1 – Na figura, podemos verificar a presença de três circunferências

RESOLUÇÃO DA AVALIAÇÃO DISSERTATIVA OFICIAL – 3º BIMESTRE – 3as SÉRIES EM
1 – Na figura, podemos verificar a presença de três circunferências. São elas: C
1
, C 2 e C 3.
Seus centros são, respectivamente, os pontos G, B e H.
_
Obs. : EG
_
=
GB
_
=
BH
_
=
HF
Se o raio da circunferência C 2 é 18, determine as equações reduzidas das 3
circunferências.
RESOLUÇÃO :
Circunferência
2
2
C 1 : Centro : ( – 9, 0 )
Raio : 9
Equação : ( x + 9 ) + y = 81
C 2 : Centro : ( 0, 0 )
Raio : 18
Equação : x + y
C 3 : Centro : ( 9, 0 )
Raio : 9
Equação : ( x – 9 ) + y = 81
2
2
= 324
2
2
2 – (UFSM 2012 - adaptada) O diagrama Taiji, da figura a seguir, representa, na filosofia
chinesa, a integração entre Yin e Yang. Essa figura é encontrada em vários períodos da história
da arte.
Sabendo que as coordenadas do diâmetro AB da circunferência externa ao diagrama Taiji são,
respectivamente, A(13, 20) e B(1, 4) determine a equação reduzida dessa circunferência.
Resolução:
3 – Determinar a equação geral da circunferência circunscrita ao quadrado ABCD em que
A(2;0); B(4;2); C(2;4) e D(0;2).
Resolução:
4 – (UEPA-2012) Pilates é um sistema de exercícios físicos que integra o corpo e a mente como
um todo, desenvolvendo a estabilidade corporal necessária para uma vida mais saudável. A
figura abaixo mostra um dos exercícios trabalhado no Pilates e é observado que o corpo da
professora gera um arco AB.
Supondo que o arco gerado pelo corpo da professora seja um quarto de uma circunferência
de equação 100x2 + 100y2 – 400x – 600y + 1156 = 0. Calcule o valor aproximado da altura da
professora.
Resolução:
5 – Os pontos P ( – 2, 0 ), Q ( – 2, 3 ) e R ( 2, 3 ) são vértices consecutivos do retângulo PQRS.
Determine a posição relativa dos 4 vértices do retângulo com a circunferência de equação
2
2
x + y –2x–8=0.
RESOLUÇÃO :
2
2
x + y –2x–8=0

2
2
x –2x + y –8=0
2
2

x –2x +1–1+ y –8=0

(x–1) + y –9=0
2
2


2
2
2
(x–1) –1+ y –8=0
2
(x–1) + y =9
Ponto P ( – 2, 0 ) :
2
2
(–2–1) + 0 –9=9+0–9=0
P pertence à circunferência
Ponto Q ( – 2, 3 ) :
2
2
(–2–1) + 3 –9=9+9–9=9>0
Q é exterior à circunferência
Ponto R ( 2, 3 ) :
2
2
(2–1) + 3 –9=1+9–9=1>0
R é exterior à circunferência
Ponto S ( 2, 0 ) :
2
2
(2–1) + 0 –9=1+0–9=–9<0
S é interior à circunferência
6 – Qual deve ser o valor de K, de modo que o ponto P(1, 0) seja interior à circunferência cuja
equação é 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 − 2𝑦 − 𝐾 = 0 ?
Resolução:
7 – (FGV) – Uma circunferência de raio 3, situada no 1o. quadrante do plano cartesiano, é
tangente ao eixo y e à reta de equação y = x. Então, a ordenada do centro dessa circunferência
vale:
Resolução:
8 – O eixo das ordenadas e uma circunferência de centro ( 2, 1 ) são secantes. Um dos pontos
da interseção é ( 0, 3 ). Determine o outro ponto de interseção.
RESOLUÇÃO :
2
2
Circunferência : ( x – 2 ) + ( y – 1 ) = r
2
Um dos pontos da circunferência é ( 0, 3 ). Portanto :
2
2
2

(0–2) +(3–1) =r

r =8
2

2
2
(–2) +2 =r
2
2
2
(x–2) +(y–1) =8
Para determinar o outro ponto fazemos x = 0
2
2
(0–2) + (y–1) =8
2

(y–1) =8–4

y–1=2

2

4+(y–1) =8

(y–1) =4
y=3
Portanto, o outro ponto é ( 0, – 1 )
2
ou
y–1=–2 
y=–1
2
2
9 – A circunferência x + y – 10 x – 10 y + 40 = 0 intersecta a reta y + 2 x = 10 nos pontos A
( 2, 6 ) e B ( 4, 2 ) . Determine a equação da reta que tangencia esta circunferência no ponto
A.
RESOLUÇÃO :
Seja C o centro da circunferência.
Equação reduzida :
2
2
x + y – 10 x – 10 y + 40 = 0 
2
2
2
x – 10 x + y – 10 y + 40 = 0
2

x – 10 x + 25 – 25 + y – 10 y + 25 – 25 + 40 = 0

( x – 5 ) – 25 + ( y – 5 ) – 25 + 40 = 0

( x – 5 ) + ( y – 5 ) – 10 = 0

( x – 5 ) + ( y – 5 ) = 10
2
2
2
2
2
2
Portanto C = ( 5, 5 )
Reta AC :
x y 1
2 6 1
5 5 1
=0

6 x + 5 y + 10 – 30 – 5 x – 2 y = 0

x + 3 y – 20 = 0

x
20
y=– 3 + 3

1
m= – 3
Reta tangente à AC que passa por A :
y–6=3.(x–2)


y=3x–6+6
y=3x
10 – Determine as equações das retas tangentes a circunferência ʎ: (x−1)2 + (y−2)2 = 4 que são
perpendiculares a 3x + y + 1 = 0.
Resolução: