S. Sartori
ν
χ 02,995
χ 02,99
χ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
40
50
60
70
80
90
100
7,88
10,6
12,8
14,9
16,7
18,3
20,3
22,0
23,6
25,2
26,8
28,3
29,8
31,3
32,8
34,3
35,7
37,2
38,6
40,0
41,4
42,8
44,2
45,6
46,9
48,3
49,6
51,0
52,3
53,7
66,8
79,5
92,0
104,2
116,3
128,3
140,2
6,63
9,21
11,3
13,3
15,1
16,8
18,5
20,1
21,7
23,2
24,7
26,2
27,7
29,1
30,6
32,0
33,4
34,8
36,2
37,6
38,9
40,3
41,6
43,0
44,3
45,6
47,0
48,3
49,6
50,9
63,7
76,2
88,4
100,4
112,3
124,1
135,5
5,02
7,38
9,35
11,1
12,8
14,4
16,0
17,5
19,0
20,5
21,9
23,3
24,7
26,1
27,5
28,8
30,2
31,5
32,9
34,2
35,5
36,8
38,1
39,4
40,6
41,9
43,2
44,5
45,7
47,0
59,3
71,4
83,3
95,0
106,6
118,1
129,6
2
0 , 975
χ02,95
χ02,90
χ02,75
3,84
5,99
7,81
9,49
11,1
12,6
14,1
15,5
16,9
18,3
19,7
21,0
22,4
23,7
25,0
26,3
27,6
28,9
30,1
31,4
32,7
33,9
35,2
36,4
37,7
38,9
40,1
41,3
42,6
43,8
55,8
67,5
79,1
90,5
101,9
113,1
124,3
2,71
4,61
6,25
7,78
9,24
10,6
12,0
13,4
14,7
16,0
17,3
18,5
19,8
21,1
22,3
23,5
24,8
26,0
27,2
28,4
29,6
30,8
32,0
33,2
34,4
35,6
36,7
37,9
39,1
40,3
51,8
63,2
74,4
85,5
96,6
107,6
118,5
1,32
2,77
4,11
5,39
6,63
7,84
9,04
10,2
11,4
12,5
13,7
14,8
16,0
17,1
18,2
19,4
20,5
21,6
22,7
23,8
24,9
26,0
27,1
28,2
29,3
30,4
31,5
32,6
33,7
34,8
45,6
56,3
67,0
77,6
88,1
98,6
109,1
5
FATEC
5
χ02,50
χ02,25
χ02,10
χ02,05
χ 02, 025
χ 02,01
χ
0,455
1,39
2,37
3,36
4,35
5,35
6,35
7,34
8,34
9,34
10,3
11,3
12,3
13,3
14,3
15,3
16,3
17,3
18,3
19,3
20,3
21,3
22,3
23,3
24,3
25,3
26,3
27,3
28,3
29,3
39,3
49,3
59,3
69,3
79,3
89,3
99,3
0,102
0,575
1,21
1,92
2,67
3,45
4,25
5,07
5,90
6,74
7,58
8,44
9,30
10,2
11,0
11,9
12,8
13,7
14,6
15,5
16,3
17,2
18,1
19,0
19,9
20,8
21,7
22,7
23,6
24,5
33,7
42,9
52,3
61,7
71,1
80,6
90,1
0,0158
0,211
0,584
1,06
1,61
2,20
2,83
3,49
4,17
4,87
5,58
6,30
7,04
7,79
8,55
9,31
10,1
10,9
11,7
12,4
13,2
14,0
14,8
15,7
16,5
17,3
18,1
18,9
19,8
20,6
29,1
37,7
46,5
55,3
64,3
73,3
82,4
0,0039
0,103
0,352
0,711
1,15
1,64
2,17
2,73
3,33
3,94
4,57
5,23
5,89
6,57
7,26
7,96
8,67
9,39
10,1
10,9
11,6
12,3
13,1
13,8
14,6
15,4
16,2
16,9
17,7
18,5
26,5
34,8
43,2
51,7
60,4
69,1
77,9
0,001
0,0506
0,216
0,484
0,831
1,24
1,69
2,18
2,70
3,25
3,82
4,40
5,01
5,63
6,26
6,91
7,56
8,23
8,91
9,59
10,3
11,0
11,7
12,4
13,1
13,8
14,6
15,3
16,0
16,8
24,4
32,4
40,5
48,8
57,2
65,6
74,2
0,0002
0,0201
0,115
0,297
0,554
0,872
1,24
1,65
2,09
2,56
3,05
3,57
4,11
4,66
5,23
5,81
6,41
7,01
7,73
8,26
8,90
9,54
10,2
10,9
11,5
12,2
12,9
13,6
14,3
15,0
22,2
29,7
37,5
45,4
53,5
61,8
70,1
0,000
0,010
0,072
0,207
0,412
0,676
0,989
1,34
1,73
2,16
2,60
3,07
3,57
4,07
4,60
5,14
5,70
6,26
6,84
7,43
8,03
8,64
9,26
9,89
10,5
11,2
11,8
12,5
13,1
13,8
20,7
28,0
35,5
43,3
51,2
59,2
67,3
2
0 , 005
Bioestatística
Dr Cláudio S. Sartori
Exemplo 1 - O gráfico da distribuição
qui quadrado com 5 graus de liberdade está
representado ao lado:
A distribuição de Qui-Quadrado pode ser
escrita por:
Y (χ
2
)=
1
υ
⎛υ ⎞
22 Γ ⎜ ⎟
⎝2⎠
χ
υ −2
e
−
0.2
χ2
0.175
2
0.15
0.125
0.1
0.075
Pode-se avaliar, dentro dos limites do
intervalo de confiança, o desvio padrão populacional
σ, expresso em função do desvio padrão amostral s.
Ns 2
χ α2 <
σ
2
N
⇔s
χ
2
1−
2
0
1−
N
χα
2
χ
a)
b)
c)
d)
2
0 , 975 são os
σ
< χ 02.975
2
χ 02.975
<σ <
s N
χ 02.025
com o grau de confiança de 95%.
Similarmente podemos determinar outros intervalos de
confiança. Os valores
χ 02.025
e
χ 02.975
representam ,
respectivamente, os valores dos percentis 2,5 e 97,5. A
tabela anterior fornece os valores dos percentis
correspondentes aos graus de liberdade ν. Para grandes
valores de ν (ν ≥ 30), pode-se utilizar o fato de
2 χ − 2υ − 1 ter
2
distribuição
aproximadamente normal com média 0 e desvio
padrão 1, de modo que podem ser usadas as tabelas da
distribuição normal, quando ν ≥ 30.
Então, se
χ 2p e zp são percentis de ordem p
das distribuições qui
respectivamente, tem-se:
χ 22
A área sombreada à direita = 0,05
A área sombreada total é 0,05
A área sombreada à esquerda é 0,10.
A área sombreada à direita = 0,01.
a)
Se a área sombreada à direita é
0,05, então a área situada à esquerda de
(1-0,05)=0,95 e
do qual se deduz que σ é estimado para que
fique dentro do intervalo :
s N
20
que:
valores de χ (denominados valores críticos), para os
quais 2,5% da área são localizados em cada
extremidade da distribuição, o intervalo de confiança
de 95% é então:
χ 02.025 <
15
Determine os valores críticos de χ2 tais
2
2
Ns 2
10
2
2
2
0 , 025 e
5
χ12
α
χ
0.05
0.025
< χ2 α
<σ < s
Exemplificando, se
6
FATEC
quadrado
e
normal,
χ 2p = 12 (z p + 2υ − 1)
2
6
χ 22
χ 22
é
representa o 950 percentil,
χ 02.95 . Percorrendo a tabela por υ = 5 achamos
χ 02,95 = 11,1
b)
Como
a
distribuição
é
assimétrica, há vários valores críticos para os
quais a área total sombreada é igual a 0,05. É
costume escolher as duas áreas de valores iguais,
0,025. Se a área sombreada à direita é 0,025, a
situada à esquerda de situada
= 0,975 e
χ
χ 22
é (1 - 0,025)
2
0
2 representa o 97,5 percentil,
χ 02,975 =12,8
Similarmente, se a área sombreada à
χ12 é 0,025, e χ12 representa o 2,50
2
percentil, então χ 0, 025 = 0,831
esquerda de
c) Se a área sombreada à esquerda é
0,10,
χ12
representa
χ 02,1 = 1,61 .
o
100
percentil
e
Bioestatística
Dr Cláudio S. Sartori
Se a área sombreada à direita é 0,10,
d)
a área à esquerda de
990 percentil e
χ 22
é 0,99 e
χ 22
Exemplo 2 Determinar os valores críticos de
χ2 para os quais a área da extremidade direita da
distribuição de χ2 será de 0.05, quando o número de
graus de liberdade, ν for igual a:
b) Para 99%, os limites de confiança
s N
χ 02,95
χ 0.995
encontra-se os valores dos
percentis:
a) ν = 15 ⇒ 25
b) ν = 21 ⇒ 32.7
c) ν = 50 ⇒ 67.5
Como
χ
2
0 , 995
<σ <
ν
= 32.8; χ
=
2
0 , 005
s N
χ 0.005
16
-
1
=
15
⇔
= 4.60
χ 0.995 = 32.8 ⇒ χ 0.995 = 5.73
Exemplo 3 Determinar os valores medianos
de χ2 correspondente aos graus de liberdade ν de:
χ 0.005 = 4.60 ⇒ χ 0.005 = 2.14
Limites de confiança de 99%:
a) 9
b) 28
c) 40
Na coluna
2.4 16
2.4 16
<σ <
5.24
2.50
⇒ 1.83 < σ < 3.84
serão:
a) 15
b) 21
c) 50
Na coluna
χ 0.025 = 6.26 ⇒ χ 0.025 = 2.50
representa o
χ 02,99 = 15,1.
7
FATEC
2.4 16
2.4 16
<σ <
5.73
2.14
χ 02,50
encontra-se os valores dos
percentis:
d) ν = 9 ⇒ 8.34
e) ν = 28 ⇒ 27.3
f) ν = 40 ⇒ 39.3
Exemplo 4 O desvio padrão das alturas de 16
estudantes
do
sexo
masculino,
escolhidos
aleatoriamente em uma escola de 1000 estudantes vale
2.4 cm. Determinar os limites de confiança de:
a) 95%
b) 99%
Do desvio padrão para todos os estudantes do
sexo masculino da escola.
Os limites de confiança são dados por:
s N
χ 0.975
<σ <
s N
χ 0.025
Para N = 16 ⇒ ν = N - 1 = 16 - 1 = 15
Observando
a
tabela,
temos:
χ 02,975 = 27.5; χ 02,025 = 6.26
χ 0.975 = 27.5 ⇒ χ 0.975 = 5.24
7
⇒ 1.68 < σ < 4.49
Portanto, pode-se estar 99% confiante
em que o desvio padrão populacional está entre
1.68 e 4.49 cm.
Bioestatística
Dr Cláudio S. Sartori
O teste de Qui Quadrado
Os resultados obtidos por meio de amostras,
nem sempre coincidem com os teóricos esperados, de
acordo
com
as
regras
de
probabilidade.
Exemplificando: teoricamente espera-se obter 50 caras
e 50 coroas em 100 lançamentos de uma moeda
honesta, mas é raro obter esses resultados na prática.
Suponha-se que, em uma determinada
amostra, observou-se que um conjunto de eventos
possíveis, E1, E2, E3,…, Ek, ocorreram com as
freqüências o1, o2, o3,…,ok, denominadas freqüências
observadas, , e que, de acordo com as regras de
probabilidade, esperar-se-ia que elas ocorressem com
as freqüências e1, e2, e3,…,ek, denominadas
freqüências esperadas ou teóricas.
Evento
Freqüência
observada
Freqüência
teórica
E1
o1
E2
o2
E3
o3
…
…
Ek
ok
e1
e2
e3
…
ek
Deseja-se, frequentemente, saber se as
freqüências observadas diferem de modo significativo,
das freqüências esperadas. No caso de serem possíveis
somente dois eventos E1 e E2, o que é denominado às
vezes de classificação dicotômica ou dicotomia, como,
por exemplo, caras e coroas, parafusos defeituosos ou
não, etc., o problema é resolvido satisfatoriamente
como descrevemos anteriormente. Vamos agora
considerar o caso geral.
Definição de χ2:
Uma medida da discrepância existente entre
as freqüências observadas e esperadas é proporcionada
pela estatística de χ2, expressa por:
χ =
2
( o1 −e1 ) 2
e1
+
( o2 −e2 ) 2
e2
k
χ =∑
2
j =1
(f
+
oj
( o3 −e3 )2
e3
− fe j
)
+…+
Testes de significância:
Na prática, as freqüências esperadas são
calculadas com base em uma hipótese H0. Se,
para essa hipótese, o valor de χ2 calculado pela
equação dada for maior que alguns valores
críticos, tais como
χ 02.95
fe j
χ2
−
χ ν −2 e 2
O número de graus de liberdade ν é dado por:
• υ=k-1
Quando as freqüências esperadas puderem ser
calculadas, sem que se façam estimativas dos
8
e
χ 02.99 , que são os
valores críticos nos níveis de significância 0.05 e
0.01, respectivamente, concluir-se-á que as
freqüências observadas diferem, de modo
significativo, das esperadas, e rejeitar-se-á H0 ao
nível de significância dado. Caso contrário,
aceitar-se-á H0, ou pelo menos, não a rejeitar.
Esse processo é denominado teste de qui
quadrado da hipótese ou significância.
Encaramos com suspeita quando χ2
próximo de 0, pois em geral é raro que as
freqüências observadas concordem com as
esperadas.
A tabela anterior, na quais as
freqüências observadas figuram numa linha
única, é denominada de tabela de simples
entrada. Quando as freqüências observadas
ocupam h linhas e k colunas, ou seja, uma tabela
dupla de entrada h x k denominamos de tabelas
de contingência. A freqüência total de cada linha
ou coluna é denominada de freqüência marginal.
Para verificar a concordância entre as
freqüências observadas e esperadas:, calcula-se a
estatística:
k
χ2 = ∑
j =1
2
8
parâmetros populacionais, a partir de
estatísticas amostrais.
• υ = k - 1 -m
Quando as freqüências esperadas
somente podem ser calculadas mediante a
estimativa de m parâmetros populacionais, a
partir de estatísticas amostrais.
( ok −ek ) 2
ek
A distribuição amostral de χ2 pode ser aproximada por:
Y = Y0
FATEC
(f
oj
− fe j
)
2
fe j
Considera-se a soma de todas as casas
da tabela de contingência de ordem j. Essa soma
contém kh termos. A soma de todas as
freqüências observadas é igual a soma de todas
as freqüências esperadas e vale N.
O número de graus de liberdade dessa
distribuição qui quadrado, para k > 1 e h > 1 é
dado por:
• υ = (h - 1)(k - 1)
Quando as freqüências esperadas
puderem ser calculadas, sem que se façam
estimativas dos parâmetros populacionais, a
partir de estatísticas amostrais.
Bioestatística
Dr Cláudio S. Sartori
• υ = (h - 1)(k - 1) -m
Quando as freqüências esperadas somente
podem ser calculadas mediante a estimativa de m
parâmetros populacionais, a partir de estatísticas
amostrais.
k
χ =∑
2
(o
− ej )
j
χ =∑
(o
− ej )
2
=∑
ej
j =1
k
2
(o
j
− ej )
ej
j =1
χ =∑
j
χ2 = (
2
=
2
=(
115−100)
100
2
+(
85−100 )
100
j =1
a) O valor crítico
χ 02.95
2
para 1 grau de
liberdade vale 3.84. Como 4.50 > 3.84, rejeitar-se-á a
hipótese ser honesta, no nível de significância 0.05
b) O valor crítico
χ 02.99
(o
j
para 1 grau de
− ej )
2
ej
j =1
= 4.50
ej
O número de classes é k = 2. Então:
ν=k-1=2-1=1
2
k
2
Exemplo 1 - Em 200 lances de uma moeda,
observaram 115 caras e 85 coroas. Testar a hipótese da
moeda ser honesta, adotadas os níveis de significância:
a) 0.05
b) 0.01
As freqüências observadas de caras e coroas
são, respectivamente: o1 = 115 e o2 = 85.
As freqüências esperadas de caras e coroas
são 100 e 100
Então:
9
FATEC
315−312.75)
312.75
2
4
=∑
(o
− ej )
j
ej
j =1
+(
108−104.25)
104.25
a) para ν
2
2
+(
101−104.25)
104.25
=
2
+(
32−34.75)
34.75
2
= 0.47
= 3; χ 02.99 = 11.3 ⇒ Não
se pode rejeitar a teoria no nível de significância
0.01.
b) para ν
= 3; χ 02.95 = 7.81 ⇒ Não
se pode rejeitar a teoria no nível de significância
0.05.
Exemplo 3 - Numa urna há grande
número de bolas de gude de quatro cores
distintas: vermelha, laranja, amarela e verde.
Uma amostra de 12 bolas, retiradas da urna ao
acaso, revelou 2 vermelhas, 5 laranjas, 4
amarelas e 1 verde. Testar a hipótese da urna
conter proporções iguais das bolas de gude de
cores diferentes.
Para conter proporções iguais, seria
esperado 3 bolas de cada cor.
Como esses números esperados são
menores que 5, a aproximação qui-quadrado
estaria incorreta. Assim consideramos as
catagorias amarela ou verde; laranja ou
vermelha:
liberdade vale 6.33. Como 4.50 < 6.33, rejeitar-se-á a
hipótese ser honesta, no nível de significância 0.01.
χ =∑
Exemplo 2 - Nas estatísticas de Mendel
realizadas com ervilhas, ele observou 315 redondas e
amarelas, 108 redondas e verdes, 101 enrugadas e
amarelas e 32 enrugadas e verdes. De acordo com a
teoria de hereditariedade, os números deveriam estar
na proporção 9:3:3:1. Há alguma evidência para se
duvidar de sua teoria, nos níveis de significância:
χ2 = (
2
k
(o
− ej )
2
2
=∑
ej
j =1
3− 6 )
6
j
2
+(
j =1
9−6 )
6
2
(o
j
− ej )
ej
2
=
=3
Para υ= 2 - 1 = 1
ν = 2; χ 02.95 = 3.84 ⇒ Não se
pode rejeitar a hipótese no nível de significância
de 0.05.
a) 0.01 ?
b) 0.05?
Exemplo 4 - Em 360 lances de um par
de dados obtiveram-se 74 “setes” e 24 “onzes”.
Adotado o nível de significância 0.05, testar a
hipótese de o dado ser honesto.
Um par de dados pode cair de 36
maneiras. Um sete pode ocorrer de seis maneiras
e um onze de 2 maneiras.
Então: Pr{" 7"}=1/6 e :
Pr{" 11"}=2/36=1/18
Em 360 lances esperar-se-ia:
360 (1/6) = 60 " setes" e
360 (1/18) = 20 " onzes". Assim:
O número total de ervilhas é:
315+108+101+32 = 556.
Os números esperados estão na proporção
9:3:3:1 (9+3+3+1=16)
(9/16)556=312.75 redondas e amarelas.
(3/16)556=104.25 enrugadas e amarelas.
(3/16)556=104.25 redondas e verdes.
(1/16)556=34.75 enrugadas e verdes.
Então:
9
Bioestatística
Dr Cláudio S. Sartori
k
χ =∑
2
(o
j
− ej )
χ2 = (
; Comoν
74 − 60 )
60
2
2
=
ej
j =1
+(
24 − 20 )
20
2
Exercícios
= 4.07
= 2; χ 02.95 = 3.84 ⇒ rejeita-se a
hipótese no nível de significância de 0.05 do dado ser
honesto.
Exemplo 5 - O recenseamento de 320 famílias
com cinco crianças revelou a distribuição apresentada
na tabela abaixo. Esse resultado é compatível com a
hipótese dos nascimentos de homens e mulheres
igualmente prováveis?
Tipo
5 meninos
0 meninas
4 meninos
1 meninas
3 meninos
2 meninas
2 meninos
3 meninas
1 meninos
4 meninas
0 meninos
5 meninas
Total
Número
De
famílias
18
pe(X)
5
p
10
FATEC
fei
5p4 q =5/32
110
10p3 q2=10/32
88
10p2 q5=10/32
40
5p q4=5/32
8
q5=1/32
Número
de Caras
X
0
1
2
3
4
5
Pr {X}
fe
fo
0.0332
0.1619
0.3162
0.3087
0.1507
0.0294
33.2
161.9
316.2
308.7
150.7
29.4
38
144
342
287
164
25
2. Dois grupos, A e B, são formados,
cada um de 100 pessoas que têm a mesma
enfermidade. É ministrado um soro ao grupo A,
mas não ao B (denominado grupo de controle), a
todos os outros respeitos, os dois grupos são
tratados de modo idêntico. Determinou-se que 75
e 65 pessoas dos grupos A e B, respectivamente,
curaram-se da enfermidade. Testar a hipótese do
soro auxiliar a cura da enfermidade, mediante o
teste qui quadrado, adotando o nível de
significância:
a) α = 0.01
b) α = 0.05
c) α = 0.10
= 1/32
56
1. Usar o teste de chi quadrado quando
lançamos 5 moedas 100 vezes. A tabela mostra
em cada lance o número de caras, a frequência
esperada e medida.
320
Freqüências observadas:
Seja p a probabilidade do nascimento de 1
homem. q =1 - p a de uma mulher. Dado o
desenvolvimento binomial:
5⎞ 5−i i 5
4
3 2
2 3
4
5
⎟⎟p q = p + 5 p q +10p q +10p q + 5 pq + q
i=0 ⎝ i ⎠
( p + q)5 = ∑⎛⎜⎜
5
Os valores esperados (freqüências esperadas)
para famílias com 5,4,3,2,1 e 0 meninos são obtidos,
respectivamente, multiplicando-se as probabilidade por
320:
Assim:
k
χ2 = ∑
(o
j
− ej )
18−10)
10
2
+(
56−50)
50
5
=∑
ej
j =1
χ2 = (
2
2
+(
110−100)
100
(o
j
j =1
2
+(
88−100)
100
− ej )
ej
2
+(
Grupo A
(Usando o soro)
Grupo B
(Não usando o
soro)
Total
Curados
Não
curados
Total
75
25
100
65
35
100
140
60
200
Freqüências esperadas:
Curados
Não
curados
Total
70
30
100
70
30
100
140
60
200
2
=
40−50)
50
2
+(
8−10)
10
2
= 12
ν = 6 − 1 = 5; χ 02.95 = 11.1; χ 02.99 = 15.1
⇒ pode-se rejeitar a hipótese no nível de significância
de 0.05 mas não de 0.01.
10
Grupo A
(Usando o
soro)
Grupo B
(Não usando o
soro)
Total
Bioestatística
Dr Cláudio S. Sartori
Na tabela estão indicadas os números
3.
de estudantes aprovados e reprovados por 3
instrutores:Sr. X, Sr. Y e Sr. Z . Testar a hipótese das
proporções dos estudantes reprovados pelos 3
instrutores serem iguais.
Freqüências observadas:
Sr. X
Sr. Y
Sr. Z
Total
50
5
55
47
14
61
56
8
64
153
27
180
Aprovados
Reprovados
Total
Sr. X
Sr. Y
Sr. Z
Total
46.75
54.4
153
Reprovados
Total
8.25
55
51.8
5
9.15
61
9.6
64
27
180
4.
Para cada um dos itens abaixo, encontre:
i) t 0.005
ii) t 0.01
iii)
t 0.025
iv) t 0.05
v) t 0.1
a) Assumindo uma distribuição t de Student
com ν = 7 graus de liberdade.
b) Assumindo uma distribuição t de Student
com ν = 12 graus de liberdade.
c) Assumindo uma distribuição t de Student
com ν = 25 graus de liberdade.
5.
11
criança por ano. Para verificar essa hipótese, ele
pesquisou uma amostra de 20 famílias e
encontrou uma média de R$ 620,00 e desvio
padrão s = R$ 30,00. Assumindo α = 0.05 teste
sua hipótese.
7. A média gasta por ano em um
departamento de uma determinada loja de roupa,
relativa à compra de retalhos, vale R$ 30,00. O
departamento quer substituir os retalhos por um
novo produto e estima-se que uma amostra de 25
peças custaria uma média de R$ 34,25 e desvio
padrão s = R$5,48. Faça o teste de hipótese para
a média utilizando a distribuição t de Student.
Freqüências esperadas:
Aprovados
FATEC
Para cada item abaixo, resolva o teste de
hipótese assumindo:
a) Que a média populacional µ > 16 e
N = 14; α = 0.01; x =18; s =4
b) Que a média populacional µ < 27 e
N = 9; α = 0.05; x =23; s =7
8. Recentes estudos mostram que para
um funcionário terminar determinado trabalho
leva em média 160 minutos. Um novo método de
aprimoração aplicada em uma amostra de 11
funcionários revelou uma média de 145 minutos
e desvio padrão 9.47 minutos. Estabelecer o teste
de hipótese para a distribuição t de Student
usando uma significância de 5%.
9. Uma bateria alcalina para radio
stereo FM-AM dura pelo menos 30 horas, na
média. Consumidores suspeitaram que o tempo
de duração era inferior a 30 horas, pois
analisaram uma amostra de 38 baterias e
obtiveram uma média de 29.3 horas e desvio
padrão de 2.95 horas. É coerente a suspeita dos
consumidores a 5% de significância?
10. O proprietário de uma clínica
dentária suspeita que o tempo médio de
atendimento em uma clínica dentária ultrapassa
40 minutos. Analisando uma amostra de 18
pacientes, constatou um tempo médio de espera
de 43.50 minutos e desvio padrão de 10.62
minutos. É consistente a suspeita do proprietário,
a 5% de significância?
11. Um médico suspeita que fumantes
entre 40-45 anos portadores de bronquite crônica
haviam fumado na média por mais de 20 anos.
Umas amostras de 10 pacientes deram os
seguintes tempos, em anos, pelos fumantes:
c) Que a média populacional µ ≠ 30 e
N = 6; α = 0.01; x =25; s =4
d) Que a média populacional µ > 125 e
N = 40; α = 0.05; x =128; s =18
22 21 19 25 24 26 23 21 23 22
e) Que a média populacional µ < 50 e
N = 8; α = 0.1; x =70; s =16
6. O diretor de uma universidade sabe que
famílias com renda acima de R$ 3.000,00 contribuem
com uma média de R$ 600,00 na educação de uma
11
Usando 1% de significância, há
suficiente evidência para justificar a hipótese do
médico?
Dr Cláudio S. Sartori
Bioestatística
12
FATEC
12