Prova de 2015 resolvida

Resolução do exame ANPEC de microeconomia para
2015
Roberto Guena de Oliveira
25 de junho de 2015
1
Questão 1
Com relação às preferências do consumidor, é correto afirmar que:
0
O
A existência de um bem neutro viola o axioma da monotonicidade, a
existência de bens substitutos perfeitos viola o axioma da convexidade
estrita e a existência de preferências lexicográficas viola o axioma de
continuidade.
1
O
Para a função utilidade U (x,y) = (xρ +y ρ )1/ρ , as taxas marginais de substituição (TMS) nas cestas (2,3) e (4,6) são idênticas.
2
O
Sejam três cestas de bens: A, B e C. Se, para um consumidor temos que
A B, A ∼ C e C ∼ B, então para este consumidor se aplica o princípio
de que duas curvas de indiferença não se cruzam.
3
O
Sejam dois bens x e y, em que nenhum deles é um mal. Se tivermos duas
cestas com quantidades estritamente positivas destes dois bens (x1 , y1 ) e
(x2 , y2 ), sendo que x2 ≥ x1 e y2 > y1 , então, pela hipótese da monotonicidade das preferências, temos que: (x2 ,y2 ) (x1 ,y1 ).
4
O
Supondo que não existem males, a hipótese de convexidade estrita implica que, se houver duas cestas A e B, com A ∼ B, para uma cesta C
definida como tA + (1 − t)B, 0 < t < 1, é necessariamente verdade que
C A e C B.
Solução
0
O
V. Verifiquemos a afirmações uma a uma:
a) A existência de um bem neutro viola a hipótese da monotonicidade
das preferências. De fato, suponha que um bem qualquer seja um
neutro. Então a consumidora estará indiferente entre duas cestas
de bens x e y com as mesmas quantidades de todos os bens com
exceção do bem neutro, para o qual, digamos, a cesta y possui uma
quantidade maior. Porém, pela hipótese da monotonicidade forte
das preferências ela deveria preferir a cesta y pois essa possui ao
menos a mesma quantidade que a cesta x de cada um dos bens e
uma quantidade estritamente maior de um bem — o bem neutro.
Como o livro texto do concurso, Varian 2012, define preferências
monotónicas como preferências que atendem à hipótese de monotonicidade forte das preferências, conclui-se que, de fato a existência de um bem neutro viola a hipótese de monotonicidade das
preferências.
2
b) A existência de bens substitutos perfeitos viola a hipótese de convexidade estrita das preferências. Para mostrar que isso acontece,
considere o caso em que há apenas dois bens. Se estes são substitutos entre si, então as preferências da consumidora podem ser representadas pela função de utilidade U (x1 ,x2 ) = ax1 + x2 na qual x1
e x2 representam as quantidades consumidas de cada um dos dois
bens da economia. Considere agora duas cestas de bens indiferentes entre si, x = (x1 ,x2 ) e y = (y1 ,y2 ). Como elas são indiferentes, deveremos ter U (x) = U (y), isto é ax1 + x2 = ay1 + y2 = u ∗ . Caso as preferências da consumidora fossem estritamente convexas, dado que,
por hipótese, x ∼ y, deveríamos ter tx + (1 − t)y x e tx + (1 − t)y y
para qualquer 0 < t < 1. Porém, se os dois bens são substitutos perfeitos, a utilidade da cesta tx+(1−t)y = (tx1 +(1−t)y1 ,tx2 +(1−t)y2 )
será dada por
U (tx + (1 − t)y) = a[tx1 + (1 − t)y1 ] + tx2 + (1 − t)y2
= t(ax1 + x2 ) + (1 − t)(ay1 + y2 )
= tU (x1 ,x2 ) + (1 − t)U (y1 ,y2 )
= tu ∗ + (1 − t)u ∗ = u ∗ = U (x) = U (y),
isto é, tx + (1 − t)y ∼ x ∼ y.
c) A existência de preferências lexicográficas viola a hipótese de continuidade das preferências. A hipótese de continuidade das preferências impõe que, para duas cestas de bens quaisquer, x e y, com
x y, deve haver dois escalares positivos 1 e 2 tais que para qualquer cesta z, se |x − z| < 1 , então z y, e se |z − y| < 2 , então x z.
Consideremos, agora a seguinte ordenação lexicográfica definida
no caso de apenas dois bens: dadas duas cestas de bens quaisquer
x = (x1 , x2 ) e y = (y1 ,y2 ), x y se, e somente se, i) x1 > y1 ou ii)
x1 = y1 e x2 > y2 . Considere o caso em que essas cestas satisfazem
a condição ii), ou seja, considere o caso em que x1 = y1 e x2 > y2 .
Então x y. Todavia, para qualquer valor de 1 > 0, a cesta de bens
z1 = (x1 − 1 /2,x2 ) é tal que y z1 , em virtude da condição i); e,
para qualquer valor de 2 > 0, a cesta de bens z2 = (y1 + 2 /2,y2 )
é tal que z2 x, novamente, em virtude da condição i). Assim, as
preferências lexicográficas não são contínuas.
1
O
V. Basta notar que se trata de uma função de utilidade CES que sabemos
ser um função homotética. Também sabemos que, para funções homotéticas, a TMS depende apenas da razão entre as quantidades consumidas
dos dois bens (y/x). Como, para as duas cestas apresentadas y/x = 3/2,
devemos ter a mesma TMS em cada uma dessas cestas.
2
O
F. Se A ∼ C então C pertence a curva de indiferença definida pelo conjunto das cestas de bens indiferentes a A. Se C ∼ B, então C pertence
3
à curva de indiferença definida pelo conjunto de cestas de bens indiferentes a B. Como A B, então A não pertence a essa curva e a curva de
indiferença definida como o conjunto das cestas de bens indiferentes a
A e a curva de indiferença definida como o conjunto das cestas de bens
indiferentes a B são distintas. Não obstante, essas duas curvas de indiferença distintas têm um elemento em comum, a cesta C. Portanto, elas
se cruzam.
3
O
V. Trata-se de uma aplicação direta da definição de preferências (forte0
mente) monotônicas já apresentada na solução do item O.
4
O
V. Isso decorre diretamente da definição de preferências estritamente
convexas, aplicando-se, inclusive aos casos em que existem males.
4
Questão 2
Indique quais das afirmativas abaixo são verdadeiras, de acordo com a Teoria
Econômica do Bem-Estar:
0
O
A função de bem-estar rawlsiana faz com que o bem-estar social de uma
dada alocação dependa apenas do bem-estar do agente com utilidade
mínima.
1
O
Qualquer alocação eficiente no sentido de Pareto corresponde a um bemestar máximo para alguma função de bem-estar.
2
O
Nem todos os máximos de bem-estar são equilíbrios competitivos.
3
O
Uma divisão igualitária necessariamente será eficiente no sentido de Pareto.
4
O
Um equilíbrio competitivo a partir de uma divisão igualitária corresponde a uma alocação justa.
Solução
0
O
V. De fato, a assim chamada “função de bem-estar rawsiana” é definida
como W (u1 , . . . ,un ) = min {u1 , . . . , un } na qual (u1 , . . . , un ) é o vetor de utilidades dos n indivíduos da economia.
1
O
V. A rigor, para qualquer alocação da economia, é possível construir uma
função de bem-estar social que atinja seu valor máximo no vetor de utilidades associado a essa alocação, o que faria com que ela correspondesse
ao bem-estar social máximo. Se impusermos que a função de bem-estar
social satisfaça ao critério de Pareto, essa conclusão permanece válida
para todas as alocações Pareto eficientes.
2
O
V, embora o gabarito dê F. Mesmo que assumamos que as funções de
bem-estar social satisfaçam ao critério de Pareto, se as preferências de
todos os consumidores não forem convexas ou os conjuntos de produção de todos os produtores não forem convexos e não houver um número
infinitamente grande de diferentes consumidores e produtores, é possível que haja alocações eficientes que não sejam equilíbrios competitivos
qualquer que seja a distribuição das dotações iniciais dessa economia.
Se apenas uma dessas alocações corresponder ao máximo de bem-estar
social, este não será um equilíbrio geral competitivo.
5
3
O
F. Caso se entenda uma alocação equalitária como uma alocação na qual
todos os agentes consomem exatamente as mesmas quantidades de todos os bens, então, nada garante, no caso geral, que as taxas marginais
de substituição desses agentes na alocação igualitária sejam iguais entre
si. Se, para ao menos dois agentes, suas taxas marginais de substituição
entre dois bens consumidos e quantidades positivas na alocação igualitária forem diferentes, então essa alocação não será Pareto eficiente.
4
O
V. A alocação é dita justa caso seja eficiente e equitativa, isto é, caso
seja eficiente e tal que nenhum indivíduo prefira a alocação que coube a
outro indivíduo à sua própria alocação. Pelo primeiro teorema do bemestar social, sabemos que qualquer alocação de equilíbrio é Pareto eficiente. Ademais, caso a distribuição inicial das dotações iniciais seja
igualitária, todos os indivíduos se defrontarão com a mesma restrição
orçamentária, o que significa que cada indivíduo poderia demandar a
cesta de bens demandada por qualquer outro indivíduo e, se assim não
faz, é porque prefere outra cesta de bens.
6
Questão 3
Um Professor Pobre (PP) encontra em um restaurante seu colega de mestrado,
o Banqueiro Bem de Vida (BB). Eles pretendem honrar a tradição de repartir a
conta ao meio, embora PP priorize a economia de gastos e BB a sofisticação da
comida. Cada um pode pedir um prato barato (b) ou caro (c). Os pay-offs da
tabela representam a utilidade ordinal dos resultados para ambos. O garçom
anota o pedido de BB em primeiro lugar.
PP
BB
c
b
c
2,0
0,2
b
3,1
1,3
Julgue as proposições abaixo:
0
O
A representação estratégica do jogo sequencial, admitindo que uma estratégia seja definida por uma lista completa de escolhas, nos mostra
três equilíbrios de Nash.
1
O
O equilíbrio de Nash perfeito em sub-jogos é definido como {c; bb}={caro;
barato caso BB escolha caro, barato caso BB escolha barato}.
2
O
Não surtiria efeito se PP desviasse de seus interesses, em uma ameaça
para induzir BB a escolher b.
3
O
Caso o garçom anote primeiro o pedido de PP, o equilíbrio de Nash perfeito em sub- jogos será definido como {b; bc}.
4
O
Caso o jogo fosse simultâneo, teríamos um equilíbrio de Nash em estratégias mistas, com PP escolhendo b com probabilidade dois terços.
Solução
A figura abaixo mostra o jogo na forma extensiva quando BB é o primeiro a
fazer o pedido.
7
BB
c
b
PP
c
PP
c
b
2,0
3,1
b
0,2
1,3
Nesse caso, as estratégias de BB são “escolher o prato caro” (c) “escolher
o prato barato” (b). As estratégias de PP são “escolher o prato caro caso BB
escolha o prato caro e escolher o prato caro caso BB escolha o prato barato”
(cc), “escolher o prato caro caso BB escolha o prato caro e escolher o prato
barato caso BB escolha o prato barato” (cb), “escolher o prato barato caso BB
escolha o prato caro e escolher o prato caro caso BB escolha o prato barato”
(bc) e “escolher o prato barato caso BB escolha o prato caro e escolher o prato
barato caso BB escolha o prato barato” (bb). A representação estratégica desse
jogo é, assim a seguinte:
PP
BB
c
b
cc
† 2,0
0,2
cb
† 2,0
0,2
bc
bb
† 3,1∗
† 3,1∗
1,3∗
1,3∗
Marcamos com o símbolo † a melhor resposta de BB a cada estratégia de PP
e com o símbolo * a melhor resposta de PP a cada estratégia de BB. Conforme,
podemos ver, há dois equilíbrios de Nash (células nas quais aparecem os dois
símbolos): {c;bb} e {c;bc}. Para determinar o(s) equilíbrio(s) de Nash perfeito(s)
em subjogos, resolvemos o jogo por indução retroativa. Caso BB escolha c a
melhor resposta de PP será escolher b, caso BB escolha b, a melhor resposta
de PP será, novamente, escolher b. Assim, de acordo com esse princípio, PP
deverá jogar de acordo com a estratégia bb. Sabendo disso, BB deverá escolher
c (de fato, BB escolheria c independentemente da escolha de PP, pois c é sua
estratégia dominante).
Vejamos agora o que ocorreria caso PP fizesse seu pedido primeiro. Nesse
caso, a representação estratégica do jogo seria a seguinte:
8
PP
c
b
BB
c
0,2
BB
c
b
2,0
1,3
b
3,1
Mantivemos a convenção de indicar em cada nó terminal o vetor de payoffs
com o primeiro número representando o payoff do primeiro a jogar, no caso,
PP. Note que, para BB, c é a melhor resposta a qualquer movimento inicial de
PP. Assim, no equilíbrio de Nash perfeito em subjogos, a estratégia adotada
por BB será cc, isto é “escolher caro caso PP escolha barato e escolher caro caso
PP escolha caro.” Sabendo disso, PP deverá escolher barato (de fato escolher
barato é a melhor resposta para qualquer estratégia de BB).
Finalmente, caso o jogo fosse jogado simultaneamente, sua representação
estratégica seria dada pela matriz de payoffs apresentada no enunciado da
questão. Podemos ver que c é estratégia dominante para BB e que b é estratégia dominante para PP. Nesse caso, os dois jogadores deverão escolher suas
estratégias dominantes e, caso lhes seja permitido jogar estratégias mistas,
cada um deles jogará á estratégia mista degenerada que consiste em escolher
sua estratégia dominante com probabilidade de 100%.
Podemos agora avaliar os items da questão:
0
O
F. Há apenas dois equilíbrios de Nash: {c,bc} e {c,bb}.
1
O
V. Conforme determinamos, esse é efetivamente o único equilíbrio de
Nash perfeito em subjogos.
2
O
V. Verdadeiro. Visto que escolher c é a sempre a melhor resposta de BB
(todas as células da representação estratégica do jogo possuem o símbolo
†) e portanto, c é estratégia dominante, independentemente de como PP
joga, BB deverá escolher c.
3
O
F. Nesse caso, conforme vimos, o equilíbrio de Nash perfeito em subjogos
será {b,cc}.
4
O
F. Nesse caso, BB jogará c com probabilidade de 100% e PP jogará b
também com probabilidade de 100%.
9
Questão 4
Considere um consumidor com renda R = $100, função utilidade U (x,y) = xy
e que se depara com os preços px = $2 e py = $2. Julgue as proposições:
0
O
Na cesta escolhida pelo consumidor, atinge-se a curva de indiferença
definida por U = 800.
1
O
Se o preço do bem x cair pela metade, a quantidade demandada desse
bem dobra.
2
O
Tendo em vista a mudança de preço do item anterior, uma compensação
de Slutsky deveria retirar $25 do consumidor.
3
O
Ainda considerando a mesma mudança, os efeitos renda e substituição
serão ambos iguais a 12,5.
4
O
Na cesta pertencente à nova restrição orçamentária (x,y) = (20,40), o
agente maximizador deveria trocar y por x, pois sua taxa marginal de
substituição é igual a dois, superior à taxa de troca exigida pelo mercado:
px /py = 0,5.
Solução
Note que a função de utilidade apresentada é do tipo Cobb-Douglas, isto é,
tem a forma U (x,y) = xa y b , no caso com a = b = 1. Sabemos que as funções de
demanda para essa função de utilidade são dadas por
x(px ,py ,R) =
R
a R
=
a + b px 2px
(1)
y(px ,py ,R) =
b R
R
=
.
a + b py 2py
(2)
e
Na situação inicial, em que px0 = py0 = 2 e R = 100, as quantidades demandadas
dos bens x e y, que denotaremos por, respectivamente, x0 e y0 são
x0 =
100
= 25
2×2
(3)
y0 =
100
= 25.
2×2
(4)
e
10
A esses preços a utilidade obtida pelo consumidor será dada por
U (25,25) = 25 × 25 = 625.
(5)
Caso o preço do bem x seja reduzido à metade de seu valor, isto é p1 = 1, a
quantidade demandada desse bem passará a
x1 =
100
= 50.
2×1
(6)
A compensação de Slutsky (CS) associada a essa mudança é a variação na
renda necessária para fazer que esta permaneça igual ao valor, aos preços finais, da cesta de bens demandada aos preços iniciais, isto é
CS = px1 × x0 + py0 × y0 − R = 1 × 25 + 2 × 25 − 100 = −25.
(7)
A quantidade demandada do bem x após a compensação de Stutsky, xs , é
obtida a partir de (1) considerando-se a renda após a compensação de Stutsky
e o preço final do bem x:
1 75
= 37,5.
xs =
2 1
O efeito substituição de Slutsky é dado por
ES = xs − x0 = 37,5 − 25 = 12,5,
(8)
e o efeito renda também de Slutsky é dado por
ER = x1 − xs = 50 − 37,5 = 12,5.
(9)
0
O
F. Conforme (5), na cesta escolhida pelo consumidor sua utilidade será
U = 625.
1
O
V. Comparando (3) com (6), vemos que a redução no preço à metade
levou a quantidade demandada do bem x a dobrar. A mesma conclusão
pode ser obtida através da função de demanda (1) a qual dobra de valor
sempre que px é reduzido à metade.
2
O
V É isso que indica (7)
3
O
V. Segundo (8) e (9), efetivamente os efeitos substituição e renda de
Slutsky são iguais a 12,5.
4
O
V. O módulo da taxa marginal de substituição é dado pela razão entre as
utilidades marginais:
|T MS(x,y)| =
11
∂U (x,y)
∂x
∂U (x,y)
∂y
=
y
x
No ponto (x,y) = (20,40), ele assume o valor |T MS| = 40
20 = 2. Como sabemos, esse valor indica a razão entre a quantidade máxima do bem y
que o consumidor está disposta a abrir mão de consumir em troca de
uma pequena quantidade adicional do bem x e essa pequena quantidade adicional. Já o preço relativo px /py indica a quantidade do bem y
que é trocada, aos preços de mercado por unidade do em x. Assim se
|TMS| > px /py o consumidor será capaz de obter uma pequena quantidade adicional do bem x abrindo mão de consumir uma quantidade do
bem y menor do que o que ele se disporia a abrir mão e, portanto, terá
benefício ao reduzir o consumo do bem y para obter maior consumo do
bem x. Aos preços finais, temos que px /py = 0,5 < 2 = |TMS| e, portanto,
ao trocar o bem y pelo bem x, o consumidor consegue aumentar sua
utilidade.
12
Questão 5
Com relação à demanda do consumidor, indique qual das afirmações abaixo
é verdadeira:
0
O
O efeito Hicks mede a variação na quantidade demandada frente a mudanças nos preços, mantido constante o poder aquisitivo do consumidor.
1
O
O efeito substituição de Hicks pode apresentar sinal positivo.
2
O
Se o indivíduo é comprador líquido de um bem, e o preço deste bem
diminui, o indivíduo pode continuar como comprador líquido ou se tornar vendedor líquido do bem em questão, dependendo da magnitude da
variação no preço do bem.
3
O
Um aumento geral do salário implica um efeito renda e um efeito substituição, o que faz com que um aumento geral do salário sempre leve a
um aumento na quantidade ofertada de trabalho.
4
O
As curvas de demanda lineares são, por definição, isoelásticas.
Solução
0
O
F. O enunciado é um pouco confuso. Primeiramente, o que é “efeito
Hicks”? Conhecemos os efeitos substituição e renda de Hicks, mas não
o “efeito Hicks”. Além disso, a expressão “poder aquisitivo do consumidor” não possui significado consagrado na literatura econômica. Tanto
assim que quando Varian 2012, usa essa expressão qualifica com “O poder de compra do consumidor permaneceu constante no sentido de que
a cesta de bens original pode ser exatamente adiquirida à nova reta girada” (p. 144, ênfase adicionada). Todavia, como este é o livro de referência da ANPEC e como esse autor emprega o termo “manutenção do
poder de compra” com o significado de manter a renda do consumidor
igual ao valor da cesta de bens originalmente consumida, temos que os
efeitos renda e substituição computados quando o “poder aquisitivo do
consumidor”, no sentido dado por Varian, é mantido constante são os
efeitos renda e substituição de Slutsky e não de Hicks.
1
O
F. A curva de demanda compensada nunca é positivamente inclinada.
∂h (p1 ,p2 ,m)
Assim, o efeito substituição expresso como a taxa de variação i ∂m
(i = 1,2) é sempre não positivo.
13
2
O
F desde que assumamos que as preferências sejam localmente não saciadas e, consequentemente, que o indivíduo consuma sempres sobre sua
linha de restrição orçamentária. Sejam
p10 o preço inicial do bem 1;
p11 o preço final do bem 1;
p2 o preço do bem 2 que assumimos constante;
w1 a dotação inical do bem 1;
w2 a dotação inicial do bem 2;
x10 a quantidade demandada do bem 1 ao preço inicial — x10 = x1 (p10 ,p2 ,p10 w1 +
p2 w2 );
x20 a quantidade demandada do bem 2 ao preço inicial — x20 = x2 (p10 ,p2 ,p10 w1 +
p2 w2 );
x11 a quantidade demandada do bem 1 ao preço final — x11 = x1 (p11 ,p2 ,p11 w1 +
p2 w2 ); e
x21 a quantidade demandada do bem 2 ao preço final — x21 = x2 (p11 ,p2 ,p11 w1 +
p2 w2 ).
Dada a hipótese de não saciedade local, podemos garantir que
p10 x10 + p2 x20 = p10 w1 + p2 w2
(10)
p11 x11 + p2 x21 = p11 w1 + p2 w2 .
(11)
e
Consideremos inicialmente a equação (10). Ela pode ser reescrita como
se segue:
(p10 + p11 − p11 )x10 + p2 x20 = (p10 + p11 − p11 )w1 + p2 w2
ou
p11 x10 + p2 x20 − (p11 − p10 )(x10 − w1 ) = p11 w1 + p2 w2 .
Usando (11) no lado direto da igualdade chegamos a
p11 x11 + p2 x21 = p11 x10 + p2 x20 − (p11 − p10 )(x10 − w1 ).
(12)
Assumindo que houve uma redução no preço do bem 1, p11 < p10 , e que o
indivíduo inicialmente é demandante líquido do bem 1, x10 > w1 , chegamos a −(p11 − p10 )(x10 − w1 ) > 0 o que implica, substituindo em (12), em
p11 x11 + p2 x21 > p11 x10 + p2 x20 .
14
(13)
Assim, caso assumamos que o consumidor é inicialmente demandante
líquido do bem 1 e que há uma queda em seu preço, somos levados
a concluir que a cesta de bens demandada após essa redução, (x11 , x21 ),
é revelada preferida à cesta de bens demandada antes dessa redução,
(x10 , x20 ).
Consideremos agora as seguintes manipulações algébricas sobre equação (11):
(p11 + p10 − p10 )x11 + p2 x21 = (p11 + p10 − p10 )w1 + p2 w2
ou
p10 w1 + p2 w2 = p10 x11 + p2 x21 + (p11 − p10 )(x11 − w1 )
ou ainda, usando, (10)
p10 x10 + p2 x20 = p10 x11 + p2 x21 + (p11 − p10 )(x11 − w1 ).
(14)
Se assumirmos que houve redução no preço do bem 1, p11 < p10 , e que,
após essa redução, o indivíduo seja um ofertante líquido desse bem, x11 <
w1 , somos levados a concluir que, (p11 −p10 )(x11 −w1 ) > 0. Substituindo em
(14), obtemos
p10 x10 + p2 x20 > p10 x11 + p2 x21 .
(15)
Concluímos assim que se houver redução no preço do bem 1 e, após
essa redução, o consumidor for um vendedor líquido desse bem, a cesta
de bens consumida antes da redução, (x10 , x20 ), será revelada preferida à
cesta de bens consumida após essa redução, (x11 , x21 ).
Portanto, se assumirmos que o preço do bem 1 caiu, o consumidor é
inicialmente um ofertante líquido desse bem e, após a queda em seu
preço, passa a ser ofertante líquido deste, somos forçados a assumir que,
ao mesmo tempo, a cesta de bens (x11 , x21 ) é revelada preferida à cesta de
bens (x10 , x20 ), em decorrência de (13), e a cesta de bens (x10 , x20 ) é revelada
preferida à cesta de bens (x11 , x21 ), de acordo com (15), o que contradiz o
axioma fraco da preferência revelada.
Esse resultado tembém pode ser visto na figura 1. A linha azul representa a linha de restrição orçamentária inicial associada aos preços p10 ,
p2 e à dotação inicial (w1 ,w2 ). Caso, nessa situação inicial, o consumidor seja um demandante líquido do bem 1, a cesta de consumo por ele
demandada estará em um ponto sobre essa linha e à direita do ponto
correspondente à dotação inicial, tal como o ponto (x10 , x20 ). Quando há
uma redução no preço do bem 1, a linha de restrição orçamentária faz
um giro no sentido anti-horário centrado no ponto correspondente à dotação inicial, atingindo uma posição tal como a indicada pela linha vermelha. Caso nessa situação final o consumidor passe a ser um ofertante
15
x2
x21
w2
x20
0
p1
p2
x11
w1
1
p1
p2
x10
x1
Figura 1: Ilustração para a questão 5.
líquido do bem 1, a cesta de bens por ele demandada será representada
por um ponto sobre a nova linha de restrição orçamentária (em vermelho) à esquerda do ponto correspondente à dotação inicial, tal como o
ponto (x11 ,x21 ). Note que qualquer que seja esse ponto, desde que esteja à
esquerda da dotação inicial, ou seja, desde que a cesta de bens demandada após a redução no preço implique uma oferta líquida do bem 1,
ele estará abaixo da linha de restrição orçamentária original. Isso significa que a cesta de bens (x10 ,x20 ) será revelada preferida à cesta de bens
(x11 , x21 ). Note também que qualquer que seja a cesta de bens demandada originalmente, desde que esteja à direita do ponto correspondente
à dotação inicial, ou seja, desde que o consumidor seja inicialmente um
demandante líquido do bem 1, ela estará abaixo da linha de restrição
orçamentária final. Nesse caso, a cesta de bens (x11 , x21 ) será refelada preferida à cesta de bens (x10 , x20 ).
Portanto, caso após um redução no preço de um bem, um consumidor
passe de demandante líquido para ofertante líquido de um bem, haverá
uma violação do aximoma fraco da preferência revelada — (x10 ,x20 ) será
revelada preferida a (x11 , x21 ) e (x11 , x21 ) será revelada preferida a (x10 , x20 ), o
que não é compatível com a teoria do consumidor.
3
O
F. Falso. Deve-se levar em conta o efeito renda dotação. Caso o consumidor sejá ofertante líquido de um bem cujo preço aumentou e esse bem
seja um bem normal, o efeito renda dotação terá sinal contrário ao dos
efeitos substitiuição e renda comum. No presente caso, um aumento de
salário corresponde a um aumento no preço do lazer. Caso o lazer seja
16
um bem normal, considerando-se os efeitos renda comum e substituição, um aumento de salário deve levar a uma redução na quantidade
demandada de lazer e, consequentemente a um aumento na oferta de
trabalho. Todavia o efeito renda dotação tem efeito contrário — uma vez
que o aumento de salário eleva o valor de sua dotação inicial, o trabalhador pode optar por trabalhar menos para usufruir um maior tempo de
lazer. Não é possível prever com certeza que efeito prevalecerá. dfasdf
4
O
F. Falso. Uma curva de demanda isoelástica é uma curva ao longo da
qual a elasticidade-preço permanece inalterada. Uma curva de demanda
linear é uma curva que pode ser descrita pela função qd = a − bp na qual
qd é a quantidade demandada, a e b são constantes reais positivas e p é o
preço do produto. A elasticidade-preço para essa função de demanda é
= −b ×
p
.
a − bp
O valor dessa elasticidade varia de 0 quando p = 0, passando, à medida
a
em que p aumenta por 1, quando p = 2b
, e tendendo a infinito quando p
tende a a/b à direita.
17
Questão 6
Uma firma produz um bem Y , utilizando a função de produção Y (L,K) = LK,
sendo w = $2 e r = $1 os preços unitários dos insumos trabalho (L) e capital
(K), respectivamente. Julgue as assertivas:
0
O
A função de produção apresenta, ao mesmo tempo, retornos crescentes
de escala e produtos marginais decrescentes.
1
O
Dados os preços dos insumos, as funções de demanda
pelos√fatores em
√
função da quantidade produzida são: K(Y ) = Y /2 e L(Y ) = 2Y .
√
2
O
A função custo total de longo prazo é dada por CT(Y ) = 2 2Y .
3
O
Dado o retorno de escala desse caso, a curva de custo médio de longo
prazo está acima da curva de custo marginal de longo prazo, sendo ambas decrescentes.
4
O
No curto prazo, se a firma possuir somente uma unidade de capital, o
custo total de produzir oito unidades será $9 a mais do que o custo no
longo prazo.
Solução
0
O
F. De fato, a função apresenta retornos crescentes de escala. Você pode
constatar isso, observando que se trata de uma função de produção CobbDouglas e, portanto, homogênea de grau correspondente à soma dos expoentes dos insumos, no caso, 2, e que toda função de produção homogênea de grau maior do que 1 apresenta rendimentos crescentes de escala.
Alternativamente, você poderia ferificar que, para qualquer α > 1
Y (αL,αK) = (αL)(αK) = α 2 LK = α 2 Y (L,K) > Y (L,K),
o que caracteriza rendimentos crescentes de escala. Porém, para essa
função de produção as produtividades marginais dos fatores não são decrescentes. Com efeito, a produtividade marginal de L é
PMgL =
∂
LK = K,
∂L
e, portanto é constante em relação a L. De modo similar, a produtividade
marginal de K é dada por
PMgK =
e é constante em relação a K.
18
∂
LK = L,
∂K
1
O
F. As condições de minimização de custo são

PMg
r


|TMST| = PMgKL = w


LK = Y
Da primeira condição, obtemos
L
r
r
= ⇒L=K .
K w
w
Subistituindo na segunda condição, obtemos
r
w
r
K K = Y → K(r,w,Y ) = Y .
w
r
Substituindo esse resultado em uma das condições, obtemos a função de
demanda por L:
r
r
L(r,w,Y ) = Y .
w
Como o exercício nos informa que r = 1 e w = 2, as função de demanda
condicional dos fatores ficam reduzidas a
r
√
Y
K(Y ) = 2Y e L(Y ) =
.
2
2
O
V. Com base nas demandas condicionais obtidas no item anterior, a função de custo é
r
r
√
w
r
CT (r,w,Y ) = rK(r,w,Y ) + wL(r,w,Y ) = r Y + w Y = 2 Y wr.
r
w
Como o exercício informa que r = 1 e w = 2, a função de custo fica reduzia a
√
CT (Y ) = 2 2Y .
3
O
V. Como há retornos crescentes de escala, haverá economias de escala,
o que implica que a curva de custo médio deva ser decrescente. Desde
que o custo marginal seja definido, o custo médio será decrescente em
relação à quantidade produzida se, e somente se, ele for superior ao
custo marginal.
4
O
V. O custo médio dessa firma é dado por:
CT(Y )
CM =
=2
Y
r
2
.
Y
Já o custo marginal é
∂CT(Y )
CMg =
=
Y
19
r
2
.
Y
Assim, o custo marginal é sempre igual à metade do custo médio e, portanto, menor do que o custo médio e tanto o custo marginal quanto o
custo médio são decrescentes em Y .1
5
O
V. Para produzir 8 unidades,
√ a empresa deverá arcar, no longo prazo
com um custo de CT(9) = 2 2 × 8 = 4. Para produzir 9 unidades empregando apenas uma unidade de capital, a empresa deverá empregar uma
quantidade de trabalho tal que Y (L,1) = L × 1 = 8, ou seja 8 unidades de
trabalho. Se o preço do trabalho é w = $2 e o preço do capital r = $1,
então o custo de curto prazo será 1 × 1 + 2 × 8 = 17, portanto, $9 reais a
mais do que o custo de longo prazo.
1 O enunciado do item pode, todavia condusir a uma resposta caso se interprete que esse resultado é consequência necessária do fato da função de produção apresentar economias de escala.
Embora economias de escala sempre resultem, para empresas tomadoras de preço, em economias
de escala, isto é, em custo médio decresecente, elas não resultam necessariamente em custo marginal decrescente.
20
Questão 7
Com relação à Teoria da Produção, indique quais das afirmativas abaixo são
verdadeiras:
0
O
Se o produto médio do fator variável é crescente, o seu produto marginal
é maior do que o seu produto médio.
1
O
A produtividade da mão de obra pode aumentar se houver progresso
técnico, mesmo que o processo produtivo apresente rendimentos marginais decrescentes.
2
O
Quando o processo produtivo apresenta retornos constantes de escala,
se a produção aumentar proporcionalmente, o espaço entre as isoquantas aumenta progressivamente.
3
O
Uma isoquanta nunca pode apresentar uma inclinação ascendente, se
todos os insumos apresentam produtividades marginais positivas.
4
O
As isoquantas são convexas se a taxa marginal de substituição técnica
for decrescente.
Solução
0
O
V. A inclinação da curva de produto médio do fator x é dada por
"
# x f (x) − f (x)
PMgx − PMx
∂ f (x)
∂
∂(x)
PM(x) =
=
.
=
2
∂x
∂y x
x
x
Para que a curva seja crescente, é necessário e suficiente que essa inclinação seja positiva,o que só ocorrerá caso PMgx > PMx .
1
O
V. Progresso técnico significa uma mudança na forma da função de produção. Essa mudança pode fazer com que um fator de produção qualquer se torne mais produtivo ainda que apresente rendimentos marginais decrescentes.
2
O
F. O enunciado não é muito claro quanto ao que significa “o espaço entre as isoquantas aumenta progressivamente”. Parece, todavia que se
refere ao que ocorre com a distância entre isoquantas que representam
múltiplos da mesma quantidade à medida que nos afastamos da origem.
Como sabemos, para uma função de produção com retornos constantes
de escala, sucessivas curvas de isoquanta que representam múliplos da
mesma quantidade são igualmente espaçadas.
21
3
O
V. A inclinação de uma isoquanta é dada pelo negativo da razão entres
as produtividades marginais. Desse modo, se as duas produtividades
marginais forem positivas, a curva de isoquanta será, necessariamente
negativamente inclinada.
4
O
F (O gabarito dá verdadeiro). Se as curvas de isoquanta forem lineares e,
portanto, se a taxa marginal de substituição técnica for constante, ainda
assim elas serão convexas em relação à origem.
22
Questão 8
Em um mercado competitivo do bem x, cem consumidores têm funções utilidade definidas por U (x,y) = ln x + y; sendo que y, cujo preço é unitário (py =
$1), representa a quantidade consumida dos demais bens. Nesse mercado
existem cem firmas, cada qual com função custo total dada por CT(x) = 50x2 .
Avalie as proposições:
0
O
A curva de demanda de mercado de x tem elasticidade-preço constante
e igual a −1.
1
O
A curva de oferta de mercado de x tem elasticidade-preço constante e
igual a +2.
2
O
Cada firma produz 10 unidades do bem x.
3
O
O excedente dos produtores é igual a 100.
4
O
O equilíbrio não se sustentaria no longo prazo, pois existe lucro extraordinário que convidaria a entrada no mercado.
Solução
Para resolver esse exercício, encontremos as funções de demanda e de oferta
do bem x. A função de demanda de cada consumidor é encontrada resolvendo
o problema de maximização de sua utilidade dada a sua restrição orçamentária. Caso haja uma solução interior para esse problema, esta será uma par de
quantidades positivas (x,y) tais que:
 UMg
px
x


 UMgy = py


px x + py y = m
Caso haja tal cesta de bens, ela será efetivamente a cesta de bens que maximiza
a utilidade de cada consumidor visto que a função de utilidade U (x,y) = ln x +
y é uma função côncava, o que garante a condição de máximo de segunda
ordem.
Se não houver tal par de números positivos, a solução deverá ser uma solução de canto com x = m/px e y = 0 caso nesse ponto |TMS| ≥ px /py , ou x = 0
e y = m/py caso nesse ponto a |TMS| ≤ px /py .
Usando os dados do exercício, temos que UMg1 = 1/x e UMg2 = 1 e, portanto uma solução interior para o problema de maximização de utilidade do
23
consumidor será dada, lembrando também que py = 1, pela solução do sistema de equações


1

x = 1


px x + py y = m.
Resolvendo esse sistema, obtemos
x = 1/px
e
y = m − 1.
Essas expressões representam as funções de demanda pelos dois bens caso
a renda do consumidor seja superior a $1, o que garante que as duas quantidades sejam positivas. Caso a renda do consumidor seja inferior a $1, as
quantidades demandadas serão
x = m/px
e
y = 0.
Como resultado, as funções de demanda pelos dois bens podem ser expressas
da seguinte maneira:
(
)
m 1
x(px ,py ,m) = min
,
(16)
px px
e
)
(
m
(17)
y(px ,py ,m) = max 0, − 1 .
py
Para encontrar a função de oferta de cada empresa individual, basta lembrar que esta maximiza seu lucro ao produzir a quantidade que iguala seu
custo marginal de produção ao preço de seu produto desde que esse seja maior
ou igual ao custo variável médio mínimo. No caso do exercício, o custo variável médio mínimo é igual ao custo médio, pois não há custo fixo, que é dado
por
CT(x)
CVM = CM =
= 50x.
x
Já o custo marginal é dado por
CMg =
∂
CT(x) = 100x.
∂x
Como o custo marginal é sempre crescente e o custo variável médio mínimo é
igual a zero, a empresa deverá ofertar uam quantidade do bem x que seja tal
que
p
100x = px ⇒ s(px ) = x .
(18)
100
Em que s(px ) é a função de oferta de cada empresa do bem x.
24
0
O
V. Dada a função de demanda (16), a demanda de mercado é dada por
X(px ) =
100
X
i=1
(
mi 1
min
,
px px
P100
)
=
i=1 min {1,mi }
px
.
Na
qual mi é a renda do i-ésimo consumidor, i = 1,2, . . . ,n. Fazendo α =
P100
i=1 min {1,mi }, ficamos com
X(px ) =
α
.
px
Calculando a elasticidade preço dessa função de demanda obtemos
=
px
p
d
= −α x = −1.
dpx X(px ) X(px )
αpx
Portanto a demanda tem elasticidade preço unitária. Você poderia chegar diretamente a essa resposta caso lembrasse que, sempre que a função
demanda for linear em uma potência de p, tal função apresentará elasticidade preço constante e igual a essa potência. No caso, a função de
demanda é linear em p−1 e, portanto, apresenta elasticidade preço igual
a −1.
1
O
F. A oferta de mercado será dada por
S(px ) =
100
X
si (px ) =
i=1
100
X
px
= px .
100
i=1
A elasticidade preço é claramente unitária, pois é dada por:
dS(px ) px
p
= 1 x = 1.
dpx S(px )
px
2
O
F. A condição de equilíbrio de mercado é
S(px∗ ) = X(px∗ ) ⇒ px∗ =
√
α
⇒ px∗ = α
px
em que px∗ é o preço de equilíbrio. A esse preço de equilíbrio cada firma
irá produzir
√
√
α
s( α) =
.
100
Como α ≤ 100,
√
1
s( α) ≤
.
10
Assim, no máximo, cada firma irá produzir, no máximo, 1/10, unidades.
25
3
O
F. O excedente da firma i, Ei , será dado pela diferença entre sua receita
e seu custo variável que, no caso, é igual a seu custo total, isto é
√ !2
√ √α
√ √α √
α
α
1
α − 50
Ei = s α ×
− CT s α =
=
≤
.
100
100
100
200 20
Desse modo, o excedente dos 100 produtores, E, será dado por
E = 100 ×
α
α
= ≤ 50.
200 2
4
O
V. O excedende derivado no item anterior é positivo. Como não há custo
fíxo, isso indica que o lucro das firmas é igual a esse excedente e, portanto, também é positivo, o que atrai a entrada de novas empresas.
26
Questão 9
Julgue as afirmações relativas à Teoria do Monopólio:
0
O
Uma firma monopolista, que opera com várias fábricas, aloca sua produção entre elas de forma a igualar o custo médio em cada uma das
fábricas.
1
O
Uma firma capaz de discriminação de preços de terceiro grau obtém
lucro maior ou igual, em comparação com a situação na qual ela não
fosse capaz de discriminar.
2
O
Uma firma monopolista, que se depara com curva de demanda com elasticidade constante, é indiferente sobre a quantidade produzida.
3
O
Para obter eficiência econômica, o regulador de um monopólio natural
deve escolher a alocação que minimiza o custo médio unitário da firma.
4
O
Se o monopolista for capaz de realizar discriminação de preços de primeiro grau, a alocação de recursos será eficiente em termos paretianos.
Solução
0
O
F. Isso é verdade para qualquer firma maximizadora de lucro e, consequentemente, minimizadora de custos, seja ela monopolista ou não.
Para ver isso, que uma firma com n fábricas pretenda produzir y unidades de seu produto. Sejam c1 (y1 ), . . . , cn (yn ) as funções de custo de
produção em cada uma dessas fábricas nas quais yi representa a quantidade produzida na fábrica i, i = 1, . . . ,n.Para alocar essa produção entre
essas n fábricas de modo a minimizar seu custo, ela deve escolher as
quantidades y1 , . . . ,yn de modo a minimizar
n
X
ci (yi )
i=1
dadas as restrições
yi ≥ 0 para i = 1, . . . ,n.
e
n
X
i=1
27
yi = y.
O lagrangeano associado a esse problema é
L(y1 , . . . ,yn ) =
n
X
i=1
 n

X

ci (yi ) − λ 
yi − y 
i=1
Sejam y1∗ , . . . , yn∗ as quantidades que resolvem esse problema. Então, elas
devem satisfazer à condição de mínimo de primeira ordem que requer
que, para quaisquer j,k ∈ [1, . . . ,n], com yj ,yk ≥ 0,
∂
L(y1∗ , . . . ,yn∗ ) = 0 ⇒ cj0 (yj∗ ) = λ
∂yj
e
∂
L(y1∗ , . . . ,yn∗ ) = 0 ⇒ ck0 (yk∗ ) = λ.
∂yk
Assim, ao minimizar o custo a firma deve fazer com que cj0 (yj ) = ck0 (yk ) =
λ para quaisquer duas fábricas nas quais ela opere, ou seja, ele deve
igualar os custos marginais de produção dessas fábricas.
1
O
V. A capacidade de discriminar preços entre mercados (discriminação de
terceiro grau) não impede a firma de praticar o mesmo preço nos diferentes mercados. Assim, a firma discriminadora de preços sempre pode,
na pior das hipóteses praticar o mesmo preço em todos os mercados obtendo o mesmo lucro que obteria caso não fosse capaz de discriminar
preços.
2
O
F. Essa firma deve escolher a quantidade produzida de acordo com a
regra do murkup sobre o custo marginal, isto é, deve escolher a quantidade produzida (y) que faça com que
1
CMg(y) = p(y) 1 +
sendo CMg(y) a função de custo marginal, p(y) o preço de demanda e a elasticidade preço da demanda.
3
O
F. A produção eficiente ocorre quando o custo marginal de produção se
iguala ao preço de demanda. Usualmente, essa alocação não é a alocação
de custo médio mínimo.
4
O
V. O discriminador perfeito de preços, ao escolher produzir a quantidade que iguala o preço de demanda ao custo marginal, produz a quantidade eficiente e se apropria de todo o excedente social gerado pela
venda de seu produto.
28
Questão 10
Ana ganhou um bilhete de uma loteria que paga $0 ou $4 com√probabilidade
p = 1/2 para cada evento. Sua função utilidade é UA (w) = w, sendo w a
quantidade de dinheiro envolvida. Ana conhece Maria, cuja função utilidade
é UM (w) = w. A avaliação que ambas fazem de situações envolvendo risco é
descrita por funções de utilidade de von Neumann- Morgenstern. Avalie:
0
O
Ana é indiferente entre participar da loteria e ganhar $1 com certeza.
1
O
Se Ana vendesse o bilhete para Maria, o preço p do bilhete estaria no
intervalo $1 ≤ p ≤ $2
2
O
Se Júlia (com função utilidade UJ = w2 concorresse com Maria pelo
bilhete de √
Ana, Julia compraria o mesmo a um preço p no intervalo
$2 < p ≤ $2 2.
3
O
Como Ana é avessa ao risco, ela não compraria o bilhete que ganhou.
4
O
O coeficiente de aversão absoluta ao risco de Ana é crescente em relação
a w.
Solução
0
O
V. Para obter a resposta do gabarito, é necessário entender que “a quantidade de dinheiro envolvida” diz respeito à variação de riqueza decorrente da loteria. A utilidade de Ana é dada pela esperança estatística do
valor de sua função de utilidade:
1√
1√
1 1
UAe 0,4; , =
0+
4 = 1.
2 2
2
2
O equivalente seguro (ES) dessa loteria, isto é, o valor seguro que Maria
considera tão bom quanto a loteria deve ser tal que:
√
1 1
UAe (ES) = UA 0,4; , ⇒ ES = 1 ⇒ ES = 1.
2 2
1
O
V. Para Ana, conforme resposta do item anterior, o bilhete de loteria vale
$1. Seja p o preço que Maria paga para comprar o bilhete de Ana. Se ela
comprar o bilhete tem 50% de chance ter perdido o valor p sem ganhar
nada em troca e 50% de chance de ganhar $ 4, ficando com um ganho
líquido de $4 − p. Assim, seu ganho de utilidade será dado por:
1 1
1
1
e
UM
(−p,4 − p; , ) = (−p) + (4 − p) = 2 − p.
2 2
2
2
29
e
Maria só deve aceitar comprar o bilhete de loteria caso UM
(−p,4−p; 12 , 21 ) ≥
UM (0) = 0, isto é, caso p ≤ 2. Como o bilhete vale $1 para Ana, as duas
terão interesse em negociá-lo por qualquer valor p tal que 1 ≤ p ≤ 2.
2
O
O item está mal especificado. Para responder o que é pedido, é necessário calcular, além do valor que Maria está disposta a pagar pelo bilhete
de loteria (calculado no item acima), o valor que Júlia está disposta a
pagar por esse bilhete. Este é dado pelo valor de p para o qual sua utilidade esperada ao comprar o bilhete ao preço p, 21 UJ (−p) + 21 UJ (4 − p),
é igual ao valor de sua utilidade quando não compra o bilhete, UJ (0).
Ocorre que sabemos que a utiliade marginal da riqueza é sempre não
negativa. Porém, a função de utilidade informada, UJ (w) = w2 , só não é
decrescente para valores positivos de w, o que gera um problema, pois,
para o cálculo da disposição a pagar de Júlia pelo bilhete, devemos considerar o valor negativo w = −p, no qual a função de utilidade de Júlia
informada é decrescente em relação a w.
Ainda que desconsideremos esse erro teórico de especificação, ao calcular a disposição a pagar de Júlia pelo bilhete, deveríamos resolver a
equação
(−p)2 (4 − p)2
+
=0
2
2
a qual não tem solução real.
Uma outra possibilidade seria considerar que o termo “a quantidade de
dinheiro envolvida” diz respeito à riqueza total de cada uma das agentes
do exercício. Nesse caso, notando por wJ a riqueza inicial de Júlia e
observando que, caso ela compre a loteria pelo preço p, essa riqueza
passará a ser wJ −p ou wJ +4−p com iguais probabilidades, sua disposição
a pagar pela loteria seria obtida resolvendo para p a equação entre a
utilidade esperada de Júlia caso compre a loteria e sua utilidade caso
não compre a loteria:
(wJ − p)2 (wJ + 4 − p)2
+
= wJ2 .
2
2
Como essa equação depende de wJ , não teríamos como resolvê-la sem
que esse parâmetro fosse informado. Além disso, se assumirmos que w
0 O
1 tampouco poderiam
representa a riqueza total da agente, os itens O
ser resolvidos.
Para chegar à resposta do gabarito, seria necessário admitir que o valor
que Júlia estaria disposta a pagar para adquirir o bilhete de loteria seja
igual ao valor a partir do qual ela estaria disposta a vender esse bilhete
caso o tivesse ganho, o que não é verdadeiro para a maioria das preferências. Nesse caso, com a interpretação inicial do sentido de “quantidade
de dinheiro envolvida”, como o bilhete daria a ela $4 ou $0 com iguais
30
probabilidades, sua utilidade esperada inicial seria
1 1
02 42
UJe 0,4; , =
+
= 8.
2 2
2
2
Para que ela aceitasse vender esse bilhete, ela exigiria um valor tal que
UJ (p) = UJe , ou seja,
√
p2 = 2 ⇒ p = 2 2.
Assumindo erroneamente que esta seja a disposição a pagar de Júlia pelo
bilhete, chegaríamos à conclusão que, caso disputasse com Maria a aquisição do bilhete, ela (Júlia) teria que comprar o bilhete por um preço
maior do que a preço máximo que Maria está disposta a pagar
√ $2 e menor do que o preço máximo que ela está
disposta
a
pagar
$2
2. Portanto
√
o preço p deverá ser tal que 0 < p ≤ 2 2.
3
O
F. Uma pessoa avessa ao risco pode comprar um bilhete de loteria desde
que seu preço seja tão baixo que faça com que o ganho esperado com o
bilhete seja maior ou igual ao prêmio do risco assumido.
1
4
O
F. A função de utilidade de Ana é uma função potência, w 2 . Se uma
função de utilidade de Bernoulli tem o formato de uma função potência, seu coeficiente de aversão ao risco será constante e iqual à diferença
entre 1 e o expoente desssa função. No caso específico da função de utilidade de Ana, o coeficiente de aversão relativa ao risco será dado por
CARR = 1 − 12 = 12 . Sabemos também que o coeficiente de aversão relativa ao risco (CARR) é igual ao coeficiente de aversão labsoluta ao risco
CAAR vezes a riqueza w, isto é
CARR = wCAAR ⇒ CAAR =
CARR
.
w
No caso da função de utilidade de Ana, isso implica que o coeficiente de
aversão relativa ao risco será
CAAR =
1
.
2w
Portanto, esse coeficiente será decrescente em relação a w.
Alternativamente, você poderia calcular diretamente o coeficiente de
aversão absoluta ao risco de Ana:
1
UA00 (w) − 4√w3
1
CAARA = − 0
=
=
.
1
2w
UA (w)
√
2 w
31
Questão 11
Com relação à Teoria do Equilíbrio Geral, indique as afirmativas corretas:
0
O
A Lei de Walras afirma que o valor da demanda agregada é zero para
todas as escolhas de preços possíveis, e não apenas para os preços de
equilíbrio.
1
O
O pressuposto de que a função de demanda excedente agregada seja
uma função contínua não é indispensável à demonstração da existência
do equilíbrio nos modelos de equilíbrio geral.
2
O
Mesmo que as demandas individuais sejam descontínuas, desde que os
consumidores sejam pequenos, a função de demanda agregada será contínua.
3
O
Pelo primeiro teorema do bem-estar, todos os equilíbrios em mercados
competitivos serão Pareto-eficientes.
4
O
Se as preferências não forem convexas, algumas alocações Pareto-eficientes
não serão alcançadas por mercados competitivos.
Solução
0
O
F (o gabarito dá verdadeiro). Pela lei de Walras, o valor da demanda excedente agregada é idêntico a zero para qualquer vetor de preços, desde
que todos os consumidores demandem cestas de bens sobre suas linhas
de restrição orçamentária. Isso significa que o valor da demanda agregada será sempre igual ao valor da oferta agregada da economia, podendo ambos serem diferentes de zero.
1
O
O gabarito dá Falso, mas, a rigor, é verdadeiro. Mesmo que a função de
demanda agregada apresente descontinuidade, ainda assim, pode haver
um equilíbrio geral, desde que que a função de demanda agregada seja
localmente contínua no equilíbrio.
2
O
Novamente, descordamos do gabarito que dá verdadeiro. Ainda que
haja infinitos consumidores infinitamente pequenos, caso suas funções
de demanda sejam descontínuas ao mesmo preço, a demanda agregada
será descontínua nesse preço. Para garantir a continuidade da demanda
agregada seria necessário pressupor não apenas um número muito grande
(incontáveis) de consumidores infinitamente pequenos, mas também que
o número de consumidores que apresentam descontinuidade em suas
32
funções de demanda individuais ao mesmo vetor de preços seja contável.
3
O
V. Efetivamente, esse é o enunciado do primeiro teorema do bem-estar
social.
4
O
Falso. Novamente, descordamos do gabarito. Se as preferências forem
racionais, contínuas e localmente não saciáveis e os conjuntos de produção forem convexos, limitados acima e fechados, é certeza que todas
as alocações Pareto-eficientes serão equilíbrios competitivos, conforme
atesta o segundo teorema do bem-estar social. Porém as hipóteses assumidas na demonstração desse teorema são condições suficientes para
demonstrar sua tese, mas não necessárias. Em outras palavras é possível que, mesmo que as preferências não sejam convexas, ainda assim,
toda alocação eficiente seja uma alocação de equilíbrio desde que seja
realizada a uma adequada redistribuição das dotações iniciais.
33
Questão 12
Robson Crusoé (A) e Sexta-Feira (B) têm preferências idênticas sobre cocos (X)
e peixes (Y ), representadas
pela
função utilidade U (X,Y ) = ln
X +Y . A dotação
de bens de Crusoé é wxA ; wyA = (5; 10) e a de Sexta-Feira é wxB ; wyB = (15; 5).
Fixando o preço do coco em uma unidade (px = $1), avalie as afirmações:
0
O
Como a utilidade é quase linear, a quantidade de cocos demandada é
fixa, não dependendo dos preços relativos.
1
O
O preço de equilíbrio do peixe é py = $10.
2
O
No equilíbrio, a quantidade demandada líquida de Robson por cocos é
igual a cinco unidades.
3
O
Se o leiloeiro walrasiano anunciar py = $5, haverá excesso de oferta de
15 peixes.
4
O
Com o preço de desequilíbrio py = 5 a Lei de Walras é verificada, pois
Robson não oferta nem demanda e Sexta-feira pretende vender e comprar $10, de modo que a soma do valor dos excessos de demanda por
cada bem se anula.
Solução
Para determinar o preço relativo de equilíbrio, encontremos inicialmente as
funções de demanda pelos bens X e Y por parte dos Robson Crusoé e SextaFeira.
As condições de primeira ordem de maximização de utilidade de Robson
Crusoé, assumindo-se, uma solução interior são

px


|TMSA | = py


px XA + py YA = px wxA + py wyA
nas quais, TMSA é a taxa marginal de substituição de Robson Crusoé e XA e YA
são as quantidades que ele consome dos bens X e Y , respectivamente. Como
as preferências são estritamente convexas, a condição de máximo de segunda
ordem está garantida e, sempre que o sistema de equações acima tiver como
solução XA e YA positivos, essas soluções serão as quantidades demandas por
Robson pelos dois bens. Pelo enunciado sabemos que wxA = 5, wyA = 10 e px = 1.
Além disso,
∂
(ln XA + YA )
1
∂X
|TMSA | = A
=
.
∂
X
A
(ln
X
+
Y
)
A
A
∂Y
34
Assim, o sistema de equações acima assume a forma

1
1


 XA = py
.


XA + py YA = 5 + 10py
Resolvendo esse sistema, chegamos às funções de demanda de Robson
Crusoé por coco e peixe:
XA (py ) = py
5
YA (py ) = 9 + .
py
(19)
(20)
Como as funções de demanda acima retornam valores positivos para qualquer valor positivo de py , não haverá solução de canto.
De modo semelhante, encontramos as funções de demanda de Sexta-Feira.
As

px


|TMSB | = py


px XB + py YB = px wxB + py wyA
nas quais, TMSB é a taxa marginal de substituição de Sexta-Feira e XB e YB
são as quantidades que ele consome dos bens X e Y , respectivamente. Empregando os dados do enunciado, tais condições se transformam em

1
1


 XB = py
.


XB + py YB = 15 + 5py
Resolvendo esse sistema de equações, encontramos as quantidades demandas
dos dois bens por Sexta-Feira:
XB (py ) = py
15
YB (py ) = 4 + .
py
(21)
(22)
O preço py de equilíbrio é encontrado resolvendo a condição de igualdade
entre oferta e demanda em qualquer um dos mercados, visto que, pela lei de
Walras, isso também garante o equilíbrio no outro mercado. Assim, resolvamos a condição de equilíbrio no mercado de coco:
XA (py ) + XB (py ) = wxA + wyb ⇒ 2py = 5 + 15 ⇒ py∗ = 10.
(23)
py∗
Em que
é o preço de equilíbrio. Substituindo esse valor nas funções de
demanda, encontramos as quantidades demandadas no equilíbrio
XA∗ = 10
(24)
YA∗ = 9,5
XB∗ = 10
YB∗ = 5,5
(25)
35
(26)
(27)
0
O
F. Preferências quase lineares implicam que, para soluções interiores do
problema de maximização de utilidade, a demanda pelo bem no qual as
preferências não são lineares dependerá apenas dos preços relativos e
não da renda (no caso, valor da dotação inical) do consumidor.
1
O
V. Conforme (23), py∗ = 10.
2
O
V. De acordo com (24), a demanda bruta de Robson por coco é, no equilíbrio 10 unidades. Como ele tem uma dotação inicial wxA = 5, a demanda
líquida será XA∗ − wxA = 10 − 5 = 5.
3
O
F. Usando (20) e (22), o excesso de demanda será
YA (5) + YB (5) − wyA − wyB = 9 +
15
5
+4+
− 10 − 5 = 2.
5
5
4
O
V. Empregando as funções de demanda (19) a (22)
XA (5) − wxA = 5 − 5 = 0;
YA (5) − wyA = 10 − 10 = 0;
XB (5) − wxB = 5 − 15 = −10;
YB (5) − wyB = 7 − 5 = 2.
Assim, como px = 1 e py = 5, o valor do excesso de demanda de coco será
1 × −10 = −10 e o valor do excesso de demanda de peixe será 5 × 2 = 10.
A soma desses valores é igual a zero.
36
Questão 13
Seja um jogo estritamente competitivo em um mercado com apenas duas empresas, em que a empresa 1 pode adotar uma entre quatro estratégias de vendas possíveis: A, B, C e D; e a empresa 2 também pode adotar uma entre
quatro estratégias de vendas possíveis: R, S, T e U. A parcela de mercado da
empresa 1 se encontra descrita na tabela abaixo, de acordo com a estratégia
de venda que ela e a empresa 2 escolherem. Responda qual será a parcela de
mercado da empresa 2 no ponto de sela, expressando o valor em percentagem.
Empresa 2
Empresa 1
A
B
C
D
R
S
T
U
10
40
35
25
20
30
25
15
15
50
20
35
30
55
40
60
Solução
70. O ponto de cela de um jogo de soma zero é o perfil de estratégias de
maxmin/minmax. Em outras palavras, é o perfil de estratégias que constitui o
equilíbrio de Nash desse jogo. No caso desse jogo, o equilíbro de Nash ocorre
quando a Empresa 1 escolha a estratégia B e a empresa 2 escolhe a estratégia
A. Nesse ponto, a participação de mercado da empresa A é 30% e, portanto, a
participação da empresa B será de 70%.
37
Questão 14
Duas firmas produzem um bem com preço unitário constante p = $12. A primeira, situada na margem de um rio, opera com função custo c(x) = x2 , sendo
x a quantidade do bem produzida por ela. A outra firma, localizada pouco
adiante no mesmo rio, produz a quantidade y do mesmo bem, com custo expresso por c(y) = y 2 + 21 x2 . O último componente dessa expressão representa
a externalidade negativa gerada pela poluição do rio por parte da outra firma.
Calcule a redução no número de unidades produzidas pela firma poluidora,
caso ambas decidam explorar, com a fusão entre as firmas, os ganhos derivados da internalização da externalidade.
Solução
02. Caso não haja coordenação entre as duas empresas, a primeira delas deve
escolher um produto que iguala seu custo marginal ao preço do produto, fazendo 2x = 12, ou seja irá escolher uma quantidade x̂ = 6. Caso as duas empresas realizem uma fusão o lucro da nova empresa será
3
12(x + y) − x2 − y 2 .
2
Para maximizar esse lucro, ele deve escolher um valor de x que satisfaça a
condição de lucro máximo de primeira ordem, qual seja, de que a derivada
parcial dessa funcão em relação a x seja igual a zero, isto é,
12 − 3x = 0 ⇒ x∗ = 4.
Assim, após a fusão, a quantidade produzida pela empresa poluidora será reduzida de x̂ = 6 para x∗ = 4, ou seja haverá uma redução de x̂−x∗ = 2 unidades.
38
Questão 15
Calcule a quantidade que a empresa seguidora produz em um equilíbrio de
Stackelberg, em que a função de demanda do mercado é dada por p = 122 −
0,5(q1 + q2), sendo p o preço de mercado, q1 a quantidade produzida pela
líder e q2 a quantidade produzida pela seguidora, e as curvas de custo de líder
e seguidora são, respectivamente,
C1 = 2q1 e C2 = 2q2 .
Solução
60. Trata-se de um modelo de Stakelberg com uma demanda linear p = a −
b(q1 + q2 ), em que a = 122 e b = 0,5 e custo marginal constante e igual para as
duas empresas c = 2. Para esse modelo, a quantidade produzida pela empresa
seguidora é
a − c 122 − 2
=
= 60.
q2 =
4b
2
Observação: Se você esquecer o resultado para o modelo de Stackelberg com
custo marginal constante e igual para as duas empresas e demanda linear,
pode resolver o modelo para os dados apresentados. Primeiramente, calculamos a função de reação a empresa 2. Essa é dada pelo valor de q2 que maximiza o lucro dessa empresa dada a quantidade q1 produzida pela empresa
líder. O lucro da empresa 2 é
q2
q
1
p(q1 + q2 )q2 − C2 (q2 ) = 122 − (q1 + q2 ) q2 − 2q2 = 120 − 1 q2 − 2 .
2
2
2
Derivando em relação a q2 e igualando a zero, obtemos a condição de lucro
máximo de primeira ordem:
q2 (q1 ) = 120 −
q1
.
2
(28)
A segundo derivada da função objetivo da empresa seguidora em relação a q2
é igual a −1, o que garante que a solução acima é realmente uma solução de
lucro máximo para essa empresa.
A empresa líder, antecipando a função de reação da empresa seguidora,
deve levar em conta, que, qualquer que seja a quantidade q1 que ela escolha
produzir, a quantidade total produzida pelas duas empresas será
q = q1 + q2 (q1 ) = q1 + 120 −
39
q1
q
= 120 + 1 .
2
2
Assim, o preço do produto será
q
1
p = 122 − q = 122 − 1 ,
2
2
e o lucro da empresa líder será
q
122 − 1 q1 − 2q1 .
2
A empresa líder deve escolher q1 de modo a maximizar seu lucro. Pela condição de máximo de primeira ordem, tal valor deve ser tal que a derivada da
função acima em relação a q1 seja igual a zero, isto é,
122 − q1 − 2 = 0 ⇒ q1 = 120.
Substituindo esse valor em (28), obtemos a quantidade a ser produzida pela
empresa seguidora:
q2 = 60.
Referências
Varian, Hall R. 2012. Microeconomia – princípios básios. Tradução da 8ª edição.
Elsevier.
40