d-10 - contabilidade geral

Estatística – Bacen – Área 4
Aula 00 – Demonstrativa
Prof. Alexandre Lima
Aula 00
Olá, tudo bem com você? Bem vindo às aulas de Estatística!
Sou o professor Alexandre Lima. É uma imensa satisfação tê-lo como meu
aluno. Como este é o nosso primeiro encontro, peço a sua licença para uma
breve apresentação sobre a minha formação e a minha experiência como
professor para concursos. Em seguida, tecerei alguns comentários preliminares
que julgo serem pertinentes.
Obtive o grau de Bacharel em Ciências Navais com ênfase em Eletrônica pela
Escola Naval e os de Engenheiro Elétrico (com ênfase em Telecomunicações),
Mestre e Doutor em Engenharia Elétrica (com ênfase em sistemas eletrônicos)
pela Escola Politécnica da Universidade de São Paulo. Sou Auditor-Fiscal
Tributário Municipal de São Paulo (“Fiscal do ISS/SP”) há mais de uma década.
Em paralelo, exerço o magistério universitário e ministro aulas de Métodos
Quantitativos, Estatística, Contabilidade e Raciocínio Lógico-Quantitativo para
concursos.
Este curso de Este curso de Estatística – Teoria e Exercícios – BACEN –
Área 4 – Contabilidade e Finanças visa a abordagem de todo o conteúdo
programático do último edital publicado pelo CESPE-UnB em 2013.
Pretendo resolver junto com você muitas questões do CESPE que já caíram em
concursos anteriores. Não obstante, é bom esclarecer que também costumo
resolver, por razões didáticas, questões propostas por outras bancas. Observe
que todas as questões incluídas nas aulas são cuidadosamente selecionadas
para que o seu aproveitamento seja máximo. As soluções apresentadas são
resultantes de um longo processo evolutivo, fruto de uma intensa interação
com os alunos via forum web etc.
O conteúdo programático proposto para este curso está detalhado a seguir.
Ressalto que a aula 4, apesar de não abordar de forma direta nenhum item do
edital, é necessária para o bom andamento do curso.
Aula 0: Aula demonstrativa: modelo de exercícios comentados.
Aula 1: 1 População e amostra. 2 Histograma e curvas de frequência. 3
Medidas de posição: média, moda, mediana e separatrizes. 4 Medidas
de dispersão absoluta e relativa.
Aula 2: 5 Probabilidade condicional, independência.
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Aula 3: 6 Variável aleatória e funções de distribuição. 7 Distribuições
de probabilidade, esperança matemática, momentos, esperança
condicionais.
Aula 4: Variável Aleatória Bivariada: função de probabilidade conjunta, função
de probabilidade marginal, função de probabilidade condicional. Variáveis
aleatórias independentes. Esperanças envolvendo duas ou mais variáveis:
correlação e covariância. Introdução à Regressão Linear.
Aula 5: 8 Lei dos grandes números. 9.2 Amostragem.
Aula 6: 9 Inferência. 9.1 Estimação de parâmetros por ponto e
intervalo. 9.3 Intervalo de confiança.
Aula 7: 9.4. Testes de hipóteses.
Aula 8: 10. Regressão simples.
Aula 9: 10. Regressão múltipla.
As dúvidas serão sanadas por meio do fórum do curso, ao qual todos os
matriculados terão acesso. As críticas e/ou sugestões também poderão ser
enviadas para a caixa postal [email protected].
O preguiçoso deseja e nada consegue, mas os desejos do diligente são
amplamente satisfeitos, Provérbios 13.4.
Nunca desista do seu sonho. Deus nos deu o livre arbítrio para que possamos
fazer as nossas escolhas. Se você deseja ser aprovado em um concurso
público, lute por isso, com dedicação e sacrifício, sempre visando ao seu
objetivo. Desta forma, você conseguirá ser aprovado!
Prof. Alexandre Lima
Março/2015
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Aula 00 – Demonstrativa
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Exercícios Comentados
Nota: nesta aula demonstrativa serão apresentadas apenas questões
comentadas; contudo, o curso será de teoria e exercícios.
(BACEN – Área 5/CESPE-UnB/2013) Com relação às medidas estatísticas
de dispersão e à distribuição normal, julgue os itens que se seguem.
1. Considere que determinado fornecedor oferece um produto ao preço de $
40. Nesse contexto, sabendo-se que o preço médio do mercado é $ 30 e
supondo-se que os preços de mercado apresentem uma distribuição normal de
probabilidade e que a quantidade padronizada (z) seja igual a 1,22, o desvio
padrão dos preços é superior a $ 8.
Resolução
Dados:

Preço:

Preço médio:

Preço padronizado:
Sabemos que
X=40
´
X=30
z=1,22
´
X− X . Logo,
z=
σ
´
X − X 40−30
σ=
=
=8,20>8
z
1,22
Item certo.
GABARITO: C
2. Numa curva normal, há coincidência entre os valores da média e da
mediana, mas não da moda da distribuição.
Resolução
A figura abaixo mostra que a curva normal tem a forma de um sino e que essa
distribuição é simétrica. Deste modo, os valores da média, da mediana e da
moda da normal são coincidentes. Item errado!
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Densidade normal
0.45
0.4
0.35
f(x)
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
x
GABARITO: E
(ANAC-Área 4/CESPE-UnB/2012) Com relação à teoria de probabilidades,
julgue os itens que se seguem.
3. Se X é uma variável aleatória e se {X1, X2, ..., Xn} são observações
aleatórias independentes dessa variável, então, com base na lei forte dos
grandes números, é correto afirmar que, quando o tamanho amostral cresce
(até o infinito), a média amostral tem distribuição normal de média  = E(X).
Resolução
A lei forte dos grandes números diz que a média de uma sequência de
variáveis aleatórias independentes com mesma distribuição converge, com
probabilidade 1, para a média daquela distribuição 1. Ou seja, se X é uma
variável aleatória com média  = E[ X] e se {X1, X2, ..., Xn} são observações
aleatórias independentes dessa variável, então, é certo que,
X 1  X 2  ...  X n

n
quando n  
(a média amostral converge para a média de X quando o tamanho da amostra
tende a infinito)
X
Observe que a lei forte dos grandes números não afirma que, quando o
tamanho amostral cresce (até o infinito), a média amostral tem distribuição
1 S. Ross, Probabilidade: Um Curso Moderno com Aplicações, 8ª edição, Porto Alegre: Bookman,
2010, pág472.
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normal. A lei é omissa quanto à forma da distribuição da média amostral e é
por isso que o item é errado.
Quando o tamanho da amostra aumenta, independentemente da forma da
distribuição da variável aleatória X, a distribuição da média amostral X
aproxima-se cada vez mais de uma distribuição normal. Esse resultado,
fundamental em Inferência Estatística, é assegurado pelo Teorema do Limite
Central (TLC).
Lei Forte dos Grandes Números: a média de uma sequência de variáveis
aleatórias independentes com mesma distribuição converge, com probabilidade
1, para a média daquela distribuição.
TLC: a soma de um grande número de variáveis aleatórias independentes tem
uma distribuição que é aproximadamente normal.
GABARITO: E
4. Considere que X1, X2, ..., Xn seja uma amostra independente e
identicamente distribuída de uma variável aleatória com média  e variância 2
x  x  ...  xn
xn  1 2
n
e
. Nessas condições, para   0 , a lei fraca dos grandes
números não garante que se encontre algum xn , tal que | xn   |  .
Resolução
A lei fraca dos grandes números diz que, para qualquer valor n
grande específico, é provável que ( x1  x2  ...  xn ) / n esteja próximo de .
Portanto, para   0 , a lei fraca dos grandes números garante que se encontre
algum xn , tal que | xn   |  . Item certo.
Segue o enunciado do teorema da lei fraca dos grandes números em
“matematiquês”:
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Seja X1, X2, ... uma sequência de variáveis aleatórias independentes e
identicamente distribuídas, cada uma com média finita E[Xi] = . Então,
para qualquer  > 0,
 X  X 2  ...  X n

P 1
    0
n


quando n  
GABARITO: C
5. Considere que X seja uma variável aleatória com média  e variância 2
desconhecidas e que uma amostra aleatória, grande o suficiente e com
observações independentes e identicamente distribuídas, dessa variável tenha
sido obtida. Nessa situação, a probabilidade do desvio de cada observação
amostral em relação à média populacional () não exceder 3 será inferior a
80%.
Resolução
Desigualdade de Chebyshev: seja X uma variável aleatória com média  e
variância 2. Então, para qualquer  = k > 0
P[| X   | k ]  1 
1
k2
(a probabilidade do desvio de cada observação amostral em relação à média
populacional  não exceder k é no mínimo igual a 1 – 1/k2)
P[| X   | k ] 
1
k2
(a probabilidade do desvio de cada observação amostral em relação à média
populacional () exceder k é no máximo igual a 1/k2)
O item adota k = 3. Logo,
P[| X   | 3 ]  1 
1
32
P[| X   | 3 ]  0,89 (*)
(*) resultado aproximado para 2 casas decimais.
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Ou seja, a probabilidade do desvio de cada observação amostral em relação à
média populacional  não exceder 3 é no mínimo igual a 89% (pode ser
maior!). Item errado.
Revisão da teoria
A desigualdade de Chebyshev (ou Tchebysheff) fornece um limitante superior
da probabilidade de quanto uma variável aleatória X pode desviar-se de sua
média .
Seja X uma variável aleatória arbitrária com média  e variância  2. Então,
para qualquer  > 0
2
P[| X   | ]  2 .

Comentários:
- Observe que o teorema de Chebyshev não requer que a distribuição de
probabilidades de X seja conhecida.
- Como {| X   | }  {| X   | }   (evento certo), segue-se que
P[| X   | ]  1 
2
.
2
Às vezes, é mais conveniente expressar  em termos de , de forma que  =
k, em que k é um valor constante. Então o teorema de Chebyshev pode ser
expresso nas formas equivalentes:
1
k2
1
P[| X   | k]  2
k
P[| X   | k]  1 
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0.8
f(x)
P(X -  < -k )
0.7
P(X -  > k )
0.6
Densidade
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
10
10.5
11
11.5
 - k
12

12.5
 + k
13
13.5
x
14
Note que a soma das áreas azul e vermelha na figura acima é 1/k 2, pois o
limite superior da área azul é  - k e o limite inferior da área vermelha é  +
k. Por outro lado, a área para |x - |> k sempre será menor que 1/k 2.
GABARITO: E
6. (Analista do TJ-RO/CESPE-UnB/2012) Considere que X representa a
média amostral de uma amostra aleatória simples de tamanho n retirada de
uma distribuição X, e  e  denotam, respectivamente, a média e desvio
padrão dessa distribuição X. Com relação a inferência estatística, é correto
afirmar que a relação
 X 

P
 1,96   0,95
/ n
 n 
é consequência do importante resultado que se intitula
(A) princípio da invariância
(B) lei fraca dos grandes números
(C) desigualdade de Chebyshev
(D) lei forte dos grandes números
(E) teorema limite central
Resolução
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Seja a soma S n  X 1  X 2  ...  X n de n variáveis aleatórias independentes e
identicamente distribuídas X 1 , X 2 ,..., X n com média finita  e variância 2, em
2
que E ( S n )  n e Var ( S n )  n . De acordo com o teorema limite central, a
variável aleatória padronizada
S n  E (S n )
Var ( S n )

S n  n
 n
é assintoticamente normal com média nula e desvio-padrão igual a um
(normal padrão ou reduzida).
Divida o numerador e o denominador da relação acima pela constante n:
S n  n S n  n
X 
n

n


 Z*

 n
/ n
n
n
Ora, a variável resultante continua sendo assintoticamente normal com média
zero e variância unitária. Portanto,
PZ *  1,96  0,95
n
Dica: o resultado PZ  1,96   0,95 , em que Z é a normal padrão, é tão utilizado
em Estatística, que às vezes as bancas assumem que você conhece esse valor
de cor.
GABARITO: E
ˆ
ˆ*
7. (Analista do TJ-RO/Cespe-UnB/2012) Os estimadores n e n são
estimadores pontuais do parâmetro  de certa distribuição, em que n
ˆ
representa o tamanho da amostra. Nesse caso, o estimador  é dito ser
consistente se
(A)
lim n P(| ˆn   |  )  0
, para todo   0 .
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P ( x1 , x2 ,..., xn | ˆn )
(B)
, em que x1 , x2 ,..., xn são as observações amostrais, não
depende de .
2 ˆ
2 ˆ*
2
(C)  ( n )   ( n ) , em que  (.) é a variância do estimador.
L(ˆn | x1 , x2 ,..., xn )  L(ˆn* | x1 , x2 ,..., xn )
(D)
em que L(.) é a função de verossimilhança
associada ao modelo e x1 , x2 ,..., xn são as observações amostrais.
(E)
E (ˆn )  
Resolução
Um estimador é consistente, se, à medida que a amostra cresce,
converge para o verdadeiro valor do parâmetro. Ou seja, quando o
tamanho da amostra vai aumentando, o viés (se existir) vai diminuindo e a
variância também. Um estimador consistente é aquele que converge para o
valor do parâmetro quando o tamanho da amostra tende a infinito.
Considere a média amostral X calculada para diversos tamanhos de amostras;


obtemos, na realidade, uma sequência de estimadores X n , n  1,2,... . À medida
que n cresce, a distribuição de X torna-se mais concentrada ao redor da
verdadeira média populacional . Dizemos que
consistente de estimadores de .
X
n
, n  1,2,...
é uma sequência
Um estimador T de um parâmetro  é consistente se, para todo  > 0,
P{| T   |  }  0,
n
Isso significa, em termos práticos, que, sendo o estimador consistente, podese, com amostras suficientemente grandes, tornar o erro de estimação tão
pequeno quanto se queira.
Em vez de usar a definição acima para verificar se um estimador é consistente,
podemos usar o seguinte resultado.
Um estimador T de um parâmetro  é consistente se
lim E (T )   ,
n
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lim var(T )  0
n
Se o estimador for justo, a condição de consistência equivale a dizer que sua
variância tende a zero quando o tamanho da amostra tende a infinito, isto é,
para n   , var(T )  0 .
Análise das alternativas
(A) Correta, conforme explicação dada anteriormente.
P ( x1 , x2 ,..., xn | ˆn )
(B) Incorreta. A condição “
, em que x1 , x2 ,..., xn são as
observações amostrais, não depende de ” não faz o menor sentido no
contexto da consistência de um estimador.
2 ˆ
2 ˆ*
ˆ
(C) Incorreta. A condição  ( n )   ( n ) quer dizer que o estimador  n pode ser
ˆ*
mais eficiente que o estimador  n .
(D) Incorreta. Estimação por máxima verossimilhança não tem nada a ver com
a definição de consistência de um estimador. O método da máxima
verossimilhança é um critério para a escolha do estimador. A consistência é
uma propriedade do estimador.
ˆ
(E) Incorreta. Foi dada a definição de justeza do estimador  n .
GABARITO: A
8. (Analista do TJ-RO/Cespe-UnB/2012) Com relação a intervalo de
confiança e intervalo de credibilidade, é correto afirmar que, se I = [a; b] for
um intervalo de
(A) confiança para o parâmetro , então esse parâmetro é uma variável
aleatória.
(B) confiança para o parâmetro  de nível 1 – , então a probabilidade do
verdadeiro valor do parâmetro estar fora do intervalo é igual a .
(C) credibilidade para o parâmetro , então esse parâmetro é uma variável
aleatória.
(D) confiança para o parâmetro , então o valor esperado para esse parâmetro
ba
ˆ 
2 .
é
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(E) credibilidade para o parâmetro , então a mediana deste parâmetro é
ba
ˆ 
2 .
Resolução
Análise das opções
(A) Incorreta, porque se I = [a; b] for um intervalo de confiança para o
parâmetro , então esse parâmetro é não uma variável aleatória, sendo uma
quantidade fixa.
(B) Incorreta, porque se I = [a; b] for um intervalo de confiança para o
parâmetro  de nível 1 - , então a probabilidade do verdadeiro valor do
parâmetro estar fora do intervalo é igual a 0 ou 1.
(C) Correta, por definição.
(D) Incorreta, porque se I = [a; b] for um intervalo de confiança para o
parâmetro , então o valor esperado de  é igual a , pois o parâmetro não é
uma variável aleatória.
(E) Incorreta, porque se I = [a; b] for um intervalo de credibilidade para o
ba
ˆ 
2 é um belo
parâmetro , então dizer que a mediana deste parâmetro é
chute.
GABARITO: C
9. (Analista do TJ-RO/Cespe-UnB/2012) Com relação a acurácia e
precisão, é correto afirmar que o estimador ENVUMV (estimador não viciado
uniformemente de mínima variância)
(A) é um estimador acurado e é o mais preciso.
(B) não é um estimador acurado e nem é o mais preciso.
(C) é um estimador acurado mas não é o mais preciso.
(D) é um estimador não acurado mas é o mais preciso.
(E) é um estimador acurado e assintoticamente o mais preciso.
Resolução
O ENVUMV é o “sonho de consumo” dos estatísticos, pois é o melhor estimador
dentre todos os estimadores não viciados, no sentido de que possui a menor
variância, para todo valor de , em que  denota o parâmetro a ser estimado.
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O ENVUMV é o mais preciso porque a dispersão das suas estimativas é a
menor de todas e é acurado porque é não viciado e de variância mínima.
GABARITO: A
(Serpro/CESPE-UnB/2010/Adaptada)
Certa empresa, em determinado mês, realizou levantamento acerca da
quantidade diárias de acessos simultâneos ao seu sistema cujo resultado é
mostrado na figura acima. A partir das informações apresentadas nessa figura,
e considerando que a distribuição da quantidade diárias de acessos
simultâneos é representada pela variável X, julgue os itens a seguir.
10. A quantidade de 6 mil acessos simultâneos por dia representa a moda de
X.
Resolução
A moda de X (valor que apresenta a maior frequência) é igual a 3 mil, cuja
frequência é 10. A quantidade de 6 mil acessos simultâneos é o valor de menor
frequência (= 1). Item errado.
GABARITO: E
11. O mês em que esse levantamento foi realizado possui mais de 30 dias.
Resolução
quantidade de acessos simultâneos
frequência (no de dias)
1.000
2.000
3.000
4.000
5
6
10
6
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5.000
6.000
Total
3
1
31
Os dados foram tabulados na tabela acima, a qual indica que o mês em que
esse levantamento foi realizado possui 31 dias. Item certo.
GABARITO: C
12. A quantidade de 2.000 acessos simultâneos diários representa o primeiro
quartil da distribuição X.
Resolução
quantidade de acessos
simultâneos
1.000
2.000
3.000
4.000
5.000
6.000
Total
frequência (no de
dias)
5
6
10
6
3
1
31
frequência
relativa
5/31 = 16,1%
6/31 = 19,4%
10/31 = 32,3%
6/31 = 19,4%
3/31 = 9,7%
1/31 = 3,1%
31/31 = 100%
frequência
acumulada
16,1%
35,5%
67,8%
87,2%
96,9%
100,0%
Os dados tabulados acima indicam que o primeiro quartil Q1 (valor que
delimita os 25% menores valores) da distribuição de X é a quantidade de 2 mil
acessos simultâneos, haja vista o fato de a frequência acumulada para essa
quantidade ultrapassar a frequência acumulada de 25%.
Observe que a frequência acumulada para 2000 acessos é 35,5% e isto NÃO
implica que 2000 não seja o primeiro quartil da série.
Resolvamos de outra maneira. O rol de acesso é o seguinte:
1000, 1000, 1000, 1000, 1000 (5 dias)
2000, 2000, 2000, 2000, 2000, 2000(6 dias)
3000, 3000, 3000, 3000, 3000, 3000, 3000, 3000, 3000, 3000 (10 dias)
4000, 4000, 4000, 4000, 4000, 4000 (6 dias)
5000, 5000, 5000 (3 dias)
6000 (1 dia)
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Número total de dias = 31. Logo, a Mediana do rol corresponde ao décimo
sexto valor: 3.000.
Temos agora a seguinte sub-série até a Mediana:
1000, 1000, 1000, 1000, 1000, 2000, 2000, 2000, 2000, 2000, 2000, 3000,
3000, 3000, 3000, 3000
Como esta sub-série tem 16 elementos, a sua mediana (= 1 o Quartil da série
completa) é o valor médio entre os valores da oitava e da nona posição, ou
seja, 2000. Então, Q1 = 2000.
Entendo que a primeira resolução é mais rápida, portanto mais adequada de
ser usada em uma situação real de prova.
Note que esta questão cobra DADOS TABULADOS. Quando há muitos dados,
como é o caso da questão, é mais rápido resolver usando o raciocínio das
frequências acumuladas.
GABARITO: C
13. É correto classificar a variável X como uma variável quantitativa ordinal.
Resolução
Errado. Tal classificação é aplicável aos atributos ou variáveis qualitativas
quando é possível estabelecer uma ordem ou hierarquia entre as respostas
obtidas no levantamento estatístico. Por exemplo, o IBGE efetua
periodicamente o levantamento do grau de instrução dos brasileiros por meio
de um censo completo da população. As respostas possíveis para essa
pesquisa seriam algo como “sem instrução escolar”, “nível fundamental
incompleto”, “nível fundamental completo”, “nível médio incompleto”, “nível
médio completo”, “nível superior incompleto” e “nível superior completo. Essas
respostas não são números, são variáveis qualitativas. Como é possível
estabelecer uma hierarquia entre as possíveis respostas, tem-se uma variável
qualitativa ordinal.
GABARITO: E
14. A mediana amostral de X é igual a 3.500.
Resolução
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Os dados tabulados anteriormente mostram que a mediana da distribuição
de X é a quantidade de 3 mil acessos simultâneos, pois a frequência
acumulada para essa quantidade ultrapassa a frequência acumulada de 50%.
GABARITO: E
(ANAC/CESPE-UnB/2012/Adaptada) Na região Sul do país, em
decorrência de mau tempo durante os meses de inverno, é comum o
fechamento de aeroportos. Com base nessa informação e de acordo com a
teoria de probabilidades, julgue os itens de 15 a 17.
15. Sabendo-se que o processo de precipitação da chuva depende da
temperatura ambiente e da temperatura de condensação do ar, considere que
tais grandezas sejam representadas, respectivamente, pelas variáveis
aleatórias X e Y contínuas com distribuição conjunta f(X,Y). Nessa situação, é
correto afirmar que a probabilidade da temperatura ambiente ser 30 oC e da
temperatura de condensação do ar ser 9 oC é igual a f(30,9).
Resolução
Sejam X e Y variáveis aleatórias contínuas. A figura a seguir mostra uma
função densidade de probabilidade conjunta f(x,y).
0.15
0.1
0.05
0
2
0
-2
y
-3
-2
0
-1
1
2
3
x
A integral dupla de f(x,y) ao longo de uma região R no plano xy (ex.:
a  X  b, c  Y  d ) fornece a probabilidade de (X,Y) assumir um valor em R
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b d
P{( X , Y )  R}  P (a  X  b, c  Y  d )    f ( x, y )dydx
a c
Essa integral dupla pode ser interpretada como o volume sob a superfície
f(x,y) ao longo da região R.
Ora, se a região R se resume a um ponto P = (x,y) do plano, no caso
(x=30,y=9}, temos que o resultado da integral dupla é igual a zero, pois o
volume sob a superfície f(x,y) é nulo em um dado ponto do plano. Logo, é
incorreto afirmar que a probabilidade da temperatura ambiente ser 30 oC e da
temperatura de condensação do ar ser 9 oC é igual a f(30,9). O valor f(30,9)
fornece a densidade de probabilidade conjunta no ponto (30,9). Item errado
GABARITO: E
16. Supondo que a probabilidade de não haver vaga no estacionamento de um
aeroporto dependa do fato de ter ocorrido mau tempo na cercania desse
aeroporto, é correto afirmar que a probabilidade de não haver vaga no
estacionamento desse aeroporto, caso tenha ocorrido mau tempo na sua
cercania, é igual a 1 menos a probabilidade de ter vaga no estacionamento do
referido aeroporto, caso não tenha ocorrido mau tempo em sua cercania.
Resolução
Notação:

Probabilidade de NÃO haver vaga no estacionamento de um aeroporto
condicionada ao fato de ter ocorrido mau tempo na cercania desse
aeroporto: P(NVG|MT);

Probabilidade de haver vaga no estacionamento de um aeroporto
condicionada ao fato de ter ocorrido mau tempo na cercania desse
aeroporto: P(VG|MT);

Probabilidade de não haver vaga no estacionamento de um aeroporto
condicionada ao fato de NÃO ter ocorrido mau tempo na cercania desse
aeroporto: P(NVG|NMT);

Probabilidade de haver vaga no estacionamento de um aeroporto
condicionada ao fato de NÃO ter ocorrido mau tempo na cercania desse
aeroporto: P(VG|NMT);
É correto afirmar que
P(NVG|MT) = 1 – P(VG|NMT) ?
Sabemos que
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P(VG|MT) + P(NVG|MT) = 1  P(NVG|MT) = 1 – P(VG|MT)
P(VG|NMT) + P(NVG|NMT) = 1
O item é errado, pois
P(NVG|MT) = 1 – P(VG|MT)  1 – P(VG|NMT)
GABARITO: E
17. Considere que o número de voos atrasados por mês em um aeroporto da
região Sul seja explicado pela regressão Y = 15 + 5X + ,  ~ N(0, 2), em que
Y é o número de voos atrasados no mês, X é o número de horas que o
aeroporto permaneceu fechado por mau tempo no referido mês e  é uma
variável aleatória com distribuição normal de média zero e variância
desconhecida 2. Nesse caso, é correto afirmar que o desvio padrão de X será
proporcional a 1/5 do desvio padrão de Y.
Resolução
O enunciado forneceu a equação da “verdadeira” reta de regressão:
E (Y | X )   1   2 X  15  5 X
A estimativa da inclinação  2 é dada pela fórmula:

ˆ 2  r Y
X
em que | r | 1 é o coeficiente de correlação,  Y e  X são os desvios padrão
amostrais de X e Y.
Não é necessário estimar a inclinação, pois o seu valor verdadeiro já foi dado
pela questão:  2  5 . Então,


ˆ 2  5  r Y
X  r Y
X 
5
Conclui-se que é correto afirmar que o desvio padrão dos valores de X será
proporcional a 1/5 do desvio padrão dos valores de Y (o coeficiente de
proporcionalidade é o coeficiente de correlação).
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GABARITO: C
Abraços e até a próxima aula.
Bons estudos!
Alexandre Lima
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Lista de Questões Comentadas na Aula
(BACEN – Área 5/CESPE-UnB/2013) Com relação às medidas estatísticas
de dispersão e à distribuição normal, julgue os itens que se seguem.
1. Considere que determinado fornecedor oferece um produto ao preço de $
40. Nesse contexto, sabendo-se que o preço médio do mercado é $ 30 e
supondo-se que os preços de mercado apresentem uma distribuição normal de
probabilidade e que a quantidade padronizada (z) seja igual a 1,22, o desvio
padrão dos preços é superior a $ 8.
2. Numa curva normal, há coincidência entre os valores da média e da
mediana, mas não da moda da distribuição.
(ANAC-Área 4/CESPE-UnB/2012) Com relação à teoria de probabilidades,
julgue os itens que se seguem.
3. Se X é uma variável aleatória e se {X1, X2, ..., Xn} são observações
aleatórias independentes dessa variável, então, com base na lei forte dos
grandes números, é correto afirmar que, quando o tamanho amostral cresce
(até o infinito), a média amostral tem distribuição normal de média  = E(X).
4. Considere que X1, X2, ..., Xn seja uma amostra independente e
identicamente distribuída de uma variável aleatória com média  e variância 2
x  x2  ...  xn
xn  1
n
e
. Nessas condições, para   0 , a lei fraca dos grandes
números não garante que se encontre algum xn , tal que | xn   |  .
5. Considere que X seja uma variável aleatória com média  e variância 2
desconhecidas e que uma amostra aleatória, grande o suficiente e com
observações independentes e identicamente distribuídas, dessa variável tenha
sido obtida. Nessa situação, a probabilidade do desvio de cada observação
amostral em relação à média populacional () não exceder 3 será inferior a
80%.
6. (Analista do TJ-RO/CESPE-UnB/2012) Considere que X representa a
média amostral de uma amostra aleatória simples de tamanho n retirada de
uma distribuição X, e  e  denotam, respectivamente, a média e desvio
padrão dessa distribuição X. Com relação a inferência estatística, é correto
afirmar que a relação
 X 

P
 1,96   0,95
/ n
 n 
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é consequência do importante resultado que se intitula
(A) princípio da invariância
(B) lei fraca dos grandes números
(C) desigualdade de Chebyshev
(D) lei forte dos grandes números
(E) teorema limite central
ˆ
ˆ*
7. (Analista do TJ-RO/Cespe-UnB/2012) Os estimadores  n e  n são
estimadores pontuais do parâmetro  de certa distribuição, em que n
ˆ
representa o tamanho da amostra. Nesse caso, o estimador  é dito ser
consistente se
(A)
lim n P(| ˆn   |  )  0
, para todo   0 .
P ( x1 , x2 ,..., xn | ˆn )
(B)
, em que x1 , x2 ,..., xn são as observações amostrais, não
depende de .
2 ˆ
2 ˆ*
2
(C)  ( n )   ( n ) , em que  (.) é a variância do estimador.
L(ˆn | x1 , x2 ,..., xn )  L(ˆn* | x1 , x2 ,..., xn )
(D)
em que L(.) é a função de verossimilhança
associada ao modelo e x1 , x2 ,..., xn são as observações amostrais.
(E)
E (ˆn )  
8. (Analista do TJ-RO/Cespe-UnB/2012) Com relação a intervalo de
confiança e intervalo de credibilidade, é correto afirmar que, se I = [a; b] for
um intervalo de
(A) confiança para o parâmetro , então esse parâmetro é uma variável
aleatória.
(B) confiança para o parâmetro  de nível 1 – , então a probabilidade do
verdadeiro valor do parâmetro estar fora do intervalo é igual a .
(C) credibilidade para o parâmetro , então esse parâmetro é uma variável
aleatória.
(D) confiança para o parâmetro , então o valor esperado para esse parâmetro
ba
ˆ 
2 .
é
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(E) credibilidade para o parâmetro , então a mediana deste parâmetro é
ba
ˆ 
2 .
9. (Analista do TJ-RO/Cespe-UnB/2012) Com relação a acurácia e
precisão, é correto afirmar que o estimador ENVUMV (estimador não viciado
uniformemente de mínima variância)
(A) é um estimador acurado e é o mais preciso.
(B) não é um estimador acurado e nem é o mais preciso.
(C) é um estimador acurado mas não é o mais preciso.
(D) é um estimador não acurado mas é o mais preciso.
(E) é um estimador acurado e assintoticamente o mais preciso.
(Serpro/CESPE-UnB/2010/Adaptada)
Certa empresa, em determinado mês, realizou levantamento acerca da
quantidade diárias de acessos simultâneos ao seu sistema cujo resultado é
mostrado na figura acima. A partir das informações apresentadas nessa figura,
e considerando que a distribuição da quantidade diárias de acessos
simultâneos é representada pela variável X, julgue os itens a seguir.
10. A quantidade de 6 mil acessos simultâneos por dia representa a moda de
X.
11. O mês em que esse levantamento foi realizado possui mais de 30 dias.
12. A quantidade de 2.000 acessos simultâneos diários representa o primeiro
quartil da distribuição X.
13. É correto classificar a variável X como uma variável quantitativa ordinal.
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14. A mediana amostral de X é igual a 3.500.
(ANAC/CESPE-UnB/2012/Adaptada) Na região Sul do país, em
decorrência de mau tempo durante os meses de inverno, é comum o
fechamento de aeroportos. Com base nessa informação e de acordo com a
teoria de probabilidades, julgue os itens de 15 a 17.
15. Sabendo-se que o processo de precipitação da chuva depende da
temperatura ambiente e da temperatura de condensação do ar, considere que
tais grandezas sejam representadas, respectivamente, pelas variáveis
aleatórias X e Y contínuas com distribuição conjunta f(X,Y). Nessa situação, é
correto afirmar que a probabilidade da temperatura ambiente ser 30 oC e da
temperatura de condensação do ar ser 9 oC é igual a f(30,9).
16. Supondo que a probabilidade de não haver vaga no estacionamento de um
aeroporto dependa do fato de ter ocorrido mau tempo na cercania desse
aeroporto, é correto afirmar que a probabilidade de não haver vaga no
estacionamento desse aeroporto, caso tenha ocorrido mau tempo na sua
cercania, é igual a 1 menos a probabilidade de ter vaga no estacionamento do
referido aeroporto, caso não tenha ocorrido mau tempo em sua cercania.
17. Considere que o número de voos atrasados por mês em um aeroporto da
região Sul seja explicado pela regressão Y = 15 + 5X + ,  ~ N(0, 2), em que
Y é o número de voos atrasados no mês, X é o número de horas que o
aeroporto permaneceu fechado por mau tempo no referido mês e  é uma
variável aleatória com distribuição normal de média zero e variância
desconhecida 2. Nesse caso, é correto afirmar que o desvio padrão de X será
proporcional a 1/5 do desvio padrão de Y.
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GABARITO
1. C
2. E
3. E
4. C
5. E
6. E
7. A
8. C
9. A
10. E
11. C
12. C
13. E
14. E
15. E
16. E
17. C
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