Variáveis Aleatórias (Parte 1)

Probabilidade e Estatística
Renato Ferreira da Cruz
Universidade Federal de Mato Grosso
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Variáveis Aleatórias
Ao realizarmos um experimento aleatório, frequentemente encontramos resultados numéricos, como no caso do lançamento de um dado.
Por outro lado, em outros experimentos podemos encontrar resultados não numéricos, embora possamos associar números aos resultados possíveis.
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Variáveis Aleatórias
Quando os possíveis resultados do experimento
aleatório não são numéricos é conveniente resumir estes resultados através de um número.
Por isto, é importante trabalhar com variáveis
aleatórias.
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Variáveis Aleatórias
Definição 1
Considere um experimento e Ω o espaço amostral associado a esse experimento.
variável aleatória (v.a) é uma função real X
que associa a cada elemento ω ∈ Ω um
número real X (ω).
X :Ω → R
ω 7→ X (ω)
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Variáveis Aleatórias
Exemplo 1
Considere três lançamentos independentes de uma
moeda equilibrada. Seja C cara e K coroa. O espaço
amostral deste experimento é
Ω = {(C , C , C ); (C , C , K ); (C , K , C ); (K , C , C );
(C , K , K ); (K , C , K ); (K , K , C ); (K , K , K )}.
Podemos definir a variável aleatória X como sendo
o “número de caras obtidas nos três lançamentos”. Por exemplo, temos que X ((C , C , C )) = 3 e
X ((K , C , C )) = 2.
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Variáveis Aleatórias
Exemplo 2
Escolher um ponto ao acaso no quadrado
unitário, ou seja, escolher um par ordeEntão
nado (x, y ) ∈ [0, 1] × [0, 1].
Ω = [0, 1]×[0, 1] e, como exemplo de variável
aleatória temos o produto das duas coordenadas X (ω) = xy , para todo ω = (x, y ) ∈ Ω.
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Variáveis Aleatórias Discretas
Definição 2
Uma variável aleatória é classificada como
discreta, se assume somente um número enumerável de valores, ou seja, se sua imagem é
um conjunto finito ou infinito enumerável. Os
possíveis valores de X podem ser postos em
uma lista como x1, x2, . . .. No caso finito, a
lista possui um valor final xn , e no caso infinito, a lista continua indefinidamente.
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Variáveis Aleatórias Discretas
Por enquanto nos concentraremos no estudo
das variáveis aleatórias discretas e estudaremos vários conceitos relacionados a elas. A
variável aleatória é denotada por uma letra
maiúscula X , Y , . . . . Em geral, uma v .a. tem
algum significado físico, geométrico ou outro
qualquer.
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Variáveis Aleatórias Discretas
Exemplo 3
Um homem possui 4 chaves em seu bolso. Como está
escuro, ele não consegue ver qual a chave correta para
abrir a porta de sua casa. Ele testa cada uma das
chaves até encontrar a correta.
a) Defina um espaço amostral para esse experimento.
b) Defina a v .a. X como sendo o número de chaves
experimentadas até conseguir abrir a porta (inclusive a chave correta). Quais são os possíveis valores de X ?
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Variáveis Aleatórias Discretas
Exemplo 4
Cinco cartas são extraídas de um baralho
comum (52 cartas, 13 de cada naipe) sem
reposição. Defina a v .a. X como sendo o
número de cartas vermelhas sorteadas. Quais
são os possíveis valores de X ?
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Variáveis Aleatórias Discretas
Exemplo 5
Numa urna há 7 bolas brancas e 4 bolas
verdes. Cinco bolas são extraídas dessa urna.
Defina a v .a. X com sendo o número de bolas
verdes. Quais são os possíveis valores de X se
as extrações são feitas:
a) sem reposição.
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b) com reposição.
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Variáveis Aleatórias Discretas
Definição 3
A função de probabilidade de uma variável
aleatória discreta X é uma função p(x) que
atribue probabilidade a cada um dos possíveis
valores x assumidos pela variável, calculada da
seguinte forma:
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Variáveis Aleatórias Discretas
p(x) é a probabilidade do evento
{ω ∈ Ω; X (ω) = x}
consistindo de todos os resultados do espaço
amostral que deram origem ao valor x, ou seja:
p(x) = P(X = x) =
= P({ω ∈ Ω; X (ω) = x})
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Variáveis Aleatórias Discretas
Exemplo 6
Suponha que uma moeda seja lançada 3 vezes e denote cara por
C coroa por K . Se Y representar o número de caras obtidas,
então Y é uma variável aleatória que pode assumir um dos
valores 0, 1, 2 e 3, com respectivas probabilidades:
P(Y = 0) = P({KKK }) =
1
8
3
8
3
P(Y = 2) = P({KCC , CKC , CCK }) =
8
1
P(Y = 3) = P({CCC } =
8
P(Y = 1) = P({KKC , KCK , CKK }) =
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Variáveis Aleatórias Discretas
Das propriedades (axiomas) da probabilidade resultam os seguintes
fatos sobre a função de probabilidade de uma v .a. X :
Teorema 1
A função de probabilidade de uma variável aleatória discreta X
satisfaz:
0 ≤ p(x) ≤ 1, ∀ x.
X
p(x) = 1.
x
onde
X
de X .
indica somatório ao longo de todos os possíveis valores
x
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Variáveis Aleatórias Discretas
Observações:
a) Se X assumir apenas um número finito de
valores, digamos x1 , x2 , . . . , xn e os resultados forem
igualmente prováveis, então teremos obviamente
p(x1 ) = p(x2 ) = · · · = p(xn ).
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Variáveis Aleatórias Discretas
Observações:
a) Se X assumir apenas um número finito de
valores, digamos x1 , x2 , . . . , xn e os resultados forem
igualmente prováveis, então teremos obviamente
p(x1 ) = p(x2 ) = · · · = p(xn ).
b) Se X assumir um número infinito de valores,
digamos x1 , x2 , . . . ,, então é impossível que todos os
valores sejam igualmente prováveis, pois a condição
∞
X
p(xj ) = 1 não é satisfeita se tivermos p(xj ) = c
j=1
para todo j.
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Variáveis Aleatórias Discretas
O cálculo da fp de uma v .a. X qualquer se dá
em três etapas:
primeiro, temos que identificar todos os
possíveis valores x da v .a. X .
segundo, temos que identificar os resultados que dão origem a cada valor x e suas
respectivas probabilidades.
finalmente, temos que somar todas essas
probabilidades para obter p(x).
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Variáveis Aleatórias Discretas
Exemplo 7
Joga-se uma moeda duas vezes. Seja X o
número de caras que aparecem. Determine a
função de probabilidade da variável aleatória
X.
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Variáveis Aleatórias Discretas
Exemplo 8
Seja X uma variável aleatória discreta com
função de probabilidade dada por:
p(x) =
k
, x = 0, 1, 2, . . .
2x
Obtenha:
a) o valor de k.
b) a probabilidade de X ser um número par.
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Gráfico da função de probabilidade
A função de probabilidade de uma v .a.
discreta X que assume um número finito de
valores pode ser representada por um gráfico
de colunas, onde a cada valor de X
corresponde uma coluna cuja altura representa
a probabilidade do respectivo valor.
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Gráfico da função de probabilidade
p(x)
p(x3)
p(x4)
p(x2)
p(xn )
p(x1)
x1 x2 x3 x4 · · · xn
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x
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Gráfico da função de probabilidade
Exemplo 9
Consideremos o lançamento de dois dados.
Vamos definir a v .a. X como a “soma das
2 faces”. Para facilitar a solução desse
problema, vamos construir uma tabela de duas
entradas, onde cada dimensão representa o resultado de um dado e em cada cela temos a
soma das duas faces.
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Gráfico da função de probabilidade
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
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3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
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Gráfico da função de probabilidade
Como cada ponto do espaço amostral é equiprovável, a fp de
X é:
x
p(x)
2
1
36
3
2
36
4
3
36
5
4
36
6
5
36
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7
6
36
8
5
36
9
4
36
10
3
36
11
2
36
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12
1
36
Gráfico da função de probabilidade
O gráfico de p(x) é:
p(x)
6/36
5/36
4/36
3/36
2/36
1/36
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x
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Gráfico da função de probabilidade
Exemplo 10
Considere uma urna com 10 bolas, das quais
6 são vermelhas e 4 brancas. Dessa urna
retiram-se 3 bolas sem reposição e conta-se
o número de bolas brancas retiradas. Qual é
a distribuição dessa variável aleatória? Esboce
o gráfico.
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Gráfico da função de probabilidade
Exemplo 11
Numa urna há 7 bolas brancas e 4 bolas
verdes. Cinco bolas são extraídas dessa urna.
Defina a v .a. X com sendo o número de bolas
verdes. Determine a fp de X se as extrações
são feitas:
a) sem reposição.
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b) com reposição.
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Gráfico da função de probabilidade
Exemplo 12
Seja uma v .a. X com fp dada na tabela a
seguir:
x
p(x)
0
0
1
p2
2
p2
3
p
4
p
5
p2
a) Encontre o valor de p.
b) Calcule P(X ≥ 4) e P(X < 3).
c) Calcule P(|X − 3| ≥ 2).
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Função de distribuição
Definição 4
Seja X uma variável aleatória, discreta. Definimos a função de distribuição (fd) da variável
aleatória X como sendo a função F dada por:
F (x) = P(X ≤ x), ∀x ∈ R
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Função de distribuição
É interessante observar que a função F está
definida para todo número real x. A função de
distribuição é também conhecida como função
de distribuição acumulada.
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Função de distribuição
Exemplo 13
Determine a função de distribuição da v .a X
do Exemplo 10 e esboce o gráfico.
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Função de distribuição
Para as variáveis aleatórias discretas, a função
de distribuição tem a forma de escada
sendo descontínua nos valores assumidos pela
variável. Da função de probabilidade obtemos
a função de distribuição e vice-versa.
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Função de distribuição
Os axiomas da probabilidade e as propriedades
deles decorrentes nos permitem obter as
seguintes propriedades da função de distribuição acumulada de uma v .a. X .
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Função de distribuição
Teorema 2
a) 0 ≤ F (x) ≤ 1
b) F é uma função não decrescente, ou seja,
a < b ⇒ F (a) ≤ F (b)
c) Se a < b, então
P(a < X ≤ b) = F (b) − F (a)
d) P(X < b) = F (b) − P(X = b)
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Função de distribuição
e)
f)
g)
h)
P(a ≤ X ≤ b) = P(X = a)+F (b)−F (a)
P(a < X < b) = F (b)−F (a)−P(X = b)
P(X > a) = 1 − P(X ≤ a) = 1 − F (a)
Seja X uma variável aleatória discreta,
com valores x1, x2, . . .. Se F é a fd de X ,
então:
p(xj ) = P(X = xj ) = F (xj ) − F (xj−1)
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Funções de variáveis aleatórias
Dada uma v .a. X , podemos obter outras
variáveis aleatórias através de funções de X
e, da mesma forma que calculamos a fp
de X ,podemos calcular a fp dessas novas
variáveis.
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Funções de variáveis aleatórias
Exemplo 14
Seja uma v .a. X com fp dada na tabela a
seguir:
x −2 −1 0
1
2
3
p(x) 0,1 0,2 0,2 0,3 0,1 0,1
Consideremos a função Y = g (X ) = X 2. Então, Y é uma nova variável aleatória, cujos
possíveis valores são 0,1,4,9. Determine a fp
de Y .
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Funções de variáveis aleatórias
Exemplo 15
Seja uma v .a. X com fp dada na tabela a
seguir:
x
−3
1
p(x)
8
1
1
6
3
1
2
5
p
Encontre o valor de p e a fd da v .a. Y = X 2.
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Alguns Modelos Discretos
Existe um grande número de modelos surgidos
de variáveis que foram estudadas em
problemas práticos ou teóricos. Veremos apenas alguns desses modelos, que são mais importantes.
Considere as seguintes situações:
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Alguns Modelos Discretos
Situação 1: (a) Lança-se uma moeda e
observa-se o resultado obtido e (b) perguntase a um eleitor se ele vai votar no candidato
A ou B;
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Alguns Modelos Discretos
Situação 2: (a) Lança-se uma moeda n
vezes e observa-se o número de caras obtidas e (b) de uma grande população, extrai-se
uma amostra de n eleitores e pergunta-se a
cada um deles em qual dos candidatos A ou
B eles votarão e conta-se o número de votos
do candidato A;
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Alguns Modelos Discretos
Situação 3: (a) De uma urna com P bolas vermelhas e Q bolas brancas, extraem-se
n bolas sem reposição e conta-se o número de
bolas brancas e (b) de uma população com
P pessoas a favor do candidato A e Q pessoas a favor do candidato B, extrai-se uma
amostra de tamanho n sem reposição e contase o número de pessoas a favor do candidato
A.
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Alguns Modelos Discretos
Em cada uma das situações, os experimentos
citados têm algo em comum: em um certo
sentido, temos a “mesma situação” mas em
contextos diferentes.
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Modelo de Bernoulli
Uma variável aleatória discreta X segue
o modelo Bernoulli, se assume apenas os
valores 0 ou 1. Sua função de probabilidade é
dada por:
p(1) = P(X = 1) = p
p(0) = P(X = 0) = 1 − p
Notação: X ∼ Bernoulli(p).
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Modelo de Bernoulli
No modelo Bernoulli, a probabilidade p é denominada parâmetro do modelo. É prática
comum considerar como sucesso a ocorrência de 1 e fracasso a ocorrência de 0. Assim, denominamos por ensaio de Bernoulli o
experimento que tem resposta dicotômica do
tipo sucesso-fracasso.
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Modelo de Bernoulli
Um exemplo clássico do modelo Bernoulli
é o lançamento de uma moeda. Podemos
definir sucesso como qualquer uma das faces,
digamos cara. Dessa forma, temos
1, se sair cara
X =
0, se sair coroa
Então X ∼ Bernoulli(p), com p = P(cara).
1
Se a moeda for equilibrada teremos p = .
2
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Modelo de Bernoulli
A sua função de probabilidade é:
x
0
p(x) 1 − p
1
p
Obviamente, as condições definidoras de uma
fp são satisfeitas, pois p > 0, 1 − p > 0
e p + (1 − p) = 1.
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Modelo de Bernoulli
A função de distribuição

 0
F (x) = 1 − p

1
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é dada por:
se x < 0
se 0 ≤ x < 1
se x ≤ 1
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Modelo Binomial
Seja X o número total de sucessos obtidos,
na realização de n ensaios de Bernoulli independentes. Diremos que X segue o modelo
Binomial com parâmetros n e p se sua função
de probabilidade é dada por:
n k
p (1 − p)n−k , k = 0, 1, . . . , n.
P(X = k) =
k
Notação: X ∼ B(n, p).
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Modelo Binomial
Resumindo: Um experimento binomial é
um experimento de probabilidade que preencha as seguintes condições:
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Modelo Binomial
Resumindo: Um experimento binomial é
um experimento de probabilidade que preencha as seguintes condições:
1) O experimento é repetido por um número
n fixo de tentativas, onde cada tentativa é
independente das outras.
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Modelo Binomial
Resumindo: Um experimento binomial é
um experimento de probabilidade que preencha as seguintes condições:
1) O experimento é repetido por um número
n fixo de tentativas, onde cada tentativa é
independente das outras.
2) Há apenas dois resultados de interesse para
cada tentativa. Os resultados podem ser
classificados com sucesso (S) ou fracasso
(F).
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Modelo Binomial
3) A probabilidade p, de um sucesso é a
mesma para cada tentativa.
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Modelo Binomial
3) A probabilidade p, de um sucesso é a
mesma para cada tentativa.
4) A variável aleatória X contabiliza o número
de tentativas com sucesso do total de n
tentativas.
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Modelo Binomial
Exemplo 16
Um dado é lançado n vezes. Qual a probabilidade de o número 6 sair k vezes.
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Modelo Binomial
Exemplo 17
Um atirador acerta na mosca do alvo, 20%
dos tiros. Se ele dá 10 tiros, qual a probabilidade dele acertar na mosca no máximo 1 vez?
Suponha que os tiros sejam independentes.
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Modelo Geométrico
Muitas ações na vida são repetidas até atingirse o sucesso. Um candidato de concurso,
por exemplo, pode fazer o exame várias vezes
antes de conseguir passar, ou você pode digitar um número de telefone celular várias vezes
antes de conseguir fazer a ligação. Situações
como essas podem ser representadas por uma
distribuição geométrica.
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Modelo Geométrico
Considere uma sequência de ensaios de
Bernoulli independentes. Defina X como o
número de fracassos anteriores ao primeiro
sucesso. A variável aleatória X segue o modelo Geométrico com parâmetro p, 0 < p < 1
se tem função de probabilidade dada por
P(X = k) = p(1 − p)k , k = 0, 1, . . .
Notação: X ∼ Geo(p).
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Modelo Geométrico
Alguns autores preferem definir o modelo
Geométrico como sendo o número de tentativas (ensaios) até o primeiro sucesso. Nesse
caso, a função de probabilidade será:
P(X = k) = (1 − p)k−1p, k = 1, 2, . . .
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Modelo Geométrico
Observação: Para uma variável aleatória
geométrica com função de probabilidade dada
por p(x) = p(1 − p)x−1, temos que
P(X ≥ k) = (1 − p)k−1.
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Modelo Geométrico
Teorema 1
Suponha que X tenha distribuição geométrica
com função de probabilidade dada por
p(x) = p(1 − p)x−1, x = 1, 2, . . .. Então,
para dois inteiros quaisquer positivos s e t,
P(X ≥ s + t|X > s) = P(X ≥ t).
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Modelo Geométrico
É possível mostrar que a distribuição Geométrica
é a única distribuição discreta que possui essa
propriedade.
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Modelo Geométrico
Resumindo: Uma variável aleatória discreta X com
distribuição geométrica satisfaz as seguintes condições:
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Modelo Geométrico
Resumindo: Uma variável aleatória discreta X com
distribuição geométrica satisfaz as seguintes condições:
1
Uma tentativa é repetida até que o sucesso ocorra.
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Modelo Geométrico
Resumindo: Uma variável aleatória discreta X com
distribuição geométrica satisfaz as seguintes condições:
1
Uma tentativa é repetida até que o sucesso ocorra.
2
As tentativas repetidas são independentes umas
das outras.
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Modelo Geométrico
Resumindo: Uma variável aleatória discreta X com
distribuição geométrica satisfaz as seguintes condições:
1
Uma tentativa é repetida até que o sucesso ocorra.
2
As tentativas repetidas são independentes umas
das outras.
3
A probabilidade de sucesso p é constante para cada
tentativa.
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Modelo Geométrico
Resumindo: Uma variável aleatória discreta X com
distribuição geométrica satisfaz as seguintes condições:
1
Uma tentativa é repetida até que o sucesso ocorra.
2
As tentativas repetidas são independentes umas
das outras.
3
A probabilidade de sucesso p é constante para cada
tentativa.
4
A variável aleatória X representa o número de tentativas nas quais o primeiro sucesso ocorre.
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Modelo Geométrico
É possível mostrar que a distribuição Geométrica
é a única distribuição discreta que possui essa
propriedade.
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Modelo Geométrico
Exemplo 18
Um atirador acerta na mosca do alvo, 20% dos
tiros. Qual a probabilidade de ele acertar na
mosca pela primeira vez no 10o tiro? Suponha
que os tiros sejam independentes dos demais.
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Modelo Geométrico
Exemplo 19
Joga-se um dado equilibrado. Qual é a probabilidade de serem necessários 10 lançamentos
até a primeira ocorrência de um seis?
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Modelo Geométrico
Exemplo 20
Uma urna contém N bolas brancas e M bolas
pretas. As bolas são selecionadas aleatoriamente, uma de cada vez, até que saia uma
bola preta. Supondo que cada bola selecionada seja devolvida à urna antes que a
próxima bola seja retirada, qual é a probabilidade de que:
a) sejam necessárias exatamente k retiradas?
b) sejam necessárias pelo menos k retiradas?
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Modelo Binomial Negativo
Considere uma sequência de ensaios de
Bernoulli independentes e seja X o número
de tentativas necessárias até que se acumule
um total de k sucessos.
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Modelo Binomial Negativo
A variável aleatória X segue o modelo Binomial Negativo com parâmetros k e p com
0 < p < 1, k ≥ 1 e tem função de probabilidade dada por:
P(X = n) =
n−1 k
p (1 − p)n−k , n = k, k + 1, . . .
k −1
Notação: X ∼ BN(k, p).
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Modelo Binomial Negativo
Note que se k = 1, temos o modelo
geométrico. A expressão para a função de
probabilidade da Binomial Negativa poderia
ser deduzida observando que precisamos ter,
nas n − 1 primeiras realizações, um total de
k −1 sucessos. Essa probabilidade é calculada
pela Binomial com parâmetros n − 1 e p. O
resultado é multiplicado pela probabilidade de
sucesso no n-ésimo ensaio que é p.
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Modelo Binomial Negativo
Exemplo 21
Joga-se um dado equilibrado. Qual é a probabilidade de serem necessários 10 lançamentos
até a terceira ocorrência de um seis?
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Modelo Binomial Negativo
Exemplo 22
Por experiência, você sabe que a probabilidade
de que você fará uma venda em qualquer telefone dado é 0,23. Encontre:
a) a probabilidade de que sua primeira venda,
em qualquer dia dado, ocorra na quarta ou
quinta ligação.
b) a probabilidade de sua primeira venda
ocorra antes da quarta ligação.
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