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INTRODUÇÃO À ASTROFÍSICA
LIÇÃO 10 - EXEMPLOS
Para fixar um pouco melhor os conceitos vistos até aqui, iremos olhar alguns
exercícios onde aplicamos diretamente algumas definições.
ESTIME A MASSA DA NOSSA GALÁXIA SABENDO QUE O SOL ORBITA O CENTRO DO
SISTEMA COM UM PERÍODO DE 250 MILHÕES DE ANOS. A DISTÂNCIA MÉDIA DO SOL AO
CENTRO DA GALÁXIA É CERCA DE 30.000 ANOS-LUZ. EXPRESSE A MASSA EM UNIDADES DE
MASSA DO SOL.
Vamos converter anos-luz em metros. Assim, temos que:
3 × 104 × 9,46 × 1015 = 2,8 × 1020 𝑚
E convertendo o tempo em segundos:
𝑇 = 2,5 × 108 × 3,15 × 107
Usamos a terceira lei de Kepler para obter o resultado:
4𝜋 2 𝑎3
39,47 × 21,95 × 1060
41
𝑀=
=
=
2,097
×
10
𝑘𝑔
2
−11
30
𝐺𝑇
6,67 × 10
× 61,93 × 10
Como 1𝑀⊙ = 1,98 × 1030 𝑘𝑔, temos:
𝑀 𝑔𝑎𝑙𝑎𝑥𝑖𝑎 = 1,06 × 1011 𝑀⊙
A LUA DE MARTE, FOBOS, POSSUI UM PERÍODO DE 460 MINUTOS E UM RAIO ORBITAL
MÉDIO DE 9400 KM. QUAL É A MASSA DE MARTE? EXPRESSAR EM UNIDADES DA
MASSA DA TERRA (𝑴⨁ = 𝟓, 𝟗𝟕𝟐 × 𝟏𝟎𝟐𝟒 𝒌𝒈).
Novamente, usamos da terceira lei de Kepler:
4𝜋 2 𝑎3
𝑀=
𝐺𝑇 2
Convertendo o tempo em segundos, temos que 𝑇 = 600 min = 2,76 × 104 e 𝑎 =
9,4 × 106 𝑚.
Substituindo esses valores na terceira lei:
𝑀 = 6,46 × 1023 𝑘𝑔
E em unidades de massa da Terra:
𝑀 = 0,108𝑀⨁
O ASTERÓIDE ÍCARO, DESCOBERTO EM 1949, POSSUI UMA EXCENTRICIDADE DE 0,83
QUE O TRAZ BEM PRÓXIMO DO SOL NO PERIÉLIO. O PERÍODO DE ÍCARO É DE 1,1
ANO. DETERMINE O SEMI-EIXO MAIOR DA ÓRBITA DE ÍCARO E DETERMINA AS
DISTÂNCIAS DO AFÉLIO E PERIÉLIO.
Sabendo que a massa do Sol é de 𝑀⊙ = 1,99 × 1030 usamos a terceira lei de
Kepler:
2
𝑀𝐺𝑇
11 𝑚
𝑎3 =
=
1,594
×
10
4𝜋 2
Fazemos:
𝑟𝑝 = 𝑎 1 − 𝑒 = 2,7 × 1010 𝑚
𝑟𝑎 = 𝑎 1 + 𝑒 = 2,9 × 1011 𝑚
Onde 𝑒 é a excentricidade.
UTILIZANDO DETECTORES FORA DA TERRA, OS ASTRÔNOMOS MEDIRAM O FLUXO MÉDIO DE ENERGIA
SOLAR QUE CHEGA ATÉ NÓS, CHAMADO DE CONSTANTE SOLAR. ELES ENCONTRARAM UM VALOR DE
1370 W/M². COM ESSA INFORMAÇÃO, CALCULE A TEMPERATURA NA SUPERFÍCIE DO SOL, SABENDO
QUE 1UA = 𝟏, 𝟒𝟗𝟔 × 𝟏𝟎𝟏𝟏 M E QUE O RAIO DO SOL É 𝟔, 𝟗𝟔 × 𝟏𝟎𝟖 M.
A lei de Stefan-Boltzmann é escrita como:
𝑓𝑆 = 𝜎𝑇 4
Porém, esse é o fluxo na superfície do Sol e não na superfície da Terra. Assim, utilizamos a constante solar e a
distância Sol-Terra para calcular o fluxo na superfície do Sol:
𝐿⊙
𝑓𝑆 =
4𝜋𝑅2
𝐿⊙ = 1370 × 4𝜋 1,496 × 1011 2 = 3,9 × 1026 𝑊
Assim, na superfície do Sol:
Assim, a temperatura será:
𝐿⊙
3,9 × 1026
𝑓⊙ =
=
4𝜋𝑅 2 4𝜋 6,96 × 108
𝑓⊙
𝑇=
𝜎
2
= 6,41 × 107 𝑊𝑚−2
1/4
= 5800 𝐾
A QUE DISTÂNCIA DEVE SER COLOCADA UMA LÂMPADA DE 100 W
PARA QUE A MESMA TENHA UM FLUXO RADIANTE IGUAL AO FLUXO
SOLAR MEDIDO NA SUPERFÍCIE DA TERRA? UTILIZE A CONSTANTE
SOLAR DO EXERCÍCIO ANTERIOR.
Aplicamos direto
𝐿
𝑓=
4𝜋𝑅2
100
1370 =
4𝜋𝑅2
𝑅 ≈ 7,6 𝑐𝑚