matemática aPlicada à administração

Universidade regional do noroeste do estado do rio grande do sul – unijuí
vice-reitoria de graduação – vrg
coordenadoria de educação a distância – CEaD
Coleção Educação a Distância
Série Livro-Texto
Sonia Beatriz Teles Drews
Pedro Augusto Pereira Borges
matemática aplicada
à administração
Ijuí, Rio Grande do Sul, Brasil
2009
2009, Editora Unijuí
Rua do Comércio, 1364
98700-000 - Ijuí - RS - Brasil
Fone: (0__55) 3332-0217
Fax: (0__55) 3332-0216
E-mail: [email protected]
Http://www.editoraunijui.com.br
Editor: Gilmar Antonio Bedin
Editor-adjunto: Joel Corso
Capa: Elias Ricardo Schüssler
Revisão: Véra Fischer
Designer Educacional: Liane Dal Molin Wissmann
Responsabilidade Editorial, Gráfica e Administrativa:
Editora Unijuí da Universidade Regional do Noroeste
do Estado do Rio Grande do Sul (Unijuí; Ijuí, RS, Brasil)
Catalogação na Publicação:
Biblioteca Universitária Mario Osorio Marques – Unijuí
D776m
Drews, Sonia Beatriz Teles.
Matemática aplicada à administração / Sônia Beatriz Teles
Drews, Pedro Augusto Pereira Borges. – Ijuí : Ed. Unijuí, 2009. –
182 p. – (Coleção educação a distância. Série livro-texto).
ISBN 978-85-7429-784-2
1. Matemática. 2. Administração financeira. 3. Matemática
comercial. 4. Matemática - Conceitos. I. Borges, Pedro Augusto
Pereira. II. Título. III. Série.
CDU : 51
51:658
658.15
Sumário
Conhecendo os Professores . .........................................................................................5
Unidade I – GRANDEZAS: RAZÃO E PROPORÇÃO ..............................................................9
Seção 1.1 – Grandezas................................................................................................................9
Seção 1.2 – Proporção...............................................................................................................18
Seção 1.3 – Regra-de-três.........................................................................................................29
Seção 1.4 – Porcentagem..........................................................................................................34
Seção 1.5 – Regra de sociedade................................................................................................39
Unidade 2 – FUNÇÕES ............................................................................................................43
Seção 2.1 – Intervalos e conjuntos numéricos.........................................................................44
Seção 2.2 – Definição, expressão matemática e gráfico de funções.......................................49
Seção 2.3 – Equação da reta.....................................................................................................55
Seção 2.4 – Funções quadráticas..............................................................................................70
Seção 2.5 – Funções exponenciais e logaritmos......................................................................79
Unidade 3 – TAXAS DE VARIAÇÃO E DERIVADAS .............................................................99
Seção 3.1 – Taxa de variação de uma função.........................................................................100
Seção 3.2 – A derivada de uma função..................................................................................103
Seção 3.3 – Regras de derivação............................................................................................109
Seção 3.4 – Análise do crescimento de funções....................................................................118
Seção 3.5 – Pontos críticos e extremos locais de funções......................................................120
Seção 3.6 – Aplicações de derivadas......................................................................................128
Unidade 4 – MATRIZES E SISTEMAS LINEARES . ...........................................................137
Seção 4.1 – Noções de matrizes e organização de dados com matrizes..............................137
Seção 4.2 – Tipos de matrizes.................................................................................................141
Seção 4.3 – Operações com matrizes.....................................................................................143
Seção 4.4 – Sistemas lineares.................................................................................................148
Anexo 1 – GABARITO DAS QUESTÕES ...............................................................................159
Anexo 2 – COMO INSERIR UMA EQUAÇÃO .....................................................................179
Referências ..........................................................................................................................181
EaD
Conhecendo os Professores
Matemática aplicada à administração
SONIA BEATRIZ TELES DREWS
Sou natural da cidade de Cruz Alta/RS e desde 1958 resido na
cidade de Ijuí/RS. Cursei o primeiro e segundo grau-normal na cidade
onde nasci, possuo Bacharelado e Licenciatura em Pedagogia, ambas
cursadas na Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio
Grande do Sul – Unijuí –, que na época era a Fafi.
Durante toda minha carreira profissional sempre busquei ficar
atualizada, realizando especialização em Educação e Administração
Escolar, em Matemática e Estatística, e também Mestrado em Educação
nas Ciências com enfoque matemático na Unijuí.
Como profissional, a minha trajetória no ensino foi sempre comprometida com a aprendizagem dos alunos, atuando inicialmente no
ensino primário, secundário, médio e nos cursos de pré-vestibular.
Concomitantemente, atuei como professora universitária (Unijuí) desde
1968, como docente nos cursos de Matemática, Física, Economia, Administração, Agronomia, entre outros, desenvolvendo também atividades
de ensino e extensão nas áreas de educação matemática, formação de
professores e programas voltados para o desenvolvimento regional com
enfoque no desenvolvimento profissional do professor.
Também durante minha caminhada profissional assumi cargos
administrativos. Fui secretária municipal de Educação/Ijuí, posteriormente assumi a Delegacia Regional de Educação – 36ª DE –, e na
universidade em que atuo mais de uma vez fui chefe de Departamento
(Defem) e coordenadora do curso de Matemática. Também desempenhei as funções de chefe de gabinete da Reitoria e tive o privilégio de
iniciar a Coordenadoria de Apoio aos Estudantes Universitários da
Unijuí.
5
EaD
Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges
Pela minha atuação na academia, sou membro do corpo editorial
da Educação Matemática em Revista do RS. Durante esta minha trajetória educacional recebi alguns prêmios e títulos honoríficos.
Minha maior satisfação é estar sempre em contato com os alunos
e fazer da sala de aula a razão da minha profissão.
6
EaD
Matemática aplicada à administração
PEDRO AUGUSTO PEREIRA BORGES
Entre os alunos e colegas sou mais conhecido como Pedro Borges. Nasci em Tenente Portela/RS e moro em Ijuí/RS desde 1969. Sou
casado e tenho duas filhas. Formei-me em Matemática pela Unijuí em
1983. Trabalhei bastante com o ensino de Matemática elementar desde
1980 nos ensinos Fundamental e Médio. Desde essa época o interesse
pelas aplicações da Matemática orientava minhas ações, tanto na área
da educação quanto no estudo da Matemática em si. A questão que
me preocupava era:
Para que serve a Matemática ensinada nas escolas?
Em 1984 ingressei no Mestrado em Educação na Unicamp – SP,
quando aprendi a importância de conhecer a história e os fundamentos
da educação matemática. A partir de 1989 passei a trabalhar somente
no ensino superior. As disciplinas de funções, cálculo diferencial e
integral, cálculo numérico e equações diferenciais ocuparam grande
parte do meu tempo, principalmente com relação as suas aplicações
nas Ciências, Engenharia e Economia. A questão que passou a me
preocupar era:
– Qual é a função da Matemática nos cursos em que ela é ensinada como disciplina formadora básica?
Em 1997 concluí o Mestrado em Matemática na Unijuí, em que
não só entendi como a Matemática é usada nas Ciências, mas como ela
é empregada para resolver problemas reais (Modelagem Matemática).
Entusiasmado com o esclarecimento das questões de aplicação, fiz o
Doutorado em Engenharia Mecânica/UFRGS (1998-2002), durante o
qual tive a oportunidade de conhecer métodos matemáticos, que são
a base da ciência moderna.
7
EaD
Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges
Trabalho na Unijuí desde 1986 e atualmente dedico-me às atividades de ensino na Graduação e no Mestrado em Modelagem Matemática. Neste Mestrado pesquiso aplicações de equações diferenciais
em problemas de transferência de calor e massa, tais como: secagem
de grãos, movimento da água no solo, irrigação e aquecimento/resfriamento de sólidos. Os problemas de economia e finanças também são
de meu interesse e este livro é um passo nessa direção.
8
EaD
Unidade I
Matemática aplicada à administração
GRANDEZAS: RAZÃO E PROPORÇÃO
Por meio do estudo dessa Unidade você terá condições de dominar a aplicação das propriedades algébricas empregadas para resolver situações-problema da área de Administração e
que envolvam grandezas direta e inversamente proporcionais. Parece difícil? Não se preocupe,
porque vamos percorrer esse caminho juntos, passo a passo.
Para que possamos alcançar esses objetivos, as seções desta Unidade são:
Seção 1.1 Grandezas
Seção 1.2 Proporção
Seção 1.3 Regra de três
Seção 1.4 Porcentagem
Seção 1.5 Regra de Sociedade
Vamos dar o primeiro passo?
Seção 1.1
Grandezas
Uma grandeza é algo que podemos medir. Medir é comparar a quantidade de uma grandeza qualquer com outra quantidade da mesma grandeza que se escolhe como unidade padrão.
Quando usamos uma régua para medir o comprimento de uma mesa estamos comparando uma
9
EaD
Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges
unidade de medida padrão (metro, centímetro...) com o tamanho da grandeza comprimento. Nesse
caso estamos interessados em saber quantos centímetros cabem no comprimento da mesa. Assim,
comprimentos, áreas e volumes são grandezas. O peso de uma mercadoria, o comprimento de
uma corda, o tempo de uma reunião, a massa corporal, a velocidade de um carro, o custo de uma
mercadoria, a produção, o trabalho, a matéria-prima, o preço, etc., são exemplos de grandezas.
A propriedade de uma grandeza é a sua capacidade de ser medida.
Grandeza é tudo que você pode contar, medir, pesar, enfim, enumerar, (lembre-se: o dinheiro
é uma grandeza especial: cada país tem suas próprias unidades).
1.1.1 Razão
Chama-se de razão entre dois números racionais a e b, com b # 0, ao quociente entre eles.
Indica-se a razão de a para b por
a
, a/b ou a: b, onde o primeiro termo chama-se antecedente
b
e o segundo chama-se conseqüente.
Exemplo 1.1.1: Estão matriculados na EaD da Unijuí 30 rapazes e 35 moças. Encontre a razão entre o número de rapazes e o número de moças (lembre-se que razão é
divisão).
Solução:
6
30
simplificando temos
(dividimos por 5 os dois termos da razão)
7
35
6
(indica que para cada 6 rapazes existem 7 moças).
7
6
(lê-se 6 está para 7) e significa que para cada 6 corresponde 7.
7
Nessa razão, o 6 é o antecedente e o 7 o conseqüente.
Simples, não é?
10
EaD
Matemática aplicada à administração
Se a e b são dois números naturais (com b ≠ 0), chamamos de fração as expressões do tipo
a
, onde o número colocado acima do traço chama-se numerador e indica quantas partes do
b
inteiro foram tomadas e o número abaixo do traço chama-se denominador e indica em quantas
partes iguais o inteiro foi dividido.
As frações representam uma parte, ou algumas partes, de um todo que foi dividido em
partes iguais.
Fração
6
: lê-se 6 sétimos e significa 6 partes do total de 7.
7
Propriedades das Frações
 Usaremos F1, F2, ..., para numerar as propriedades das frações:
F1 – Uma fração não se altera quando se multiplica seus dois termos pelo mesmo número diferente de zero ou mesmo fazendo a divisão desta fração pelo mesmo divisor comum.
Exemplo 1.1.2: Vamos testar a propriedade F1:
3
3⋅6
18
=
=
5 ⋅6
5
30
Você deve observar que obtemos 0,6 fazendo a divisão tanto em
3
18 .
quanto em
5
30
O mesmo teste pode ser feito dividindo numerador e denominador pelo mesmo número:
18 = 18 : 6 = 3
5
30 : 6
30
F2 – Multiplicando-se ou dividindo o numerador de uma fração por um número, a fração é multiplicada ou dividida por esse número.
Exemplo 1.1.3: Seja a fração
2
. Multiplicando o numerador por 4, temos:
3
2⋅4
8
8
2
=
(multiplicada por 4). Ou seja,
é quatro vezes maior que .
3
3
3
3
11
EaD
Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges
2:2 1
1
2
= (dividida por 2). Ou seja,
é a metade de .
3
3
3
3
F3 – Multiplicando-se ou dividindo-se o denominador de uma fração por um número, a fração
é dividida ou multiplicada por esse número.
Exemplo 1.1.4: Seja a fração
3
. Multiplicando o denominador por 2, temos:
4
3
3
3
3
=
(a fração ficou dividida por 2). Ou seja,
é a metade de .
4⋅2
8
8
4
3
3
3
3
=
(a fração ficou multiplicada por 2). Ou seja,
é o dobro de
.
4:2
2
2
4
Agora que você já foi “apresentado” à Razão, conhecerá a sua parente, a Razão Inversa.
Vamos lá?
Razão Inversa
Duas razões são inversas quando:
1) o antecedente de uma razão for igual ao conseqüente da outra e vice-versa; ou
2) o produto de uma razão pela outra for igual a 1.
Exemplo 1.1.5: As razões
5 e 10 são inversas, pois o antecedente da primeira é
10 5
igual ao conseqüente da segunda e vice-versa. Também podemos ver que são razões
inversas por que
5 . 10 = 50 1.
=
10 5 50
Você deve estar se perguntando, há algum tempo:
– Mas... E daí? Por que estudar grandezas, a Razão é importante? Siga adiante e você vai
compreender.
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EaD
Matemática aplicada à administração
1.1.2 – Aplicações de razão
ESCALA
Você já ouviu falar em escala?
Os desenhos de casas e mapas são feitos usando escalas. A escala é uma razão entre a
medida no desenho e a medida do objeto real.
Escala =
medida no desenho
medida real
Exemplo 1.1.6: A distância entre as cidades A e B é de aproximadamente 800 km e o
mapa que mostra esta distância corresponde a 2,5 cm. Qual a escala utilizada?
(lembre-se que na escala as medidas devem estar na mesma unidade).
Solução: Usando a definição de escala anterior temos:
E=
2,5cm
2,5cm
=
800km 80.000.000cm
Aplicando a propriedade F1 das frações, dividimos antecedente e conseqüente por
2,5 e obtemos:
E=
1cm
. Escrevendo na forma de razão, temos:
32.000.000cm
E = 1: 32.000.000 (lê-se 1 para 32.000.000)
Exemplo 1.1.7: Uma maquete de um edifício foi feita na escala de 1:100.
A altura real do edifício é de 10 m. Qual é a altura aproximada do edifício na maquete?
Solução: A razão das grandezas da escala (
1
) é igual à razão entre as alturas do
100
edifício na maquete (D) e na construção real (10 m). Assim,
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EaD
Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges
D
1
=
100 10m Empregando a propriedade F1, multiplicamos o numerador e o denominador da
segunda razão por 10 e obtemos duas razões com denominadores iguais.
1
D ⋅ 10 10 D
=
=
100 10 ⋅ 10 100
Se os denominadores são iguais, então os numeradores também serão iguais. Portanto:
10⋅D = 1
D = 0,10m.
Agora que você conheceu (e entendeu) a primeira aplicação para a razão, vamos passar
para outra aplicação: Velocidade.
VELOCIDADE
A velocidade (V) de um objeto qualquer, se deslocando em uma trajetória, é a razão entre
a distância percorrida e o tempo.
V=
distância (km)
tempo (h)
(Observe que neste caso as unidades das grandezas são diferentes).
Exemplo 1.1.8:
150km/2h = 75km/h (as unidades km/h não podem ser simplificadas)
TAXA
As taxas são razões entre duas grandezas. Estas taxas podem ser relacionadas a conjuntos de
100, 1000,... unidades das grandezas envolvidas. Em outras palavras, multiplicadas por 100, 1000,...
Dois exemplos desse tipo de taxa são a taxa de crescimento populacional e a taxa de juros.
14
EaD
Matemática aplicada à administração
Exemplo 1.1.9: A taxa de variação (crescimento ou decrescimento) da população de
uma cidade, em um certo período, é uma razão entre a variação do número de habitantes (∆P, delta P), pelo número de habitantes que moravam na cidade no início do
período considerado. Uma cidade tinha 80.000 habitantes no fim de 2007 e 86.000
habitantes no fim de 2008. Qual é a taxa de crescimento da população desta cidade,
no período considerado?
Solução: A variação do número de habitantes é ∆P=86.000-80.000=6.000. A taxa de
crescimento é
t=
∆P 6000
=
= 0 ,075
P 80000
Isto significa que a população aumentou 0,075 habitante para cada habitante residente em 2007. Esta taxa é mais útil quando associada à população de 100 habitantes.
Multiplicando a taxa por 100, temos:
t = 7,5 para cada 100 habitantes residentes em 2007. Isso, porém, não é tudo. Se você
percebeu a importância de entender esse conteúdo, veja uma outra aplicação...
TAXA DE JUROS
A taxa de juros de um capital aplicado, em um certo período, é uma razão entre a variação do capital (∆C, delta C), pelo capital aplicado (C), multiplicada por 100. Ficou interessado?
Aguarde, pois estudaremos este tipo de taxa mais adiante. Agora ainda é preciso apresentar
você aos “Índices”!
1.1.3 – Índices
São obtidos por meio da comparação entre duas grandezas independentes. Ou, em outras
palavras: índices são razões entre duas grandezas independentes. Veja alguns exemplos:
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EaD
Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges
Densidade demográfica =
Renda per capita =
população total
superfície total
renda nacional/ano
população nacional/ano
Além dessas aplicações, muito utilizadas quando se trata de censo, por exemplo, também
temos uma outra aplicação muito conhecida, que são os índices econômicos.
ÍNDICES ECONÔMICOS
Produção per capita =
valor total do produto
população
Onde o “valor total do produto” é o PIB (Produto Interno Bruto).
Consumo per capita =
Receita per capita =
consumo total de bens de um país
população
receita total
população
Percebeu como é importante o estudo dos índices? Ainda precisamos, no entanto, citar os
coeficientes. Veja por que na seqüência.
COEFICIENTES
São razões entre o número de ocorrências e o número total.
Coeficiente de natalidade =
no de nascimentos
população total
no de óbitos
Coeficiente de mortalidade =
população total
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EaD
Matemática aplicada à administração
Não são poucas as vezes em que ouvimos falar sobre esses dois coeficientes, não é mesmo?
A seguir você terá exemplo comentado de como calcular uma razão, porém o que vimos até aqui
servirá de subsídio para você resolver alguns exercícios que propomos no intuito de que tenha
segurança de que aprendeu o que acabamos de ver.
Exemplo 1.1.10 – Determine a razão que é igual a
a 9.
3
e cujo antecedente seja igual
5
Solução: Das condições do problema podemos afirmar que
3 9
= . Observe que se
5 x
multiplicarmos o antecedente por 3, obtemos o antecedente 9. Usando a propriedade
das frações F1, multiplicamos também por 3 o conseqüente e obtemos x= 15. Então
a nova razão é 9/15.
Exercícios 1.1.
1. Calcular as razões de:
7 14
e
2 3
a) 5 e 15
d)
b) 64 e 4
e) 1,2 e
c)
2
e 6
3
4
5
f) 3,5 m e 0,7 dam
2. Determinar o antecedente e/ou conseqüente das seguintes razões, sabendo que:
a) o conseqüente é 10 e a razão é
b) o antecedente é
3
;
5
2
12
e a razão é
3
14
17
EaD
Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges
3. A miniatura de um colégio foi feita na escala de 1 : 100, a altura real do colégio é de 20 m.
Qual a altura aproximada da miniatura?
4. Um copo de suco corresponde a 250 ml. Um bar fez suco para 48 copos. Quantos litros de
suco foram feitos?
Se você realizou todos os cálculos, poderá conferir se as respostas estão corretos no final
deste livro, mas não engane a si mesmo. Só depois de ter se esforçado para responder e achar o
resultado é que você deve CONFERIR se está correto.
 Lembre-se: enganar a si mesmo é uma grande bobagem e dominar esses conteúdos
básicos é essencial para o seu progresso!
Após esta “combinação”, passaremos para o estudo da segunda seção desta Unidade:
Proporção!
Seção 1.2
Proporção
Uma proporção é a igualdade entre razões
a
c
=
b d
Os números que formam a proporção chamam-se, em geral, termos. O primeiro (a) e o
quarto (d) chamam-se de extremos, o segundo (b) e o terceiro (c), meios.
Exemplo:
12 6 formam uma proporção.
=
2
4
Essa proporção também pode ser escrita da seguinte forma: 12:4::6:2, e lê-se 12 está para
4, assim como 6 está para 2.
18
EaD
Matemática aplicada à administração
Assim como as frações, as proporções também têm propriedades, as quais apresentaremos
para você e, da mesma forma, também utilizaremos PP1, PP2 para numerá-las.
PROPRIEDADES DAS PROPORÇÕES
Propriedade fundamental: em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao produto
dos meios.
Na proporção
a c
= , multiplicando os extremos e os meios, obtemos a igualdade ad = bc.
b d
PP1) Em toda proporção, a soma ou diferença dos dois primeiros termos está para o primeiro
(ou para o segundo), assim como a soma ou diferença dos dois últimos está para o terceiro
(ou quarto).
No exemplo anterior:
12 = 6 =
2
4
12 ± 4 6 ± 2 ou 12 ± 4 6 ± 2
=
=
2
12
6
4
PP2) Em uma proporção, a soma do primeiro com o terceiro (a+c) está para a soma do segundo
com o quarto termo (b+d), assim como o terceiro está para o quarto.
Seja a proporção
a c
= . Usando a PP2, temos
b d
a+c c a
= =
b+d d b
Deixamos para você substituir as letras por números e verificar se esta propriedade é correta!
PP3) Em uma proporção, a troca de posições entre o primeiro e o quarto termos não altera a
proporção. O mesmo ocorre para a troca entre o segundo e o terceiro.
19
EaD
Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges
Seja a proporção
d c
=
b a
ou
a c
= . Usando a PP3, temos
b d
a b.
=
c d
Exemplo 1.2.1 – Taxa percentual
Chama-se taxa percentual ou porcentagem de um número “a” sobre o número “b”,
com b # 0, à razão:
x
x
a
tal que
=
100
100 b
(indica-se
x
por x%)
100
Você deve lembrar que o símbolo % lê-se “por cento” e significa centésimos.
Qual é a taxa percentual de 6 sobre 30?
Solução:
Sendo x % a taxa percentual, temos pela definição que:
x
6 =
100
30
x=
Usando a propriedade fundamental, temos:
100 ⋅ 6 = 20. Então, a taxa percentual é 20%.
30
Além de princípio fundamental e dos outros três apresentados até aqui, também temos
o princípio de igualdade que, por sua vez, também se subdivide em outros dois princípios, o
aditivo e o multiplicativo.
Princípios de Equivalência de Igualdade
IGUALDADE – é uma sentença matemática em que as expressões matemáticas estão ligadas pelo sinal =.
A expressão situada à esquerda do sinal = é denominada 1º membro da igualdade.
A expressão situada à direita do sinal = é denominada 2º membro da igualdade.
20
EaD
Matemática aplicada à administração
Assim, vale lembrar que as equações são igualdades. A solução de uma equação consiste
em obter o valor da incógnita (neste caso nos referimos à incógnita da equação, que não sabemos
qual é) usando os “princípios da igualdade”, expostos a seguir.
Os princípios da igualdade são:
1) Princípio aditivo: em uma igualdade, podemos adicionar um mesmo número aos dois membros e a igualdade permanece.
Exemplo 1.2.2 – resolver a equação:
x + 10 = – 5
Solução: Aplicando o princípio aditivo: adicionamos (-10) a ambos os membros da
equação, com o objetivo de ficar somente com o x do lado esquerdo.
x + 10 + (-10) = -5 + (-10)
Simplificando a equação equivalente, obtemos
x = -15.
2) Princípio multiplicativo: em uma igualdade, podemos multiplicar ou dividir os dois membros
por um mesmo número não nulo, e a igualdade permanece.
Exemplo 1.2.3 – resolver as equações:
a) 5x = 25
b) -3x = 9
Solução:
a) Ainda usando o princípio multiplicativo, multiplicamos ambos os lados da equação
dada por 1/5, com o objetivo de ficar somente com o x do lado esquerdo.
5x .
1
1
= 25 .
5
5
21
EaD
Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges
5x
25
=
5
5
x = 5.
b) Ainda usando o princípio multiplicativo, dividimos ambos os lados da equação
dada por (-3), com o objetivo de ficar somente com o x do lado esquerdo.
− 3x
9
=
−3
−3
x = -3
Exemplo 1.2.4 – determinar a e b na proporção
é 21.
a
b
= , sabendo-se que a sua soma
6
3
Solução: Aplicando a propriedade PP2 das proporções, temos
a+b b
=
6 +3 3
Usando a condição do problema: a + b = 21, temos
21 = a = b
9 6 3
Usando a primeira igualdade, temos
21 = a
9 6
Aplicando a propriedade fundamental das proporções em cada uma das igualdades,
temos:
Na primeira igualdade:
22
Na segunda igualdade:
21 · 6 =9 · a
21 x 3 = 9 x b
126 = 9 a
63= 9b
EaD
Matemática aplicada à administração
126
=a
9
63 = 9b
9
a=14
Exemplo 1.2.5 – Dadas as razões
b=7
x
y
z
=
=
encontre o valor de x, y e z, sabendo2 5 8
se que x+y+z =150.
Solução: Aplicando a propriedade PP2 das proporções, temos:
x+ y+Z
x
y
z
= =
=
.
2+5+8
2 5
8
Usando a condição do problema, temos
150 = x ;
2
15
150 = y ; 150 = z
5 15
8
15
Aplicando a propriedade fundamental das proporções:
150.2 = 15.x
150.5 = 15y
150.8 = 15z
300 = 15x
750
1200 = 15z
300 = x
15
750 = y
15
1200 = z
15
X=20
y= 50
z= 80
Exemplo 1.2.6 – Dadas as razões
= 15y
x
y
z
=
=
calcule o valor de x, y e z sabendo-se
2
5
8
que 5x+2y+3z=440.
Solução: Como precisamos de 5x, 2y e 3z para empregarmos o valor de sua soma,
isto é, 440, usando a propriedade F1 das frações, multiplicaremos os termos da
primeira razão por 5, os da segunda por 2 e os da terceira por 3. Teremos então:
5x 2 y
3z
=
=
10 10
24
23
EaD
Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges
Aplicando a propriedade PP2 das proporções:
5 x + 2 y + 3z
5x 2 y
3z
=
=
=
10 + 10 + 24
10 10
24
Substituindo o numerador da 1ª igualdade, temos
440
x 440 Y
= =
4
2 4
5
440 Z
=
4
8
Usando a propriedade fundamental das proporções, nas três equações anteriores,
obtemos:
x = 20 ; y = 50 e
z = 80.
Chegou a vez de testar os seus conhecimentos!
Exercícios 1.2.1
1. Escreva sob a forma de número decimal as seguintes porcentagens:
a) 12%
b) 140%
2. Calcule:
a) 30% de 270
b) 0,7% de 4.900
3. Calcule 20% de 50% (lembre-se: escrever 20% de 50% significa 20% ⋅ 50%).
24
EaD
Matemática aplicada à administração
Considerando que você já fez todos os exercícios, ainda queremos retomar o tema da seção
1.1 que trata de grandezas e pensá-las com base nas proporções, tema desta seção 1.2.
Grandezas diretamente proporcionais
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra
também aumenta na mesma proporção, ou diminuindo uma delas, a outra também diminui na
mesma proporção.
Se duas grandezas a e b são diretamente proporcionais, então os números que expressam
essas grandezas variam na mesma razão, isto é
a
=k , onde k é um número chamado constante de proporcionalidade.
b
Exemplo 1.2.7 – Os números 3, 4 e 6, respectivamente, são diretamente proporcionais
a 12,16, 24. Qual é a constante de proporcionalidade ?
Solução: Se os números dados são diretamente proporcionais, significa que a razão
entre eles é a mesma.
3 4 6
= =
12 16 24
Usando a propriedade F1 das frações é fácil mostrar que podemos reduzir todas
essas razões a ¼.
Assim, k =
1
é a constante de proporcionalidade.
4
Exemplo 1.2.8 – A soma das idades de Carlos e Jair é 36 anos. Sabe-se que elas estão
na razão de 2 para 10. Qual a idade de cada um?
Solução: O dado do problema indica que C+J = 36. Fazendo a proporção sugerida
no problema, temos
25
EaD
Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges
C
2
=
J 10
Observe que
C
2 pode ser escrito C = J
=
2
J 10
10
aplicando a propriedade PP3 das
proporções. Usando a propriedade PP2, temos:
C + J 36 C J
=
= =
2 + 10 12 2 10
Usando a propriedade fundamental das proporções, na segunda igualdade, obtemos
C=6.
Usando a propriedade fundamental das proporções, na proporção entre a segunda
e a terceira razão, obtemos
J=30.
Carlos tem 6 anos e Jair 30 anos.
Atenção: Uma maneira de conferirmos se as respostas estão corretas é verificar se o
produto dos meios é igual ao produto dos extremos, substituindo os valores de C e J na proporção do problema.
2
6
=
30 10
Observe que 6 • 10 = 30 • 2.
Exemplo 1.2.9 – Dividir o número 55 em partes diretamente proporcionais a 2, 3
e 6.
Solução: Do problema, podemos concluir que
a+b+c=55 e
a
=
2
b c
= .
3 6
Usando a propriedade PP2 e a equação do problema, temos:
26
EaD
Matemática aplicada à administração
a + b + c 55 a b
c
=
= =
=
2 + 3 + 6 11 2 3 6
Da segunda proporção, temos:
55 = a e usando a propriedade fundamental, temos; a = 10.
11 2
Da igualdade da 2ª e 4ª razão, temos:
55 = b e usando a propriedade fundamental, temos; b = 15.
11 3
Da igualdade da 2ª e 5ª razão, temos:
55 = c e usando a propriedade fundamental, temos; c = 30.
11 6
Verificação:
10 15 30 (todos os quocientes são igual a 5 )
= =
2 3 6
Grandezas inversamente proporcionais:
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra diminui na mesma proporção, ou, diminuindo uma delas, a outra aumenta na mesma proporção.
Se duas grandezas a e b são inversamente proporcionais, os números que expressam essas
grandezas variam na razão inversa, isto é, existe uma constante k, tal que
a · b = k.
Exemplo 1.2.10 – Os números 2, 4, 5 são inversamente proporcionais a 20, 10 e 8.
Qual é a constante de proporcionalidade k?
27
EaD
Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges
Solução: você deve observar que a seqüência de números 2, 4, 5 é crescente e a seqüência de números 20, 10 e 8 é decrescente. Se os números dados são inversamente
proporcionais, então as razões entre eles são iguais.
2
4 5
=
=
.
20 10 8
A constante de proporcionalidade é 40. Observe que
2 • 20 = 40, 4 • 10 = 40 e 5 • 8 = 40.
Exemplo 1.2.11 – Dividir o número 174 em partes inversamente proporcionais aos
números 3, 5 e 9.
Solução: Sejam x, y e z essas partes, então x+y+z = 174 e
x
y
z
=
=
1/ 3 1/ 5
1/ 9
Usando a PP2 e a equação do problema, temos:
x
y
z
x+ y+z
174
=
=
=
=
1/ 3 1/ 5
1 / 9 1 / 3 + 1 / 5 + 1 / 9 29 / 45
(Lembre-se: adição de frações
1 1 1
+ + = 15 + 9 + 5 = 29 ).
3 5 9
45
45
A última razão pode ser escrita da seguinte forma:
174 ⋅ 45 7830 270
=
=
29
29
Construindo proporções com a 1ª , 2ª , 3ª e 5ª razão e resolvendo-as para x, y e z,
obtemos:
28
x= 90 ; y= 54
e
z=30.
EaD
Matemática aplicada à administração
Para que você possa perceber a aplicação do que estudamos, apresentamos um problema
que envolve operações com proporções inversas.
Exemplo 1.2.12 – Dividir entre três alunos 31 livros em partes inversamente proporcionais aos erros que tiveram na prova de Matemática Financeira. O aluno A teve 2
erros, o aluno B , 3 erros e o aluno C, 5 erros.
Solução: Os valores 2, 3 e 5 precisam ser representados em forma inversa aos seus
valores, ou seja :
O inverso de 2 é ½,
de 3 é 1/3 e de 5 é 1/5.
Considerando a, b e c o número de livros recebidos por cada aluno, temos:
e
a + b + c = 31
a
b
c
=
=
1/ 2 1/ 3 1/ 5
Usando a PP2, temos:
a+b+c
31
30
a
b
c
=
=
=
=
=
1 / 2 + 1 / 3 + 1 / 5 31 / 30 1 1 / 2 1 / 3 1 / 5
Aplicando a propriedade fundamental das proporções formadas pelas razões 3ª e 4ª,
3ª e 5ª e 3ª e 6ª, obtemos, respectivamente:
a = 15;
b = 10
e
c = 6.
Note que à medida que você avança no estudo desta unidade, mais você precisa do que
estudou no princípio dela. Dessa forma, não siga adiante se tem dúvidas. Leia o material novamente, refaça os cálculos e, somente depois, siga adiante!
Seção 1.3
Regra-de-três
Quando se pretende calcular uma quantidade desconhecida, direta ou inversamente proporcional às demais quantidades conhecidas, tem-se um problema de regra-de-três.
29
EaD
Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges
Regra-de-três simples:
A regra-de-três simples é direta ou inversa. É direta quando, crescendo os termos principais,
seus relativos também crescem, ou quando diminuindo os termos principais, os seus relativos
também diminuem.
Exemplo 1.3.1 – Um operário levou 18 dias para construir um muro de 126 metros.
Quantos dias levará para fazer outro muro igual com 252 metros?
Solução: As quantidades 126 e 252 metros são as principais, 18 é o número de dias
que pretendemos calcular, são os relativos.
Se um operário levou 18 dias para fazer 126 metros de um muro, levará mais dias
para fazer outro de 252 metros.
Trata-se de uma regra-de-três simples e direta.
Metros
Dias
126 18
252 x
Escrevendo em forma de proporção:
126 18
=
252
x
Aplicando a propriedade fundamental das proporções:
126 ⋅ x = 252 ⋅ 18
x=
252 ⋅ 18
126
x = 36 dias.
A regra-de-três é inversa quando, crescendo os termos principais, os seus relativos diminuem, ou quando diminuindo os termos principais, os seus relativos crescem.
30
EaD
Matemática aplicada à administração
Exemplo 1.3.2 – 15 operários levam 8 dias para realizar um determinado trabalho.
Quantos dias levarão 5 operários para a conclusão do mesmo serviço?
Solução: Colocando na forma da regra-de-três, temos:
Operários
15
5
Dias
8
x
O número de operários, porém, é inversamente proporcional ao número de dias: diminuindo o número de operários, aumenta o número de dias. Para usar a propriedade
fundamental das proporções, precisamos inverter a segunda razão:
x
15
=
8
5
Usando a propriedade fundamental, temos
5x = 8 · 15
x=
8 ⋅ 15
5
x = 24 dias.
Lembre-se: a solução de um problema de regra-de-três simples, direta ou inversa,
resume-se em calcular o quarto termo de uma proporção.
Regra-de-três composta:
é aquela que para resolução de seus problemas envolve três ou mais grandezas, sendo
estas diretas ou inversamente proporcionais.
Para resolvê-los:
a) Escreve-se numa mesma coluna a grandeza de mesma espécie.
31
EaD
Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges
b) Identifica-se as grandezas direta ou inversamente proporcionais.
c) Escreve-se a proporção correspondente e resolve-se.
Exemplo 1.3.3 – Se 30 pedreiros fazem 528 m de parede em 40 dias, quantos metros
de parede farão 50 pedreiros em 45 dias?
Solução:
Disposição dos dados:
30 pedreiros em 40 dias fazem 528 metros.
50 pedreiros em 45 dias fazem x metros.
Observe que quanto mais pedreiros, mais metros de parede serão feitos. Da mesma
forma, quanto mais tempo, mais metros de parede serão feitos. Assim sendo, as duas
primeiras grandezas são diretamente proporcionais à terceira.
Reduzindo o problema a uma regra-de-três simples, fazemos:
30 ⋅ 40 120 528
=
=
50 ⋅ 45 2250
x
Aplicando a propriedade fundamental na regra-de-três simples, temos:
x = 990 m.
Exemplo 1.3.4 – Se 12 pedreiros fizeram certa obra em 26 dias, trabalhando 12 horas
por dia, quer-se saber em quantos dias 8 pedreiros farão a mesma obra, trabalhando
13 horas por dia.
Solução:
Disposição dos dados:
32
EaD
Matemática aplicada à administração
12 pedreiros a 12 horas gastam 26 dias.
8 pedreiros a 13 horas gastam x dias.
Observe que quanto MAIS pedreiros, MENOS dias serão necessários. Da mesma
forma, quanto MAIS horas por dia trabalharem, MENOS dias serão necessários.
Então, as duas primeiras grandezas são inversamente proporcionais à terceira.
Reduzindo o problema a uma regra-de-três simples, fazemos:
12 ⋅ 12 144 26
=
=
8 ⋅ 13 104
x
Invertendo a posição da última razão, temos
144
x
=
104 26
Usando a propriedade fundamental das proporções, temos:
x=
144 ⋅ 26 = 36 dias.
104
Exercícios 1.3.
1) Uma fábrica de roupas produz 100 camisas em 1 hora de trabalho. Quantas camisas a fábrica
produzirá em 3 horas?
2) Quinze operários constroem uma casa em 120 dias. Caso a obra fosse construída com mais
5 operários, qual seria o tempo necessário?
3) Um certo trabalho é feito por 50 homens, trabalhando 14 horas por dia, em 60 dias. Quantos
homens seriam necessários para fazer o mesmo trabalho, em 100 dias, trabalhando 12 horas
por dia?
4) Durante 10 dias um automóvel percorre 800 km andando 8 horas por dia. Quantos quilômetros percorreria se, com o dobro da velocidade, andasse 10 horas por dia, durante 6 dias?
33
EaD
Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges
5) Para construir 25 armazéns de soja são necessários 60 homens, trabalhando 10 horas por dia.
Se 14 homens são dispensados, quantos armazéns farão trabalhando 12 horas por dia?
Concluída a seção 1.3, estamos prontos para iniciar a penúltima seção desta Unidade, a
seção 1.4.
Seção 1.4
Porcentagem
Definição : Chama-se percentagem ou taxa percentual de um número a razão de a sobre
um número b, desde que b ≠ 0 , tal que
x
a
=
100 b
Em outras palavras, a porcentagem é uma razão cujo conseqüente é igual a 100.
Quando nos referimos a 20% de certo valor, queremos dizer que de cada 100 partes, estamos
nos referindo a 20 partes deste valor.
Um modo prático de calcular porcentagens é usar a multiplicação pelas razões percentuais.
Veja o exemplo.
Exemplo 1.4.1 – Calcule 10% de 800.
Solução: Multiplicamos o inteiro (800) pela razão porcentual
800 ⋅
10 .
100
10 = 80.
100
Atenção: você também poderá se deparar com outros nomes usados para a razão percentual que podem ser: razão centesimal ou percentil.
34
EaD
Matemática aplicada à administração
Taxa percentual
Temos uma taxa percentual ou taxa centesimal quando o conseqüente 100 for substituído
pelo símbolo %.
Exemplo: 10 = 10%
100
Porcentagem
Seja uma razão
m
, chamamos de porcentagem o valor n a todo valor m, desde que este
n
estabeleça uma proporção com uma razão centesimal.
r
m
=
=x%
n 100
Como podemos resolver?
1º. Multiplica-se a razão centesimal por n:
m = n⋅
r
100
2º. Por regra-de-três:
Valores
Taxas
m
r%
n
100 %
Porcentagem sobre o custo
Quando a porcentagem é calculada sobre o preço de custo da mercadoria,
Com lucro, o custo é 100% e a venda representa o custo mais o lucro.
V=C+L
35
EaD
Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges
Exemplo 1.4.2 – Comprei certa mercadoria por R$ 5.000,00 e quero vender com um
lucro de 50%. Qual é o valor da venda?
Solução: Usando a equação anterior, temos:
V= 100% + 50%
Construindo uma regra-de-três
5.000,00
V
100%
150%
Venda = 5 .000 ,00 ⋅ 150
100
Venda = R$ 7.500,00
Quando a porcentagem é calculada sobre o preço de custo da mercadoria,
Com prejuízo, o custo é 100% e a venda representa o custo menos o prejuízo.
V=C–P
Exemplo 1.4.3 – Comprei certa mercadoria por R$ 2.000,00 e depois a vendi com um
prejuízo de 10%. Qual é o valor da venda?
Solução: Usando a equação anterior, temos:
V = 100% – 10% .
Construindo uma regra-de-três:
2.000,00
100%
V
90%
Venda = R$ 1.800,00.
36
EaD
Matemática aplicada à administração
Porcentagem sobre o preço de venda
Quando a porcentagem é calculada sobre o preço de venda da mercadoria, com lucro, a
venda é 100% e o custo representa a venda menos o lucro.
(Como o valor da venda é maior, então a venda representa 100% e o custo menos que
100%)
C=V–L
Exemplo 1.4.4 – Comprei certa mercadoria por R$ 3.000,00 e quero vendê-Ia com
um lucro de 20% sobre preço de venda. Qual o valor da venda?
Solução: Usando a equação anterior, temos:
C = 100 – 20 = 80%
3.000,00
80%
V
100%
V = $ 3.750,00.
Quando a porcentagem é calculada sobre o preço de venda da mercadoria,
Com prejuízo, a venda é 100% e o custo representa a venda mais o prejuízo.
(Como o valor da venda é menor por ser vendida com prejuízo, então: a venda representa
100% e o custo mais que 100%)
C=V+P
Exemplo 1.4.5 – Comprei certa mercadoria por R$ 4.000,00 e ela foi vendida com um
prejuízo de 20% sobre o preço de venda. Qual o valor da venda?
37
EaD
Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges
Solução: Usando a equação anterior, temos:
C = 100 + 20 = 120%
4.000,00
120%
V
100%
Venda = R$ 3.333,33.
Exercício 1.4
1)Certa mercadoria foi vendida por R$ 5.300,00 com um lucro de 18%. Qual o preço de custo
desta mercadoria?
2)Uma pessoa vendeu uma mercadoria que havia custado R$ 1.500,00 com um lucro de 10%
sobre o preço de venda. Qual o valor da venda desta mercadoria?
3)Um produto é vendido com um lucro bruto de 40%. Sabe-se que sobre o preço vendido, ou
seja, sobre o valor da nota, 21% correspondem a despesas. Sendo assim qual é o lucro líquido
que o comerciante obtém ao vender esta mercadoria?
4)O Sr. João Maria comprou uma mercadoria por R$ 650,00; 2 meses após a compra vendeu
esta mesma mercadoria por R$ 505,00. Qual o percentual do prejuízo que o Sr. João Maria
teve se for tomado por base o preço de venda?
5)O prejuízo na venda de uma mercadoria é 15% sobre o preço de custo, se esta mercadoria foi
vendida por R$ 320,00. Determine o valor do prejuízo e o preço de custo desta mercadoria.
Chegamos à última seção desta Unidade, e você verá que como em todas as outras, ela
tratará de questões do dia-a-dia, principalmente para aqueles que, como você, se preparam para
integrar uma empresa.
38
EaD
Matemática aplicada à administração
Seção 1.5
Regra de sociedade
Os problemas de divisão proporcional, numa empresa, que envolvem a divisão dos lucros,
prejuízos, gratificações, participações de lucros e bonificações, em geral recebem o nome de
regra de sociedade.
Regra de sociedade, portanto, é uma aplicação da divisão em partes diretamente proporcionais.
Podemos destacar três casos:
1º) Tempos iguais e capitais diferentes: divide-se o lucro ou o prejuízo da sociedade proporcionalmente aos capitais dos sócios.
Exemplo 1.5.1 – Três pessoas constituem uma sociedade com os capitais de R$
5.000,00, R$ 50.000,00 e R$ 35.000,00 respectivamente.
No fim de certo tempo a sociedade apresentou um lucro de R$ 220.000,00. Quanto
coube a cada sócio?
Solução: Sejam A, B e C as partes que cada sócio receberá. Sabemos que
A+B+C= 220.000,00
e
A
B
C
=
=
25.000 50.000 35.000
Aplicando a propriedade PP2 das proporções:
220.000
A
B
C =
A+ B +C
=
=2
=
=
110.000
25.000 50.000 35.000 25.000 + 50.000 + 35.000
Aplicando a propriedade fundamental das proporções nas igualdades construídas
com a 1ª e 6ª , 2ª e 6ª e 3ª e 6ª razão, respectivamente, obtemos:
39
EaD
Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges
A = 25.000 X 2 = 50.000
B = 50.000 X 2 = 100.000
C = 35.000 X 2 = 70.000
Cada sócio recebeu, respectivamente, R$ 50.000,00; R$ 100.000,00; R$ 70.000,00.
2º) Capitais iguais e tempos diferentes: divide-se o lucro ou o prejuízo da sociedade
proporcionalmente aos tempos de permanência dos sócios.
Exemplo 1.5.2 – Três pessoas formam uma sociedade, permanecendo o primeiro sócio
durante 6 meses, o segundo 10 meses e o terceiro 12 meses. Quanto ganhou cada
um, se a sociedade teve um lucro de R$ 8.400,00?
Solução: Sejam A, B e C as partes que cada sócio receberá. Sabemos que
A + B + C = 8.400 e, além disso,
A B C
=
= .
6 10 12
Aplicando a propriedade PP2 das proporções:
A B C A + B + C 8400 300
=
= =
=
=
6 10 12 6 + 10 + 12
28
Aplicando a propriedade fundamental das proporções nas proporções construídas
com a 1ª e 6ª , 2ª e 6ª e 3ª e 6ª razão, respectivamente, obtemos:
A = 6.300 = 1.800
B = 10.300 = 3.000
C = 12.300 = 3.600
Cada sócio recebeu, respectivamente, R$ 1.800,00; R$ 3.000,00; R$ 3.600,00.
40
EaD
Matemática aplicada à administração
3º) Tempos diferentes e capitais diferentes: divide-se o lucro ou prejuízo da sociedade
proporcionalmente aos produtos do tempo pelo capital respectivo de cada sócio.
Exemplo 1.5.3 – Constituiu-se uma sociedade formada por três sócios, 1º, 2º e 3º: o 1º
entrou com um capital de R$ 60.000,00 e nela permaneceu por 30 meses, o 2º entrou
com um capital de R$ 70.000,00 e nela permaneceu por 40 meses e o 3º entrou com
um capital de R$ 50.000,00 e nela permaneceu por 35 meses. Se o resultado (que
pode se um lucro ou um prejuízo) da empresa, após certo período posterior, foi de
R$ 50.000,00, quanto deverá receber (ou pagar) cada sócio?
Solução: Sejam A, B e C as partes que cada sócio receberá, correspondentes ao 1º ,
2º e 3º sócios, respectivamente. O produto capital por tempo de cada sócio é:
1º = 60.000 ⋅ 30 = 1.800.000
2º = 70.000 ⋅ 40 = 2.800.000
3º = 50.000 ⋅ 35 = 1.750.000
Sabemos que
A + B + C = 50.000 e que
A
B
C
=
=
1.800.000 2.800.000 1.750.000
Aplicando a propriedade PP2 das proporções:
A
B
A+ B+C
5
C
1
=
=
=
= 50.000 =
=
1.800.000 2.800.000 1.750.000 6.350.000 6.350.000 635 127
Aplicando a propriedade fundamental das proporções nas proporções construídas
com a 1ª e 7ª , 2ª e 7ª e 3ª e 7ª razão, respectivamente, obtemos as partes A, B e C.
A=
1.800.000
1
(1.800.000) =
= 14.173.228
127
127
B=
2.800.000
1
(2.800.000) =
= 22.047.244
127
127
41
EaD
Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges
C=
1.750.000
1
(1.750.000) =
= 13.779.527
127
127
Atenção: Como já comentamos anteriormente, esta Unidade é fundamental e dá sustentação
a várias outras operações que você executará ao longo de todo o curso.
Assim sendo, somente siga adiante depois de ter certeza de que domina os conceitos apresentados aqui: grandezas, proporção, regra-de-três, porcentagem e regra de sociedade!
42
EaD
Unidade 2
Matemática aplicada à administração
FUNÇÕES
Nesta segunda Unidade nossos objetivos são:
1. Desenvolver o conceito de função associado a assuntos simples do cotidiano e a conceitos da
economia.
2. Desenvolver a prática do uso da notação de intervalos e função.
3. Analisar funções relacionando os parâmetros com o significado gráfico.
4. Aplicar o conceito e as propriedades das funções para resolver problemas simples de interesse
da Economia e Administração.
E, para que possamos alcançar os objetivos a que nos propusemos, faremos o seguinte
percurso:
Seção 2.1 – Intervalos e conjuntos numéricos
Seção 2.2 – Definição, expressão matemática e gráfico de funções
Seção 2.3 – Equação da reta
Seção 2.4 – Funções quadráticas
Seção 2.5 – Funções exponenciais e logaritmos
Antes de passar para a primeira seção, salientamos que nesta Unidade vamos estudar as
funções matemáticas mais utilizadas nas áreas da Administração e Economia. Vamos aprender
a expressar matematicamente uma série de situações econômicas, como o custo de produtos,
valor do montante em investimentos de diferentes tipos, funções de procura e demanda, cálculo
da prestação de financiamentos, além de outras situações.
43
EaD
Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges
Seção 2.1
Intervalos e conjuntos numéricos
As variáveis utilizadas em aplicações da Matemática na Administração podem ser discretas ou contínuas. O número de funcionários de uma empresa, de carros, de pizzas, de sapatos,
de casas, ..., produzidos ou vendidos, são variáveis inteiras, que chamamos discretas. Não trabalhamos com meio funcionário, ou meio carro. O tempo, os valores monetários, o número de
toneladas (massa) de arroz, soja, feijão, ... são variáveis fracionárias que chamamos contínuas.
Trabalhamos com meia hora, com meio dólar, etc. Para entendermos as expressões matemáticas
dessas variáveis com clareza e precisão, precisamos conhecer os símbolos usados e as definições dos conjuntos numéricos. Eles podem ser números a) naturais, b) inteiros, c) racionais, d)
irracionais e e) reais!
Conjunto dos Números Naturais (N)
Os números naturais estão associados à quantificação de objetos simples: 1 lápis, 5 maçãs,
12 parafusos, etc. São números inteiros, sem sinais. Matematicamente, podemos escrever os
números naturais da seguinte forma:
N={0,1,2,3,4,5,6,...}
Onde N é a letra associada ao nome do conjunto dos números naturais.
O conjunto dos números naturais é infinito e é representado uma reta numerada da seguinte forma:
Os intervalos no conjunto dos números naturais são escritos usando os símbolos
> maior
< menor
44
EaD
Matemática aplicada à administração
≥ maior ou igual e
≤ menor ou igual.
Veja os exemplos:
1) A={x ∈ N / x > 2} Lê-se: x pertence aos Naturais, tal que x é maior do que 2.
Escrevendo os elementos desse conjunto, temos: A={3,4,5,6,7,...}
Mostrando esse conjunto na reta dos números naturais, colocamos “bolinhas” pretas para
os elementos do conjunto A e brancas para os elementos que não pertencem a A.
2) B={x ∈ N / 1< x <5} Lê-se: x pertence aos Naturais, tal que x é maior do que 1 e menor do
que 5. (ou, x pertence aos Naturais , tal que 1 é menor do que x e x é menor do que 5).
Escrevendo os elementos desse conjunto, temos: B={2,3,4}
Mostrando esse conjunto na reta dos números naturais, temos:
3) C={x ∈ N / x ≥ 5} Lê-se: x pertence aos Naturais, tal que x é maior do que 5.
Escrevendo os elementos desse conjunto, temos: C={5,6,7,8,9,10,...}
Mostrando esse conjunto na reta dos números naturais, temos:
Conjunto dos Números Inteiros (Z)
Os números inteiros estão associados às quantidades inteiras relativas. Esses números
descrevem variáveis como temperatura, saldos bancários, altitude, etc.
45
EaD
Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges
Z={...,-6,-5,-4-3,-2,-1,0,+1,+2,+3,+4,+5,+6,...}
Escrevendo o conjunto Z como um intervalo, temos:
Z={ x ∈ Z / -∞ < x < +∞}.
Simples, não é mesmo? Então, vamos aplicar o que aprendemos?
Exercícios 2.1.1
1. Escreva os seguintes conjuntos usando os sinais de desigualdade.
a) B={2,3,4,5,6}
d) J={2,3,4,5,6,...}
b) C={-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3}
e) K={-3,-2,-1,0,2,3,...}
c) G={...,-2,-1,0,1}
f) P={…-2,-1,0}
2. Desenhe os conjuntos do Ex.1 na reta numerada.
Muito bem, se você conferiu seus resultados e ficou satisfeito, já pode seguir adiante!
Conjunto dos Números Racionais (Q)
Os números racionais são aqueles que podem ser escritos na forma de uma fração
a
onde
b
a e b são números inteiros, com a condição de que b seja diferente de zero. Simbolizados o conjunto dos racionais com a letra Q .
46
EaD
Matemática aplicada à administração
Exemplo de números racionais:
2
= 0 ,6666..... 3
4
= 0 ,8. 5
4
= 0 ,8 = 0 ,80000... 5
0 ,3333..... =
3 1
=
9 3
6
= 6 = 6 ,0000....
1
−7
= −1,166666..... 6
0 ,5 =
5
1
.=
10 2
13
= 0,131313... (observe que o 13 se repete infinitamente)
99
Todo número decimal finito (por exemplo 4/5=0,8) ou periódico (por exemplo 2/3=0,666...,
onde o periódico se repete infinitamente) pode ser representado na forma de um número racional
a
. Veja os exemplos e confira com sua calculadora:
b
2 = 4/2
22,5 = 45/2
3,46 = 346/100
0,333333...=1/3
0,121212...=12/99
0,245245...=245/999
Você deve observar que todo número inteiro pode ser escrito na forma de fração, portanto
também é um número racional.
Números Irracionais (I)
Os números irracionais são simbolizados pela letra I. Existem números decimais infinitas
não periódicos, aos quais damos o nome de números irracionais, por que não podem ser escritos
na forma de
a
. Veja os exemplos:
b
2 = 1,4242135..... (observe que não há repetições)
3 = 1,7320508...
π (pi)= 3,1415926.......
e = 2,7182818284590452353602874... ( esse número é a base do sistema de logaritmo neperiano).
47
EaD
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Conjunto dos Números Reais (R)
O conjunto dos Números Reais é a união do conjunto dos Racionais e dos Irracionais.
R=Q ∪ I
A representação do conjunto R na reta numérica é uma reta cheia (reta real).
Veja alguns exemplos de intervalos em R e suas respectivas representações na reta numerada:
Os conjuntos também podem ser representados usando parênteses para intervalos abertos,
por exemplo:
(a,b) significa { x ∈ R / a < x < b}
e colchetes para intervalos fechados, por exemplo:
[a,b] significa ={ x ∈ R / a ≤ x ≤ b}.
Os mesmos conjuntos representados anteriormente, poderiam ser escritos usando parênteses e colchetes. Veja:
C = [-1,+∞)
;
D = (-1,1]
e
E = [+2,4).
Entendido? Ótimo, então chegou a sua vez.
48
EaD
Matemática aplicada à administração
Exercícios 2.1.2
1. Represente os seguintes conjuntos na reta real.
a) B={ x ∈ R / -2 < x < +∞}
d) J={ x ∈ R / x ≤ +3}
b) C={ x ∈ R / -5 ≤ x < +3}
e) K={ x ∈ R / x < +2}
c) G={ x ∈ R / -5 ≤ x ≤ +3}
f) P={ x ∈ R / 1 < x ≤ 3}
2. Escreva os intervalos do Exercício 1 usando a notação de parêntesis e colchetes.
Seção 2.2
Definição, expressão matemática e gráfico de funções
Muitos problemas da área de Administração requerem a expressão matemática das variáveis
e parâmetros envolvidos na forma de funções. Nesta seção vamos usar a notação matemática e
estudar as funções associadas a situações simples da vida de um cidadão, tais como compra e venda
de produtos, orçamentos, financiamentos e aplicações financeiras e conceitos da economia.
Exemplo 2.2.1 – Dona Maria e sua família são vorazes consumidores de pizzas.
Quando os seus filhos a visitam de “surpresa”, todas as sextas-feiras, levando os
filhos, a alternativa mais prática (Dona Maria detesta cozinhar para muita gente !)
é comprar as pizzas e dividir os custos entre todos.
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EaD
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Na Pizzaria Sabor Derretido todas as pizzas têm o mesmo preço: P = R$ 20,00. A Tabela
2.2.1 mostra o custo para cada quantidade de pizzas. Podemos fazer uma expressão
matemática para calcular o custo de qualquer número de pizzas:
C(n) = P ⋅ n
(2.2.1)
Onde C(n) é o custo de n pizzas (R$)
P é o preço de uma pizza (R$/unidade de pizzas) e
n é o número de pizzas.
A Equação (2.2.1) relaciona as variáveis C e n, que chamamos de lei da função. Veja esta
definição prática de função:
Definição de função: função é uma expressão matemática que relaciona duas ou mais
variáveis.
Podemos representar a função Custo de pizzas C(n), na forma de gráfico, localizando cada
ponto (n,C) no Plano Cartesiano XY, como mostra a Figura 2.2.1. É fácil verificar que os pontos
estão alinhados. Esse alinhamento ocorre porque para cada aumento de uma pizza, aumenta
sempre os mesmos R$ 20,00.
Como não são vendidos meios, terços ou quartos de pizzas, a Fig. 2.2.1 mostra apenas pontos
referentes a números inteiros de pizzas. Nesse caso, dizemos que a variável “n” é DISCRETA,
pois SÓ pode assumir valores inteiros e é definida nos números naturais: n ∈ N.
Tabela 2.2.1: Dados do Custo X número de pizzas
50
n
Custo (R$)
0
0
1
20
2
40
3
60
4
80
5
100
EaD
Matemática aplicada à administração
120
C(n) ($)
100
80
60
40
20
0
0
1
2
3
n (unidades)
4
5
Figura 2.2.1: Função custo de pizzas
Exercícios 2.2.1
1. Faça o gráfico das funções com as seguintes expressões matemáticas (considere X e Y variáveis contínuas reais).
a) y = 4x c) y = 2x + 3
b) y = – x d) y = – x + 5
2. Dadas as tabelas encontre a expressão matemática das funções
a)
X
0
1
2
3
4
Y 0
1
2
3
4
b)
X
0
1
2
3
4
Y 1
3
5
7
9
c)
X
0
1
2
3
4
Y -1
1
3
5
7
d)
X
0
1
2
3
4
Y
-3
1
5
9
13
51
EaD
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Exemplo 2.2.2 – Se Dona Maria for buscar as pizzas com seu Fusca/69 (que gasta
muita gasolina), terá um custo fixo de R$ 4,00. A função proposta no Exemplo 2.2.1
terá de ser modificada. Precisamos de outra expressão matemática para descrever
esta situação. Temos de acrescentar o custo fixo independentemente do número de
pizzas. Nesse caso, a função C x n terá a seguinte forma:
C(n) = P ⋅ n + CF
(2.2.2)
onde CF é o custo fixo (gasto com o transporte) (R$).
Como fazer para construir uma tabela com os novos custos C(n)? Coloque os valores
de n na primeira coluna (como no Exemplo 2.2.1). Use a Eq. 2.2.2. para calcular os
valores de C(n). Se você colocar os pontos da tabela em um gráfico, obterá algo semelhante ao que está apresentado na Fig. 2.2.2.
Observe que os pontos continuam alinhados. O fato de acrescentarmos o custo CF
apenas aumentou em R$ 4,00 no custo de cada número de pizzas. Se Dona Maria for
até a pizzaria e comprar nenhuma pizza, o custo fixo continua sendo R$ 4,00. Nesse
caso, a tabela que você construiu tem o par (0,4) e a seqüência de pontos (reta) não
se inicia na origem, mas no ponto (0,4).
120
C(n) ($)
100
80
60
40
20
0
0
1
2
3
n (unidades)
4
Figura 2.2.2 – Função custo de pizzas com custo fixo
52
5
EaD
Matemática aplicada à administração
Exemplo 2.2.3 – Nem sempre Dona Maria oferece pizzas para sua família. Sempre
que alguém resolve cozinhar (e lavar a louça!) ela prontamente disponibiliza todos os
recursos e dá todo o apoio para que saia uma comida “diferente”: galinhada (galinha
com arroz). Esta é a especialidade de sua filha mais velha, que puxou ao pai, claro!
Numa noite dessas, família reunida, todos de acordo em fazer mais uma galinhada,
Dona Maria notou que faltava arroz. Imediatamente pegou seu Fusca/69 e foi até
o mercado, que ficava ao lado da pizzaria, portanto o custo fixo do transporte é R$
4,00. Se o preço P do arroz é R$ 3,50 kg, podemos elaborar uma tabela relacionando
o custo do arroz em função da quantidade de arroz adquirida.
O modelo matemático para esta nova investida econômica da Dona Maria é:
Ca(p) = Pa ⋅ q + CF
(2.2.3)
Onde Ca(p) é o custo do arroz (R$)
Pa é preço do arroz (R$/kg)
q é a massa de arroz (kg) e
CF é o custo fixo (gasto com o transporte) (R$).
Se você colocar os pontos da tabela em um gráfico, obterá algo semelhante ao que
está apresentado na Fig. 2.2.3.
Como podem ser vendidos meios, terços ou qualquer quantidade fracionária de arroz,
o gráfico mostra uma linha contínua relacionando a quantidade q com o Custo do
arroz, Ca. Nesse caso, q é uma variável CONTÍNUA, e a função Ca(q) pode assumir
valores não inteiros: q ∈ R.
53
EaD
Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges
25
Ca ($)
20
15
10
5
0
0
1
2
3
massa de arroz (kg)
4
5
Figura 2.2.3: Função custo de arroz com custo fixo
Para que você não acabe sentindo fome e pare de estudar para ir comer, vamos usar outro
exemplo de aplicação para funções.
Exemplo 2.2.4 – O montante de um empréstimo de curto prazo (hot money) é calculado com taxa fixa, a juros simples. Consideremos o financiamento de R$ 30.000,00
feitos por uma empresa em um banco X, com taxa 0,03 % ao dia.
Se j = 0,03 % ao dia, podemos usar a taxa i = j/100 como multiplicador do montante
para calcular os juros a cada dia (confira esta idéia fazendo a regra-de-três). Veja os
cálculos na segunda coluna da Tabela 2.2.2.
Tabela 2.2.2: Empréstimo hot money
Dias
n
0
1
2
3
4
...
Esquema do cálculo
30.000 + 0 ⋅ i
30.000 + 1 ⋅ i
30.000 + 2 ⋅ i
30.000 + 3 ⋅ i
30.000 + 4 ⋅ i
...
⋅ 30.000
⋅ 30.000
⋅ 30.000
⋅ 30.000
⋅ 30.000
Montante
M(n) (R$)
30.000
30.009
30.018
30.027
30.036
....
Da segunda coluna da Tabela 2.2.2 podemos deduzir uma expressão particular para
calcular a função Montante:
M(n) = 30000 + n ⋅ i ⋅30000
M(n) = 30000 (1+ n ⋅ i) .
54
EaD
Matemática aplicada à administração
Para generalizar esta fórmula substituímos o valor do financiamento por VF e
temos:
M(n) = VF ⋅ (1+ n ⋅ i)
(2.2.4)
a) Coloque os dados de n e M(n) em um gráfico cartesiano.
b) Verifique se os pontos obtidos estão sobre a mesma reta.
Exercícios 2.2.2
1. Com base no Exemplo 2.2.4 construa a tabela dos financiamentos hot money com os seguintes
dados:
a) j = 0,05 %; VF = 35.000 para 7 dias
b) j = 0,045 %; VF = 50.000 para 7 dias
2. Construa a expressão da função do montante e faça o gráfico das funções do Exercício 1.
Seção 2.3
Equação da reta
Observe que a Figura 2.3.1 tem os mesmos pontos da Figura 2.2.1 que relaciona o número
de pizzas com o respectivo custo. Para tornar nosso texto mais genérico, vamos chamar a variável
C de y e a variável n de x. Assim, nossas conclusões servirão para quaisquer funções lineares:
y=f(x), onde f(x) é a expressão matemática da função.
55
EaD
Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges
Figura 2.3.1: Coeficiente angular
Observe o triângulo mais escuro, formado entre os pontos P2 e P3. O lado horizontal é a
diferença entre os valores de X, que chamamos de “delta x”, e escrevemos ∆x = x3 – x2. Fazendo
o mesmo para Y, temos “delta y”, e escrevemos ∆y = y3 – y2 .
Observe que o ângulo θ assinalado na Fig. 2.3.1, é o ângulo que a reta faz com o próprio eixo
X. A divisão ∆y/∆x é chamada “tangente do ângulo θ “ e, para P2 e P3. é calculada pela Eq. 2.3.1.
tgθ =
∆y 60 − 40
=
= 20 3−2
∆x
(2.3.1)
Evidentemente podemos fazer as mesmas diferenças para Po e P1 , P1 e P2 e os demais
pontos. Se estes pontos estão sobre a mesma reta, então a reta que os une tem a mesma inclinação. Para que isso aconteça é necessário que as divisões do ∆y pelo ∆x
de cada triângulo
sejam iguais. Convidamos você a conferir se as tangentes dos demais triângulos marcados na
Fig. 2.3.1, têm o mesmo valor.
Generalizando, a tangente do ângulo θ é escrita como a Eq. 2.3.2 e dá a inclinação da
reta. Este número está associado ao ângulo que a reta faz com o eixo X e por isso é chamado de
coeficiente angular da reta. Usaremos a letra “a” para este coeficiente.
a = tgθ =
56
∆y yi + 1 − yi =
∆x xi + 1 − xi
(2.3.2)
EaD
Matemática aplicada à administração
Figura 2.3.2 – Equação da reta
Na reta mostrada na Fig. 2.3.2, escolhemos os pontos P2 e P3 para formar um triângulo.
Escolhendo um ponto qualquer P=(x,y) da reta e o ponto Po =(0,yo), ponto onde a reta corta o
eixo Y. Usando a Eq. 2.3.2 nestes triângulos, temos uma proporção:
y3 − y 2 y − yo
=
x3 − x 2 x − xo
Substituindo o valor de xo=0 e resolvendo esta proporção para y, temos:
y − y2
y= 3
x + yo x3 − x2
(2.3.3)
Verifique que a fração que multiplica o x, na Eq. 2.3.3 é o próprio coeficiente angular. Então, uma equação para esta reta é
y = a x + yo
(2.3.4)
y − y2
onde a = 3
é o coeficiente angular.
x3 − x 2
57
EaD
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Chamaremos yo na Eq. 2.3.4 de coeficiente linear (porque yo é onde a reta corta o eixo Y)
e usaremos a letra b para nos referir a ele. Reescrevendo a Eq. 2.3.4 com estes símbolos, temos
a EQUAÇÃO DA RETA.
y = a x + b
(2.3.5)
Esta função também é chamada de função de 4º grau.
Exemplo 2.3.1: Aos domingos, a família da Dona Maria costuma fazer um churrasco.
Dona Maria fez um levantamento dos preços da picanha em quatro mercados da
cidade e colocou os dados em um gráfico cartesiano. Chamando de P o preço de 1
kg de picanha, e q a massa comprada (kg), podemos adaptar a Eq. 2.2.2 e escrever
a lei da função Custo da Picanha C(q):
C(q) = P⋅ q + CF.
Preço da picanha (R$/kg)
12
14
16,5
19
Mercado
A
B
C
D
Custo Fixo ($)
4
3,5
5
2
Lei da função
C(q)
C(q)=12q+4
C(q)=14q+3,5
C(q)=16,5q+5
C(q)=19q+2
120
100
Y
80
A
B
60
C
D
40
20
0
0
1
2
3
4
5
X
Figura 2.3.3: Custo da picanha
Observe que, independentemente do custo fixo, as inclinações de cada reta são diferentes
e dependem exclusivamente do parâmetro P (preço da picanha). Este parâmetro é o coeficiente
angular e determina a inclinação das retas.
58
EaD
Matemática aplicada à administração
Quanto maior o coeficiente angular, mais próxima da vertical está a reta.
Quanto menor o coeficiente angular, mais próxima da horizontal está a reta.
Conheça, agora, os tipos de retas.
Retas Horizontais
Uma reta na posição horizontal (paralela ao eixo X, veja na Figura 2.3.4 (a)) tem coeficiente
angular “zero”. Substituindo a = 0 na Eq. 2.3.5, temos:
y = b,
onde b é o valor de y, onde a reta corta o eixo Y. (2.3.6)
Retas Verticais
Uma reta na posição vertical (paralela ao eixo Y, veja na Figura 2.3.4 (b)) teria coeficiente
angular infinito ! Como “infinito’não é um número, não podemos escrever a equação da reta na
forma da Eq. 2.3.5. Então, a escrevemos apenas como
onde c é o valor de x, onde a reta corta o eixo X. Y
x = c,
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
0
Figura 2.3.4: (a) Reta horizontal: y = 3
(2.3.7)
1
2
X
3
4
5
(b) Reta vertical: x = 1,6
59
EaD
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Retas crescentes e decrescentes
Observe os coeficientes angulares das retas dadas na Tabela 2.3.1.
Tabela 2.3.1: funções crescentes e decrescentes
Função
Y1
Y2
Y3
Y4
f(x)
Y=x+1
y = 2x + 1
y = -2x + 5
y = -3x + 15
Observe a posição de cada reta na Figura 2.3.5 e relacione com o coeficiente angular,
mostrado na respectiva equação.
16
14
12
Y1
Y
10
Y2
8
Y3
6
Y4
4
2
0
0
1
2
3
4
5
X
Figura 2.3.5: Funções crescentes e decrescentes
Atenção!
Quando o coeficiente angular é positivo a reta está inclinada para a direita (Função Crescente).
Quando o coeficiente angular é negativo a reta está inclinada para a esquerda. (Função
Decrescente).
Exercícios 2.3.1
1. a) Construa um gráfico cartesiano com os valores de X e Y da Tabela:
60
EaD
Matemática aplicada à administração
X
0
1,2
2
3,4
4
Y
1,3
3,7
5,3
8,1
9,3
b) Calcule o coeficiente angular e o linear da reta.
c) Com base no valor dos coeficientes angular e linear determine se a reta é crescente/decrescente e onde ela intercepta o eixo Y.
2. Analise os coeficientes angular e linear das retas. Determine se crescem/decrescem e o ponto
de intersecção com o eixo Y. Faça um esboço do gráfico com base nessa análise.
a) y = 3x + 5
b) y = 2x – 1,5
c) y = -1,3x + 2
d) y = -2,3x – 1
e) y = -5,2x + 2,3
f) y = -4,1x -5
3. Nas retas do Ex.2, qual é a que mais cresce? E a que mais decresce?
4. Nas retas que passam pelos pontos P1 e P2:
– Calcule os coeficientes angular e linear da reta.
– Escreva a equação da reta.
– Esta reta é crescente?
– Em que ponto a reta intercepta o eixo Y?
61
EaD
Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges
a) P1=(1,1) e P2=(2,4).
b) P1=(1,6) e P2=(5,3)
c) P1=(2,8)) e P2=(7,1).
d) P1=(6,1) e P2=(1,3)
5. A fabricação de um produto implica custos de materiais, energia, mão de obra (pessoal e encargos sociais) e impostos. Para uma determinada quantidade do produto, vamos considerar
os custos de mão-de-obra como custo fixo, no valor de R$ 20,00. Considerando que os custos
de materiais, energia e impostos são de R$ 150,00, para produzir uma unidade do produto:
a) Construa uma tabela relacionando o número de unidades do produto e o custo total.
b) Faça um gráfico com os dados da tabela.
c) Determine uma equação para relacionar o número de unidades do produto e o custo total.
d) Esta equação é uma reta. Determine o coeficiente angular e o linear? Qual é o sentido destes
coeficientes no problema?
6. Um empresário fez um financiamento de curto prazo com juros simples. A taxa cobrada pelo
banco foi de 0,3 % ao dia. O capital financiado foi de R$ 25.000,00.
a) Construa uma tabela e determine o montante depois de 5 dias (Use a Eq. 2.2.4, M=VF(1+u.i)
que é uma equação de reta).
b) Qual é o coeficiente angular e o linear desta reta?
62
EaD
Matemática aplicada à administração
7. Um empresário fez um financiamento de curto prazo com juros simples. O capital financiado foi de R$ 25.000,00. Depois de 5 dias o montante estava em
R$ 25.287,50.
a) Calcule a taxa do financiamento, usando a Eq. 2.2.4.
b) Do Ex.6 sabemos que o coeficiente angular da reta é a = VFo⋅i. Calcule os coeficientes
angular e linear da reta.
Atividade 2.3.1 – Avaliação de custo, receita e lucro
Fazer “modelagem matemática“ é expressar matematicamente uma determinada situação
real ou hipotética. “Expressar matematicamente” significa descrever as variáveis e parâmetros
da situação usando estruturas matemáticas (números, funções, tabelas, gráficos, matrizes, fluxogramas,...) de tal forma que essas estruturas organizadas produzam dados muito semelhantes
aos obtidos com a situação.
No Exemplo 2.2.1 desta Unidade a situação a ser modelada é a compra de pizzas; as variáveis escolhidas foram o custo e a quantidade de pizzas (variável discreta); o parâmetro do
problema é o preço de uma pizza; e o modelo escolhido foi o modelo de uma função linear, com
coeficiente linear nulo.
No Exemplo 2.2.2 as variáveis são as mesmas do Ex. 2.2.1, mas acrescentamos o custo do
transporte. Por isso, tivemos de escolher um modelo com mais um parâmetro, o custo fixo, CF.
Em regra, podemos melhorar um modelo até que ele descreva a situação tão precisamente
quanto desejarmos. Vamos explicar melhor!
Modificação 1
No modelo das pizzas, por exemplo, podemos considerar que os seus preços sejam diferentes: P1 ≠P2 ≠ P3 , ...O modelo poderia ser escrito como
63
EaD
Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges
C(n) = P1 ⋅ n1 + P2 ⋅ n2 + P3 ⋅ n3 + ....
(2.3.8)
Ou, na forma de um somatório
C( n ) =
n
∑ Pi ni . (lê-se: somatório de P n
i =1
i
i
quando i varia de 1 a n)
(2.3.9)
Este modelo é mais próximo da realidade (em regra, as pizzas têm preços diferentes). Apesar
do modelo (equação) ficar um pouco mais sofisticado, ainda é fácil entendê-lo e usá-lo. Então,
tivemos um ganho de precisão melhorando o modelo, sem perder em praticidade.
Modificação 2
Ainda no modelo das pizzas, por exemplo, podemos considerar o desgaste do Fusca/69 como
custo fixo. Teríamos de calcular o custo da depreciação por quilômetro rodado, multiplicá-lo pela
distância até a pizzaria e acrescentar o valor obtido ao custo da gasolina. Tal valor seria da ordem
de centavos, enquanto que o preço da gasolina é da ordem de reais. Com certeza o modelo ficaria
mais preciso, mas o custo do desgaste não é significativo diante dos demais custos. Nesse caso,
a melhoria do modelo não trouxe ganhos significativos na descrição da situação dada.
Com essa idéia de construir modelos (modelagem matemática), vamos modelar a produção e comercialização de um produto real. Lembre-se que nosso objetivo é aprender a escrever
matematicamente o problema simples. Siga as orientações a seguir:
1. Escolha um produto simples do qual você conhece (ou pode conseguir informações) os detalhes
da produção. Por exemplo: cachorro-quente; pizzas, pepino em conserva, pão caseiro, bolos,
tijolos, hortaliças, roupas, cadeiras, mesas, etc.
2. Faça uma relação de todos os materiais e suas respectivas quantidades para produzir uma
unidade do produto. Coloque-os organizadamente em uma tabela.
3. Calcule o custo da mão-de-obra para a produção de uma unidade do produto. Use como base
o valor do salário mínimo, pago para uma jornada de 40 horas, com os encargos sociais.
64
EaD
Matemática aplicada à administração
4. Verifique a ocorrência de outras despesas como energia elétrica, gás, etc, e calcule-as para a
produção de uma unidade do produto.
5. Classifique e some as despesas em “fixas” (chame de b) e “dependentes” (chame de a) do
número de unidades produzidas.
6. Construa uma tabela relacionando o número de unidades do produto e o custo total.
7. Elabore um gráfico com os dados da tabela.
8. Determine uma equação para relacionar o número de unidades do produto (x) e o custo total
(y); y = ax + b.
10. Cálculo da receita: Determine o preço de venda do produto, considerando um lucro de 30%
sobre os custos dependentes do número de unidades produzidas e faça uma equação da
receita: R = 1,3(ax+b).
11. A função lucro é L = R – y.
12. Coloque as funções y, R e L no gráfico e faça sua análise. Quantas unidades devem ser produzidas para que os custos fixos sejam pagos?
Atividade 2.3.2– Gráfico de funções no computador
Os gráficos de funções podem ser feitos facilmente em aplicativos computacionais, como
as planilhas eletrônicas, amplamente utilizadas na área da Administração.
O Excel é uma planilha eletrônica composta de células dispostas em linhas 1, 2, 3,... e colunas A, B, C, .... Cada célula tem um “endereço” na forma de coluna e linha: A célula A1 está na
coluna A e linha 1; A célula A2 está na coluna A e linha 2; e assim por diante. Da mesma forma,
a célula B1 está na coluna B e linha 1, a célula B2 está na coluna B e linha 2, etc.
65
EaD
Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges
Podemos colocar letras, números e fórmulas nas células. Observe o exemplo a seguir, no
qual vamos fazer a tabela de uma função.
Problema 1: calcular os valores de uma função
Colocar os valores de X={0,1,2,3,4,5} e calcular os valores de Y={1,4,7,10,13,16} usando
a função f(x)=3x+1.
Como faremos?
Célula A1 : Escrevemos “X” só para indicar que nessa coluna serão colocados os valores
de X da função.
Célula B1: Escrevemos “Y” só para identificar que nessa coluna estarão os valores da
função.
Célula A2: Escrevemos “0” para o primeiro valor de X.
Célula A3: Escrevemos “=A2+1” e clicamos Enter.
Usamos o sinal de “=” para escrever uma equação. Nesse caso estamos ordenando o computador a ler o valor que está em A2 e adicionar 1. A digitação do Enter, com o cursor na célula
A3 faz com que o computador execute a equação “=A2+1”. Veja que o computador escreveu 1
na célula A3.
Clicando com o botão esquerdo do mouse em A3, a célula fica ressaltada (quadro com
linha preta mais forte que as demais células). Levando o cursor até o canto direito inferior e
clicando sobre o ponto ali existente, arrastamos o cursor para baixo, com o mouse até a célula
que desejamos, por exemplo, A7.
Observe que com esse procedimento o computador substitui a fórmula “=A2+1” por
“=A3+1” na célula A4; por “=A4+1” na célula A5, e assim por diante, gerando os valores de
X que queríamos.
66
EaD
Matemática aplicada à administração
Célula B2: Escrevemos “=3*A2+1” para calcular os valores da função Y.
Observe que o (*) é a sinal da multiplicação e o “A2” está fazendo o papel do X.
Clicando com o botão esquerdo do mouse em B2, a célula fica ressaltada. Arrastando para
baixo a célula B2 (como fizemos com A3) até B7, o computador calcula os valores da função
f(x)=3x+1.
Executando os procedimentos mencionados anteriormente você deve ter encontrado o
seguinte resultado:
Você também poderá visualizar a realização desse exemplo na animação disponibilizada
na Biblioteca do Conecta e que leva o mesmo nome: “gráfico de funções no computador”.
Problema 2: Fazer o gráfico de uma função
Faça o gráfico cartesiano da f(x)=3x+1.
Como faremos?
1. Vamos ressaltar as células com os dados de X e Y do Problema 1.
67
EaD
Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges
Clicando com o botão esquerdo do mouse no centro de A1 e arrastando até B7, todas as
células com os dados da função ficam ressaltadas.
2. Vamos fazer o gráfico.
Leve o cursor até o assistente de gráfico (Veja na Figura 2.3.6) no menu do Excel e clique
com o botão esquerdo do mouse. Deve aparecer a tela do “assistente de gráfico”, oferecendo os
“tipos padrão”.
Encontre na lista o padrão “Dispersão (XY)” e clique sobre ele. Deve aparecer opções de
gráficos só de pontos, pontos com linhas e outras. Escolha pontos com linhas e clique em “avançar”. A nova tela dá a opção de dados em linhas ou colunas. No nosso exemplo, os dados de X
e Y estão em colunas. Escolha “colunas” e clique em “avançar”.
Esta tela dá opções para colocar o título do gráfico e o nome dos eixos. É importante que
você se habitue a escrever ao menos o nome dos eixos. No nosso exemplo, X e Y. Clicando
em “avançar” e na tela seguinte em “concluir” você terá seu primeiro gráfico pronto.
68
EaD
Matemática aplicada à administração
20
Y
15
10
Y
5
0
0
2
4
6
X
Atenção: você também poderá visualizar a realização do “gráfico de uma função”, disponível na Biblioteca com esse mesmo nome.
3. Deixaremos para o leitor descobrir outros detalhes da edição de gráficos, como retirar ou colocar
linhas de grade, alterar a legenda, escala dos valores de X e Y, tamanho das fontes (letras), etc.
Alguns destes detalhes ficam disponíveis se você clicar sobre a área do gráfico com o botão
esquerdo do mouse (ressaltar o gráfico); em seguida clicar sobre a área do gráfico ressaltado
com o botão direito e escolher “opções do gráfico”.
DICAS DO EXCEL
1) O Excel usa vírgulas para separar casas decimais.
2) Símbolos das operações:
Adição = +
Exemplo: = 3 + 5
Subtração = -
Exemplo: = 3 – 5
Multiplicação = *
Exemplo: = 3 * 5
Divisão = /
Exemplo: = 3/5
Potenciação = ^
Exemplo: = 3^5
Radiciação = ^
Exemplo: = 3^0,5
significa 35
significa
3
69
EaD
Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges
ATIVIDADES COM O EXCEL
1. Faça o gráfico das funções na mesma planilha. Use qualquer valor de x.
a) y = 5x + 3
b) y = -5x + 8
c) y = -3x + 8
d) y = 2x + 5
e) y = -0,5x + 8
f) y = -3,5x + 7,4
2. a) Observe o sinal do coeficiente angular e verifique se as funções do Ex.1 são crescentes ou
decrescentes.
b) Observe onde as retas do Ex. 1 interceptam o eixo Y e compare com o valor do coeficiente
linear.
3. Coloque todas as funções do Ex.1 no mesmo gráfico. Crie legendas para identificar cada
função.
4. Coloque os gráficos do Excel no redator de texto Word.
DICA: Depois do gráfico pronto, clique sobre a área do gráfico com o botão esquerdo do mouse.
Copie o gráfico com Ctrl-C e cole no Word, com Ctrl-V.
Vencida esta seção passaremos à próxima, que tratará do que denominamos de Funções
Quadráticas.
Seção 2.4
Funções Quadráticas
As funções quadráticas são funções de 2º Grau, muito comuns em aplicações nas Ciências e
em Economia. Nesta seção vamos estudar as raízes destas funções e o seu significado gráfico.
70
EaD
Matemática aplicada à administração
A função do 2º Grau tem a forma
ou uma forma mais conhecida
(2.4.1)
y(x) =Ax2 + Bx + C. (2.4.2)
y(x) = a2x2 + a1x + ao
Concavidade da parábola
Esta função, quando localizada no gráfico, tem a forma de uma parábola, com concavidade
para cima ou para baixo.
Se A é positivo a parábola tem concavidade para cima.
Se A é negativo a parábola tem concavidade para baixo.
Veja os exemplos:
A função da Figura 2.4.1(a) é y(x) = x2 – 5x + 10.
Observe que A = 1 ; B = -5 e C = 10.
Como A é positivo a concavidade da parábola é para cima.
A função da Figura 2.4.1(b) é y(x) = – x2 + 5x .
Observe que A = -1 ; B = +5 e C = 0.
Como A é negativo a concavidade da parábola é para baixo.
71
EaD
Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges
30
7
25
6
5
4
15
Y
Y
20
3
10
2
5
1
0
0
0
1
2
3
4
5
6
7
0
1
2
X
3
4
5
X
Figura 2.4.1 (a) Concavidade para cima
(b) Concavidade para baixo
Raízes da parábola
Os valores de x dos pontos onde as funções do 2º Grau passam pelo eixo X (ou seja, com
y = 0) são chamados de raízes da função quadrática. Colocando y = 0 na Eq. 2.4.2, obtemos
uma equação do 2º Grau:
0 =Ax2 + Bx + C.
(2.4.3)
A solução da equação do 2º Grau é obtida pela conhecida fórmula de Bhaskara.
x1,2 =
− B ± B 2 − 4 AC
2A
Você deve observar que esta função pode:
1) passar pelo eixo X em dois pontos;
2) encostar no eixo X em apenas 1 pontos, ou,
3) simplesmente não encostar no eixo X.
De fato, a equação (2.4.3) pode ter três resultados:
1) Dois valores distintos de x: x1 e x2 . Isto ocorre quando
B2 – 4AC > 0.
72
(2.4.4)
EaD
Matemática aplicada à administração
2) Dois valores iguais de x: x1 = x2 (significa somente um ponto). Isto ocorre quando
B2 – 4AC = 0.
3) Nenhum valor real de x: Isto ocorre quando
B2 – 4AC < 0.
Exemplo 2.4.1: Dada a função y = x2 – 4x + 3, encontre suas raízes e faça um esboço
do gráfico.
Solução: Fazendo y = 0 na equação dada, temos:
0 = x2 – 4x + 3. (2.4.5)
Usando a Eq (2.4.4) para A = 1 ; B = -4 e C = 3, obtemos:
x1,2 =
− ( −4 ) ± ( −4 )2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 3 4 ± 2
=
2 ⋅1
2
x1 = 3 e
x2 = 1 .
Assim, x1 = 3 e
x2 = 1 são as raízes da função dada. Isto significa que essa fun-
ção passa pelo eixo X, nos pontos (1,0) e (3,0). O leitor pode verificar isto na Figura
Y
2.4.2 .
10
8
9
7
6
8
7
5
6
4
5
Y
9
3
4
2
3
2
1
0
-1 0
1
1
2
3
4
5
0
0
-2
X
Figura 2.4.2: Exemplo 2.4.1 – Posição das raízes
1
2
3
4
5
X
Figura 2.4.3: Exemplo 2.4.2 – Posição da raiz
73
EaD
Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges
Exemplo 2.4.2: Dada a função y = x2 – 4x + 4, encontre as raízes da função e faça
um esboço do gráfico.
Solução: Fazendo y = 0 na equação dada, temos:
0 = x2 – 4x + 4. (2.4.6)
Usando a equação (2.4.4) para A = 1 ; B = -4 e C = 4, obtemos:
x1,2 =
− ( −4 ) ± ( −4 )2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 4 − ( −4 ) ± 0 4 ± 0
=
=
=2
2 ⋅1
2 ⋅1
2
x1 = x2 = 2 .
Nesse caso, dizemos que temos duas raízes iguais x1 = x2 = 2 . Isto significa que
essa função apenas encosta no eixo X, no ponto (2,0). O leitor pode verificar isto na
Fig. 2.4.3.
Exemplo 2.4.3: Dada a função y = x2 – 4x +5, encontre as raízes da função e faça
um esboço do gráfico.
Solução: Fazendo y = 0 na equação dada, temos:
0 = x2 – 4x + 5. (2.4.7)
Usando a equação (2.4.4) para A = 1 ; B = -4 e C = 5, obtemos:
− ( −4 ) ± ( −4 )2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 5 − ( −4 ) ± − 4 ?
x1,2 =
=
= =?
2 ⋅1
2 ⋅1
2
Nesse caso, temos a raiz de um número negativo
− 4 , que não é um número real.
Por isso, dizemos que a equação (2.4.7) não tem raízes reais, e conseqüentemente
não passa pelo eixo X. O leitor pode verificar isto na Fig. 2.4.5.
74
EaD
Matemática aplicada à administração
12
10
Y
8
6
4
2
0
0
1
2
3
4
5
X
Figura 2.4.5: Ex.2.4.3 – Parábola sem raízes reais
Vamos exercitar o que aprendemos nesta seção?
Exercícios 2.4.1
1. Encontre as raízes das funções (se existirem) e faça um esboço do gráfico:
a) y = x2 – 2x – 3 d) y = x2 – x +1
b) y = -x2-2x + 3 e) y = -x2 +6x – 9
c) y = x2 –4x – 5 f) y = x2 -2x + 3
2. Analise a concavidade das funções do Ex.1.
Atenção: não siga adiante se você não fez os exercícios anteriores. Lembre-se de que
cada item estudado é pré-requisito para seguir adiante e compreender o conteúdo.
75
EaD
Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges
O vértice da parábola
O vértice de uma função quadrática é o ponto onde a função tem um valor máximo ou
mínimo. A dedução das fórmulas das coordenadas do vértice podem ser encontradas na Unidade 3. Neste estágio de nosso estudo vamos apenas usá-las. Retomando a Eq. (2.4.2), temos
y(x) =Ax2 + Bx + C. A coordenada x do vértice é dada pela fórmula: xv = −
B
2A
(2.4.8)
A coordenada y do vértice é dada pelas fórmulas: yv = Axv 2 + Bxv + C ou (2.4.9)
yv =
4 AC − B 2
4A
(2.4.10)
Exemplo 2.4.4: O custo marginal de um produto é a variação do custo de produção,
à medida que mais uma unidade é produzida. Suponhamos que a função
CM(x) = 0,0369 x2 – 0,83x + 4,87
dá o custo marginal da fabricação de um determinado produto até 20 unidades.
A Figura 2.4.4 mostra o gráfico desta função. O leitor pode observar que existe um
custo marginal mínimo próximo de 10, 11 ou 12 unidades. Para determinar com
precisão o vértice da parábola vamos usar as Eqs. 2.4.8 e 2.4.9.
xv = −
− 0 ,83
= 11,24
2 ⋅ 0 ,0369
yv = 0 ,0369 ⋅ 11,24 2 − 0 ,83 ⋅ 11,24 + 4 ,87 = 0 ,20
O vértice exato da parábola é V=(11,24, 0,20), no entanto não existem unidades fracionárias do produto. Por isso, procuramos um valor de x mais próximo. Nesse caso, é
x = 11 unidades. Esses resultados significam que para 11 unidades o custo marginal
é mínimo e com valor de R$ 0,20 . O leitor pode ver isso na Figura 2.4.4.
76
EaD
Matemática aplicada à administração
Figura 2.4.4: Vértice da parábola
Perceba que buscamos trabalhar com exemplos concretos para que você possa perceber a
importância deste componente curricular para a sua formação e desempenho da atividade que
escolheu para si: a de administrador!
Exercícios 2.4.2
1. Dadas as funções quadráticas, calcule o vértice e faça um esboço do gráfico.
a) y = x2 – 4x – 3 c) y = -3x2 – 6 x +4
b) y =-2 x2+2x – 5 d) y = 3x2 – 6x + 5
2. A função custo marginal de um produto é CM(x) = 0,03 x2 – x + 10 .
a) Essa função tem raízes reais?
b) Calcule o custo marginal mínimo.
77
EaD
Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges
Funções Polinomiais
Existem funções polinomiais de ordem (grau) maiores do que dois. Uma função polinomial
de grau “n” pode ser escrita na seguinte forma:
Pn(x) = anxn + ... + a3x3 + a2x2 + a1x + ao .
Para os objetivos deste livro, vamos restringir nosso estudo às funções polinomiais de grau
menor ou igual a 3. Você deve ter observado que já estudamos os gráficos e raízes das funções de
1º e 2º Graus. Vamos analisar agora uma função importante para a economia, que geralmente
é um polinômio de 3º Grau.
Função Custo de Produção: O custo para gerar um produto é uma função da quantidade
de unidades produzidas. Para pequenas quantidades (como as pizzas da Dona Maria) a dependência pode ser linear, mas à medida que aumentamos o número de unidades produzidas a
dependência torna-se não-linear.
Geralmente usamos funções polinomiais de 3o Grau para descrever as funções custo:
C(x) = a3x3 + a2x2 + a1x + ao
onde C é o custo (em unidades monetárias)
x é o número de unidades produzidas e
a3 , a2 , a1 e ao são parâmetros (números reais).
Exemplo 2.4.5:: A função C(x) = 0,0123 x3 -0,415x2 + 4,8727x é uma função polinomial de 3o Grau e fornece o custo de produção de um determinado produto até 20
unidades. O leitor pode observar no gráfico que se trata de uma função não-linear,
ou seja, o custo de produção não é diretamente proporcional ao número de unidades produzidas. Esse custo aumenta de forma diferente para cada unidade a mais
fabricada.
78
EaD
Custo ($)
Matemática aplicada à administração
35
30
25
20
15
10
5
0
0
5
10
X (unidades)
15
20
Figura 2.4.5: Custo de produção polinomial
Vamos estudar as técnicas específicas para analisar estas funções na Unidade 3, que abordará o tema Taxas de variação e derivadas.
Seção 2.5
Funções Exponenciais e Logaritmos
O trabalho de aplicação de funções exponenciais depende do conhecimento das propriedades das potências.
Propriedades das potências (PP)
Nas propriedades a seguir as constantes a e b são números reais positivos diferentes de
1 e as letras m e n são constantes ou variáveis reais quaisquer. Em linguagem matemática escrevemos:
a e b ∈ R , tal que a > 0, b > 0 e a ≠ 1 e b ≠ 1; e
men∈R
79
EaD
Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges
PP1) bm ⋅ bn = bm+n
PP2) b
−m
=
1
bm
(expoente negativo)
PP3) bm ÷ bn = bm-n
PP4) ( b
) = b m⋅n m n
PP5) am ⋅ bm = (ab)m
a
=  PP6)
m b
b
i
(quociente de potências de mesma base)
(potência de potência)
(produto de potências com expoentes iguais)
m
am
PP7)
(produto de potências de mesma base)
ae = ae / i (quociente de potências com expoentes iguais)
(raiz e expoente fracionário)
PP8) Se am =⋅ an então m = n.
OBSERVAÇÕES
1. Usaremos as letras “PP” com referência às propriedades das potências.
2. Você deve lembrar sempre de consultar estas propriedades para operar com potências.
Exemplo 2.5.1 – Resolva as potências usando as propriedades.
1
a)  
2
−1
= b) 3 16 ⋅ 2 2 = Solução:
1
 
−1  
1
1
 
(a) Usando a PP2:   =   = 2.
1
2
 
2
(b) Sabendo que 16 = 24 , temos:
3 4
2 ⋅ 22.
Usando a PP7 e em seguida a PP1, temos; 2 4 / 3 ⋅ 2 2 = 210 / 3 .
80
EaD
Matemática aplicada à administração
Exercícios 2.5.1
1. Resolva as potências usando as propriedades.
a) 23 ⋅ 22 =
f) 3 8 ⋅ 4 4 =
b) 32 ⋅ 34 ⋅ 35 =
g) 41/2=
c)
d)
23
24
= 33 ⋅ 34
3 2 ⋅ 35
= 2 3
e) ( 5 ) = h)
i)
( 4 2 )3
( 2 3 )2
=
34
=
32 2
2
⋅
j) 4 16 ÷ 2 2 =
2. Use sua calculadora para resolver:
a) 23/2
b)
c) 20.5
e) 31,5
5 d) 3 5 f)
3 2
5
Funções exponenciais
A Função Exponencial expressa uma série de fenômenos da ciência (crescimento populacional, reações químicas, desintegração radioativa) e particularmente nas Ciências Econômicas
expressa aplicações ou financiamentos com capitalização. Inicialmente vamos aprender como é
o crescimento exponencial, suas características e a álgebra envolvida, para depois fazer aplicações em problemas de economia.
As funções exponenciais têm a forma
y = bax
(2.5.1)
81
EaD
Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges
onde y é a variável dependente, x a variável independente, a e b são números reais (constantes), sendo que b > 0 e b ≠ 1 .
Se a base b é o número de Euler e = 2,718281828... chamamos a função de “exponencial
natural” e escrevemos:
y = eax
(2.5.2)
O leitor deve observar a diferença entre as funções polinomiais e as exponenciais.
As funções polinomiais têm a variável na base e o expoente é constante:
Por exemplo: y = x2.
As funções exponenciais têm a variável no expoente e a base é constante:
Por exemplo: y = 2x.
Exemplo 2.5.2 – Qual das funções a seguir cresce mais?
y = x2
ou
y = 2x
Solução: Vamos fazer tabelas de valores de x e y para as duas funções, inserir esses
valores no gráfico e comparar.
x2
0
1
4
9
16
25
36
2x
1
2
4
8
16
32
64
70
60
potência
50
exponencial
40
Y
x
0
1
2
3
4
5
6
30
20
10
0
0
1
2
3
4
5
6
X
O leitor deve observar que as funções são diferentes. Apresentam valores próximos
até x = 4, mas para x > 4 a exponencial cresce mais que a polinomial.
82
EaD
Matemática aplicada à administração
Exemplo 2.5.3 – Vamos fazer uma tabela e um esboço do gráfico das funções: y =
2x e y=2-x.
Solução: Observe que estimando valores para x e calculando os valores de y de
acordo com as funções dadas, obtemos os dados da tabela e com eles, podemos fazer
o gráfico.
y=2x
0,0625
0,125
0,25
0,5
1
2
4
8
16
y=2-x
16
8
4
2
1
0,5
0,25
0,125
0,0625
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Y
x
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-4
-3
-2
-1
Y=2^(-X)
Y=2^X
0
X
1
2
3
4
Exercícios 2.5.2
1. Faça uma tabela e um gráfico das funções dadas (use o mesmo plano cartesiano)
a) y = 4x
c) y = 3x
e) y = 2-3x
b) y = 5x
d) y = 6x
f) y = 2-2x
2. Compare as funções exponenciais de (a) a (d) do Ex.1. Qual delas cresce mais?
3. Compare as funções exponenciais de (a) a (d) com as funções (e) e (f) do Ex.1. O que você
pode afirmar sobre a influência do sinal do expoente no comportamento de crescimento/decrescimento das funções exponenciais? Explique sua resposta.
4. Faça os gráficos das funções a seguir em uma planilha eletrônica:
a) y = 5.2x
b) y = 5.ex
83
EaD
Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges
Equações exponenciais
As equações exponenciais são igualdades entre expressões, onde a variável está no expoente. A solução destas equações é obtida empregando as propriedades das potências.
Exemplo 2.5.4 – Resolver a equação exponencial: 4 ⋅ 2x = 16
Solução: Para usar a propriedade PP8 precisamos antes igualar as bases dos dois lados
da igualdade. Nesse caso, dividindo ambos os lados da equação por 4, obtemos:
2x = 4
2x = 22 . Usando a propriedade PP8, temos:
x = 2.
Exemplo 2.5.5 – A depreciação de um imóvel pode ser dada pela função
V = Vo 2-bt, (2.5.3)
onde V é o valor do imóvel, Vo é o valor do imóvel novo, b é um número real e t é o
tempo, em anos. Sendo Vo = R$ 110.000,00 e b = 0,2 :
a) Calcule o valor do imóvel depois de 10 anos.
b) Em quanto tempo o valor do imóvel atingirá a metade do seu valor inicial
Vo ?
c) Segundo esse modelo, o preço do imóvel pode ser nulo?
Solução
(a) Substituindo os dados de Vo = R$ 110.000,00 , b = 0,2,
2.5.3, temos:
84
e t=10 anos na Eq.
EaD
Matemática aplicada à administração
V = R$ 110.000 ⋅ 2-0,2⋅ 10
V = R$ 27.500,00
(b) Usando V = Vo/2 e b = 0,2 na Eq. 2.5.3, temos
Vo/2 = Vo ⋅ 2-0,2⋅ t
Dividindo ambos os lados da equação por Vo, temos:
½ = 2-0,2⋅ t
Usando a propriedade PP2, temos:
2-1 = 2-0,2⋅ t
Como as bases de ambos os lados são iguais, usando a propriedade PP8, temos:
-1 = -0,2t
t = 5 anos.
(c) Se o leitor colocar valores de t cada vez maiores (fazer t tender a infinito) na Eq.
2.5.3 observará que o valor do imóvel tenderá a zero. Assim, só para t=∞
o preço
do imóvel será nulo, no entanto. Para efeitos práticos, observe que para t = 50 anos,
V = R$ 107,42, o que corresponde a 0,097 do valor inicial.
Exercícios 2.5.3
1. Resolva as equações exponenciais:
a) 2x = 8
c) 3x = 1/729
b) 3x+1 = 27
4 x
d) 5 2 = 160
85
EaD
Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges
2. A depreciação de um carro pode ser dada pela Eq. 2.5.3.
a) Elabore uma fórmula para calcular o tempo em que o carro terá a metade do seu valor inicial Vo.
b) Sabendo que b = 0,23, determine o tempo para o valor do carro atingir ¼ Vo .
Exemplo 2.5.3 – População de ratos
As populações de insetos, ratos, microorganismos e também de humanos cresce
exponencialmente, sob determinadas condições. Analisemos o crescimento de uma
população de ratos.
Consideremos a geração “zero”, composta apenas pelo ratão-pai, portanto 1 indivíduo.
Considerando que cada indivíduo tenha, na sua existência, apenas 3 filhos, o número
de ratos-filhos da primeira geração será 3. Na segunda geração será 3 vezes, 3 que
dá 9, na terceira 3⋅3⋅3 = 27, e assim por diante. A coluna 2 da Tabela 2.5.1 mostra
as gerações e a população de ratos para esse caso. Como os ratos só comem e fazem
filhos, se não morrer nenhum dos bichinhos, para a geração n podemos dizer que a
população de ratos é 3n ratos. Confira na Tabela 2.5.1.
Se cada pai tiver 4 filhos, a população de ratos cresce muito mais rapidamente do
que com 3. Veja a comparação na Tab. 2.5.1 e na Fig. 2.5.1. Se a população humana
cresce exponencialmente, pense um pouco mais antes de fazer 4 filhos !
Tabela 2.5.1: População de ratos
Geração
0
1
2
3
4
...
n
População
3 filhos por pai
1
3
9
27
81
...
3n
4 filhos por pai
1
4
16
64
256
...
4n
300
População (indivíduo)
250
200
P3
150
P4
100
50
0
0
1
2
3
4
Gerações
86
Figura 2.5.1: População de ratos
EaD
Matemática aplicada à administração
Observe que nesse modelo o número de ratos da geração posterior (P(n+1)) é calculado
multiplicando por 3 (se três filhos) ou 4 (se quatro filhos) o número de ratos da geração
anterior (P(n)). Podemos afirmar que a população da geração posterior (P(n+1)) depende
da população da geração anterior (P(n)). Assim, podemos expressar a população de
ratos da seguinte forma:
P(n) = 3n para 3 filhos por pai e
P(n) = 4n para 4 filhos por pai.
Genericamente,
P( n ) = q n , para n = 0,1,2,3,4,...
(2.5.4)
onde P(n) é a população de ratos na geração n (indivíduos), n é a geração e
q é o número de filhos que cada pai tem em cada geração (indivíduos).
Se existirem N ratos na geração “zero”, basta multiplicar o lado direito da Eq. 2.5.4
por N:
P( n ) = Nq n , para n = 0,1,2,3,4,...
(2.5.5)
Exemplo 2.5.5 – Juros compostos
Uma aplicação financeira do tipo poupança com taxa mensal constante também tem
crescimento exponencial. A Tab. 2.5.2 mostra uma aplicação de R$ 1.500,00 corrigida
mês a mês com uma taxa de 1%. Observe que para obter o Capital do mês posterior
(C(n+1)) multiplicamos o mês anterior (C(n)) por 1,01. Confira!
De forma semelhante ao crescimento da população dos ratos, podemos encontrar
uma função para calcular o capital.
C( t ) = C o i t para n = 0,1,2,3,4,...
(2.5.6)
87
EaD
Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges
onde Co é o capital inicial (R$),
i = 1+
j
, onde j é a taxa de rendimento mensal e
100
t é o tempo em meses.
Tabela 2.5.2: Aplicação com juros compostos
Capital, C(t)
(R$)
1500,00
1515,00
1530,15
1545,45
1560,90
.....
1867,07
1885,74
1904,60
3500
Capital (R$)
Tempo, t
(meses)
0
1
2
3
4
...
22
23
24
j=1,01
3000
j=1,02
j=1,03
2500
2000
1500
0
4
8
12
16
Tempo (meses)
20
24
Figura 2.5.2: Juros compostos com diferentes taxas
A Figura 2.5.2 mostra três aplicações com taxas de juros j = 1, 2 e 3 %. Observe que
temos curvas (não são retas!), sendo que quanto maior é a taxa de juros, mais cresce
o capital.
Progressões Geométricas
As seqüências mostradas nas Tabs. 2.5.1 e 2.5.2, população e capital, respectivamente, são
Progressões Geométricas. Escrevemos uma PG da seguinte forma:
PG : { ao, a1, a2, .... , an }
Nestas progressões, o termo posterior (an+1) é obtido multiplicando o anterior pela razão r.
a n + 1 = a n ⋅ r 88
(2.5.7)
EaD
Matemática aplicada à administração
Esta equação eferece uma maneira fácil de reconhecer seqüências exponenciais. Observe
que dividindo um termo posterior pelo anterior, dá sempre o mesmo número. Teste essa idéia
nas Tabelas 2.5.1 e 2.5.2.
a
r = n + 1 an
(2.5.8)
Da mesma forma que nos problemas dos ratos e dos juros, o termo geral da PG é calculado,
fazendo
a n = ao ⋅ r n para n = 0,1,2,3,4,...
(2.5.9)
Observe que as Eqs. 2.5.4, 2.5.6 e 2.5.9 são muito semelhantes. Todas elas expressam
problemas exponenciais.
Um resultado importante para as Ciências Econômicas é a soma dos termos de uma PG:
s n = ao
1− rn
1− r
(2.5.10)
Onde Sn é a soma de “n” termos da PG.
Exercícios 2.5.4
1.a) Construa uma PG de 5 termos, ao = 1 e razão r = 3.
b) Some manualmente os 5 termos da PG.
c) Use a Eq. 2.5.9 para calcular a soma dos 5 termos da PG. Compare o resultado obtido com
o resultado da letra (b).
2. Observe esta PG: {1, i, i2, i3 , i4 }
a) Qual é o ao? Qual é a razão? Qual é o número de termos?
b) Calcule a soma dos cinco primeiros termos usando a Eq. 2.5.9.
89
EaD
Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges
3. Observe esta PG: {1, i, i2, i3 , i4 , ..., in-1}
a) Qual é o ao? Qual é a razão? Qual é o número de termos?
b) Calcule a soma dos “n” primeiros termos usando a Eq. 2.5.9.
4. Observe esta PG: {1; 1,04; 1,04i2; 1,04i3 ; 1,044 ; ...; in-1}
a) Qual é o ao ? Qual é a razão ? Qual é o número de termos ?
b) Calcule a soma dos “n” primeiros termos usando a Eq. 2.5.9.
5. Calcule a população de ratos para 5 gerações, considerando que 3 ratos-pais formam suas
famílias, fazendo 5 filhos cada um, a cada geração.
6. Verifique se as seqüências das colunas da Tabela a seguir são exponenciais. (Use a idéia da
Eq. 2.5.7.
Tempo
(meses)
0
1
2
3
4
5
S1
S2
S3
S4
1.250,00
1.500,00
1.800,00
2.160,00
2.592,00
3.110,40
3.200,00
3.520,00
3.840,00
4.160,00
4.480,00
4.800,00
10.000,00
10.001,01
10.002,02
10.003,03
10.004,04
10.005,05
7.500,00
7.725,00
7.956,75
8.195,45
8.441,31
8.694,55
7. a) Faça uma tabela semelhante à Tab. 2.5.2, considerando o capital inicial R$ 2.450,00, a taxa
de juros de 0,9% ao mês, para uma aplicação com juros compostos de 6 meses (Use a Eq. 2.5.6
para encontrar o capital em cada mês).
b) Elabore um gráfico com os resultados.
c) Você acha que a seqüência de dados no gráfico forma uma reta? Justifique sua resposta.
8. Um pai de família fez uma aplicação R$ 15.000,00 com taxa fixa de 1,1% ao mês pensando em
custear as despesas com a universidade de sua filha de 7 anos. Calcule o capital disponível
quando a filha tiver 17 anos.
90
EaD
Matemática aplicada à administração
Logaritmos
Definição: N é o logaritmo na base b de um número x, se b na potência N é igual a x.
log b x =N se, e somente se bN = x .
(2.5.10)
para b ∈ R, tal que b > 0 e b ≠ 1
x ∈ R , tal que x > 0.
Da definição anterior a base “b” pode ser qualquer número real positivo e diferente de 1,
no entanto as calculadoras disponibilizam apenas duas bases: a base 10 e a base e.
Os logaritmos na base 10 (logaritmos decimais) podem ser escritos omitindo a base, usando
apenas “log”:
log102 = log 2;
log105 = log 5; log107 = log 7
Os logaritmos na base e (logaritmos naturais) podem ser escritos omitindo a base, usando
apenas “ln”:
loge2 = ln 2;
loge5 = ln 5;
loge7 = ln 7
Propriedade dos logaritmos
Para qualquer b > 0 e b ≠ 1:
PL1) log b 1 = 0
PL2) log b b = 1
PL3) log b ( m ⋅ n ) = log b m + log b n
PL4) log b ( m / n ) = log b m − log b n
n
PL5) log b b = n
n
PL6) log b c = n log b c
91
EaD
Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges
PL7) log b
n m
c
=
m
log b c
n
PL8) Mudança da base b para base c;
log b x =
log c x
log c b
OBSERVAÇÕES
1. Usaremos as letras “PL” com referência às propriedades dos logaritmos.
2. Relembrando: você deve sempre consultar estas propriedades para operar com logaritmos.
Equações logarítmicas
Algumas equações não podem ser resolvidas empregando somente as propriedades das
potências. Por exemplo:
10x = 3
(2.5.11)
Veja que não podemos usar a propriedade PP8 por que não podemos transformar 10x e 3 em
potências de mesma base. Mesmo assim, deve existir um x que seja solução da equação, pois:
Se x = 0, temos100 =1 < 3.
Se x = 1, temos101 =10 > 3.
Assim, 0 < x < 1.
Nesse caso, aplicando logaritmo nos dois lados da Eq. 2.5.11, temos:
log 10x = log 3
Usando a propriedade PL5 no lado esquerdo da Eq. 2.5.12, temos:
log 10x= xlog10 = x ⋅ 1 = x
Então,
92
x = log 3.
(2.5.12)
EaD
Matemática aplicada à administração
Usando a calculadora obtemos um valor aproximado para
x = log 3= 0,477121254...
Convidamos o leitor a usar sua calculadora científica e testar este valor de x na Eq. (2.5.11).
(O valor a seguir foi obtido com uma calculadora de 10 dígitos).
10 0,477121254 = 2,999999995.
Exemplo 2.5.7: Resolva a equação
e5x = 12.
Solução: Aplicando logaritmo natural nos dois lados da equação dada, temos:
ln e5x = ln 12
Usando a PL5 no lado esquerdo da equação, temos:
5x = ln 12
x = 1/5 ln 12 ≈ 0,496981.
Exemplo 2.5.8 – Resolver a equação: 5 = 4 ⋅ 2x.
Solução: Dividindo a equação por 4, temos:
5
= 2x .
4
Aplicando logaritmo decimal dos dois lados da equação, temos:
log
5
= log 2 x .
4
Usando a PL6, temos:
log
5
= x log 2 .
4
93
EaD
Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges
Dividindo por log 2, temos:
x=
log( 5 / 4 )
, que é a solução da equação.
log 2
Se o leitor colocar esses números na calculadora científica, obterá:
x = 0,321928.
Exemplo 2.5.9: A fórmula para calcular o montante em um financiamento com juros
compostos é
C( t ) = Co i t (2.5.13)
Onde C é o capital (montante), Co é o capital inicial, i é a taxa de juros e t é o tempo,
em meses. Resolva a fórmula dada para o tempo t.
Solução: Resolver a fórmula dada para o tempo t significa “isolar” o t. Podemos começar dividindo toda a equação por Co.
C( t ) t
= i Co
(2.5.14)
Aplicando logaritmo decimal nos dois lados da equação, obtemos:
log
C( t )
= log i t Co
(2.5.15)
Usando a propriedade PL6 no lado direito da equação, temos:
log i t = t log i (2.5.16)
Substituindo (2.5.4) em (2.5.3), temos:
t=
1
C( t )
log
.
log i
Co
Na seqüência, desafiamos você a utilizar seus conhecimentos e resolver as questões
a seguir!
94
EaD
Matemática aplicada à administração
Exercícios 2.5.5
1. Resolva as equações exponenciais usando as propriedades dos logarítimos:
a) 103x = 2 f) e-x = 3
b) 10x-4 = 8 g) ex-2 = 5
c) 15 = 53x-5 h) 10 = ex-4
d) 4 = 3
e)
x2
1/ 2
1
= 4x
3
i) 8 = e
j)
x2
1/ 2
1
= ex
4
2. A fórmula para calcular o montante em um financiamento com juros compostos é
C ( t ) = Co i t
Onde C é o capital (montante), Co é o capital inicial, i é a taxa de juros e t é o tempo, em
meses. Resolva a equação dada para o tempo t. Sendo Co = R$10.000,00 e i = 1,008, encontre o
tempo necessário para que o capital aplicado seja de R$ 11.269,58.
Atividade 2.5.1 – Financiamento com capitalização e sem entrada
Considere o financiamento de um Capital Mo, sem entrada, taxa de juros j % ao mês e
prestações mensais fixas P.
Tabela 2.5.3: Montante de um financiamento
n
0
1
2
3
4
n
M(n)
Mo
(Mo i – P)
(Mo i – P)i-P
((Mo i – P)i-P)i-P
(((Mo i – P)i-P)i-P)i-P
.....
n
n-1
Mo i -P(i + in-2+...+ i+1)
95
EaD
Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges
A Tabela 2.5.3 mostra o número de prestações e o valor ainda não pago M(n). Observe
que o valor financiado é Mo. A incidência dos juros ocorre sobre Mo depois de um mês (o financiamento é sem entrada). Na linha referente à primeira prestação (n=1), o capital inicial
M(1) é calculado acrescentando os juros em M(0), com a taxa j, e subtraindo a prestação P. Esse
procedimento é repetido a cada prestação, de modo que para a última prestação “n” podemos
escrever a Eq. 2.5.17.
M ( n ) = M o i n − P( i n −1 + i n − 2 + i n − 3 + ... + i + 1 ) = 0 (2.5.17)
Observe que o termo entre parênteses na equação anterior é uma progressão geométrica
(PG) de razão i e primeiro termo ao= 1 e r=i . Usando a equação da soma de “n” termos de uma
PG (Eq. 2.5.9) na PG entre parênteses, temos:
i n −1 + i n − 2 + i n − 3 + ... + i + 1 =
1 − in
.
1−i
(2.5.18)
Substituindo a Eq. 2.5.18 na Eq. 2.5.17 e considerando M(n)=0 (pois para a prestação “n”
o financiamento deve ser pago totalmente), temos:
 1− in 
 0 = M o i n − P
 1−i 


(2.5.19)
Resolvendo a Eq. 2.5.19 para P, temos:
P = Mo
in( 1 − i )
1− in
(2.5.20)
Observe que a fração que multiplica Mo na Eq. 2.5.19 é o coeficiente (c) utilizado para calcular o valor da prestação P, considerando um financiamento de “n” prestações sem entrada.
c=
in( 1 − i )
1 − in
(2.5.21)
a) Considere o financiamento de um capital de R$ 10.500,00 e taxa de juros j = 1%. Calcule o
valor da prestação P (Eq. 2.5.20) sabendo que o financiamento deve ser pago em 10 vezes.
b) Faça uma tabela dos valores da dívida M(n) a cada mês.
96
EaD
Matemática aplicada à administração
Atividade 2.5.2 – Aplicação tipo previdência
Considere uma aplicação do tipo previdência, com depósito mensal de R$200,00 e taxa de
juros j = 1,15% ao mês.
a) Faça uma tabela em uma planilha eletrônica para calcular o capital disponível a cada mês.
Lembre-se que para calcular o mês posterior (Cn+1) aplicamos o juro sobre o capital disponível
no mês anterior (Cn) e acrescentamos o depósito mensal (D);
Cn+1 = Cn⋅ i + D
onde i = 1 + j/100 e D é o depósito mensal.
b) Revise a demonstração da Atividade 1 anterior e mostre que uma fórmula para calcular o
capital a cada mês é
1 − it
C( t ) = Co i + D
1−i
t
c) Anexe uma coluna na tabela da planilha do item (a) com o resultado da fórmula do item (b)
para calcular o capital disponível a cada mês. Compare com os dados da letra (a).
d) Observe que as fórmulas das letras (a) e (b) são métodos diferentes de calcular o capital. Qual
das fórmulas você usaria para calcular o capital disponível em 15 anos de aplicação?
Atividade 2.5.3 – Financiamento com capitalização e entrada
Considere o financiamento de um Capital Mo, com entrada, taxa de juros j % ao mês e
(n-1) prestações mensais fixas P.
a) Com base na Atividade Especial 1, faça uma tabela com as expressões para o montante da
dívida a ser paga em cada mês.
97
EaD
Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges
b) Mostre que a fórmula para calcular a prestação, nesse caso, é:
P = Mo
i n −1( 1 − i )
1− in
.
c) Faça uma planilha eletrônica para calcular a prestação para qualquer capital e qualquer taxa
de juros.
98
EaD
Unidade 3
Matemática aplicada à administração
TAXAS DE VARIAÇÃO E DERIVADAS
Os objetivos desta unidade são:
1.Desenvolver o conceito de derivada associado ao cálculo de taxas de variação de funções.
2.Calcular taxas de variação de funções discretas.
3.Calcular derivadas de funções contínuas.
4.Analisar o comportamento de funções a partir de sua derivada.
5.Aplicar o conceito de derivada em funções de interesse da Economia e Administração.
Para que possamos alcançar nossa meta, dividimos esta Unidade em seis seções, conforme
você pode conferir na seqüência.
Seção 3.1 – Taxa de variação de uma função
Seção 3.2 – A derivada de uma função
Seção 3.3 – Regras de derivação
Seção 3.4 – Análise do crescimento de funções
Seção 3.5 – Pontos críticos e extremos de funções
Seção 3.6 – Aplicações de derivadas
99
EaD
Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges
Seção 3.1
Taxa de variação de uma função
Considere a função da média dos preços de uma ação em um dia de pregão, anotados de
hora em hora, mostrada na Tabela 3.1.1 e na Figura 3.1.1. O tempo t = 0 h corresponde ao início
do pregão, geralmente às 11h.
Tabela 3.1.1: Preço de uma ação
32
31
30
Preço ($)
Ponto Tempo(dias) Preço
1
0
30
2
1
31
3
2
31,2
4
3
30,7
5
4
30
6
5
29,5
7
6
28,5
8
7
27
9
8
26
29
28
27
26
25
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Tempo (h)
Figura 3.1.1: Gráfico do preço de uma ação
Para saber quanto uma função cresce ou decresce, em um intervalo de tempo, vamos inicialmente conceituar a TAXA MÉDIA DE CRESCIMENTO.
A Taxa Média de Crescimento (T) entre dois pontos Pa e Pb da função preço é a razão da
diferença entre os preços, pela diferença entre os tempos:
T=
diferença dos preços P( t b ) − P( t a )
=
diferença dos tempos
tb − t a
(3.1.1)
onde ta e tb são os tempos, relativos aos pontos Pa e Pb.
Comparando a expressão da Taxa Média com a do coeficiente angular de uma reta que
passa por dois pontos, observamos que são iguais. Assim, podemos concluir que
100
EaD
Matemática aplicada à administração
Se T é POSITIVA entre dois pontos, então a função CRESCE entre esses dois pontos.
Se T é NEGATIVA entre dois pontos então a função DECRESCE entre esses dois pontos.
Para saber a taxa média entre os pontos P1 e P3 fazemos
T=
P(t 3 ) − P(t1 ) 31,2 − 30 1,2
=
=
= +0,6
t 3 − t1
2−0
2
Concluímos que entre t1 = 0 e t3 = 2 a função cresce (porque a taxa T é positiva) e com taxa
0,6. Este valor de T informa a intensidade de crescimento da função no período considerado.1
Analisemos as taxas médias de outros intervalos:
a) Intervalo entre os pontos P2 e P4 :
T2,4 =
P( t 4 ) − P( t 2 ) 30 ,7 − 31 0 ,3
=
=
= −0 ,15
t4 − t2
3−1
2
b) Intervalo entre os pontos P4 e P9:
T4,9 =
P( t 9 ) − P( t 4 ) 26 − 30 ,7 − 4 ,7
=
=
= −0 ,94
t9 − t4
8−3
5
Observe que nestes dois intervalos a função decresce (porque a taxa T é negativa). No
intervalo entre os pontos P2 e P4 a função decresce com maior intensidade do que no intervalo
entre os pontos P4 e P9.
Vamos “pôr a mão na massa”? A seguir, resolva os exercícios propostos. Eles lhe dirão se
você compreendeu mesmo o que estudou!
No caso das ações, a taxa é dada em percentual (tp), comparando o crescimento da ação, em um período qualquer, com o valor desta
na abertura do pregão. Entre os pontos P1 e P3 teríamos:
30
100%
1,2
tp%
tp = +4 %
Você deve observar que essa taxa não leva em conta o tempo. Seu significado é a variação do preço em relação ao preço de abertura,
enquanto que a taxa média é a variação do preço em relação à variação do tempo.
1
101
EaD
Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges
Exercícios 3.1
1. A Tabela 3.1.2 dá os preços de um produto durante 7 meses.
Tabela 3.1.2 – Preço de um produto
Tempo(h)
1
2
3
4
5
6
7
Preço (R$)
40,00
41,52
42,50
42,93
42,83
42,19
41,01
a) Calcule a Taxa Média para os intervalos t = 1 e t = 2; t = 1e t = 3; e t = 5 e t = 7.
b) Verifique o crescimento/decrescimento da função nos intervalos do item (a).
c) Faça um esboço do gráfico do preço pelo tempo.
2. A Figura 3.1.2 a seguir apresenta os valores de impostos arrecadados em uma cidade durante
os primeiros 8 meses do ano. Identifique:
a) Os meses em que houve crescimento da arrecadação.
b) Os meses em que houve decrescimento da arrecadação.
c) O mês no qual a arrecadação mais cresceu.
102
EaD
Matemática aplicada à administração
30
Impostos ($1000)
25
20
15
10
5
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Tempo (meses)
Figura 3.1.2: Impostos arrecadados
Seção 3.2
A derivada de uma função
A informação dada pela Taxa Média sobre a função refere-se apenas aos valores desta no
início e no final do intervalo analisado. Para obter informações sobre crescimento de funções em
cada ponto de um intervalo precisamos usar o conceito de derivada. Vamos verificar isto em um
exemplo sobre o deslocamento de um carro.
A Taxa Média de deslocamento de um carro em uma estrada, em função do tempo, é o que
chamamos de velocidade. Considere a estrada da Fig. 3.2.1, por onde um carro está se deslocando, com as posições assinaladas e os respectivos horários.
103
EaD
Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges
Figura 3.2.1: Deslocamento de um carro em uma estrada
Podemos calcular várias taxas médias (velocidades médias), como mostramos na Tabela
3.2.1.
Tabela 3.2.1: Deslocamento de um carro (Velocidade Média)
Intervalo
Deslocamento, ∆x
(km)
Tempo, ∆x,
(h)
Velocidade média
(km/h)
AB
BC
CD
DE
30
45
25
50
0,5
1,66
0,33
1
60
27,11
75
50
O motorista percorreu os 150 km em 2h, por isso, entre A e E a velocidade média é 75 km/h.
Em cada um dos intervalos 1, 2, 3 e 4, no entanto, a velocidade média foi diferente deste valor.
Uma informação mais precisa da velocidade em cada ponto da estrada só seria possível
com dados do tempo cada vez menores. Com tais dados poderíamos calcular a velocidade média
para intervalos de tempo bem pequenos, que praticamente seriam a velocidade em cada instante.
Escrevemos esta velocidade instantânea, matematicamente, como:
∆x
∆t → 0 ∆t
vi = lim
Lê-se: limite de delta x sobre delta t, quando delta t tende a zero.
Onde vi é a velocidade instantânea (km/h),
∆x é a distância percorrida no intervalo de tempo (km) e
∆t é o intervalo de tempo (h) .
104
EaD
Matemática aplicada à administração
Considere agora que somente no intervalo AB da estrada da Figura 3.2.1, foram obtidos
dados sobre o deslocamento do carro, de acordo com a Tabela 3.2.2.
Tabela 3.2.2: Dados sobre a posição do carro a cada 5’
Tempo, t (h)
12:00
12:05
12:10
12:15
12:20
12:25
12:30
Posição, x (km)
300
307
314
315
316
320
330
∆x, (km)
∆t, (h)
vm
-
-
-
Convidamos o leitor a completar as colunas em branco da Tab. 3.2.2. Algumas dicas
encontram-se a seguir:
1. Calcule ∆x fazendo a diferença entre as posições da coluna da posição X.
2. Calcule ∆t fazendo a diferença entre os tempos da coluna da posição t. Para escrever o tempo
em horas transforme os minutos em horas:
1h
60’
∆t’
∆t (h)
∆t( h ) =
∆t'
60
1. Calcule a velocidade média em cada intervalo.
Observe que na Tabela 3.2.1 temos ∆t = 30’ e apenas a informação da velocidade média
entre 12h e 12h30min. Nesse exemplo, fizemos ∆t ficar menor (5’) e temos velocidades ainda
médias, porém mais próximas do que seria a velocidade em cada instante de tempo. Podemos
diminuir ainda mais o ∆t . A Tabela 3.2.3 mostra dados do intervalo AB, com ∆t = 2’. Estes dados
são apresentados na forma de gráfico na Fig. 3.2.2 juntamente com as posições para ∆t = 5’ .
105
EaD
Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges
Veja que estamos fazendo ∆t ficar cada vez menor, ou seja, fazendo ∆t tender a zero (∆t → 0).
A Figura 3.2.3 mostra a taxa média de deslocamento calculada em intervalos de tempo de 2’ e
5’. Observe que com 2’ tem-se uma descrição melhor dos valores da taxa, do que com 5’. É claro
que podemos fazer isso infinitamente, mas você já percebeu que quanto menor o ∆t a velocidade
média se aproxima mais do que chamamos velocidade instantânea.
Tabela 3.2.3: Dados sobre a posição do carro a cada 2’.
Tempo
12:00
12:02
12:04
12:06
12:08
12:10
12:12
12:14
12:16
12:18
12:20
12:22
12:24
12:26
12:28
12:30
x, dt=2’
300
303
306
309
312
314
314,3
314,6
315
315,3
316
317,5
318,5
320
325
330
dx
3
3
3
3
2
0,3
0,3
0,4
0,3
0,7
1,5
1
1,5
5
5
-
dt
0,0333
0,0333
0,0333
0,0333
0,0333
0,0333
0,0333
0,0333
0,0333
0,0333
0,0333
0,0333
0,0333
0,0333
0,0333
-
vm, dt=2’
90
90
90
90
60
9
9
12
9
21
45
30
45
150
150
-
335
Posição, X (km)
330
325
320
X, dt=2'
315
X, dt=5'
310
305
300
295
12:00
12:05
12:10
12:15
12:20
12:25
12:30
Tempo, t (h)
Figuras 3.2.2: Posições do carro em função do tempo
106
EaD
Matemática aplicada à administração
Velocidade média, Vm (km/h)
160
140
120
100
Vm, dt=2'
80
vm, dt=5'
60
40
20
0
12:00
12:05
12:10
12:15
12:20
12:25
12:30
Tempo, t (h)
Figura 3.2.3: Velocidade em função do tempo com ∆t = 2’ e 5’.
Com essa descrição do movimento do carro com intervalos de tempo cada vez menores,
esperamos que o leitor tenha entendido o significado de TAXA MÉDIA e de TAXA INSTANTÂNEA. Na taxa média as funções devem ser discretas. Na taxa instantânea, como ∆t deve tender
a zero, as funções devem ser contínuas.
Genericamente, para uma função discreta y = f ( x ) , temos
Taxa média de variação
TM =
∆y
∆x
Genericamente, para uma função y = f ( x ) a TAXA MÉDIA tende a se aproximar da taxa
instantânea, quando ∆x tende a zero, e a chamamos de DERIVADA da função y = f(x).
∆y
Taxa de variação instantânea = Derivada de y = lim
∆x → 0 ∆x
Empregamos o símbolo (’) para indicar a derivada de uma função. Veja alguns exemplos:
107
EaD
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Função
Y
f(x)
P(t)
X(t)
Derivada
y’
f ’(x)
P’(t)
X’(t)
Lê-se
“Derivada de y“ ou “y linha”
“Derivada de f em relação a x“ ou “ f linha”
“Derivada de P em relação a t” ou “P linha”
“Derivada de X em relação a t” ou “X linha”
Também podemos indicar a derivada usando a forma y' =
F' ( x ) =
dF
;
dx
P' ( t ) =
dP
;
dt
X' ( t ) =
dy . Veja mais exemplos:
dx
dX
.
dt
E... chegou a hora de mais exercícios!
Exercícios 3.2
1.Dados os preços do feijão durante um certo mês:
a) Calcule a Taxa de Variação Média em cada intervalo de tempo.
b) Faça um gráfico da função preço do feijão (P) em função do tempo (t).
c) Faça um gráfico da Taxa de Variação Média (TP) em função do tempo (t).
d)Descreva o comportamento da função P (crescimento/decrescimento) aplicando a informação
da Taxa de Variação Média.
t (dia)
1
5
15
30
P (R$)
2,50
2,20
2,60
2,80
dP (R$)
dt (dia)
TP (R$/dia)
2. A Tabela a seguir apresenta a variação do preço do petróleo em um determinado período.
a) Faça um gráfico de P x t.
b) Analise o gráfico e identifique o(s) intervalo(s) onde a função P cresce/decresce. Veja o sinal
da derivada nestes intervalos.
108
EaD
Matemática aplicada à administração
c) Existe um (ou mais de um) dia em que o preço é máximo. Veja o valor da Taxa Média nestes dias.
t (dia)
1
2
3
4
5 6
7
8
9
10 11
12
13
14 15
Preço (R$) 21 33,6 47,2 61,2 75 88 99,6 109,2 116,2 120 120 115,6 106,2 91,2 70
Seção 3.3
Regras de derivação
As funções analisadas nas seções anteriores desta Unidade são discretas e por isso foram
dadas na forma de tabelas. Em muitos casos, as expressões matemáticas das funções são conhecidas e é possível determinar suas derivadas com precisão. Nesta seção vamos estudar as
derivadas de funções contínuas.
O significado da derivada é o mesmo da seção anterior: a derivada continua sendo a taxa
de variação instantânea da função em cada valor de x.
Calcular taxas de variação instantâneas como fizemos na seção anterior é muito trabalhoso.
É trabalho para computador. Felizmente, os matemáticos demonstraram regras que nos permitem
calcular derivadas de uma série de funções elementares e combinações destas. Vamos aprender
a usar essas fórmulas.
Regra 1: Regra da função constante
Se a função é y = c, onde c é uma constante, então y’= 0.
Observe que essa é uma regra bem óbvia: se a função é constante, é claro que sua variação
(derivada) deve ser nula!
Regra 2: Regra da função potência
Se a função é y = xn , então y’= n xn-1
Onde n é um número racional (número inteiro ou fracionário).
109
EaD
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Exemplo 3.3.1: Dada a função y = x2, calcule sua derivada e analise o comportamento
de y a partir do sinal da derivada y’.
Solução: Observe que se trata de uma função potência, com n = 2. Vamos, portanto,
usar a Regra 2.
y’ = 2 x2-1=2x1 = 2x.
Isto significa que a função y = x2 tem sua taxa de variação instantânea (derivada)
dada por y’ = 2x. Observe na tabela a seguir, que podemos calcular a taxa de variação de y para qualquer x que desejarmos e analisando o sinal de y’, decidir se a
função cresce ou decresce.
X
-1,5
-1
0
1
2
y = x2
+2,25
1
0
1
4
y’ = 2x
-3
-2
0
2
4
y cresce ou decresce ?
y decresce
y decresce
y é estacionária
y cresce
y cresce
Regra 3: Regra da adição ou subtração de funções
Se F(x) = y1(x) ± y2(x) ± y3(x) ± ... ± ym(x)
então F’(x) = y1’(x) ± y2’(x) ± y3’(x) ± ... ± ym’(x), para m ∈ N.
Ou seja, se F(x) é uma soma (ou subtração) de funções, então F’(x) é a soma (ou subtração)
das derivadas dessas funções.
Exemplo 3.3.2: Dada a função y = x3 +5 , calcule sua derivada e analise o comportamento de y a partir do sinal da derivada y’.
Solução: Nesse caso, precisamos aplicar a Regra 3, porque a função dada é a soma
de uma função potência com uma função constante. Assim, derivamos x3 e 5 separadamente. Usamos a Regra 2 para a função x3 e a Regra 1 para 5.
y’ = 3x2 + 0 = 3x2.
Testando conhecimentos…
110
EaD
Matemática aplicada à administração
Exercícios 3.3.1:
1. Calcule a derivada das funções usando as Regras 1, 2 e 3.
a) y = x4– 6 d) y = x3 + x2 – x – 1
b) y = x3 + x2 -3
e) y = x2 –x + 7
c) y = x5 + x4 – x2 – 8
f) y = (x+2)2
2.Dada a função y = x3 -x, calcule sua derivada e analise o comportamento de y a partir do sinal
da derivada y’, para x = -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3.
3. Faça o gráfico da função do Exercício 2 e verifique se o sinal de y’ (positivo ou negativo) coincide com o comportamento de y (cresce ou decresce).
Regra 4: Regra da função exponencial
Se a função é y = ex
então y’ = ex.
Ou seja, a derivada da função exponencial é ela mesma !
Exemplo 3.3.3: Verifique se a função exponencial y = ex cresce ou decresce para
qualquer valor de x.
Solução: A derivada da função exponencial é ela mesma (de acordo com a Regra 4).
Então, y’ = ex . Como ex é sempre um número positivo, concluímos que y’ é sempre
positiva e portanto cresce para qualquer valor de x.
111
EaD
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Se isto não ficou bem claro para o leitor, analise a tabela com valores de y e y’.
x
-10
-3
0
1
2
3
y cresce ou decresce ?
cresce
cresce
cresce
cresce
cresce
cresce
y = y’= ex
0,000045
0,04978
1
2,71828
7,38905
20,0855
Regra 5: Regra do produto de funções
Se a função é y = y1 ⋅ y2, então y’ = y1’ ⋅ y2 + y1 ⋅ y2’
Exemplo 3.3.4: Dada y = x ⋅ ex calcule y’.
Solução: Observe que temos uma função produto, como indica a Regra 5, onde
y1 = x e y2 = ex. Usando a Regra 2 derivamos y1 :
vamos y2 :
y1’ = 1 e usando a Regra 4 deri-
y2’= ex. Substituindo em y’ da Regra 5, temos:
y’ = 1⋅ ex + x⋅ ex = ex + x ex .
Colocando ex em evidência, temos:
y’ = ex (1+ x) .
Exemplo 3.3.5: Dada
y = 3x4
calcule y’.
Solução: Observe que temos uma função produto, como indica a Regra 5, onde y1=
3 e y2 = x4.
Usando a Regra 1 derivamos y1 : y1’ = 0 e usando a Regra 2 derivamos y2 : y2’= 4x3.
Substituindo em y’ da Regra 5, temos:
y’ = 0⋅3x4 + 3⋅ 4x3 = 12x3 .
y’ = 12x3 .
112
EaD
Matemática aplicada à administração
Regra 6: Regra da constante multiplicada por uma função
Se
y = c ⋅ y1
então
y’ = c ⋅ y1, onde c é uma constante.
Exemplo 3.3.6: Derive a função do Ex. 3.3.5, usando a Regra 6:
y = 3x4.
Solução: Observe que podemos derivar esta função usando tanto a Regra 5 quanto a
Regra 6. Pela Regra 6 temos a constante c = 3 e y1 = x4. Usando a Regra 2 derivamos
y1 :
y1’ = 4x3. Substituindo em y’ da Regra 6, temos:
y’ = 3⋅ 4x3 = 12x3.
Exemplo 3.3.7: Dada
3
y = 5x 2
calcule y’.
Solução: Observe que podemos derivar esta função usando tanto a Regra 5 quanto a
Regra 6.
Pela Regra 6 temos a constante c = 5 e y1 = x3/2.
3
Usando a Regra 2 derivamos y1 :
1
3 −1 3
y' = x 2 = x 2 .
2
2
Substituindo em y’ da Regra 6, temos:
1
1
3
15 2
y' = 5 ⋅ x 2 =
x
2
2
1
ou
15 2 .
y' =
x
2
Exercícios 3.3.2
1. Calcule a derivada das funções:
a) y = 2x3 + 5
b) y = 3x3 – 3x2 + x – 2
c) y = -x4 + x – 5/4
f) y = 5ex – 3x2 +2 x – 1
g) y = x(x+1)
h) y = ex (x2+x+1)
113
EaD
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d) y = 2xex i) y = x(2ex -1)
e) y = ex + 3x2 ex j) y = x(ex –x +2)
2. Verifique se a função y = xex cresce ou decresce para x = 1.
3. Verifique se a derivada da função y = xex é zero em algum x do intervalo
(-5,5).
4. Verifique se a função y = 2x2 – 3x cresce ou decresce para qualquer valor de x.
5. Verifique se a derivada da função y = 2x2 – 3x é zero em algum x do intervalo (-5,5).
Regra 7: Regra do quociente de funções
Se y =
y ' y − y1 y 2 '
y1
, com y2 ≠ 0 , então y' = 1 2
.
y2
(y 2 )2
Exemplo 3.3.8: Derive a função . y =
2x
x2 + 1
Solução: A função dada é um quociente (divisão) entre as funções y1 = 2x e y2 =
x2+1. Por isso vamos usar a Regra 7.
Essa regra pede y1’ e y2’ : y1’= 2 e y2’= 2x.
Substituindo as funções e as derivadas em y’ da Regra 7, temos:
114
EaD
Matemática aplicada à administração
Exemplo 3.3.9: Derive a função y =
ex
ex + 1
Solução: A função dada é um quociente (divisão) entre as funções y1 = ex e y2 = ex +1,
por isso vamos usar a Regra 7.
Essa regra pede y1’ e y2’ : y1’= ex e y2’= ex.
Substituindo as funções e as derivadas em y’ da Regra 7, temos:
.
Exercícios 3.3.3
1. Calcule a derivada das funções:
a) y =
b) y =
x
x2 − 1
x+2
x2 − 1
c) y =
d) y =
2. Verifique se a função y =
x
x2 − 1
ex
x2 − 1
ex
e x + 2x
cresce ou decresce para x = 2.
3. Verifique se a derivada da função y =
x2
é zero em algum x do intervalo (-5,5).
x+1
Regra 8: Regra da cadeia
Antes de enunciarmos a Regra da Cadeia, vamos lembrar o que são funções compostas.
115
EaD
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Consideremos as funções u(x) = x2 e v(x) = 2x+3.
Para fazer u(2) colocamos o 2 no lugar do x na expreessão de u(x). Então u(2)= 22 =4.
Para fazer u(3) colocamos o 3 no lugar do x na expreessão de u(x). Então u(3)= 32 =9.
Para fazer u(∆) colocamos o ∆ no lugar do x na expreessão de u(x). Então u(∆)=∆2 .
Para fazer u(v(x)) colocamos o v(x) no lugar do x na expreessão de u(x).
Então u(2x+3)=(2x+3)2
ou
u(v(x))= (2x+3)2.
Observe que a função y = (2x+3)2 é uma composição das funções u e v. A função v está
“dentro” da função u. Dizemos, então, que a função y é uma função composta.
Para derivar funções compostas usamos a Regra da Cadeia.
Se y = u(v(x)) então y’ = u’(v)⋅ v’(x).
Exemplo 3.3.10: Calcule a derivada da função y = (2x+3)2.
Solução: Já sabemos que y é uma função composta, por isso vamos usar a Regra 8.
Essa regra pede u’(v). Sabemos que u(x) = x2 . Então u(v) = v2 e u’(v)=2v.
A Regra 8 também pede v’(x). Sabemos que v(x) = 2x+3. Então v’(x) = 2.
Substituindo u’(v) e v’(x) em y’ da Regra 8, temos:
y’ = 2v⋅ 2 = 2(2x+3)⋅ 2 = 8x+12.
Exemplo 3.3.11: Calcule a derivada da função y = e3x.
Solução: Nesse caso temos u(x) = ex e v = 3x. A composição y = u(v(x)) = e3x .
Assim, u(v) = ev e u’(v)= ev e v’(x) =3.
116
EaD
Matemática aplicada à administração
Substituindo u’(v) e v’(x) em y’ da Regra 8, temos:
y’ = ev ⋅ 3 = 3 e3x.
Exemplo 3.3.12: Calcule a derivada da função y = x2e2x.
Solução: Nesse caso temos um produto das funções u(x) = x2 e v(x) = e2x. Por isso,
temos de usar a Regra 5 (produto) e vamos precisar de u’= 2x e
v’(x) = 2 e2x (observe que usamos a Regra da Cadeia para encontrar essa derivada!).
Substituindo u’(v) e v’(x) em y’ da Regra 5, temos:
y’ = 2x e2x + x2 2 e2x. . Colocando 2x e2x em evidência, temos:
y’ = 2x e2x (1+x).
Exercícios 3.3.4
1. Calcule a derivada das funções:
a) y = (3x-4)3 d) y = e3x+1
b) y = (x2-2x+1)2 e) y = x e2x
c) y = (2x3-3)3 f) y = 3xe4x
2. Calcule a derivada da função y = (x3+1)2 :
a) Usando a Regra da Cadeia
b) Expandindo o quadrado y = (x3+1)2 = x6+2x3+1 e usando a Regra 3. Compare o resultado
com a letra (a).
117
EaD
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3. Calcule a derivada da função y = (x3+1)10:
a) Usando a Regra da Cadeia
b) Dê sua opinião sobre o cálculo da derivada proposta, expandindo a potência do binômio e
usando a Regra 3.
Seção 3.4
Análise do crescimento de funções
Nas seções anteriores estudamos as taxas de variação e concluímos que seu significado é
o mesmo da derivada de uma função. Ou seja, o sinal da derivada indica se a função cresce ou
decresce em um ponto.
Então podemos concluir:
Se a derivada é POSITIVA em um ponto, então a função CRESCE nesse ponto.
Se a derivada é NEGATIVA em um ponto, então a função DECRESCE nesse ponto.
Se a derivada é NULA em um ponto,
então a função não CRESCE e nem DECRESCE
nesse ponto.
Exemplo 3.4.1: Verifique se a função y = -x2 + 4x cresce ou decresce em x1 = 1;
x2 = 3.
Solução: Derivando y, temos: y’ = -2x +4.
Substituindo x1 = 1 em y’, temos: y’(1) = -2⋅ 1+4 = +2; portanto, a função dada
CRESCE em x1 = 1.
118
EaD
Matemática aplicada à administração
Substituindo x2 = 3 em y’, temos: y’(3) = -2⋅ 3+4 = -2;
portanto, a função dada
DECRESCE em x2 = 3.
Exemplo 3.4.2: Verifique se a função y = -x2 + 4 cresce ou decresce para x no intervalo [0,5].
Solução: Derivando y, temos: y’ = -2x + 4. Nesse caso, dando valores inteiros para x
entre 0 e 5, temos uma boa idéia da variação do sinal da derivada. Podemos concluir
que a função cresce para x menor do que 2 e decresce para valores de x maiores do
que 2.
x
0
1
2
3
4
5
y
0
3
4
3
0
-5
y’
4
2
0
-2
-4
-6
Observe que no ponto (2,4) a função tem derivada zero, e neste, a função não cresce
e nem decresce. Todos esses resultados podem ser observados na tabela e no gráfico
anteriores.
Exemplo 3.4.3: Determine o(s) valor(es) de x em que a função y =
não cresce e nem decresce.
1 3
x + 2x 2 + 3x
3
Solução: Derivando y, temos: y’ = x2 + 4x+3. Sabemos para os valores de x que a
derivada é zero, a função não cresce e nem decresce. Então fazendo y’ = x2 + 4x+3
= 0 , temos uma equação de 2º Grau, cuja solução obtemos usando a famosa fórmula
de Bhaskara. Nesse caso, temos dois valores de x: x1 = -1 e x2 = -3.
119
EaD
Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges
Observe que para esses valores de x1 = -1 e x2 = -3 a derivada se anula, e então
concluímos que a função não cresce e nem decresce nesses valores de x.
Nesse caso, dando valores inteiros para x entre 0 e 5, temos uma boa idéia da variação do
sinal da derivada. Podemos concluir que a função cresce para x < 2 e decresce para x > 2.
Exercícios 3.4
1. Dadas as funções, encontre a derivada e verifique se a função cresce ou decresce nos pontos
indicados:
a) y = x3-4 , em x = 1. c) y = xex , em x = -1.
b) y =2 x3– 4x2 -5 , em x = 2.
d) y =ex+1, em x = 0.
2. Dadas as funções, encontre a derivada e determine o(s) valor(es) de x em que a função não
cresce e nem decresce.
a) y = 2x2-4x-3
b) y =
1 3 3 2
x + x + 2x
3
2
Seção 3.5
Pontos Críticos e Extremos Locais de Funções
A análise precisa de funções contínuas, cuja expressão é conhecida, é feita conhecendo-se
os pontos críticos.
120
EaD
Matemática aplicada à administração
Os pontos críticos são aqueles nos quais uma função apresenta mudança de comportamento. Vamos analisar três tipos de pontos críticos: os pontos críticos de extremos (Máximos e
Mínimos) e os pontos críticos de Inflexão.
Ponto de Máximo Local
Se uma função está crescendo até um ponto P e após ele passa a decrescer, dizemos que
P é um ponto crítico de máximo.
Ponto de Mínimo Local
Se uma função está decrescendo até um ponto P e após ele passa a crescer, dizemos que
P é um ponto crítico de mínimo.
Ponto de Inflexão
Se uma função muda o sentido da concavidade antes e depois de um ponto P, então P é um
ponto de inflexão. Isto pode ocorrer em diversas formas. Veja os exemplos.
121
EaD
Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges
Você deve observar que a função é crescente ou decrescente, antes e depois do ponto de
inflexão.
Para encontrar os extremos locais utilizamos a derivada da função: observe nas figuras dos
pontos críticos de extremos (Máximos e Mínimos) que nestes pontos a função não cresce e nem
decresce, portanto a derivada é nula nestes pontos.
Regra dos Extremos Locais
Nos pontos críticos de extremos (Máximos e Mínimos) a derivada é nula: y’=0.
A solução da equação y’= 0 dá os valores de xp do ponto P=(xp, yp).
Se a derivada é positiva para x menor que xp e negativa para x maior que xp, então P é de
MÁXIMO.
Se a derivada é negativa para x menor que xp e positiva para x maior que xp, então P é de
MÍNIMO.
Exemplo 3.5.1: Encontre o ponto crítico da função y = x2 -4x +1 e verifique se é de
Mínimo ou de Máximo.
Solução: Derivando a função dada, temos: y’ = 2x -4. De acordo com a Regra dos
Extremos, devemos igualar a derivada a zero para encontrar os pontos críticos.
y’ = 2x -4 = 0.
Calculando o valor de x, temos x = 2 ou xp = 2.
Levando x = 2 na função dada, calculamos o y do ponto crítico: y = 22 -4⋅ 2 +1 = -3.
Assim sendo, P=(2,-3) é um ponto crítico.
Para saber se P é de mínimo ou de máximo, devemos investigar o sinal da derivada
antes e depois de x = 2.
122
EaD
Matemática aplicada à administração
Para isso testamos o sinal de y’ para alguns valores de x próximos de 2 (menores e
maiores).
Por exemplo, y’(1) = 2⋅ 1 -4 =-2. Observe que y’(1) é negativa.
y’(1,5) = 2⋅ 1,5 -4 = -1. Observe que y’(1,5) é negativa.
y’(2,5) = 2⋅ 2,5 -4 =+1. Observe que y’(1) é positiva.
y’(3) = 2⋅ 3 -4 =+2. Observe que y’(3) é positiva.
De acordo com a Regra dos Extremos, se a derivada antes de xp = 2 é negativa e após
é positiva, então P é um ponto crítico de Mínimo. Veja o gráfico da função.
Exemplo 3.5.2: Encontre os pontos críticos da função y =1/3 x3 –5/2x2 +6x+1 e verifique se são de Mínimo ou de Máximo.
Solução: Derivando a função dada, temos: y’ = x2 –5x+6. De acordo com a Regra dos
Extremos, devemos igualar a derivada a zero, para encontrar os pontos críticos.
y’ = x2 –5x+6=0. Calculando o valor de x com a fórmula de Bhaskara, temos
x1 = 2 e x2 = 3. Levando x1 e x2 na função dada encontramos y1 = 17/3 e y2 = 5,5 .
Temos, então, dois pontos críticos: =(2,17/3) e P2=(3,11/2).
123
EaD
Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges
Você deve observar que existem pontos na função com valores de y maiores e menores
do que y1 = 17/3 e y2 = 5,5 . Por isso chamamos de extremos locais. Ou seja, P1 é
de máximo nas proximidades de P1 e P2 é de mínimo nas proximidades de P2 .
Exercícios 3.5.1
1.Encontre os pontos críticos das funções:
a) y = x2 -3x + 1
c) y =1/3x3-1/2 x2 -2x + 1
b) y = 3x2 -x -3
d) y =1/3x3 – x2 + x + 2
2.Encontre os pontos críticos das funções e verifique se são extremos de mínimo ou de máximo:
a) y = -x2 + 3x + 4
c) y = 1/3x3-1/2 x2 – 6x + 1
b) y = 3x2 -6x + 1
d) y =x3 – x + 3
3. Faça o esboço dos gráficos das funções do Ex.2, identificando os extremos locais.
124
EaD
Matemática aplicada à administração
Derivada de 2ª Ordem e Concavidade
Até agora estudamos a derivada de primeira ordem, que informa sobre o crescimento e
decrescimento de uma função. A derivada de segunda ordem é a “derivada da derivada” e o
sinal desta informa sobre a concavidade da função:
Se y”(x) é positiva a função tem concavidade para cima.
Se y”(x) é negativa a função tem concavidade para baixo.
Exemplo 3.5.3: Calcule a derivada de segunda ordem de y = 2x2 -3x +5 e analise a
concavidade da função.
Solução: A derivada de primeira ordem é: y´ = 4x -3.
A derivada de segunda ordem é a derivada da primeira derivada: y” = 4.
Como y” = 4 é positiva para qualquer valor de x (é uma função constante), concluímos que a função tem concavidade para cima para qualquer x. Convidamos o leitor
a fazer o gráfico da função dada e verificar esta afirmação.
Exemplo 3.5.4: Calcule a derivada de segunda ordem de y = 2x3 e analise a concavidade da função.
Solução: A derivada de primeira ordem é: y´ = 6x2 .
A derivada de segunda ordem é a derivada da primeira derivada:
y” = 12x.
Veja que neste exemplo o sinal de y” depende do sinal de x. Então,
se x for positivo, teremos y” positiva e
se x for negativo, teremos y” negativa.
125
EaD
Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges
Ou seja, para x negativo a função terá concavidade para baixo e para x positivo a
função terá concavidade para cima. Novamente convidamos o leitor a fazer o gráfico
da função dada e verificar esta afirmação.
Exercícios 3.5.2
1. Calcule a derivada de segunda ordem e analise a concavidade da função nos valores de x
indicados.
para x = 1
a) y = x2 -4x + 3
b) y = -3x2 -6x -1 para x = 2
c) y =x3-2x2 -2x + 5 para x = 2
d) y =1/3x3 – x2 + x + 2
para x = 0.
2. Analise a concavidade da função para todo o eixo x.
a) y = x2 -4x + 3
b) y = -3x2 -6x -1
c) y =x3-2x2 -2x + 5
d) y =1/3x3 – x2 + x + 2
Regra do Ponto de Inflexão
Para que o ponto P=( xp,yp) seja um ponto de inflexão é necessário e suficiente que:
1) y”(xp) = 0
e
2) Os sinais da segunda derivada para valores menores e maiores do que xp devem ser
opostos.
126
EaD
Matemática aplicada à administração
Exemplo 3.5.5: Encontre o Ponto de Inflexão da função y = x3+ x2.
Solução: Para encontrar o Ponto de Inflexão, devemos derivar y duas vezes:
y´= 3x2 + 2x
e
y”= 6x + 2 .
De acordo com a Regra do Ponto de Inflexão devemos fazer
y” = 0 = 6x + 2.
Resolvendo esta equação obtemos x = -1/3.
Levando x = -1/3 na função temos y(-1/3)=2/27. Então P=(-1/3,2/27) é um ponto
“candidato” a ponto de inflexão.
Usando o item (2) da Regra do Ponto de Inflexão, testamos se P é de fato um ponto
de inflexão, verificando o sinal de y” para valores de x menores e maiores do que
x = -1/3.
Por exemplo, x = -1 e x = 0, respectivamente:
y”( -1)=-4 e y”( 0)=+2. Como y”( -1) e y”( 0) tem sinais opostos, concluímos que,
de fato, em x = -1/3 a função dada tem um ponto de inflexão.
Exercícios 3.5.3
1.Encontre o ponto de inflexão de cada função.
a) y = x3-2x2 -3x + 2 c) y =2x3-3x2 -x + 1
b) y = -x3+2x2 +2x + 5 d) y =x3 -x2 + 3x + 2
127
EaD
Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges
2.Encontre os pontos de máximo, mínimo e inflexão das funções dadas.
a) y = 1/3x3 – x2 -3x + 2
c) y =1/3x3 – 2x2 -5x + 3
b) y = 1/3x3 + x2 -3x + 1
d) y =1/3x3 – 1/2x2 – 12 x + 2
3. Faça o esboço dos gráficos das funções do Ex.2, identificando os extremos locais e os pontos
de inflexão.
Chegamos à última seção desta Unidade. Mais um pouco de esforço e você chegará à
última Unidade Vamos lá?
Seção 3.6
Aplicações de Derivadas
Nesta seção analisaremos alguns exemplos ilustrativos de aplicações de derivadas. Você
poderá usar tais exemplos como inspiração para fazer trabalhos de aplicação de Matemática em
problema de Economia e Administração.
Exemplo 3.6.1: Análise do preço de uma ação I
Suponhamos que a função y = 0,04x3 -0,4x2 +0,59x + 25 dá o preço de uma ação
durante 8 horas de um pregão diário. Vamos analisar a função usando as derivadas e
os seus significados. Com base nessa análise podemos tomar decisões sobre compra
ou venda das ações.
Derivando a função dada, temos: y’ = 0,12x2 – 0,8x + 0,59. Para encontrar os extremos locais, fazemos y’ = 0 = 3x2 – 0,8x + 0,59. Resolvendo esta equação obtemos
x1 = 0,84 e x2 = 5,82. Calculando os preços correspondentes a x1 e x2 , temos: y1 =
25,23 e y2 = 22,77. A Tabela 3.6.1 mostra que os sinais da primeira derivada antes
128
EaD
Matemática aplicada à administração
e depois de x1 = 0,84 são opostos. O mesmo ocorre com x2 = 5,82. Dessa forma,
esses pontos são extremos locais. P1 é um ponto de máximo e P2 de mínimo (Veja a
coluna “Significado gráfico” na tabela).
Derivando a primeira derivada, obtemos a segunda derivada: y” = 0,24x – 0,8.
Igualando a zero e resolvendo a equação obtemos x3 = 3,33 e y3 = 24. A Tabela 3.6.1
mostra que os sinais da segunda derivada antes e depois de x3 = 3,33 são opostos.
Então, P3 é um ponto de inflexão.
Desta análise concluímos que os os pontos P1 =(0,84 , 25,23 ), P2 = (5,82, 22,77) e
P3 = (3,33, 24) são os três pontos críticos desta função. A Tabela 3.6.1 apresenta as
informações desta análise de forma mais organizada.
Tabela 3.6.1 – Análise de funções usando derivadas
intervalo
Sinal
de y’
Sinal
de y”
Significado gráfico
O preço da ação ...
Decisão ...
x < 0,84
+
-
y cresce, côncava p/
baixo
cresce, mas tende a
estacionar
Não comprar; vender
se preço bom
x = 0,84
0
-
PONTO DE MÁXIMO
está estacionário
Não comprar; vender: preço ótimo
0,84 < x <
3,33
-
-
y decresce, côncava
p/ baixo
decresce com taxas
fortes
Não comprar; vender
só em caso de necessidade de capital
x = 3,33
-
0
y decresce, PONTO
DE INFLEXÃO
decresce, mas com
taxas menos fortes
Não comprar; vender
só em caso de necessidade de capital
3,33 < x <
5,82
-
+
y decresce, côncava
p/ cima
x = 5,82
0
+
PONTO DE MÍNIMO
está estacionário
Comprar: ponto ótimo; não vender
x > 5,82
+
+
y cresce, côncava p/
cima
cresce fortemente
Comprar; vender se
preço bom
decresce, mas tende
Comprar; não vender
a estacionar
As informações da Tabela 3.6.1 são apresentadas na Figura 3.6.1.
129
EaD
Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges
Figura 3.6.1: Gráfico do preço de uma ação
Você pode pensar que com as derivadas poderíamos prever o comportamento do preço das
ações. Infelizmente, isto não é possível. Observe que, neste exemplo, calculamos as derivadas
usando uma função pronta, construída com base em preços já praticados. Na prática não dispomos
desta função, pois não conhecemos previamente os preços das ações. Essa análise, no entanto,
pode ser útil para avaliar se as decisões tomadas durante o pregão foram acertadas.
Exemplo 3.6.2: Análise do preço de uma ação II
Suponhamos que dispomos dos preços da ação do Exemplo 3.6.1 durante as quatro
primeiras horas de pregão e podemos encontrar a função que os descreve:
y = 0,04x3 -0,4x2 +0,59x + 25 .
O leitor deve entender que esta função limita-se ao tempo trasnscorrido (primeiras 4h
de pregão). NÃO PODEMOS AFIRMAR que o preço da ação vai obedecer à função
a partir das 4h. Podemos, no entanto, usar a função obtida como uma orientação para
nossa decisão de comprar ou vender.
Na Tabela 3.6.1 observamos que 4h encontra-se no intervalo 3,33 < x < 5,82, ou ao
menos, x > 3,33, que é depois do ponto de inflexão, quando a função passou a ter
concavidade para cima e tende para o ponto de mínimo. Com essa informação é pos130
EaD
Matemática aplicada à administração
sível tomar as decisões propostas na 6ª coluna da tabela: COMPRAR, pois o preço
tende a um mínimo (função decrescente com concavidade para cima) e , se o mínimo
de fato se configurar, o preço irá subir; NÃO VENDER, pois se o preço tende a um
mínimo, é melhor esperar uma alta, visando a uma venda mais lucrativa.
É importante observar que este tipo de análise não garante a lucratividade das opções.
É apenas uma indicação para a tomada de decisão!
25,4
Preço da ação ($)
25,2
25
24,8
24,6
24,4
24,2
24
23,8
23,6
23,4
0
1
2
3
4
5
Tempo (h)
Figura 3.6.2: Gráfico do preço de uma ação
Exemplo 3.6.3: Custo de produção e custo marginal de um produto
Na Unidade 2 já comentamos sobre as funções Custo de Produção/Fabricação C(x)
e Custo Marginal CM(x). Vamos retomar esses assuntos e aplicar os conceitos de
derivadas e extremos locais.
Suponhamos que o Custo de Fabricação de um produto seja dado pela função
C(x) = 0,0123 x3 -0,415x2 + 4,8727x.
A derivada do Custo de Fabricação é a taxa de variação do custo por unidade produzida, que é o próprio Custo Marginal. Assim, o Custo Marginal é
C´(x)=CM(x) = 0,0369 x2 – 0,83x + 4,87
131
EaD
Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges
Se calcularmos as raízes de C´(x), obtemos raízes não reais, as quais não têm significado no nosso problema. Isto quer dizer, no entanto, que a primeira derivada não
indica pontos críticos. Em outras palavras, a função custo não terá pontos de máximo
nem mínimos locais.
A segunda derivada é
C”(x)=0,0738 x –0,83.
Fazendo C”(x)=0 obtemos o ponto crítico “candidato” a ponto de inflexão: xi = 11,24.
Substituindo valores ligeiramente menores do que xi em C”(x) verificamos que essa
derivada é negativa. Substituindo valores ligeiramente maiores do que xi em C”(x)
verificamos que essa derivada é positiva. Assim, em xi = 11,24 C(x) tem um PONTO
DE INFLEXÃO (Ver Figura 3.6.3 (a)). Este ponto também corresponde ao PONTO
DE MÍNIMO da função custo marginal (Ver Figura 3.6.3 (b)).
Figura 3.6.3 (a): Custo de produção
Figura 3.6.3 (b): Custo marginal
Exemplo 3.6.4 – Análise da variação da cesta básica
A Tabela 3.6.2 mostra os valores da cesta básica em Porto Alegre, em 2008, e as respectivas variações.
132
EaD
Matemática aplicada à administração
Tabela 3.6.2: Custo da cesta básica de Porto alegre, 2008
Tempo(meses)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
C (R$)
220
225
230
232
229
220
222
228
234
238
240
240
239
V (R$)
2,272727
2,222222
0,869565
-1,2931
-3,93013
0,909091
2,702703
2,631579
1,709402
0,840336
0
-0,41667
-
Os valores da coluna (C) são os valores da cesta básica e da coluna V são as variações
mensais de C, calculadas com a fórmula:
V =
Ci + 1 − Ci
⋅ ti + 1 − ti
(3.6.1)
Observe que esta fórmula é a derivada de C (taxa de variação de C em relação ao
tempo, se C fosse uma função contínua):
Como ti+1 – ti =1 para um mês, podemos dizer que, numericamente,
dC
= C' ( t ) = Ci +1 − Ci dt
(3.6.2)
Essa taxa é, em regra, relacionada ao valor de Ci e escrita como uma taxa percentualizada. Fazendo uma regra-de-três em que 100% é considerado o valor de C do
mês anterior, temos:
100
V
Ci
dV/dt
Podemos afirmar então que V é a TAXA DE VARIAÇÃO PERCENTUALIZADA da
cesta básica e portanto, é uma “taxa percentualizada”.
133
EaD
Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges
A função “Cesta Básica” é uma função discreta, pois só temos valores de C ao final
de cada mês. Por isso, para calcular a taxa de variação usamos a fórmula (3.6.1) e não
as regras de derivação. As Figuras 3.6.5 e 3.6.6 apresentam os gráficos das funções
C e V em função do tempo. Vamos analisar as informações que a derivada V nos dá
sobre a função C.
Lembre-se que a derivada V é a taxa de variação de cada período (neste caso o período é 1 mês). Assim,
V(1) significa a variação de C no 1º mês;
V(2) significa a variação de C no 2º mês;
V(3) significa a variação de C no 3º, e assim por diante.
Observe que:
1. No 1º e 2º mês C aumenta quase linearmente, ou seja, as taxas de variação destes
meses são muito próximas (veja a Tabela 3.6.2). Isto é mostrado na Figura 3.6.5
com V(1) ~ V(2). (Variação do 1º mês semelhante à variação do 2º mês). Nestes
meses V é positiva e C é crescente.
2. No 3º mês V diminui em relação ao 2º mês (Figura 3.6.5), mas continua positiva.
Observe que C continua crescendo.
3. No 4º e 5º mês V torna-se negativa. Isso significa que C está decrescendo. Observe
que ao passar do 3º para o 4º mês, V deve assumir um valor nulo neste intervalo.
Isto significa que C parou de crescer (taxa de variação nula) exatamente neste
ponto e passou a decrescer nos instantes seguintes.
Convidamos você a continuar a análise da cesta básica usando a taxa de variação,
do 5o ao 12o mês.
134
EaD
Matemática aplicada à administração
245
Ce
st
a
Bá
si
ca
($)
240
235
230
225
220
215
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
10
11
12
Tempo (meses)
Figura 3.6.4: Custo da Cesta Básica
Va
ria
çã
o
C
B
($)
4
3
2
1
0
-1 0
-2
-3
-4
-5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Tempo (meses)
Figura 3.6.5: Variação da Cesta Básica
Parabéns, você venceu a terceira Unidade. E, temos certeza, pôde verificar que as funções
estão presentes no nosso dia-a-dia e são essenciais para facilitar algumas ações e também planejar decisões. Agora, vamos fazer mais um esforço e completar o estudo deste componente com
as matrizes e sistemas lineares.
135
EaD
Unidade 4
Matemática aplicada à administração
MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
Nesta que é a última Unidade deste livro, nossos objetivos são:
1. Estudar matrizes como uma ferramenta matemática para organização e interpretação de dados
referentes às necessidades do curso de Administração.
2. Apresentar e aplicar as propriedades e operações de matrizes.
3. Resolver problemas empregando matrizes e sistemas lineares.
E, para alcançar estas metas, dividimos a Unidade em quatro seções, a saber:
Seção 4.1 – Noções de matrizes e organização de dados com matrizes
Seção 4.2 – Tipos de matrizes
Seção 4.3 – Operações com matrizes
Seção 4.4 – Sistemas lineares
Seção 4.1
Noções de Matrizes e Organização de Dados com Matrizes
As matrizes são agrupamentos usados para resolver problemas que apresentam muitos
dados e operações em seqüência, tais como controle de estoques, orçamentos de custos e receitas, resolução de sistemas lineares, resolução de equações diferenciais e tantos outros. Podemos
explicar, genericamente, que matrizes são tabelas organizadas na forma de linhas e colunas.
137
EaD
Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges
Uma matriz A com m linhas e n colunas é escrita da seguinte forma:
Vejamos alguns exemplos:
Exemplo 4.1.1 Considere a Tabela 4.1.1, na qual estão colocados os estoques dos
produtos A, B, C e D nas lojas 1, 2, 3.
Tabela 4.1.1: Estoques de produtos
Produtos/
lojas
Loja 1
Loja 2
Loja 3
Produto A
Produto B
Produto C
Produto D
10
15
6
8
5
3
7
4
9
2
11
12
Observe o que esta tabela nos informa, tais como:
– A Loja 1 possui um estoque de 10 produtos do tipo A. Observe que esse número
encontra-se na 1ª linha (linha da loja 1) e na 1ª coluna (coluna do produto A).
– A Loja 2 possui um estoque de 15 produtos do tipo A, note que esse número encontrase na 2ª linha (linha da loja 2) e na 1ª coluna (coluna do produto A).
– A loja 3 possui um estoque de 12 produtos do tipo D. Esse número encontra-se na
3ª linha (linha da loja 3) e na 4ª coluna (coluna do produto D).
E assim sucessivamente. Podemos representar os dados da tabela na forma de matriz.
Nesse caso, a matriz possui 3 linhas e 4 colunas, e representa-se assim:
10 8 7 2 

15 5 4 11 ou
 6 3 9 12

138
 10 8 7 2 


15 5 4 11 ou  15 5 4 11 
 6 3 9 12 
6 3 9 12


10 8 7
2
EaD
Matemática aplicada à administração
Representamos uma matriz com os elementos dispostos em linhas e colunas.
A indicação do número de linhas e colunas é chamada de ordem da matriz. O
exemplo anterior tem ordem três por quatro (3x4).
O número de linhas (m) e o número de colunas (n) definem as dimensões da matriz
(m x n) que se lê “m” por “n”.
O elemento que está na linha i e coluna j é representado por
a
ij
.
O primeiro número do índice (i) mostra a linha em que está o elemento e o segundo número (j) mostra a coluna. Assim, podemos representar genericamente uma
matriz A, de ordem 3x4 da seguinte forma:
a11 (lê-se “a um um”) é o elemento que está na 1ª linha e 1ª coluna.
a34 (lê-se “a três quatro”) é o elemento que está na 3ª linha e 4ª coluna.
Exemplo 4.1.2: A receita para fazer X kg de pão francês pode ser escrita na forma
de uma tabela:
Quantidade
Unidade
Especificação
PU(R$)
CP(R$)
5
kg
Farinha
0,84
4,20
0,3
kg
Açúcar
0,9
0,27
0,15
kg
Sal
0,8
0,12
0,1
kg
Fermento
5,00
0,50
3
Litros
Água
0,004
0,012
DESPESA TOTAL
17,622
Desta tabela podemos construir três matrizes:
139
EaD
Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges
Matriz das quantidades:
Matriz dos preços unitários:
e a Matriz dos custos parciais:
Todas estas matrizes são matrizes colunas, por que têm mais de uma linha e somente
uma coluna.
A ordem das matrizes do Ex.4.1.2 é 5 x 1 e escrevemos Q5x1 ; PU5x1 e CP5x1.
Exemplo 4.1.3: Podemos construir matrizes com diferentes números de linhas e
colunas:
1 2

A 2 x 2 = 
3 4
;
2 0 
0 1 4 ;


;


3 1 
1 0 2 

B 3 x3 =  2 − 1 5  C 2 x3 = 
 3 5 − 3  D 4 x 2 =  5 2 
1 4 0






7 − 3 


Você deve ter notado que escrever estas matrizes dessa forma ocupa muito espaço!
Podemos escrevê-las usando o conceito de transposição. Veja a definição a seguir.
Definição: A matriz transposta AT tem as colunas iguais às linhas de A.
Em outras palavras, transpor uma matriz A é escrever os elementos das linhas de A como
colunas da matriz AT .
140
EaD
Matemática aplicada à administração
Assim, a matriz transposta das quantidades, no Ex. 4.1.2, é
 1 3
.
4 
A matriz transposta da matriz A do Ex.4.1.3 é A 2 x 2 = 
2
Faça você mesmo a transposição das matrizes B, C e D do Ex.4.1.3.
Seção 4.2
Tipos de Matrizes
Algumas matrizes são especiais, porque aparecem com freqüência nas aplicações:
Matriz quadrada é toda matriz em que o número de linhas é o mesmo do número de colunas. Veja o exemplo:
Quando a matriz é quadrada podemos identificar uma diagonal principal e uma diagonal
secundária.
No exemplo anterior, os elementos da diagonal principal são os números 3,-1 e 7 e da diagonal secundária, são os elementos 5 -1 e 9.
Matriz diagonal: é uma matriz quadrada em que todos os elementos são nulos, com exceção da diagonal principal. Veja o exemplo:
2 0 0


D3 x3 =  0 − 1 0 
0 0 5


141
EaD
Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges
Cuidado: não confundir as diagonais principal e secundária com a matriz diagonal.
Matriz identidade (I): para que uma matriz seja matriz identidade ela tem de ser quadrada e os elementos que pertencerem à diagonal principal devem ser iguais a 1 e o restante dos
elementos iguais a zero. Veja o exemplo:
1 0 0 

I = 0 1 0 
0 0 1
3 x3
Exemplo 4.1.4 – Represente a matriz A= (aij)3x2 tal que aij = 3i-2j.
Solução: Usando aij =3i-2j para calcular cada elemento da matriz, temos:
a11 = 3(1) – 2(1)=1;
a12 = 3(1) – 2(2)=-1;
a21 = 3(2) – 2(1)=4;
a22 = 3(2) – 2(2)=2;
a31 = 3(3) – 2(1)=7;
a32 =3(3) – 2(2)=5;
1 − 1

A = 4 2 
7 5 
3x 2
Exemplo 4.1.5
a) Determine os elementos da matriz quadrada A, de ordem 3, definida por aij = i+j.
b) Determine a soma dos elementos da diagonal principal.
Solução: (a) Usando aij = i+j para calcular cada elemento da matriz, temos:
142
a11 = 1+1=2;
a12 = 1+2=3;
a13 = 1+3=4;
a21 = 2+1=3;
a22 = 2+2=4;
a23 = 2+3=5;
a31 = 3+1=4;
a32 = 3+2=5;
a33 = 3+3=6;
EaD
Matemática aplicada à administração
2 3 4 

A = 3 4 5 
4 5 6 
(b) Os elementos da diagonal principal correspondem aos números 2, 4 e 6. A soma desses
elementos é: 2+4+6=12.
Seção 4.3
Operações com Matrizes
Adição de matrizes: A adição de duas matrizes A e B, ambas de mesma ordem m x n é uma
matriz C de mesma ordem, em que cada elemento é a soma dos elementos correspondentes em
A e B. Assim, se a ordem da matriz A for m x n e da matriz B p x q, para que a soma seja possível
teremos de ter m=p e n=q.
Subtração de matrizes: Sejam duas matrizes A e B quaisquer do mesmo tipo m x n. A
subtração das matrizes A e B é uma matriz C, de mesma ordem, que se obtém adicionando as
matrizes A e –B, isto é: C=A-B=A+(-B).
1 2
 2 − 3
 e B 2 x 2 = 
 , a matriz
4
5 1 
Exemplo 4.3.1. Dadas as matrizes A 2 x 2 = 
3
S = A+B é obtida fazendo
 1 + 2 2 − 3   3 − 1
 = 

S = 
 3 + 5 4 + 1  8 5 
1 2
 2 − 3
 e B 2 x 2 = 
 , a matriz
4
5 1 
Exemplo 4.3.2. Dadas as matrizes A 2 x 2 = 
3
S = A– B é obtida fazendo
1 − 2 2 + 3  − 1 5 
 = 

S = 
 3 − 5 4 − 1  − 2 3
143
EaD
Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges
Exercícios 4.3.1
5 − 2

3 
1 − 4
 resolva as operações a se− 1 
1. (a) Usando as matrizes A 2 x 2 = 
1
guir:
e B 2 x 2 = 
5
a) A+ B
c) A – B
b) B + A
d) B – A
(b)Verifique se A+ B = B + A
e se A – B = B – A.
2. Invente duas matrizes quadradas de mesma ordem M e N. Verifique se
a)
M+N = N+M b)
M-N = N-M.
Multiplicação de uma matriz por um número real:
Seja A uma matriz qualquer e a um número real qualquer. O produto de a por A se obtém
multiplicando todos os elementos de A por a.
 4 2 0
.
− 1 3 5 
Exemplo 4.3.3: Calcule o produto do número 2 pela matriz A = 
Solução:
 4 2 0
=
− 1 3 5 
A= 2 ⋅ 
144
2 ⋅ 2 2 ⋅ 0  8 4 0 
 2⋅4
2 ⋅ ( −1 ) 2 ⋅ 3 2 ⋅ 5  = 


 − 2 6 10 
EaD
Matemática aplicada à administração
Multiplicação de matrizes
Dadas duas matrizes Amxn e Bpxq, o produto de A ⋅ B estará definido se, e somente se, o
número de colunas de A (n) for igual ao número de linhas de B (p). Ou seja, n = p. Uma vez
respeitada essa condição o produto de A por B será a matriz Cmxq.
Os elementos da matriz Cmxq são obtidos da seguinte forma:
O elemento cij é igual à soma dos produtos da linha i de A
pelos elementos da coluna j de B.
A ilustração a seguir, ilustra a soma dos produtos da linha i =1 de A pelos elementos da
coluna j=1 de B, que resultará no elemento c11.
A regra do quadro anterior, corresponde aos procedimentos a seguir:
1a linha de C:
c11 = a11 ⋅ b11 + a12 ⋅ b21 + a13 ⋅ b31 + ... + a1n ⋅ bn1
c12 = a11 ⋅ b12 + a12 ⋅ b22 + a13 ⋅ b32 + ... + a1n ⋅ bn2
...
c1n = a11 ⋅ b1n + a12 ⋅ b2n + a13 ⋅ b3n + ... + a1n ⋅ bnn
145
EaD
Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges
2a linha de C:
c21 = a21 ⋅ b11 + a22 ⋅ b21 + a23 ⋅ b31 + ... + a2n ⋅ bn1
c22 = a21 ⋅ b12 + a22 ⋅ b22 + a23 ⋅ b32 + ... + a2n ⋅ bn2
...
c2n = a21 ⋅ b1n + a22 ⋅ b2n + a23 ⋅ b3n + ... + a2n ⋅ bnn
3a linha de C:
c31 = a31 ⋅ b11 + a32 ⋅ b21 + a33 ⋅ b31 + ... + a3n ⋅ bn1
c32 = a31 ⋅ b12 + a32 ⋅ b22 + a33 ⋅ b32 + ... + a3n ⋅ bn2
...
c3n = a31 ⋅ b1n + a32 ⋅ b2n + a33 ⋅ b3n + ... + a3n ⋅ bnn
Linha m de C
cm1 = am1 ⋅ b11 + am2 ⋅ b21 + am3 ⋅ b31 + ... + amn ⋅ bn1
cm2 = am1 ⋅ b12 + am2 ⋅ b22 + am3 ⋅ b32 + ... + amn ⋅ bn2
...
cmn = am1 ⋅ b1n + am2 ⋅ b2n + am3 ⋅ b3n + ... + amn ⋅ bnn .
Exemplo 4.3.4: Dada a matriz A2x2 e B2x3, então a matriz C = A ⋅ B é de ordem 2x3.
Calcule C.
 4 2 0
 2 1


B= 5 1 3
A= 



1 3 2 x 2
 2 x 3

Solução:
 2 1
1 3 .

 2x2
146
4 2 0 
c11
=
5 1 3
c

 2 x3
 21
c12
c 22
c13 
c 23  2 x 3
EaD
Matemática aplicada à administração
Aplicando os procedimentos de multiplicação de matrizes, temos:
c11 = a11 ⋅ b11 + a12 ⋅ b21 = 2 ⋅ 4 + 1 ⋅ 5 = 13
c12 = a11 ⋅ b12 + a12 ⋅ b22 = 2 ⋅ 2 + 1 ⋅ 1= 5
c13 = a11 ⋅ b13 + a12 ⋅ b23 = 2⋅ 0 + 1 ⋅ 3= 3
c21 = a21 ⋅ b11 + a22 ⋅ b21 = 1⋅ 4 + 3 ⋅ 5= 19
c22 = a21 ⋅ b12 + a22 ⋅ b22 = 1⋅ 2 + 3 ⋅ 1= 5
c23 = a21 ⋅ b13 + a22 ⋅ b23 = 1⋅ 0 + 3 ⋅ 3= 9
Então: A ⋅ B =
13 5 3 
19 5 9 

 2 x3
Matriz inversa
Dada uma matriz quadrada A de ordem n, chamamos de inversa de A a uma matriz A-1
tal que
A ⋅ A-1 = A-1 ⋅ A = In.
onde In é a matriz identidade de ordem n. Escrevemos A-1 para representar a matriz inversa
de A.
Exemplo 4.3.5 : Dada a matriz
 3
2 1
 2
verifique
se
B
=

− 2
4 3

A= 
− 1
2  é inversa de A.
1 
Solução: Se B é inversa de A, então A ⋅ A-1 = In.
2 1  3
4 3 .  2

 − 2
− 1
1 0
2 = 

0 1 
1 
Como A ⋅ A-1 = In. , B é a inversa de A.
147
EaD
Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges
Seção 4.4
Sistemas Lineares
Muitos dos problemas da área da Administração e Economia são expressos na forma de
equações lineares: determinação do ponto de equilíbrio entre as funções de demanda e oferta;
determinação de parâmetros de uma curva de produção; solução de equações de insumo-produto;
solução de problemas de otimização (minimização de despesas ou maximização de lucros)...;
enfim, sempre que precisamos encontrar o valor de variáveis ou parâmetros associados linearmente, podemos escrever o problema na forma de um sistema de equações lineares.
O que é um Sistema de Equações Lineares Algébricas? Um sistema linear é um conjunto formado por duas ou mais equações lineares. Um sistema linear pode ser representado na forma:
a11 ⋅ x1 + a12 ⋅ x2 + a13 ⋅ x3 + ... + a1n ⋅ xn = b1
a21 ⋅ x1 + a22 ⋅ x2 + a23 ⋅ x3 + ... + a2n ⋅ xn =b2
(4.4.1)
........
am1 ⋅ x1 + am2 ⋅ x2 + am3 ⋅ x3 + ... + amn ⋅ xn =bm
onde x1, x2, ..., xn são as incógnitas,
a11, a12, ..., amn são os coeficientes e
b1, b2, ..., bm são os termos independentes.
O sistema exposto a seguir é um exemplo de sistema linear. Veja que são duas equações
lineares. Os coeficientes são 2 e 1 na primeira equação e 1 e -3 na segunda. As incógnitas são
x1 e x2 e os termos independentes são 3 e -2.
 2 x1 + x 2 = 3

 x1 − 3 x 2 = −2
148
(4.4.2)
EaD
Matemática aplicada à administração
O sistema (4.4.1) pode ser escrito na forma matricial, colocando-se os parâmetros em uma
matriz A, e as variáveis e os termos independentes em matrizes colunas x e b, respectivamente.
O leitor deve multiplicar as matrizes e comparar o resultado com as equações (4.4.1).
A ⋅ x
=
b. (4.4.3)
Ou simplesmente,
A ⋅ x = b.
O sistema (4.4.2) escrito na forma matricial é
(4.4.4)
A solução de um Sistema Linear são os valores de x que satisfazem às igualdades simultaneamente. Ou seja, substituindo os valores corretos de x, e multiplicando A ⋅ x , obtemos os
valores de b. No exemplo anterior, x1 = 1 e x2 = 1 são os valores das incógnitas. Podemos escrevê-los
na forma matricial:
 x   1
x =  1  =  
 x2   1
Convidamos você a substituir estes valores de x1 = 1 e x2 = 1 nas equações (4.4.2) e (4.4.4)
e verificar se as igualdades são verificadas.
Exemplo 4.4.1: CURVAS DE DEMANDA E OFERTA DE UM PRODUTO
A curva de demanda de um mercado relaciona o preço (y) e a quantidade (x) de um
produto a ser comprado pelos consumidores, durante um intervalo de tempo.
149
EaD
Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges
Em regra, os gráficos de demanda são decrescentes, pois com o aumento da quantidade (x) no mercado os preços (y) tendem a baixar.
Vamos assumir que esta relação é linear e escrevemos a curva de demanda como
uma reta:
y = ax + b
(demanda) (4.4.5)
onde y é o preço do produto, x é a quantidade disponível no mercado, a e b são os
coeficientes angular e linear da reta de demanda.
A curva de oferta de um mercado relaciona o preço (y) de um produto e a quantidade
(x) a ser vendida pelo produtor, durante um intervalo de tempo.
Em regra, os gráficos de oferta são crescentes, pois quanto maior o preço maior será
a quantidade ofertada pelos produtores.
Vamos assumir que esta curva é linear e escrevemos a curva de oferta como uma
reta:
y = ax + b
(oferta)
(4.4.6)
onde y é o preço do produto, x é a quantidade disponível no mercado, a e b são os
coeficientes angular e linear da reta de oferta.
O sistema linear, associado a este problema, pode ser escrito na forma da equação
(4.4.2).
 − ax + y = b

− a x + y = b
Na forma matricial, o mesmo sistema seria escrito como
150
EaD
Matemática aplicada à administração
Propriedades de um Sistema Linear
O sistema linear
 x + 2y = 5

2
x
+
3
y
=
8

(4.4.7)
é um exemplo simples de sistema com duas incógnitas e duas equações. Veja que a solução
do sistema são os valores x = 1 e y = 2. Substitua estes valores na primeira equação e observe
que o lado esquerdo desta equação fica igual ao lado direito. O mesmo ocorre com a segunda
equação.
Esses sistemas têm algumas propriedades. Multipliquemos a primeira equação por um
número qualquer, por exemplo, 2, e a segunda por 3.
Obtemos 2x + 4y = 10. Substituindo os valores da solução x = 1 e y = 2 nesta equação,
obtemos novamente uma igualdade: 10 = 10.
Para a segunda equação, obtemos 6x + 9y = 24. Substituindo os valores da solução x = 1
e y = 2 nesta equação, obtemos novamente uma igualdade: 24 = 24.
Dessa forma, multiplicando a primeira equação por 2 e a segunda por 3 obtivemos um novo
sistema, cuja solução continuou a mesma do sistema original.
Propriedade 1: A multiplicação das equações de um sistema linear por uma constante não altera
a solução do sistema original.
Vejamos outra propriedade: vamos adicionar as duas equações e substituir uma das equações pela soma. Veja:
Adicionando as duas equações obtemos: 3x + 5y =13. Substituindo a primeira (também
poderia ser a segunda) obtemos o novo sistema:
3 x + 5 y = 13

 2x + 3 y = 8
151
EaD
Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges
Substituindo os valores da solução x = 1 e y = 2 nas equações deste sistema, obtemos
novamente duas igualdades. Assim, x = 1 e y = 2 continua sendo solução do novo sistema.
Propriedade 2: A substituição de uma equação do sistema pela adição/subtração de duas (ou
mais) equações do mesmo sistema não altera a solução do sistema original.
Também podemos combinar as duas propriedades anteriores: multiplicando a primeira
equação por 2 e adicionando com a segunda, obtemos:
2 x + 4 y = 10 2 vezes a primeira equação
2x + 3 y = 8
4 x + 7 y = 18
segunda equação
adição
Substituindo a adição no lugar da primeira equação obtemos o sistema:
4 x + 7 y = 18

 2x + 3 y = 8
A solução deste novo sistema continua sendo x = 1 e y = 2, como no sistema original.
Propriedade 3: a substituição de uma equação do sistema pela adição/subtração de duas (ou
mais) equações multiplicadas por constantes não altera a solução do sistema
original.
Solução de Sistemas Lineares
Existe uma variedade de métodos de solução de sistemas lineares. Neste livro vamos trabalhar o Método do Escalonamento.
O escalonamento é um método eficiente de resolver sistemas lineares de qualquer ordem,
e que consiste em usar a Propriedade 3, de tal forma que, a cada transformação do sistema,
anulamos o coeficiente de uma variável.
No sistema (4.4.7) podemos substituir a primeira equação por -2 vezes a primeira, adicionada com a segunda:
152
EaD
Matemática aplicada à administração
− 2 x − 4 y = −10 - 2 vezes a primeira equação
2x + 3 y = 8
0x + y = 2
segunda equação
adição
Reconstruindo o sistema, temos:
x + 2 y = 5

0 x + y = 2
ou
x + 2 y = 5

y=2

(4.4.8)
Observe que a segunda equação já nos dá o valor de y = 2.
Para encontrar o valor de x, substitua o y = 2 na primeira equação e resolva para x:
x + 2 ⋅2 = 5. Resolvendo para x, obtemos x = 1;
Conclusão: a solução do sistema é x = 1 e y = 2 , como já sabíamos.
Na prática, costumamos escrever o sistema na forma: (compare a forma escalonada (4.4.8)
com a forma (4.4.9).
1 2 : 5 1 2 : 5

 ~ 

 2 3 : 8   0 1 : 2  − 2 E1 + E 2
(4.4.9)
O símbolo ~ entre os sistemas significa que eles são semelhantes. A anotação -2E1+E2
significa que multiplicamos a 1a equação por -2 e adicionamos com a 2a equação.
Exemplo 4.4.2:
 x+ y+ z =3

Resolver o sistema  x − y + z = 1 .
3 x − y + 2 z = 4

Solução:
Escrevendo o sistema na forma de matriz, temos:
1 1 1 : 3 
 1 1 1 : 3  1 1 1 : 3




 
 1 − 1 1 : 1  ~  0 2 0 : 0  E1 − E 2 E ~  0 2 0 : 2 
 0 0 − 1 : − 1 2 E 2 − E 3
 3 − 1 2 : 4   0 4 1 : 5  3 E1 − E 3




 
153
EaD
Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges
Observe que o último sistema já está escalonado (a 1a Equação tem 3 coeficientes, a
2a tem dois e a 3a tem somente um). Com isto, podemos montar a 3a equação :
-z = -1 ou z = 1.
A segunda equação é: 2y + 0⋅ z = 2. Substituindo z = 1, que já conhecemos, temos:
2y + 0⋅ 1 = 2
ou
y = 1.
A primeira equação é : 1x + 1y + 1z = 3 . Substituindo y = 1 e z = 1, que já conhecemos, temos:
ou
1x + 1⋅ 1 + 1⋅ 1 = 3
x = 1.
A solução do sistema, poratnto, é:
ou S = {1,1,1}
x = 1; y = 1 e z = 1
ou na forma matricial
 x   1
   
x =  y  =  1
 z   1
   
ou ainda, x = (1,1,1)T.
Exemplo 4.4.3: Em uma cidade, observou-se que a demanda do feijão, em janeiro de
2008, teve o seguinte comportamento: quando ofertado a R$ 4, foram vendidos 1.200
kg e quando ofertado a R$ 3, foram vendidos 1.600 kg.
Observou-se que a oferta do feijão, no mesmo período, teve o seguinte comportamento: quando o mercado pagou R$ 2, foram comprados 1000 kg e quando o mercado
pagou R$ 4, foram comprados 2000 kg. Estes dados são apresentados na forma de
tabela.
demanda
x (kg) y (R$/kg)
1200
4
1600
3
154
oferta
x (kg) y (R$/kg)
1000
2
2000
4
EaD
Matemática aplicada à administração
Vamos propor que a demanda seja linear, como no Exemplo 4.4.1 e determinar os
coeficientes a e b da reta de demanda (Eq. 4.4.5).
Aplicando a equação do coeficiente angular, temos:
a=
3- 4
1
=−
1600 - 1200
400
Substituindo o valor encontrado de a na equação (4.4.5) temos:
y=−
1
x+b
400
Usando um dos pontos dados da demanda, por exemplo y = 4 e x =1200, na equação
anterior, temos:
4=−
1
1200 + b
400
Resolvendo esta equação para b, temos:
b=7 .
Então, a equação de demanda é
y=−
1
x +7
400
.
(4.4.10)
Com essa equação você pode prever o preço de qualquer quantidade de feijão disponível no mercado. Por exemplo:
Se x = 1000 então
y=−
1
1000 + 7 = 4 ,5
400
Se x = 1400 então
y=−
1
1400 + 7 = 3,5 ,
400
e assim por diante.
Observe que para x = 2.800 kg, o preço do feijão seria y = R$ 0,00. E se não tivesse
feijão no mercado (x = 0 kg) o preço seria y = R$ 7,00 . Dentro dessa lógica, a equação de demanda proposta teria sentido para quantidades maiores do que 2.800 kg?
155
EaD
Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges
Usando procedimentos semelhantes aos que empregamos para determinar os coeficientes da demanda, calculamos os coeficientes angular e linear e obtemos uma
reta de oferta:
y=
1
x
500
(4.4.11)
Observe que essa reta dá y = 0 para x = 0 . E se a quantidade de produtos aumentasse
infinitamente, o preço também aumentaria ? Isso tem sentido real ?
O preço de equilíbrio competitivo é aquele em que a quantidade demandada é igual
à quantidade ofertada.
Com essa definição, no ponto do preço de equilíbrio competitivo o preço da demanda
é igual ao preço da oferta ( yd = yo ) e, com isso, podemos construir um sistema de
equações lineares cuja solução será o ponto de equilíbrio:
1

 y = − 400 x + 7

y = 1 x

500
Escrevendo o sistema na forma matricial, temos:
(4.4.12)
Empregue o método do escalonamento para resolver sistemas lineares (4.4.12). Você
encontrará
x = 1555,55 e y = 3,11 .
Isso significa que o preço de equilíbrio competitivo é R$ 3,11 e a quantidade demandada/ofertada é 1.555,55 kg. Veja o gráfico de demanda e oferta.
156
EaD
Matemática aplicada à administração
Preço de Equilíbrio
5
oferta
p ($)
4
demanda
3
PE
2
1
0
1200
1300
1400
1500
q (kg)
1600
1700
1800
Exercício 4.4.1
1. Resolva os sistemas lineares:
 x + 2y = 5
a) 
2 x + 3 y = 8
 x+ y =4
b) 
3 x − 2 y = −3
 3x − y = 1
c) 
2 x − y = −1
x + y + z = 6

d)  x − y + z = 2
x + y − z = 0

2. Considere as seguintes funções oferta e demanda:
 x + y = 20

x − y = 6
(demanda)
(oferta)
a) Encontre o preço e a quantidade de equilíbrio competitivo.
b)Suponha que a renda dos consumidores aumente, deslocando a curva de demanda para
cima e para a direita, como se segue:
Encontre o novo preço e a quantidade de equilíbrio competitivo. Mostre ambos os equilíbrios
em um gráfico cartesiano.
c) Faça o gráfico das retas de oferta e demanda e verifique se o ponto de encontro das retas
coincide com o ponto de equilíbrio calculado.
157
EaD
Anexo 1
Matemática aplicada à administração
GABARITO DAS QUESTÕES
UNIDADE 1
Exercícios 1.1
1 a)
5 1 =
15 3
b)
64
= 16 4
e)
1,2 3
= 4
2
5
f)
3,5
= 0,5
7
2) a) x=6
b) x=
2
c)
3 = 1 6 9
d)
7
2 =3
14
4
3
7
9
3) 20 cm
4) 12 litros
Exercício 1.2
1)a)
3 25
2)a) 81 3)
b) 1,4
b) 34,30
1
10
159
EaD
Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges
Exercício 1.3.
1) 300 camisas
2) 90 dias
3) 35 homens
4) 1.200 km
5) 23 armazéns
Exercício 1.4.
1)R$ 6.254,00
2)R$ 1.666,67
3)10,60%
4)Aproximadamente 28,71%
5)Prejuízo de R$ 56,47 e o custo de R$ 376,47
UNIDADE 2
Exercícios 2.1.1
1. a) B={x∈ℵ/ 2 ≤ x ≤ 6} . Existem outras maneiras de escrever o mesmo intervalo usando sinais
de desigualdades. Veja:
B={x∈ℵ/ 2 ≤ x < 7}; B={x∈ℵ/ 1 < x ≤ 6} ; B={x∈ℵ/ 1 < x < 7}
Nos demais exercícios, vamos escrever a resposta somente de uma maneira.
b) C={x∈Z/-5 ≤ x ≤ 3}
d) J={x∈Z/ x ≥ 2}
c) G={x∈Z/ x ≤ 1} e) K={x∈Z x ≤ 3}
f) P={x∈Z/ x<0}
160
EaD
Matemática aplicada à administração
2.
Exercícios 2.1.1
1.
2. a) B=(-2,+∞)
d) J=(-∞,3]
b) C=[-5,+3)
e) K=(-∞,2)
c) G=[-5,+3]
f) P=(1,3]
161
EaD
Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges
Exercícios 2.2.1
3
25
2
20
1
15
-3
-2
0
-1 -1 0
1
3
4
5
6
Y
-2
5
-3
0
-4
-2
-5
0
2
4
-4
6
-5
-6
-10
X
X
1a)
1b)
14
8
12
7
10
6
5
8
Y
4
Y
6
3
4
2
2
1
0
-3
-2
-1
-2
0
1
2
3
4
5
0
6
X
1c)
-3
2. a) y = x c) y = 2x – 1
b) y = 2x +1
d) y = 4x – 3
-2
1a) n
0
1
2
3
4
5
6
7
M(n)
35000
35017,5
35035
35052,5
35070
35087,5
35105
35122,5
1b) n
0
1
2
3
4
5
6
7
-1
0
1
2
X
1d)
Exercícios 2.2.2
162
2
Y
10
M(n)
50000
50022,5
50045
50067,5
50090
50112,5
50135
50157,5
3
4
5
6
EaD
Matemática aplicada à administração
2b) M(n) = 50.000(1+0,00045n)
35140
50180
35120
50160
35100
50140
50120
Montante, M ($)
Montante, M(n) ($)
2a) M(n) = 35.000(1+0,0005n)
35080
35060
35040
35020
35000
50100
50080
50060
50040
50020
50000
34980
49980
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0
Tempo,n (dias)
1
2
3
4
5
6
7
8
Tempo,n (dias)
Exercícios 2.3.1
1. a)
10
9
8
7
Y
6
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
X
1.b) coeficiente angular = 2 e coeficiente linear= 1,3
1.c) reta crescente. Intercepta o eixo Y em y = 1,3.
2.a) cresce; intersecção com Y em (0,5)
b) cresce; intersecção com Y em (0,-1.5)
c) decresce; intersecção com Y em (0,2)
d) decresce; intersecção com Y em (0,-1)
e) decresce; intersecção com Y em (0;2.3)
f) decresce; intersecção com Y em (0,-5)
3. A reta que mais cresce é a da letra (a) e a que mais decresce é a da letra (e).
163
EaD
Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges
4.
a)
b)
c)
d)
a
b
2
-3/4
-7/5
-2/5
-1
27/4
54/5
17/5
Equação
y = 2x-1
y=-3/4x+27/4
y = -7/5x+54/5
y = -2/5x+17/5
5a)
Intercepta Y
(0,-1)
(0, 27/4)
(0, 54/5)
(0, 17/5)
5b)
700
CT
20
170
320
470
620
...
600
Custo Total ($)
x
0
1
2
3
4
...
Cresce/decresce
cresce
cresce
decresce
decresce
500
400
300
200
100
0
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
Unidades, X
5c) CT(x) = 150 x + 20
5d) É uma reta. a = 150 é o custo de materiais, energia e impostos para produzir uma unidade
e b = 20 é o custo de mão-de-obra.
6a) n
0
1
2
3
4
5
M(n)
25000
25075
25150
25225
25300
25375
6b) A equação é CF(n)=25.000(1+0.03n). Fazendo o produto obtém-se CF(n)=25.000+0.075n.
Coeficiente angular = 0.075 e
Coeficiente linear = 25.
7a) Substituindo M, VF e n na Eq. 2.2.4, temos:
25.287,50 = 25.000(1+5i).
Resolvendo para i, temos ; i = 0,0023. Como i = j/100, temos
j = 100i=100 ⋅ 0,0023 = 0,23% ao dia.
7b) a = 25 ⋅ 0,0023 = 57,5
164
e
b = 25.000.
EaD
Matemática aplicada à administração
Exercícios 2.4.1
1 a) x1 = -1
e x2 =3 d) não tem raízes reais
b) x1 = 1
e x2 =-3 e) x1 = x2 = 3
c) x1 = -1 e x2 = 5 f) não tem raízes reais
10
25
0
20
-5
15
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
-10
10
Y
Y
-20
5
-30
0
-4
-3
-2
-1
0
-5
1
2
3
4
5
6
7
-40
-50
-10
X
2 a)
X
2b)
35
20
30
15
25
10
20
Y
5
Y
15
0
-5
-4
-3
-2
-1
-5
0
1
2
3
4
5
6
10
7
5
-10
0
-5
-15
X
2 c)
-4
-3
-2
-4
-3
-2
-1
-5
2d)
1
2
3
4
5
6
7
25
20
-15
15
Y
Y
1
30
0
-10
-20
10
-25
5
-30
-35
0
-6
-40
2 e)
0
X
0
-5
-1
X
2f)
-4
-2
0
2
4
6
8
X
3. a) Concavidade para cima
b) Concavidade para baixo
c) Concavidade para cima
d) Concavidade para cima
e) Concavidade para baixo
f) Concavidade para cima
165
EaD
Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges
Exercícios 2.4.2
-2
-1
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-1
-2 0
-3
-4
-5
-6
-7
-8
b) V = (1/2,-9/2)
-4
-3
-2
-1
0
-1 0
1
2
3
4
-2
-3
-4
-5
Y
Y
1 a) V =(2,-7)
1
2
3
4
5
6
-6
7
-7
-8
-9
-10
X
X
c) V = (-1,7)
d) V = (1,2)
10
c
9
Y
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-1 0
-2
-3
-4
-5
-3
-2
-1
8
7
6
Y
5
4
1
3
2
2
1
0
-4
X
-3
-2
-1
0
1
2
3
X
2 a) Não tem raízes.
b) O custo marginal mínimo é o y do vértice da parábola: xv = 16,66 e yv = 1,66.
Exercícios 2.5.1
1 a) 25
f) 23/2
b) 311
g) 2
c) 2-1 =1/2
h) 26
d) 3
i) 32
e) 56
j) 1/2
2 a) 2,8284
d) 2,23606
b) 1,414213
e) 1,70997
c) 5,1961
f) 2,92401
166
4
EaD
Matemática aplicada à administração
Exercícios 2.5.2
1 a)
X
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
a
0,0625
0,125
0,25
0,5
1
2
4
8
16
b
0,04
0,089443
0,2
0,447214
1
2,236068
5
11,18034
25
c
0,111111
0,19245
0,333333
0,57735
1
1,732051
3
5,196152
9
d
0,027778
0,068041
0,166667
0,408248
1
2,44949
6
14,69694
36
e
64
22,62742
8
2,828427
1
0,353553
0,125
0,044194
0,015625
f
16
8
4
2
1
0,5
0,25
0,125
0,0625
20
18
16
14
a
b
12
c
Y
10
d
8
e
6
4
f
2
0
-2
-1
0
1
2
X
2. (d) cresce mais
3. Se o expoente é positivo a função exponencial cresce, se é negativo, decresce. O expoente
negativo coloca a base com o expoente no denominador, por exemplo: (ver propriedade PP2
das potências).
1
y = 2 −3 x = 3 x
2
Se o x cresce, o denominador cresce e a fração tende a zero. Dê alguns valores para x, cada
vez maiores e verifique esta tendência (use a calculadora).
40
4. (a) e (b) Use EXP(X) para a base “e”.
35
30
25
a
Y
20
b
15
10
5
0
-2
-1
0
1
2
X
167
EaD
Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges
Exercícios 2.5.3
1 a) x = 3
b) x = 2
c) x = -6
d) x = 20.
2 a) Use V = Vo/2 na Eq. 2.5.3 e resolva a equação resultante para t, usando as propriedades das
potências. Você deve encontrar t = 1/b.
b) Nesse caso, t = 2/b. Se b = 0,23, então t = 2/0,23 = 8,6 anos, ou aproximadamente t = 8
anos e 8 meses.
Exercícios 2.5.4
1 a) PG: {1,3,9,27,81}
b) S5=121
c) S5=121
2. a) ao = 1; r = i; n = 5.
b) S = 1 − i
5
5
1−i
3.a) ao = 1; r = i; n .
b) S = 1 − i
n
n
1−i
4.a) ao = 1; r = 1,04; n .
b) S = 1 − 1,04
n
n
1 − 1,04
168
EaD
Matemática aplicada à administração
5. Nessas condições, a população de ratos é P = 3·5n. Para n = 5, temos
P = 3·55=9.375 ratos.
6. S1, S3 e S4 são exponenciais. S2 não é.
t (meses)
0
1
2
3
4
5
6
C(t)
b)
2600
2580
2450
2472,05
2494,298
2516,747
2539,398
2562,252
2585,313
2560
Capital,C,($)
7. a)
2540
2520
2500
2480
2460
2440
0
1
2
3
4
5
6
Tempo, t (meses)
c) A curva é uma função exponencial. Se você calcular ∆C/∆t para cada dois pontos (lembre
do coeficiente angular da reta), obterá resultados diferentes, portanto, não é uma reta.
8. C = R$ 55.748,08. (Lembre-se que a taxa dada é mensal).
Exercícios 2.5.5
1
log 2 3
1 a) x =
f) x = − ln 3
b) x = 4 + log 8 g) x = 2 + ln 5
c) x = 1 (5 + log 15) 5
h) x = 4 + ln 10
d) x =
i) x =
3
log 3 4 e) x = (log 1 / 3 )2 4
ln 8
j) x = (ln 1 / 4 )2
2. Dividindo a equação dada por Co, temos:
C
= it
Co
.
169
EaD
Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges
Aplicando logaritmo de base 10 nos dois lados, temos:
log
C
= log i t
Co
Usando a propriedade PL6 no lado direito, temos:
log
C
= t log i
Co
E, finalmente:
t=
log C / Co
log i
Usando os dados do problema:
t= 15 meses.
UNIDADE 3
Exercícios 3.1
tempos
t inicial
t final
1
2
1
3
5
7
(a)
∆P/∆t
1,52
1,25
0,91
(b)
Cresce/decresce
Cresce
Cresce
Decresce
c)
43,5
43
42,5
Preço ($)
1.
42
41,5
41
40,5
40
39,5
0
1
2
3
4
Tempo (h)
2. a) crescimento: meses 1,2,6,7 e 8.
b) decrescimento: meses 3,4 e 5.
c) o mês em que a arrecadação mais cresceu foi o 8º.
170
5
6
7
8
EaD
Matemática aplicada à administração
Exercícios 3.2
1) Resposta da letra (a) na 5ª coluna.
t
1
5
15
30
P(R$)
2,5
2,2
2,6
2,8
dP (R$)
-0,3
0,4
0,2
-
dt (dia)
4
10
15
-
TP (R$/dia)
-0,075
0,04
0,013333
-
Taxa de variação Média
Preço do feijão ($)
0,06
3
0,04
0,02
2
TP ($/dia)
Preço ($)
2,5
1,5
1
5
10
15
20
25
30
-0,04
-0,06
0,5
-0,08
0
0
10
20
30
-0,1
40
Tempo (dias)
b)
0
-0,02 0
c)
Tempo (dias)
d) Do dia 1 ao 5 a taxa de variação foi negativa (-0,08), o que significa que o preço do feijão
baixou 0,08 R$/dia, em média. Do dia 5 ao 10, a taxa foi de 0,04 R$/dia (feijão subiu 0,04
R$/dia) e do 15 ao 30 dia o preço do feijão aumentou 0,013 R$/dia, em média.
Preço do Petróleo ($)
140
120
P ($)
100
80
60
40
20
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
2. a)
Tempo (dias)
2 b) A função cresce até o mês 10 (derivada positiva). Mantém o preço no mês 11 (derivada zero)
e decresce nos meses seguintes (derivada negativa).
171
EaD
Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges
2c) Nos dias 10 e 11 o preço é máximo. Observe que a derivada para o dia 10 (taxa de variação)
é nula.
t (dia)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Preço(R$) Derivada(R$/dia)
21
12,6
33,6
13,6
47,2
14
61,2
13,8
75
13
88
11,6
99,6
9,6
109,2
7
116,2
3,8
120
0
120
-4,5
115,5
-9,3
106,2
-15
91,2
-21,2
70
Exercícios 3.3.1
1.a) y’ = 4x3
b) y’ = 3x2 + 2x
c) y’ = 5x4 +4x3 -2x d) y’ = 3x2 +2x – 1
e) y’ = 2x-1
f) y’ = 2x + 4
2. y’= 3x2 – 1
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
172
y’
26
11
2
-1
2
11
26
Comportamento de y
Cresce
Cresce
Cresce
Decresce
Cresce
Cresce
Cresce
EaD
Matemática aplicada à administração
3. Observe que o gráfico da função deixa dúvidas sobre o comportamento desta no intervalo
(-1,1). A derivada, no entanto, indica claramente que a função não é crescente para todo x.
Em x = 0 a função DECRESCE.
30
20
10
Y
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
-10
-20
-30
X
Exercícios 3.3.2
1.a) y’= 6x2 f) y’= 5ex -6x+2
b) y’= 9x2 -6x+1 g) y’= 2x+1
c) y’= -4x3 +1 h) y’= ex(x2 +3x+2)
d) y’= 2ex (1+x) i) y’= 2ex (1+x)-1
e) y’= ex(3x2 +6x+1)
j) y’= ex(1+x)-2x+2
2. A derivada da função é y’= ex(1+x).
Substituindo x=1, temos: y’=2e, que é positivo, portanto a função cresce em x=1.
3. y’= 0 para x=-1.
4 e 5. y’= 4x-3. Para x = ¾, temos y’= 0. Veja que
para x> ¾, temos y’positiva e y é crescente.
para x< ¾, temos y’negativa e y é decrescente.
173
EaD
Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges
Exercícios 3.3.3
y' =
1 a)
y' =
− x2 − 1
( x 2 − 1 )2 y' =
c)
− x2 − 4 x − 1
b)
( x 2 − 1 )2
y' =
d)
e x ( x2 − 2 x − 1 )
x2 − 1
2e x ( x − 1 )
( e x + 2 x )2
2. y’(2) = -5/9, portanto y decresce.
y' =
x( x + 2 )
( x + 1 )2
3.. A derivada y’só será zero se o numerador da fração for zero. Então:
x(x+2) = 0.
Para x = 0 e x = -2, temos y’= 0.
Exercícios 3.3.4
1.a) y’= 9(3x-4)2 d) y’= 3e3x+1
b) y’= 4(x2-2x+1)(x-1) e) y’= e2x(2x+1)
c) y’= 18x2(2x3-3) 2 f) y’= 3e4x(4x+1)
2.a) y’= 6x5 + 6x2 b) y’= 6x5 + 6x2
3.a) y’= 30x2(x3+1)9
b) É possível fazer, mas é muito trabalhoso. Por isso (também!), a regra da cadeia é importante.
174
EaD
Matemática aplicada à administração
Exercícios 3.4
1.a) y’= 3x2; y’(1)=3 ; y cresce
b) y’= 6x2 – 8x ; y’(2)=8 ; y cresce c) y’= ex(1+x) ; y’(-1)=0 ; y não cresce e nem decresce d) y’= ex+1; y’(0)=e ; y cresce 2.a) y’= 4x-4; x=1. ;
b) y’= x2 +3x + 2 x=-1. e x = -2.
Exercícios 3.5.1
1.a) x = 3/2.
c) x = -1 e x = 2.
b) x = 1/6.
c) x = 1.
2.a) x = 3/2. é extremo de máximo.
b) x = 1.
é extremo de mínimo.
c) x = 3.
é extremo de mínimo.
é extremo de máximo.
x = -2.
Exercícios 3.5.2
1.a) y” = 2
e
y”(1)=2, portanto, em x = 1, y é côncava para cima.
b) y” = 6
e
y”(2)=-6, portanto, em x = 2, y é côncava para baixo.
c) y” = 6x-4
e
y”(2)=4, portanto, em x = 2, y é côncava para cima.
d) y” = 2x-2
e
y”(0)=-2, portanto, em x = 0, y é côncava para baixo.
175
EaD
Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges
2.a) y” = 2. A função é côncava para cima para todo x.
b) y” = -6. A função é côncava para baixo para todo x.
c) y” = 6x-4. Para x > 2/3 a função y é côncava para cima.
Para x < 2/3 a função y é côncava para baixo.
d) y” = 2x-2. Para x > 1 a função y é côncava para cima.
Para x < 1 a função y é côncava para baixo.
Exercícios 3.5.3
1.a) x = 2/3.
c) x = ½.
b) x = 2/3.
d) x = 1/3.
2.
a
b
c
d
3.
176
Máximo
x = -1
x =-3
x=1
x = -3
Mínimo
x=3
x=1
x=5
x=4
inflexão
x=1
x = -1
x=2
x=½
EaD
Matemática aplicada à administração
UNIDADE 4
Exercícios 4.3.1
6 − 6 

A + B = 
6
2


1.a)
6 − 6 

B + A = 
6
2


b)
 4
A − B = 
− 4
c)
− 4
B − A = 
 4
d)
2

4 
− 2

− 4 
Exercícios 4.4.1
 x   1
  =  
y
2
1.a)      x   1
  =  
y
3
b)      x   2
  =  
y
5
c)     2.a)
ou quantidade 13 e preço 7.
b)
ou quantidade 17 e preço 11.
Preço, p
Preço de equilíbrio
24
22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
d)
 x   1
   
 y = 2
 z  3
   
dem1
oferta
dem2
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Quantidade, q
c) Observe na resposta da letra (b) que de fato os pontos calculados coincidem com as intersecções.
177
EaD
Anexo 2
Matemática aplicada à administração
COMO INSERIR UMA EQUAÇÃO
Prezado(a) aluno(a)
Preocupamo-nos em oferecer um passo a passo para que você, quando precisar entregar
trabalhos relacionados a esse componente curricular ou qualquer outro que utilize fórmulas
matemáticas, saiba como utilizar uma ferramenta existente no Word chamada de Equation, que
tem a função de não permitir a alteração da configuração de fórmulas, equações, etc, bem como
disponibilizar os sinais necessários a essa escrita.
É bem fácil. Veja como.
1 – Clique onde pretende inserir a equação.
2 – No menu Inserir, clique em Objeto e, em seguida, clique na guia Criar Novo.
3 – Na caixa Tipo de objeto, clique em Microsoft Equation 3.0.
Se o Microsoft Equation Editor não estiver disponível, poderá ser necessário instalá-lo.
Como?
Se você originalmente instalou o Microsoft Office a partir de um servidor de arquivos de
rede ou a partir de uma pasta compartilhada, você deve instalar o Equation Editor a partir dessa
localização. Se você instalou o Office a partir de um CD-ROM, você deve instalar o Equation
Editor a partir do disco.
1) Feche todos os programas.
2) Faça um dos seguintes procedimentos:
179
EaD
Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges
– Se você executar o Microsoft Windows 2000, dê um duplo clique no ícone Adicionar / Remover
Programas do Painel de Controle.
– Se você executar o Microsoft Windows XP, clique em Adicionar ou Remover Programas do
Painel de Controle.
3) Na caixa Programas atualmente instalados, clique na lista para o Microsoft Office ou o Microsoft Word, dependendo se você instalou o Word como parte do Office ou como um programa
individual e, em seguida, clique em Alterar.
4) Na tela Opções do Modo de Manutenção, clique em Adicionar ou Remover Recursos, e então
clique em Avançar.
5) Se aparecer uma tela Setup, selecione Escolha a personalização avançada de aplicativos caixa
de seleção e, em seguida, clique em Avançar.
6) Na lista de funcionalidades a instalar, clique no indicador ampliar (+) próximo a Ferramentas
do Office.
7) Clique na seta próxima a Equation Editor e, em seguida, clique em Executar de Meu Computador. Clique em Update.
8) Reinicie o Word.
9) Clique em OK.
– Construa a equação selecionando símbolos a partir da Equação Toolbar (barra: uma barra
com botões e opções que você usa para executar comandos. Para exibir uma barra de ferramentas, prima ALT e, em seguida, SHIFT + F10). E escrevendo variáveis e números.
Desde o início da linha Equação barra de ferramentas, você pode escolher entre mais de
150 símbolos matemáticos. Da linha de baixo, você pode escolher entre uma variedade de
modelos e quadros que contêm símbolos, como frações, integrais e summations.
– Se você precisar de ajuda, clique em Equation Editor Help Topics no menu Ajuda.
– Para retornar ao Microsoft Word, clique no documento do Word.
180
EaD
Referências
Matemática aplicada à administração
BIANCHINI, Edwaldo; PACCOLA, Herval. Matemática volume 2. São Paulo: Editora Moderna,
1993.
CARNEIRO, V. C. Funções elementares. Porto Alegre: Editora da UFRGS, 1993.
CRESPO, A. A. Matemática Comercial e Financeira. São Paulo: Saraiva, 11 ed., 1996.
GOLDSTEIN, Larry; LAY, David C.; SCHNEIDER, David J. Matemática Aplicada à Economia,
Administração e Contabilidade. 8. ed. Porto Alegre: Bookman, 2000.
HAZZAN, S. Fundamentos de Matemática Elementar. São Paulo: Atual, 1993. v.5.
IEZZI, Gelson et al. Fundamentos de Matemática Elementar. São Paulo: Atual, 1993. v.1.
LEITE, A. Aplicações da Matemática: Administração, Economia e Ciências Contábeis. São Paulo:
Cengage Learning, 2008.
LEITHOLD, Louis. Matemática Aplicada à Economia e Administração. São Paulo: Harbra,
1984.
MORETTIN, P. A.; BUSSAB, W. O.; HAZZAN, S. Cálculo: funções de uma variável. 3. ed. São
Paulo: Atual, 1999.
SILVA, Sebastião Medeiros. Matemática para os cursos de Administração, Economia e Ciências
Contábeis. São Paulo: Atlas, 1999. V. 1.
SIMON, C. P.; BLUME, L. Matemática para economistas. Porto Alegre: Bookmann, 2004.
VERAS, Lilia Ladeira. Matemática Aplicada à Economia. 3. ed. São Paulo: Atlas, 1999.
WEBER, Jean E. Matemática para Economia e Administração. 2. ed. São Paulo: Harbra, 1986.
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