álgebra linear

C
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RACIOCÍNIO LÓGICO
AULA 11
ÁLGEBRA LINEAR
POLINÔMIOS E EQUAÇÕES ALGÉBRICAS
I - POLINÔMIOS
1 – Definição
Seja C o conjunto dos números complexos ( números da forma a + bi , onde a e b são
números reais e i é a unidade imaginária tal que i2 = -1) .
Entende-se por polinômio em C à função:
P(x) = aoxn + a1xn-1 + a2xn-2 + ... + an-1x + an , onde os números complexos ao , a1 , ... , an
são os coeficientes , n é um número natural denominado grau do polinômio e x é a variável do
polinômio.
Exemplo :
P(x) = x5 + 3x2 - 7x + 6 (ao = 1 , a1 = 0 , a2 = 0 , a3 = 3 , a4 = -7 e a5 = 6 ). O grau de P(x) é
igual a 5 .
Nota: Os polinômios recebem nomes particulares a saber:
a) Binômio : possuem dois termos. Ex : r(x) = 3x + 1 (grau 1).
b) Trinômio: possuem 3 termos: Ex : q(x) = 4x2 + x - 1 ( grau 2).
c) A partir de 4 termos, recorre-se à designação genérica : polinômios.
1.1 - Valor numérico do polinômio
Sendo m um número complexo ( lembre-se que todo número real é também um número
complexo) , denominamos valor numérico de um polinômio P(x) para x = m , ao valor P(m) ou
seja o valor que obtemos substituindo x por m .
Exemplo: Qual o valor numérico do polinômio p(x) = x3 - 5x + 2 para x = -1?
Teremos, substituindo a variável x por x = -1 Þ p(-1) = (-1)3 - 5(-1) + 2 = -1 + 5 + 2 = 6 \ p(-1) = 6.
1.2 - Raiz (ou zero) de um polinômio
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O número complexo m é raiz ou zero do polinômio P(x) quando P(m) = 0 .
Exemplo:
i
é
raiz
do
polinômio
P(x)
=
x2
+
1
,
pois
P(i)
=
0
.
Lembre-se que i2 = -1, ou seja , o quadrado da unidade imaginária é igual a -1.
O número natural 2 é raiz do polinômio P(x) = x3 - 2x2 - x + 2 , pois P(2) = 0 (verifique!) .
1.3 - Soma dos coeficientes de um polinômio
Para calcular a soma S dos coeficientes de um polinômio P(x) , basta calcular o valor
numérico
do
polinômio
para
x
=
1
ou
seja,
calcular
P(1).
Exemplos:
a) P(x) = 2x4 + 3x2 - 7x + 10
S = P(1) = 2 + 3 - 7 + 10 = 8.
b)
Qual
a
soma
dos
coeficientes
de
S(x)
=
x156
+
x?
Substituindo x por 1, encontramos S = 2. (Lembre-se que 1156 = 1).
IMPORTANTE: Às vezes, um polinômio pode vir expresso como uma potência do tipo (x
+ a)n , denominado binômio de Newton (Isaac Newton - físico, astrônomo e matemático inglês,
1642
1727)
.
Ainda
assim,
a
propriedade
anterior
é
válida.
Por exemplo, qual a soma dos coeficientes do polinômio P(x) = ( 2x - 3)102 ? Ora,
substituindo x por 1, vem: S = (2.1 - 3)102 = (2-3)102 = (-1)102 = 1 (lembre-se que toda potência de
expoente par é positiva).Outro exemplo: Qual a soma dos coeficientes do polinômio T(x) = (5x +
1)4 ? Ora, temos para x = 1 : S = T(1) = (5.1 + 1)4 = 64 = 6.6.6.6 = 1296
2 – IDENTIDADE DE POLINÔMIOS
2.1 - Polinômio identicamente nulo (ou simplesmente polinômio nulo) é aquele cujo valor
numérico é igual a zero para todo valor da variável x . Indicamos P º 0 (polinômio nulo) .Para um
polinômio P(x) ser um polinômio nulo é necessário e suficiente que todos os seus coeficientes
sejam nulos (iguais a zero) .
2.2 - Polinômios idênticos - São polinômios iguais . Se P e Q são polinômios idênticos ,
escrevemos P º Q . É óbvio que se dois polinômios são idênticos , então os seus coeficientes
dos termos correspondentes são iguais . A expressão P º Q é denominada identidade .
Exercício resolvido:
Sendo P(x) = Q(x) + x2 + x + 1 e sabendo que 2 é raiz de P(x) e 1 é raiz de Q(x) , calcule
o valor de P(1) - Q(2) .
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SOLUÇÃO:
Ora, se 2 é raiz de P(x), então sabemos que P(2) = 0 e se 1 é raiz de Q(x) então Q(1) =
0. Temos então substituindo x por 1 na expressão dada : P(1) = Q(1) + 12 + 1 + 1 \ P(1) = 0 + 1
+ 1+ 1 = 3. Então P(1) = 3. Analogamente , poderemos escrever : P(2) = Q(2) + 22 + 2 + 1 \ 0 =
Q(2) + 7 , logo Q(2) = -7. Logo P(1) - Q(2) = 3 - (-7) = 3 + 7 = 10. Resp: 10
3 – DIVISÃO DE POLINÔMIOS
Efetuar a divisão de um polinômio P(x) por outro polinômio D(x) não nulo , significa
determinar um único par de polinômios Q(x) e R(x) que satisfazem às condições:
1) P(x) = D(x) . Q(x) + R(x) . (Analogia ® 46:6 = 7 e resto 4 \ 46 = 6.7 + 4) .2) gr R(x) < gr
D(x), onde gr indica o grau do polinômio.
Notas:
1) se R(x) = 0 , então dizemos que P(x) é divisível por D(x) . 2) se gr P > gr D então gr (P
: D) = gr P - gr D .3) não se esqueça que o grau do resto é sempre menor que o grau do divisor
.4) se gr P(x) < gr D(x) então Q(x) = 0 e R(x) = P(x) .
3.1 - Resto da divisão pelo binômio x - a.
Teorema do resto : o resto da divisão de P(x) por x - a é igual a P(a) .Demonstração :
Podemos escrever P(x) = (x - a) . Q(x) + R(x) ; Logo, fazendo x = a vem imediatamente que P(a)
= (a - a) . Q(a) + R(a) , de onde se conclui que P(a) = R onde R é o resto da divisão .
Conseqüência : Se P(a) = 0 , então R = 0 ( R = resto ) e portanto , P(x) é divisível por
x-a.
II – EQUAÇÕES ALGÉBRICAS
Sendo P(x) um polinômio em C , chama-se equação algébrica à igualdade P(x) = 0 .
Portanto , as raízes da equação algébrica , são as mesmas do polinômio P(x) . O grau do
polinômio , será também o grau da equação .Exemplo: 3x4 - 2x3 + x + 1 = 0 é uma equação do
4º grau .
Propriedades importantes :
I - Toda equação algébrica de grau n possui exatamente n raízes .Exemplo: a
equação x3 - x = 0 possui 3 raízes a saber: x = 0 ou x = 1 ou x = -1. Dizemos então que o
conjunto verdade ou conjunto solução da equação dada é S = {0, 1, -1}.
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II - Se b for raiz de P(x) = 0 , então P(x) é divisível por x - b .Esta propriedade é muito
importante para abaixar o grau de uma equação , o que se consegue dividindo P(x) por x - b ,
aplicando Briot-Ruffini.
III - Se o número complexo a + bi for raiz de P(x) = 0 , então o conjugado a - bi
também será raiz .Exemplo: qual o grau mínimo da equação P(x) = 0, sabendo-se que três de
suas raízes são os números 5, 3 + 2i e 4 - 3i.Ora, pela propriedade P3, os complexos
conjugados 3 - 2i e 4 + 3i são também raízes. Logo, por P1, concluímos que o grau mínimo de
P(x) é igual a 5, ou seja, P(x) possui no mínimo 5 raízes.
IV - Se a equação P(x) = 0 possuir k raízes iguais a m então dizemos que m é uma
raiz de grau de multiplicidade k .Exemplo: a equação (x - 4)10 = 0 possui 10 raízes iguais a 4 .
Portanto 4 é raiz décupla ou de multiplicidade 10 .Outro exemplo: a equação x3 = 0, possui três
raízes iguais a 0 ou seja três raízes nulas com ordem de multiplicidade 3 (raízes triplas).A
equação do segundo grau x2 - 8x + 16 = 0, possui duas raízes reais iguais a 4, (x’ = x’’ = 4).
Dizemos então que 4 é uma raiz dupla ou de ordem de multiplicidade dois.
V - Se a soma dos coeficientes de uma equação algébrica P(x) = 0 for nula , então a
unidade é raiz da equação (1 é raiz).Exemplo: 1 é raiz de 40x5 -10x3 + 10x - 40 = 0 , pois a
soma dos coeficientes é igual a zero .
VI - Toda equação de termo independente nulo , admite um número de raízes nulas
igual ao menor expoente da variável .Exemplo: a equação 3x5 + 4x2 = 0 possui duas raízes
nulas .A equação x100 + x12 = 0, possui 100 raízes, das quais 12 são nulas!
VII - Se x1 , x2 , x3 , ... , xn são raízes da equação aoxn + a1xn-1 + a2xn-2 + ... + an = 0 ,
então ela pode ser escrita na forma fatorada :ao (x - x1) . (x - x2) . (x - x3) . ... . (x - xn) = 0.
Exemplo: Se - 1 , 2 e 53 são as raízes de uma equação do 3º grau , então podemos
escrever:(x+1) . (x-2) . (x-53) = 0 , que desenvolvida fica : x3 - 54x2 + 51x + 106 = 0 . (verifique!).
Relações de Girard.
São as relações existentes entre os coeficientes e as raízes de uma equação algébrica
.Para uma equação do 2º grau , da forma ax2 + bx + c = 0 , já conhecemos as seguintes
relações entre os coeficientes e as raízes x1 e x2 :x1 + x2 = - b/a e x1 . x2 = c/a .
Para uma equação do 3º grau , da forma ax3 + bx2 + cx + d = 0 , sendo x1 , x2 e x3 as
raízes , temos as seguintes relações de Girard :x1 + x2 + x3 = - b/a x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 = c/a
x1.x2.x3 = - d/a
Para uma equação do 4º grau , da forma ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 , sendo as raízes
iguais a x1 , x2 , x3 e x4 , temos as seguintes relações de Girard :x1 + x2 + x3 + x4 = -b/ax1.x2 +
x1.x3 + x1.x4 + x2.x3 + x2.x4 + x3.x4 = c/ax1.x2x3 + x1.x2.x4 + x1.x3.x4 + x2.x3.x4 = - d/ax1.x2.x3.x4 =
e/a
NOTA: observe que os sinais se alternam a partir de ( - ) , tornando fácil a memorização
das fórmulas
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Agora que você estudou a teoria, tente resolver as questões a seguir:
1 - UEFS-91/1 - Sejam três polinômios em x:P = -2x3 - 2x2 + 2x -1 ; Q = ( 2x2 + 3) ( x - 1 )
e R = -4x + 3 . Dividindo-se P - Q por R, encontram-se quociente e resto respectivamente iguais
a:Resp: x2 + (3/4)x + 13/16 e -7/16
2 - UEFS-92/1- Sejam P = 5x - 2 , Q = ( 4 + 25x2 )2 e R = 5x + 2; então (PR)2 - Q é:Resp: 2
400x
3 - UEFS-92/1 - Se o resto da divisão de P(x) = x3 + ax + b por Q(x) = x2 + x + 2 é 4,
então a + b vale:Resp: 34 - UEFS-93/1 - O conjunto verdade da equação 18x3 + 9x2 - 2x -1 = 0
está contido em:a) [-2,-1) *b) [-1,1) c) [1,2) d) [2,3) e) [3,4)
4 - UEFS-94/1 - A soma das raízes da equação 2x4 - 3x3 + 3x - 2 = 0 é: Resp: 3/2
PRODUTO DE STEVIN
É o produto de qualquer número de binômios do 1º grau, da forma ( x+ a), onde a é um
número real ou complexo.
Para dois binômios, teremos:(x + a)(x + b) = x2 + (a + b) x + ab
Para três binômios, teremos:(x + a)(x + b)(x + c) = x3 + (a + b + c)x2 + (ab + ac + bc)x +
abc. A memorização destas fórmulas é fácil e útil para agilizar cálculos. Observe que existe
uma clara lei de formação, a qual facilita a memorização. Claro que você pode obter as fórmulas
acima, simplesmente multiplicando os binômios, mas numa prova de vestibular, isto significaria
perda de precioso tempo.
Exemplos:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
(x+3)(x+5) = x2 + (3 + 5)x + 3.5 = x2 + 8x + 15
(x+10)(x+4) = x2 + 14x + 40
(x - 7)(x+4) = x2 - 3x – 28
(x - 6)(x - 7) = x2 - 13x + 42
(x+3)(x+4)(x+5) = x3 + (3+4+5)x2 + (3.4+3.5+4.5)x + (3.4.5) = x3 + 12x2 + 47x + 60
(x+1)(x-3)(x+8) = x3+(1-3+8)x2 + (1.-3 + 1.8 - 3.8)x - 3.1.8)= x3 + 6x2 - 29x – 24
(x+5)(x+3)(x+2) = x3 +(5+3+2)x2 +(5.3+5.2+3.2)x +(5.3.2) = x3+10x2+31x+30
(x-3)(x-2)(x+7) = x3 + (-3-2+7)x2 +(-3.-2 -3.7 -2.7)x +(-3.-2.7) = x3 + 2x2 - 29x + 42
Poderíamos generalizar a fórmula de Stevin, para o produto de n binômios da forma
(x+a).Deixaremos de fazê-lo, por absoluta falta de praticidade para o Vestibular.
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Exercícios propostos:
Calcule os seguintes produtos de Stevin:a) (x+10)(x-90)b) (x+2)(x-15)(x+6)
Respostas:
a) x2 - 80x – 900
b) x3 - 7x2 - 108x - 180
EQUAÇÕES RECÍPROCAS
Seja a equação racional inteira a0.x n + a1.x n-1 + a2.x n-2 + ... + an = 0, ordenada
segundo as potências decrescentes de x , com a0 , a1 , ... , an números reais sendo a0 ¹ 0 e n
inteiro
positivo.
Diz-se que esta equação é recíproca se e somente se os termos eqüidistantes dos extremos,
forem iguais ou simétricos. Sendo iguais, teremos uma equação recíproca de 1ª espécie e,
sendo opostos, teremos uma equação recíproca de 2ª espécie.
Exemplos:
5
2x + 3x4 - 5x3 - 5x2 + 3x + 2 = 0 - equação recíproca de 1ª espécie2x5 - 3x4 - 5x3 + 5x2 + 3x - 2 =
0 - equação recíproca de 2ª espécie.
Ao se deparar com uma equação recíproca, deve-se sempre verificar imediatamente se 1
ou -1 são raízes da equação, pois isto permitirá abaixar o grau da equação, através de uma
divisão do primeiro membro da equação, por x ± 1, o que facilitará sobremaneira a resolução da
mesma.
Seja resolver a equação recíproca 2x5 - 3x4 - 5x3 + 5x2 + 3x - 2 = 0 .Trata-se de uma
equação recíproca de 2ª espécie.Observe que 1 é raiz da equação pois: 2.15 - 3.14 - 5.13 + 5.12
+ 3.1 - 2 = 0 . Da mesma forma observamos que -1 não é raiz .
Vamos dividir o primeiro membro da equação dada por x - 1, de modo a abaixar o grau
da equação. Utilizaremos o método de Briot-Ruffini:
A equação dada pode então ser escrita na forma fatorada, como:(x - 1). (2x4 - x3 - 6 x2 - x
+ 2) = 0Logo, 2x4 - x3 - 6 x2 - x + 2 = 0
Dividindo ambos os membros por x2 , vem:2x2 - x - 6 - 1/x + 2/x2 = 02x2 + 2/x2 - x - 1/x - 6
= 02(x2 + 1/x2) - (x + 1/x) - 6 = 0
Observe agora, que:(x + 1/x)2 = x2 + 2.x.(1/x) + 1/x2 =x2 + 1/x2 + 2
Portanto,
x2 + 1/x2 = (x + 1/x)2 - 2
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Substituindo na equação em negrito acima, fica:2[(x + 1/x)2 - 2] - (x + 1/x) - 6 = 02(x +
1/x) - 4 - (x + 1/x) - 6 = 0Fazendo x + 1/x = y , vem:2y2 - 4 - y - 6 = 02y2 - y - 10 = 0
2
Resolvendo esta equação do 2º grau, vem: y = 5/2 ou y = -2 .Substituindo em x + 1/x = y,
vem:x + 1/x = 5/2 \ 2x2 - 5x + 2 = 0 \ x = 2 ou x = 1/2.x + 1/x = -2 \ x2 + 2x + 1 = 0 \ (x + 1)2 = 0 \ x
= -1 ou x = -1.
Portanto, o conjunto verdade ou conjunto solução da equação recíproca proposta será:S
= {1, -1, -1, 2, 5/2} = {-1, 1, 2, 5/2}Observe que -1 é uma raiz de ordem de multiplicidade 2 ou
seja, -1 é uma raiz dupla.
Exercícios
a) 12x4 - 4x3 - 41x2 - 4x + 12 = 0. Sugestão: comece dividindo ambos os membros por x2
.b) 20x5 - 169x4 - 591x3 - 591x2 - 169x + 20 = 0Sugestão: observe que -1 é raiz; logo, comece
dividindo o primeiro membro por x - (-1) = x + 1.
Respostas:
a) S = {2, 1/2, -2/3, -3/2}b) S = {-1, 5, 1/5, 4, 1/4}
Compor a equação cujas raízes são 1, 2, 3 e 4.Solução:Como a equação possui 4
raízes, ela é do quarto grau e a sua forma geral é:a0 x4 + a1 x3 + a2 x2 + a3 x + a4 =
0Considerando a sua forma mais simples, podemos, sem nenhum prejuízo, considerar a0 = 1, e
a equação fica:x4 + a1 x3 + a2 x2 + a3 x + a4 = 0Sendo as raízes x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3 e x4 = 4,
podemos escrever as seguintes , conforme teoria já vista em Equações Algébricas:a) Soma das
raízesx1 + x2 + x3 + x4 = - a1 \ 1 + 2 + 3 + 4 = - a1 \ a1 = -10b) Produto das raízes tomadas duas
a duasx1.x2 + x1.x3 + x1.x4 + x2.x3 + x2.x4 + x3.x4 = a2 \1.2 + 1.3 + 1.4 + 2.3 + 2.4 + 3.4 = a2 \ a2
=
35
c) Produto das raízes tomadas três a trêsx1.x2.x3 + x1.x2.x4 + x1.x3.x4 + x2.x3.x4 = - a3 \1.2.3 +
1.2.4 + 1.3.4 + 2.3.4 = - a3 \ 50 = - a3 \ a3 = - 50d) Produto das raízesx1.x2.x3.x4 = a4 \ 1.2.3.4 =
a4 \ a4 = 24Portanto, a equação procurada é:x4 – 10 x3 + 35 x2 – 50 x + 24 = 0Agora resolva
esta:
Compor a equação cujas raízes são 2, 3 e 4.Resposta: x3 – 9x2 + 26x – 24 = 0Paulo
Marques, Feira de Santana – BA , 08 de setembro de 2001.
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