LINHAS DE TRANSMISSÃO Ä Constante de propagação - 1 • A grandeza complexa γ = α + jβ = (R + jωL )(G + jωC ) é denominada por constante de propagação e tem por unidade o inverso do comprimento (m-1), sendo Z = R + jωL e Y = G + jωC a impedância longitudinal e a admitância transversal da linha de transmissão por unidade de comprimento. • Para interpretar fisicamente as grandezas α e β vamos considerar o caso geral de VO+ , VO− e Z 0 , serem grandezas complexas: VO+ = V + e jφ , VO− = V − e jφ e Z 0 = Z 0 e jθ 1 2 • Os valores instantâneos da tensão e da corrente ao longo da linha serão então: v( z , t ) = Re{V ( z )e jωt } = V + e −αz . Re{e j (ωt − βz + φ ) } + V − e αz . Re{e j (ωt + βz + φ 2 ) } 1 v( z , t ) = V + e −αz Cos (ωt − βz + φ1 ) + V − e αz Cos(ωt + βz + φ 2 ) V + −α z V − αz j (ωt − βz + φ −θ ) } + e . Re{e j (ωt + β +φ 2+θ ) } i ( z , t ) = Re{I ( z )e } = e . Re{e Z0 Z0 jωt 1 I + −αz I − αz i(z, t ) = e Cos (ωt − βz + φ1 − θ ) + e Cos (ωt + βz + φ 2 + θ ) Z0 Z0 LINHAS DE TRANSMISSÃO Ä Constante de propagação - 2 • Tanto v( z , t ) como i ( z , t ) são, no caso geral, o resultado da sobreposição de duas ondas progressivas, a onda incidente e a onda reflectida, propagando-se em sentidos opostos. • Significado físico de α o A parte real da constante de propagação determina o modo como as amplitudes das ondas incidente de tensão e corrente são amortecidas ao longo da linha, no seu sentido de propagação, devido ao factor e-αz. Daí designar-se α por constante de atenuação. o Na figura está representada a onda incidente de tensão v( z , t ) = V + e −αz Cos (ωt − βz + φ1 ) ao longo da linha em dois instantes de tempo. LINHAS DE TRANSMISSÃO Ä Constante de propagação - 3 o Para as ondas reflectidas de tensão e corrente, que se propagam em sentido contrário ao das ondas incidentes, o amortecimento é devido à exponencial e-αz. Portanto, as ondas reflectidas amortecem-se quando progridem do receptor para o gerador, isto é, no seu sentido de propagação. o Considerando uma onda incidente de tensão que se desloca do ponto z1 para o ponto z2 ao longo de uma linha de transmissão uniforme, as amplitudes V(z1) e V(z2) naqueles dois pontos estão relacionadas pela expressão: V (z 2 ) = e −α ( z − z ) V ( z1 ) 2 1 o O que determina a atenuação entre os dois pontos. Na prática utiliza-se como unidade de atenuação o decibel (dB), sendo então a atenuação determinada por: A( dB ) = 20 log V (z 2 ) V ( z1 ) LINHAS DE TRANSMISSÃO Ä Constante de propagação - 4 • Significado físico de β o As ondas incidentes de tensão e de corrente sofrem uma variação de fase βz em atraso, proporcional à distância z ao gerador, enquanto as ondas reflectidas sofrem a mesma variação de fase em avanço. o Portanto, a parte imaginária da constante de propagação determina a variação de fase que sofrem as ondas de corrente e de tensão por unidade de comprimento da linha. Designa-se por constante de fase e exprime-se em radianos por unidade de comprimento. o A variação de fase βl, correspondente ao comprimento total da linha, é designado por ângulo de distorção da linha. LINHAS DE TRANSMISSÃO Ä Constante de propagação - 5 • Velocidade de fase, comprimento de onda o Na figura está representada a posição da onda incidente de tensão, em três instantes de tempo, no caso de uma linha sem perdas (α α=0). o Para se determinar a velocidade com que se desloca um ponto P da onda, basta considerar constante o argumento ou fase ωt − βz + φ1 = const. e derivar em ordem ao tempo: dz = 0 . Obtemos assim a velocidade de propagação vp. ω−β dt ω vp = β LINHAS DE TRANSMISSÃO Ä Constante de propagação - 6 o Esta velocidade de propagação é designada por velocidade de fase e está relacionada com o comprimento de onda λ pela expressão vp=fλ λ e portanto β= 2π λ o Com efeito, dados dois pontos de linha afastados de ∆z em que a onda incidente tem a mesma fase, terá de se verificar: βz = 2πn o O valor mínimo de ∆z, corresponde a n=1, denomina-se comprimento de onda λ. o No caso ideal de uma linha sem perdas, R=0 e G=0, a constante de propagação será γ = jω LC = jβ e a velocidade de fase será: vp = ω = β 1 LC