Aula-04
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UFSM-CTISM Modelo de Propagação no espaço livre Os três mecanismos básicos da propagação Projeto de Redes sem Fio Aula-04 Formulas para Reflexão Professor: Andrei Piccinini Legg Santa Maria, 2012 Os três mecanismos básicos da propagação Reflexão Modelo de Propagação no espaço livre Os três mecanismos básicos da propagação Formulas para Reflexão Ocorre quando uma onda eletromagnética em propagação colide com um objeto que possui dimensões muito grandes em comparação com o comprimento de onda da onda que se propaga. Difração Ocorre quando o caminho de rádio entre o transmissor e o receptor é obstruído por uma superfície que possui irregularidades afiadas (arestas). Dispersão Ocorre quando o meio pelo qual a onda trafega consiste de objetos com dimensões que são pequenas em comparação com o comprimento de onda, e onde o número de obstaculos por volume unitário é grande. Os três mecanismos básicos da propagação Reflexão Modelo de Propagação no espaço livre Os três mecanismos básicos da propagação Formulas para Reflexão Ocorre quando uma onda eletromagnética em propagação colide com um objeto que possui dimensões muito grandes em comparação com o comprimento de onda da onda que se propaga. Difração Ocorre quando o caminho de rádio entre o transmissor e o receptor é obstruído por uma superfície que possui irregularidades afiadas (arestas). Dispersão Ocorre quando o meio pelo qual a onda trafega consiste de objetos com dimensões que são pequenas em comparação com o comprimento de onda, e onde o número de obstaculos por volume unitário é grande. Os três mecanismos básicos da propagação Reflexão Modelo de Propagação no espaço livre Os três mecanismos básicos da propagação Formulas para Reflexão Ocorre quando uma onda eletromagnética em propagação colide com um objeto que possui dimensões muito grandes em comparação com o comprimento de onda da onda que se propaga. Difração Ocorre quando o caminho de rádio entre o transmissor e o receptor é obstruído por uma superfície que possui irregularidades afiadas (arestas). Dispersão Ocorre quando o meio pelo qual a onda trafega consiste de objetos com dimensões que são pequenas em comparação com o comprimento de onda, e onde o número de obstaculos por volume unitário é grande. Equações de Maxwell Modelo de Propagação no espaço livre Todos os fenômenos eletromagnéticos podem ser descritos pelas quatro equações de Maxwell, apresentadas abaixo em sua forma diferencial (local): Equações de Maxwell Os três mecanismos básicos da propagação Formulas para Reflexão → − − → ∇×H = → − − → ∇×E = → → − − ∇·D = → → − − ∇·B = → − − → → − δD Jc + + J imposta (Lei de Ampère) δt → − δB (Lei de Faraday) − δt ρ (Lei de Gauss) 0 (Lei de Gauss do magnetismo) → − E = campo elétrico [V/m]; → − H = campo magnético [A/m]; (1) (2) (3) (4) Equações de Maxwell Modelo de Propagação no espaço livre Todos os fenômenos eletromagnéticos podem ser descritos pelas quatro equações de Maxwell, apresentadas abaixo em sua forma diferencial (local): Equações de Maxwell Os três mecanismos básicos da propagação Formulas para Reflexão → − − → ∇×H = → − − → ∇×E = → → − − ∇·D = → → − − ∇·B = → − − → → − δD Jc + + J imposta (Lei de Ampère) δt → − δB (Lei de Faraday) − δt ρ (Lei de Gauss) (1) (2) (3) 0 (Lei de Gauss do magnetismo) (4) → − D = indução elétrica ou densidade de fluxo elétrico [C/m2 ]; → − B = indução magnética ou densidade de fluxo magnético [Wb/m2 = T]; Equações de Maxwell Modelo de Propagação no espaço livre Todos os fenômenos eletromagnéticos podem ser descritos pelas quatro equações de Maxwell, apresentadas abaixo em sua forma diferencial (local): Equações de Maxwell Os três mecanismos básicos da propagação Formulas para Reflexão → − − → ∇×H = → − − → ∇×E = → → − − ∇·D = → → − − ∇·B = → − − → → − δD Jc + + J imposta (Lei de Ampère) δt → − δB (Lei de Faraday) − δt ρ (Lei de Gauss) 0 (Lei de Gauss do magnetismo) → − Jc = densidade de corrente de condução [A/m2 ]; → − J imposta = densidade de corrente imposta [A/m2 ]; ρ = densidade volumétrica de carga [C/m3 ]. (1) (2) (3) (4) Equações de Maxwell Equações de Maxwell Modelo de Propagação no espaço livre Os três mecanismos básicos da propagação Formulas para Reflexão → − − → ∇×H = → − − → ∇×E = → → − − ∇·D = → → − − ∇·B = → − − → → − δD Jc + + J imposta (Lei de Ampère) δt → − δB (Lei de Faraday) − δt ρ (Lei de Gauss) (7) 0 (Lei de Gauss do magnetismo) (8) (5) (6) Relações constitutivas: − → D = → − B = → − Jc = → − εE → − µH → − σ E (Lei de Ohm) (9) (10) (11) Permissividade elétrica e permeabilidade magnética do espaço livre Modelo de Propagação no espaço livre Os três mecanismos básicos da propagação Formulas para Reflexão Permissividade elétrica Permissividade do espaço livre: εo = 8, 85 × 10−12 F/m (12) ε = εr εo (13) Permeabilidade magnética Permeabilidade do espaço livre: µo = 4π × 10−7 H/m (14) µ = µr µo (15) Representação de sinais senoidais (harmônicos): fasores Modelo de Propagação no espaço livre Os três mecanismos básicos da propagação Formulas para Reflexão Nos casos aqui considerados, todos os campos têm variação temporal harmônica numa dada frequência (ω = 2πf ). Desta forma, podem ser representados por fasores. f (t) = Acos(ωt + φ) ↔ F = Aejφ = A∠φ (16) Derivada do sinal no tempo e fasor correspondente: δf (t) δt ↔ jωF (17) Equações de Maxwell sob forma fasorial (em meios homogêneos) → − → − ∇× H → − → − ∇× E − → − → ∇· E − → − → ∇· B = = = = → − → − (σ + jωε) E + J imposta (Lei de Ampère) → − −jωµ H (Lei de Faraday) ρ (Lei de Gauss) ε 0 (Lei de Gauss do magnetismo) (18) (19) (20) (21) Equação da Onda Modelo de Propagação no espaço livre Equação da Onda na forma fasorial → → − → − → − → − − ∇ × ( ∇ × E ) + jωµ(σ + jωε) H = −jωµ J imposta Os três mecanismos básicos da propagação A onda plana uniforme (OPU) Formulas para Reflexão De forma a resolver a equação de onda, são feitas algumas considerações e simplificações: O campo elétrico só tem componente na direção x : → − → − E = Ex i ; A onda se propaga na direção z, ou seja, os campos só δ δ variam espacialmente nesta direção: δz 6= 0; δx =0e δ δy = 0. Não há correntes impostas na região sob estudo → − J imposta = 0 (22) Velocidade de propagação e Impedância intrínseca Velocidade de propagação Modelo de Propagação no espaço livre Os três mecanismos básicos da propagação Formulas para Reflexão 1 c v= √ =√ µε µr ε r (23) para o espaço livre (µr =εr =1) 1 ∼ v =c= √ = 3 × 108 m/s µo ε o (24) Impedância intrínseca Quando consideramos apenas a parte real: r µ η= ε r µo ∼ para o espaço livre: ηo = = 377Ω = 120πΩ εo (25) (26) A resolução da equação de onda permite obter: Modelo de Propagação no espaço livre Os três mecanismos básicos da propagação Formulas para Reflexão Constante de propagação: p γ = jωµ(σ + jωε) = α + jβ (27) Campo elétrico: E(z, t) = Ee−αz cos(ωt−βz) (onda se propagando no sentido +z) (28) onde α = constante de atenuação [Np/m]; β = constante de fase [rad/m]. Comprimento de onda: λ= 2π [m] β (29) A resolução da equação de onda permite obter: Velocidade de propagação: Modelo de Propagação no espaço livre v= ω = λf [m/s] β (30) Os três mecanismos básicos da propagação Formulas para Reflexão Impedância intrínseca do meio: s jωµ E = = |η|ejθn = |η|∠θn [Ω] η= H σ + jωε (31) Campo magnético: Hy (z, t) = Eo −αz e cos(ωt − βz − θn ) [A/m] |η| (32) A resolução da equação de onda permite obter: Densidade superficial de potência (vetor de Poynting): Modelo de Propagação no espaço livre Os três mecanismos básicos da propagação Formulas para Reflexão − → − − → → P = E × H [W/m2 ] 1 Eo2 −2αz Pmed = e cosθn (valor médio no tempo) 2 |η| (33) (34) Propagação em meios sem perdas Os meios sem perdas (dielétricos perfeitos) são caracterizados por: ε = εr εo ; µ = µr µo ; σ = 0. Modelo de Propagação no espaço livre Os três mecanismos básicos da propagação Formulas para Reflexão Constante de propagação: √ γ = jω µε ⇒ α √ β = ω µε = 0 (não há atenuação) (35) Campo elétrico: Ex (z, t) = Eo cos(ωt − βz) (36) Velocidade de propagação: c 1 [m/s] v=√ = √ µε µr ε r (37) Propagação em meios sem perdas Os meios sem perdas (dielétricos perfeitos) são caracterizados por: ε = εr εo ; µ = µr µo ; σ = 0. Modelo de Propagação no espaço livre Impedância intrínseca do meio: Os três mecanismos básicos da propagação Formulas para Reflexão η Para o espaço livre:ηo r µ real ε r µo ∼ = = 377 Ω ∼ = 120π Ω εo = (38) (39) Campo magnético: Hy (z, t) = Eo cos(ωt − βz) [A/m] |η| (40) Propagação em meios sem perdas Os meios sem perdas (dielétricos perfeitos) são caracterizados por: ε = εr εo ; µ = µr µo ; σ = 0. Modelo de Propagação no espaço livre Densidade superficial de potência (vetor de Poynting): Os três mecanismos básicos da propagação Pmed = Pmed = Formulas para Reflexão 1 Eo2 ou 2 |η| 1 Eo Ho = Eef Hef 2 Conclusões: Nos meios sem perda, a onda plana se propaga sem atenuação; A velocidade de propagação independe da freqüência; Os campos elétrico e magnético estão em fase (tanto no tempo quanto no espaço). (41) (42) Reflexão de dielétricos Modelo de Propagação no espaço livre Os três mecanismos básicos da propagação Formulas para Reflexão Reflexão de dielétricos A onda incide sobre o plano com um angulo θi , parte da energia é refletida (θr ), e parte é transmitida (refratada) ao segundo meio (θt ). Reflexão de dielétricos Modelo de Propagação no espaço livre Os três mecanismos básicos da propagação Formulas para Reflexão Campo E no plano de incidência Γk = η2 senθt − η1 senθi Er = Ei η2 senθt + η1 senθi (43) Reflexão de dielétricos Modelo de Propagação no espaço livre Os três mecanismos básicos da propagação Formulas para Reflexão Reflexão de dielétricos A onda incide sobre o plano com um angulo θi , parte da energia é refletida (θr ), e parte é transmitida (refratada) ao segundo meio (θt ). Reflexão de dielétricos Modelo de Propagação no espaço livre Os três mecanismos básicos da propagação Formulas para Reflexão Campo E normal ao plano de incidência Γ⊥ = Er η2 senθi − η1 senθt = Ei η2 senθi + η1 senθt (44) Indices para diferentes meios Modelo de Propagação no espaço livre Os três mecanismos básicos da propagação Formulas para Reflexão Campo E no plano de incidência Coeficiente de reflexão paralelo 1 Modelo de Propagação no espaço livre Os três mecanismos básicos da propagação 0.9 εr = 4 0.8 εr = 12 0.7 Formulas para Reflexão Γk 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 10 20 30 40 50 60 Angulo de incidencia em graus 70 80 90 Campo E normal ao plano de incidência Coeficiente de reflexão perpendicular 1 Modelo de Propagação no espaço livre 0.9 0.8 Os três mecanismos básicos da propagação 0.7 Formulas para Reflexão Γ⊥ 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 εr = 4 0.1 0 0 εr = 12 10 20 30 40 50 60 Angulo de incidencia em graus 70 80 90 Densidade superficial de potência Modelo de Propagação no espaço livre Os três mecanismos básicos da propagação Formulas para Reflexão Densidade superficial de potência Pd = Eo2 Eo Ho ou Pd = = Eef Hef 2η 2 (45) Para o espaço livre: nos meios sem perdas, a onda plana se propaga sem atenuação; a velocidade de propagação independe da frequência; os campos elétrico e magnético estão em fase (tanto no tempo quanto no espaço). Formulas para Reflexão Campos elétricos Modelo de Propagação no espaço livre Os três mecanismos básicos da propagação Formulas para Reflexão √ Ei (z, t) = Ei cos(ωt − β1 z), β1 = ω µ1 ε1 √ Er (z, t) = Er cos(ωt + β1 z), β1 = ω µ1 ε1 √ Et (z, t) = Et cos(ωt − β2 z), β2 = ω µ2 ε2 (46) (47) (48) Coeficiente de reflexão: η2 − η1 η2 + η1 (49) 2η2 =Γ+1 η2 + η1 (50) Er = ΓEi com Γ = Coeficiente de Transmissão: Et = τ Ei com τ = Campos nos meios Meio 1 Modelo de Propagação no espaço livre Os três mecanismos básicos da propagação Formulas para Reflexão E1 (z, t) = Ei (z, t) + Er (z, t) E1 (z, t) = Ei cos(ωt − β1 z) + ΓEi cos(ωt + β1 z) E1 (z, t) = (1 + Γ)Ei cos(ωt − β1 z) − 2ΓEi sen(ωt)sen(β1 z) Coeficiente de reflexão: η2 − η1 η2 + η1 (51) 2η2 =Γ+1 η2 + η1 (52) Er = ΓEi com Γ = Coeficiente de Transmissão: Et = τ Ei com τ = Envoltória (magnitude) do campo elétrico Modelo de Propagação no espaço livre Os três mecanismos básicos da propagação Formulas para Reflexão nos pontos onde os campos das ondas incidente e refletida somam-se em fase (interferencia construtiva), o campo resultante é máximo: Etextmax (1 + |Γ|)Ei ; nos pontos onde os campos das ondas incidente e refletida somam-se com fase oposta (interferencia destrutiva), o campo resultante é mínimo: Etextmax (1 − |Γ|)Ei ; a separação entre máximos (ou mínimos) adjacentes é de meio comprimento de onda. Envoltória (magnitude) do campo elétrico Modelo de Propagação no espaço livre Os três mecanismos básicos da propagação Formulas para Reflexão Coeficiente de onda estacionária (SWR-Standing Wave Ratio): SWR ≡ Etextmax 1 + |Γ| = , (1 ≤ SWR < ∞) Etextmin 1 − |Γ| (53) Densidade de potência da onda refletida: Pr = |Γ|2 Pi (54)
