FATORAÇÃO, SIMPLIFICAÇÃO DE RAÍZES EXATAS E MMC

MATEMÁTICA A – AULA 03
PROJETO KALI
FATORAÇÃO, SIMPLIFICAÇÃO DE RAÍZES EXATAS E MMC
Introdução
Hoje iniciaremos o estudo de alguns assuntos
extremamente importantes para uma maior
compreensão no ensino da Matemática. São eles:
divisores e múltiplos, critérios de divisibilidade,
números primos, fatoração, simplificação de
raízes exatas e por fim MMC. Apesar de
parecerem elementares, esses temas dialogam
constantemente com toda a Matemática, Física,
Química e futuramente com conteúdos do
Ensino Superior.
Figura 1 - demonstração de Euclides sobre a existência de
infinitos números primos, há cerca de 300 anos antes de Cristo,
em sua obra Os Elementos.
Múltiplos
O múltiplo de um número natural (o conjunto
Exemplos:
dos números inteiros positivos, incluindo o zero,
é representado pela letra N maiúscula) é o
 2 ∙ 5 = 10. Dizemos que o número 10 é
resultado da multiplicação desse número por
múltiplo do número 2 e também múltiplo
qualquer outro número natural.
de 5;
Assim, os múltiplos de um número aparecem
 2 ∙ 6 = 12. Dizemos que 12 é múltiplo de
2 e também múltiplo de 6.
como os resultados na tabuada desse número.
Como descobrir todos os múltiplos de um número?
Como já dito, os múltiplos de um número aparecem em sua tabuada. Por exemplo, como descobrir
quais são os números múltiplos de 14? Vejamos:
14 ∙ 0 = 0
14 ∙ 1 = 14
14 ∙ 2 = 28
14 ∙ 3 = 42
14 ∙ 4 = 56
14 ∙ 5 = 70
14 ∙ 6 = 84
14 ∙ 7 = 98
Múltiplos de 14 = {0, 14, 28, 42, 56, 70, 84, 98, . . . }
Observe que o zero é múltiplo de qualquer número!
1
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Divisores
Dizemos que um número natural é divisor de outro
número natural quando a divisão for exata, ou seja,
quando o resto é zero.
Exemplos:
 Se dividirmos o 12 por 1, 2, 3, 4, 6 ou 12, a divisão
será exata. Assim, o 12 é divisível por 1, 2, 3, 4, 6
ou 12. Portanto, os divisores do 12 são 1, 2, 3, 4,
6 e 12. Com qualquer outro número, a divisão
não será exata;
 36 é divisível por 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 e 36; assim,
os divisores do 36 são 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 e 36;
 Os divisores do 3 são o 1 e o 3.
Observações
importantes:
 O menor divisor de um
número é sempre o
número 1;
 O maior divisor de um
número é o próprio
número;
 O zero não é divisor de
nenhum número.
Relação entre divisores e múltiplos
 15 é divisível por 3  3 é divisor de 15  15 é múltiplo de 3;
 20 é divisível por 1  1 é divisor de 20  20 é múltiplo de 1;
 8 é múltiplo de 2  2 é divisor de 8.
Assim, se um número natural é múltiplo de outro número, esse
outro número será divisor do primeiro. Da mesma forma, se um
número natural é divisor de outro número, esse outro número será
múltiplo do primeiro.
Critérios de divisibilidade
Quando temos um número pequeno, é fácil descobrir quais números são divisores, apenas fazendo
a conta de divisão e verificando se o resto é zero ou não. Mas por vezes nos deparamos com números
maiores, como por exemplo 3456. Nesse caso, aplicar o método tradicional fazendo várias divisões daria
muito trabalho. Assim, usamos regrinhas que podem nos ajudar a descobrir quais são alguns divisores
dos números sem fazer a divisão. Essas “regras” são os critérios de divisibilidade. Existem critérios de
divisibilidade para diversos números, mas os mais usados são os seguintes:
2
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Divisibilidade por 2:
Divisibilidade por 3:
Divisibilidade por 5:
Qualquer número par é sempre
Quando a soma dos
Todo
divisível por 2. Ou seja, todo número
algarismos é um número
terminar com os algarismos
que terminar com os algarismos 0, 2,
divisível por 3, então o
0 ou 5 é divisível por 5.
4, 6 ou 8 é divisível por 2.
número original também é
divisível por 3. O contrário
Exemplos:
 1452 é divisível por 2;
 837 não é divisível por 2.
também vale: se a soma dos
algarismos não for divisível
por 3, o número original
número
que
Exemplos:
 1270 é divisível por 5;
 785 é divisível por 5;
 28 não é divisível por 5.
também não será divisível
por 3.
Divisibilidade por 6:
Um número será divisível por 6
se for divisível por 3 e por 2.
Divisibilidade por 10:
Exemplos:
Todo
 237: se somarmos os
algarismos (2+3+7), o
Exemplos:
 237 é divisível por 3 mas não
por 2; assim, não é divisível
por 6;
 58 é divisível por 2 mas não
por 3; assim, não é divisível
por 6;
 150 é divisível por 2 e por 3;
assim, é divisível por 6.
resultado
será
12.
Como 12 é divisível
por 3, 237 também é
divisível por 3;
 58: 5+8=13; como 13
número
que
terminar com o algarismo 0
é divisível por 10.
Exemplos:
 980 é divisível por 10;
 67 não é divisível por
10.
não é divisível por 3,
58 também não é
divisível por 3.
Números primos
Seja ♥ um número natural. Se os seus divisores forem apenas o 1 e o próprio ♥, então o ♥ é um
número primo. Ou seja: um número primo é todo aquele que só é divisível por 1 e por ele mesmo.
Exemplos:
 Divisores de 5: apenas 1 e 5.
Logo, 5 é um número primo;
 Divisores de 17: apenas 1 e 17.
Logo, 17 é um número primo;
 Divisores de 8: 1, 2, 4 e 8. Logo,
8 não é um número primo.
3
Curiosidade:
O maior número primo conhecido até 01/2013
tem mais de 17 milhões de dígitos, exatamente
17.425.170 dígitos, e foi descoberto pelo projeto
GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search).
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Os primeiros números primos
2
3
5
41 43 47
97
101
7
11
13
17
19
23
29
31
37
53
59
61
67
71
73
79
83
89
107
109
113
127
131 137 139 ...
103
Como saber se um número é primo?
Como dito anteriormente, um número é primo quando possui apenas dois divisores: 1 e ele próprio.
Por convenção, o número 1 não é primo, mesmo obedecendo o critério acima. Os números maiores
que 1 e que possuem mais que 2 divisores não são primos, são números compostos.
Para saber se um número é primo ou não, podemos dividir esse número por primos conhecidos até
que obtenhamos um quociente menor ou igual ao divisor. Se até esse ponto nenhuma divisão for exata,
então esse número é primo.
Fatoração (decomposição em fatores primos)
Todo número natural não primo
(composto) maior que 1, pode ser
decomposto num produto de dois ou
mais fatores primos.
Exemplos:
54 = 𝟗 ∙ 𝟔
54 = 𝟗 ∙ 𝟐 ∙ 𝟑
54 = 𝟑 ∙ 𝟑 ∙ 𝟐 ∙ 𝟑
54 = 3³ ∙ 2
84 = 𝟒𝟐 ∙ 𝟐
84 = 𝟐𝟏 ∙ 𝟐 ∙ 𝟐
84 = 𝟕 ∙ 𝟑 ∙ 𝟐 ∙ 𝟐
84 = 2² ∙ 3 ∙ 7
Regra prática para fatoração
Existe um dispositivo prático para fatorar um número:
126 2
63 3
1. Dividimos o número pelo seu menor divisor primo;
2. Escrevemos o resultado na linha abaixo;
3. Repetimos os passos acima até obtermos o
número 1. A multiplicação de todos os divisores
21 3
7 7
126 = 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 7
126 = 2 ∙ 3² ∙ 7
1
primos será o número fatorado.
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Número
Fatoração em números primos
Fatoração em números primos usando potências
81
3∙3∙3∙3
34
132
2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 11
2² ∙ 3 ∙ 11
147
3∙7∙7
3 ∙ 7²
1365
3 ∙ 5 ∙ 7 ∙ 13
3 ∙ 5 ∙ 7 ∙ 13
Simplificando raízes exatas
O processo de obtenção de uma raiz consiste
em descobrir qual número que elevado ao índice
Lembre-se:
resulta no algarismo que está dentro da raiz.
Muitas vezes é possível fazer esse cálculo de
forma intuitiva. Exemplo:
índice
√9 = 3, pois 32 = 9
2
3
√27
Porém, quando trabalhamos com radicandos
muito grandes, o método intuitivo pode ser
radicando
muito trabalhoso. Uma alternativa é a obtenção
da raiz pelo método da fatoração. Para isso,
devemos:
1. Realizar a fatoração do
a) √196 = ?
2
b) √216 = 2 ∙ 3 = 6
3
radicando;
2. Juntar
os
divisores
196 2
da
fatoração
98 2
iguais em “grupinhos”
49 7
primos
com
número
elementos
igual
de
dos “grupinhos”.
𝟕
1
índice da raiz;
216 2
108 2
7 7
ao
3. Multiplicar os números
𝟐
𝟐
54 2
27 3
9 3
𝟑
3 3
2
√196 = 2 ∙ 7 = 14
1
O mesmo processo pode ser realizado para obtenção de raízes não exatas, como √8. No entanto,
por ser uma raiz não exata, existirão números que não formarão grupinhos. Esses números devem
2
permanecer dentro da raiz, e o resultado final combinará números fora da raiz com números dentro da
raiz. Por fugir do objetivo do curso, a simplificação de raizes não exatas não será vista nesse momento.
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Mínimo Múltiplo Comum – MMC
Como o nome já diz, o MMC consiste em se obter o menor múltiplo comum dentre dois ou mais
números naturais. O MMC possui várias aplicações na Matemática. Por exemplo, é muito utilizado na
soma e subtração de frações. Para aprendermos como calculá-lo, vamos ver um exemplo:
Qual é o menor múltiplo comum entre 20 e 35?
Múltiplos de 20
0
20
40
60
80
100
120
140
...
Múltiplos de 35
0
35
70
105
140
175
210
245
...
Observando os múltiplos de 20 e 35, vemos que o menor múltiplo comum é 140. O MMC entre 20 e
35 é 140.
Dispositivo prático para obtenção do MMC
Utilizamos a fatoração para agilizar o cálculo do MMC. Passos:
1. Achamos o menor divisor primo de todos os números, e escolhemos o menor deles;
2. Dividimos os números, quando tiver divisão exata, pelo menor divisor primo obtido acima;
3. Escrevemos os quocientes na linha abaixo, e repetimos os 3 passos sucessivamente até obtermos
somente 1;
4. O MMC será a multiplicação de todos os divisores primos da fatoração conjunta.
Exemplos:
a) MMC entre 20 e 30:
b) MMC entre 15, 24 e 60:
15, 24, 60 2
20, 30 2
10, 15 2
MMC = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5
15, 12, 30 2
5, 15 3
MMC = 60
15, 6, 15 2
MMC = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5
15, 3, 15 3
MMC = 120
5,
5
1,
1
5
Como não é possível dividir
5, 1,
5
o 15 pelo menor divisor
1, 1,
1
primo,
somente
o
5
copiamos na próxima linha.
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Como estudar esse conteúdo?
A aula é extensa, mas tem apenas conteúdos básicos. Básico não quer dizer fácil! Quer dizer que
devemos saber para continuarmos com a matéria, já que a Matemática se baseia na acumulação e na
evolução do conhecimento.
Em casa, revise toda a matéria. Reveja todos os modelos antes de fazer os exercícios.
Muitos dos exercícios trabalham com o raciocínio lógico, o que é muito importante para sua
formação como estudante.
Nas listas de exercício, há exercícios de todos os níveis. Há muitos desafios! Portanto, não desanime
se não conseguir fazer alguns deles. Com o tempo você vai conseguir e vai perceber sua evolução!
Procure qualquer professor da matéria ou seu tutor se surgir qualquer dúvida. Dúvidas mal
resolvidas dessa aula se arrastarão por todo o curso. Não deixe isso acontecer!
Bons Estudos!
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