Matemática Aplicada

Matemática Aplicada
Autor: Prof. Antonio Eduardo Batista
Colaboradores: Prof. Santiago Valverde
Prof. Jean Carlos Cavaleiro
Prof. Mauricio Martins do Fanno
Professor conteudista: Antonio Eduardo Batista
Natural de São Paulo (SP), é graduado em Matemática pelo Centro Universitário Fundação Santo André
(1976) e graduado (1985) e mestre (2005) em Administração pela Universidade Cidade de São Paulo. Desenvolveu
suas principais atividades na carreira empresarial como analista de processos administrativos, programador de
sistemas de informação e analista de sistemas. Atuou posteriormente em cargos de supervisor de sistemas de
informação e gerente de desenvolvimento de sistemas. Atua na carreira docente desde 2005 como professor dos
cursos de Administração e Marketing. Atuou também como professor de cursos de pós-graduação nas áreas de
Marketing e Logística na Universidade Anhanguera e Faculdade Unida de Suzano. Atualmente é professor mestre
da Universidade Paulista – UNIP, da Faculdade Unida de Suzano e da Faculdade Sumaré, além de consultor de
empresas na área de reestruturação organizacional da Savenet Ltda. Atua principalmente nos temas: Sistemas
de Informação, Processos Administrativos, Plano de Negócios, Planejamento de Marketing.
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
B333
Batista, Antonio Eduardo
Matemática Aplicada. / Antonio Eduardo Batista - São Paulo:
Editora Sol.
116 p. il.
Notas: este volume está publicado nos Cadernos de
Estudos e Pesquisas da UNIP, Série Didática, ano XVII, n. 2-023/11,
ISSN 1517-9230.
1.Matemática aplicada 2.Matemática básica 3.Conceitos de
matemática I.Título
CDU 572
© Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra pode ser reproduzida ou transmitida por qualquer forma e/ou
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Material Didático – EaD
Comissão editorial:
Dra. Angélica L. Carlini (UNIP)
Dr. Cid Santos Gesteira (UFBA)
Dra. Divane Alves da Silva (UNIP)
Dr. Ivan Dias da Motta (CESUMAR)
Dra. Kátia Mosorov Alonso (UFMT)
Dra. Valéria de Carvalho (UNIP)
Apoio:
Profa. Cláudia Regina Baptista – EaD
Profa. Betisa Malaman – Comissão de Qualificação e Avaliação de Cursos
Projeto gráfico:
Prof. Alexandre Ponzetto
Revisão:
Elaine Fares
Sumário
Matemática Aplicada
APRESENTAÇÃO ......................................................................................................................................................7
Unidade I
1 REVISÃO .................................................................................................................................................................9
1.1 Números reais ...........................................................................................................................................9
1.2 Expressões algébricas.......................................................................................................................... 12
1.3 Razão e proporção ............................................................................................................................... 16
1.4 Porcentagem .......................................................................................................................................... 18
1.5 Regra de três .......................................................................................................................................... 22
1.5.1 Regra de três simples ............................................................................................................................ 25
1.5.2 Regra de três composta ....................................................................................................................... 28
2 CONJUNTOS ....................................................................................................................................................... 31
2.1 Introdução: a ideia de conjunto indo além da matemática ............................................... 31
2.2 Conceitos básicos ................................................................................................................................. 33
2.3 Definições matemáticas .................................................................................................................... 34
2.3.1 Representação ordinária ...................................................................................................................... 35
2.3.2 Representação abstrata........................................................................................................................ 35
2.3.3 Representação por diagramas de Venn ......................................................................................... 36
2.4 Pertinência e inclusão ........................................................................................................................ 36
2.5 Operações entre conjuntos .............................................................................................................. 38
2.5.1 Interseção................................................................................................................................................... 38
2.5.2 União............................................................................................................................................................ 39
2.5.3 Diferença ou complemento relativo ............................................................................................... 40
2.5.4 Cardinalidade de um conjunto.......................................................................................................... 42
2.5.5 Representação de conjuntos usando o diagrama de Venn ................................................... 43
3 RELAÇÕES ........................................................................................................................................................... 44
3.1 Plano cartesiano ................................................................................................................................... 44
3.2 Produto cartesiano .............................................................................................................................. 45
3.3 Relação binária: domínio, contradomínio e conjunto imagem ........................................ 46
3.4 Gráfico cartesiano .............................................................................................................................. 47
4 CONJUNTOS NUMÉRICOS ............................................................................................................................ 50
4.1 Números naturais ................................................................................................................................. 50
4.2 Números inteiros .................................................................................................................................. 51
4.3 Números racionais ............................................................................................................................... 52
4.4 Números irracionais ............................................................................................................................ 54
4.5 Números reais ........................................................................................................................................ 56
4.6 Aplicação ................................................................................................................................................. 59
Unidade II
5 EQUAÇÕES ......................................................................................................................................................... 64
5.1 Equações do 1º grau ........................................................................................................................... 65
5.2 Equações do 2º grau ........................................................................................................................... 68
6 FUNÇÕES ............................................................................................................................................................ 76
6.1 Conceito ................................................................................................................................................... 76
6.2 Definição ................................................................................................................................................. 78
6.3 Tipos de funções .................................................................................................................................. 79
6.3.1 Função sobrejetora ................................................................................................................................ 79
6.3.2 Função injetora ....................................................................................................................................... 80
6.3.3 Função bijetora ....................................................................................................................................... 80
6.4 Funções usuais ..................................................................................................................................... 82
6.4.1 Função par ................................................................................................................................................. 82
6.4.2 Função ímpar .......................................................................................................................................... 83
6.4.3 Função constante ................................................................................................................................... 84
6.4.4 Função linear ............................................................................................................................................ 84
6.5 Função do 1º grau ................................................................................................................................ 85
6.6 Aplicações................................................................................................................................................ 87
6.6.1 Demanda e oferta de mercado ......................................................................................................... 87
6.6.2 Preço e quantidade de equilíbrio ..................................................................................................... 89
6.6.3 Receita total.............................................................................................................................................. 90
6.6.4 Custo total ................................................................................................................................................. 90
6.6.5 Ponto crítico (break even point) ou ponto de nivelamento .................................................. 90
6.6.6 Função lucro ............................................................................................................................................. 90
6.6.7 Margem de contribuição ..................................................................................................................... 90
7 AJUSTE DE CURVAS ........................................................................................................................................ 92
7.1 Introdução à regressão linear.......................................................................................................... 93
7.2 Regressão linear .................................................................................................................................... 95
7.3 Regressão quadrática ......................................................................................................................... 97
8 MATEMÁTICA FINANCEIRA ........................................................................................................................101
8.1 Conceitos de juros e taxas ..............................................................................................................101
8.2 Fluxo de caixa ......................................................................................................................................102
8.3 Capitalização ........................................................................................................................................103
8.4 Capitalização simples .......................................................................................................................104
8.5 Capitalização composta...................................................................................................................104
APRESENTAÇÃO
Prezado aluno,
Esta disciplina, Matemática Aplicada, voltada para o curso de Gestão, está dividida em duas
Unidades.
Na primeira, inicialmente faremos uma breve recapitulação de alguns tópicos de matemática
elementar – que você já estudou em outra fase de sua vida escolar – para que possa relembrá-los.
O objetivo dessa revisão é simples. Esses conhecimentos básicos são importantes para fazer outros
cálculos mais complexos que você precisará realizar ao exercer sua atividade profissional.
Na sequência abordaremos outros conteúdos matemáticos que você deverá aplicar quando questões
pertinentes à área administrativa surgirem em seu dia a dia. Na Unidade II aprofundamos a matéria com
o propósito de que você desenvolva o raciocínio lógico e a habilidade para solucionar problemas com a
ajuda de ferramentas como formulações e modelos matemáticos.
As despesas de uma empresa com energia elétrica, telefone, água etc. podem ser avaliadas medindose o consumo durante um determinado período. O tempo de viagem que levam os caminhões de uma
indústria para entregar as mercadorias nos pontos de venda depende da velocidade média desenvolvida
pelos veículos durante o percurso. O preço de venda de um produto que está sendo lançado no mercado
resulta de uma avaliação criteriosa dos custos que envolvem sua produção. Esses são exemplos de
cálculos que rotineiramente são efetuados nas empresas, e para realizá-los nos servimos da linguagem
matemática.
Os tópicos desta disciplina são apresentados de forma didática e são ilustrados por diversos
exemplos para facilitar sua assimilação. Para exercitar-se, você encontrará uma boa gama de questões
e problemas.
Bons estudos.
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MATEMÁTICA APLICADA
Unidade I
1 REVISÃO
1.1 Números reais
Sistemas de numeração
A história da humanidade nos conta que os números, a exemplo das palavras, também passaram por diversas
mudanças em sua representação escrita ao longo dos séculos. A representação gráfica do número “9”, por
exemplo, passou por diversas formas, entre elas, a repetição de três sequências de três traços verticais, ficando
uma embaixo da outra; a repetição de uma sequência de nove traços verticais numa mesma linha, a combinação
das letras “I” e “X” (maiúsculas) utilizada pelos romanos, que resultou no “IX”. Na atualidade, além de escrevermos
esse número por meio do símbolo “9”, também podemos representá-lo por extenso, ou seja, assim: “nove”.
A vida do homem, há milhares de anos, era muito diferente da atual. Ele não tinha necessidade de
contar, uma vez que não comprava, não vendia, não usava dinheiro.
Com o passar dos anos, os costumes foram mudando, o homem passou a cultivar a terra, a criar
animais, a construir casas e a comercializar. Foi então que surgiu a necessidade de contar.
Conforme a vida foi se tornando mais complexa, surgiram as primeiras povoações. Estas foram
crescendo, tornando-se cidades, se desenvolveram e deram origem às grandes civilizações. Com o
progresso e o alto grau de organização dessas civilizações apareceu a necessidade de aprimorar os
processos de contagem e de registrá-los.
Foram criados então símbolos e regras que resultaram nos diferentes sistemas de numeração.
Sistema de numeração decimal
Faremos agora uma breve recapitulação sobre o sistema de numeração decimal, que é o que
normalmente utilizamos.
Conhecido como indo-arábico, porque foi criado pelos hindus e divulgado pelos árabes, esse
sistema utiliza dez símbolos diferentes – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 – para expressar os algarismos com os
quais contamos unidades, dezenas, centenas, milhares e demais quantidades e, obviamente, com que
realizamos todo tipo de cálculo.
Diz-se que é um sistema posicional porque um mesmo símbolo representa um valor diferente,
dependendo da posição que ocupa na escrita do número. Por exemplo, no número 4.545 (lendo da
9
Unidade I
direita para a esquerda), o algarismo 5 representa 5 unidades, o algarismo seguinte, o 4, representa
40 unidades, o algarismo à frente dele, o 5, representa 500 unidades, e o algarismo 4, que antecede
todos os outros, representa 4.000 unidades. E é um sistema decimal porque 10 unidades de uma ordem
formam uma unidade da ordem imediatamente superior. Por exemplo: 10 unidades formam 1 dezena,
10 dezenas formam 1 centena, 10 centenas formam 1 milhar e assim por diante.
Sistemas de numeração anteriores ao decimal apresentavam dificuldades para escrever números
muito grandes e também era muito trabalhoso fazer cálculos com eles. Esses obstáculos foram
solucionados com a criação do sistema de numeração decimal. De que maneira? Ao desenvolvêlo, os hindus reuniram três características – já falamos de duas delas – fundamentais que faziam
parte, separadamente, de outros sistemas de numeração: é um sistema decimal; o sistema decimal é
posicional; e entre seus símbolos consta o zero, que representa o nada. Foram essas três características
que fizeram desse sistema o mais prático de todos, motivo pelo qual ele é usado hoje em dia em quase
todo o mundo.
Com os algarismos formamos os números e aos números damos nomes. A palavra que designa esses
nomes chamamos de numeral.
Numeral é o nome dado a qualquer representação de um número. Os numerais cardinais
indicam uma quantidade exata. Por exemplo: dois, trinta e quatro, trezentos, mil. Os numerais ordinais
indicam ordem de sucessão ou posição exata de um elemento em uma determinada série. Por exemplo:
primeiro, oitavo, vigésimo. Os numerais multiplicativos indicam um aumento exatamente proporcional.
Por exemplo: dobro, sêxtuplo, cêntuplo. Os numerais fracionários indicam divisão, uma parte de um
todo que é exatamente proporcional. Por exemplo: metade, um quinto, um centésimo, três décimos.
Para ficar bem claro: número e numeral são coisas diferentes. Exemplos de numerais: sete, terceiro,
triplo, um quinto. Exemplos de números: 6, 4º, 1/8.
Os números reais
Os números reais fazem parte de um conjunto numérico que veremos mais adiante, entretanto,
faremos um breve estudo dos números reais para entender sua utilização.
Quando estudamos o comportamento das funções, podemos notar que ele depende dos três
elementos importantes que as compõem: o domínio, o contradomínio e a lei de definição.
Daí se conclui que é importante ter clareza sobre as propriedades dos números reais para compreender
as funções de uma variável real. Essa compreensão dos números reais, no entanto, não é tão simples como
parece. O problema começa pelo método de introdução dos números reais: se pelo método construtivo
ou se pelo método axiomático.
O interessante é que na ponta inicial do método construtivo também está o método axiomático.
Na realidade, o método axiomático fundamenta toda teoria matemática. Por isso, vamos falar um
pouco dele.
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MATEMÁTICA APLICADA
A construção dos números reais
Em uma teoria axiomática temos:
1. Termos indefinidos.
2. Relações indefinidas.
3. Axiomas relacionando termos indefinidos e relações indefinidas.
4. Definições.
5. Teoremas baseados em axiomas e definições.
Os termos e as relações indefinidas também são denominados conceitos primitivos. Axiomas são
propriedades aceitas como verdadeiras, sem questionamento e sem demonstração.
Exemplo: a teoria dos conjuntos é um exemplo simples de teoria axiomática.
1. Conjunto e elemento de um conjunto são termos indefinidos.
2. Um elemento pertence a um conjunto é uma relação não definida.
A teoria dos conjuntos tem dois axiomas fundamentais (que não são os únicos):
Axioma da extensão: Dois conjuntos, A e B, são iguais se, e somente se, cada elemento de A
pertence a B e cada elemento de B pertence a A.
Axioma da especificação: Se P(x) é uma proposição qualquer e A é um conjunto qualquer, então
existe um único conjunto B, tal que:
B = {a: a pertence a A, P(a) é verdadeiro}
Com os elementos disponíveis, podemos definir novos objetos, como, por exemplo, a reunião de dois
conjuntos:
A reunião dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem a A ou a B, o que,
em símbolos matemáticos, pode ser escrito:
AB = { x : x pertence a A ou x pertence a B }
Agora, com base na definição anterior e no axioma da extensão, podemos enunciar a propriedade
associativa para a reunião:
11
Unidade I
Teorema: Se A, B e C são conjuntos quaisquer, então:
(A ∪ B) ∪ C = A ∪(B ∪ C)
Observamos que uma das consequências do axioma da especificação é a existência do conjunto
vazio, geralmente tão mal compreendido. Por exemplo, consideremos no conjunto dos números naturais
a seguinte proposição:
P(x): x+4 = 1
Se considerarmos o universo de trabalho como o conjunto dos números naturais, o conjunto B
acima definido será vazio, isto é:
B = { x pertence a N: P(x) é verdadeiro } = { } = ∅
1.2 Expressões algébricas
Expressões numéricas
As expressões numéricas podem ser definidas através de um conjunto de operações fundamentais.
Uma expressão numérica é uma sequência de números associados por operações. As operações que
podemos encontrar em uma expressão numérica são: potenciação, radiciação, multiplicação, divisão,
adição e subtração. Como uma expressão numérica é formada por várias operações, você deve saber que
existe uma ordem obrigatória para sua resolução. Essas operações devem ser efetuadas respeitando-se
a seguinte ordem:
1. Potenciações e radiciações.
2. Multiplicações e divisões.
3. Adições e subtrações.
Exemplo:
Outra regra importante é que em expressões numéricas com sinais de associação (parênteses,
colchetes e chaves), inicialmente devem ser efetuadas as operações dentro dos parênteses, depois as
que estão dentro dos colchetes e, por último, as que estão dentro das chaves, respeitando-se, ainda, a
prioridade das operações.
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MATEMÁTICA APLICADA
Exemplos:
37 + 2.{25 + [ 18 – (5 – 2).3]} =
= 37 + 2.{ 25 + [18 – 3.3]} =
= 37 + 2.{25 + [18 – 9]} =
= 37 + 2.{25 + 9} =
= 37 +2.34 =
= 37 + 68 = 105
[(5² - 6.2²).3 + (13 – 7)² : 3] : 5 =
= [(25 – 6.4).3 + 6² : 3] : 5 =
=[(25 – 24).3 + 36 : 3 ] : 5 =
= [1.3 + 12] : 5 =
= [3 + 12 ] : 5 =
= 15 : 5 = 3
Agora que você já está familiarizado com as expressões, experimente calcular algumas:
11 + 32 + 4.9 – 15 : 3 =
11 + 32 + 36 – 5 = 74
109 – 15.4 + 26 : 13 =
109 – 60 + 2 = 51
10 + 3502 : 17 – 100 : 25 =
10 + 206 – 4 = 212
25 + 25 : 25 – 25.1 =
25 + 1 – 25 = 1
Exemplos de aplicação
Faça os exercícios a seguir. Como cada uma das expressões já traz a resposta, cabe a você desenvolver
o cálculo para chegar aos resultados dados.
1) Calcule o valor das expressões:
a) 10-1+8-4 = 13
b) 12-8+9-3 = 0
c) 25-1-4-7 = 13
d) 45-18+3+1-2 = 29
e) 75-10-8+5-1 = 61
f) 10+5-6-3-3+1 = 4
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Unidade I
2) Calcule o valor das expressões:
a) 30-(5+3) = 22
b) 15+(8+2) = 25
c) 15-(10-1-3) = 9
d) 23-(2+8)-7 = 6
e) (10+5)-(1+6) = 8
f) 7-(8-3)+1 = 3
3) Calcule o valor das expressões:
a) 25-[10+(7-4)] = 12
b) 32+[10-(9-4)+8] = 45
c) 45-[12-4+(2+1)] = 34
d) 70-{20-[10-(5-1)]} = 56
e) 28+{13-[6-(4+1)+2]-1} = 37
f) 53-{20-[30-(15-1+6)+2]} = 45
g) 62-{16-[7-(6-4)+1]} = 52
h) 20-{8+[3+(8-5)-1]+6} = 1
i) 15+{25-[2-(8-6)]+2} = 42
j) 56-[3+(8-2)+(51-10)-(7-2)] = 11
k){42+[(45-19)-(18-3)+1]-(28-15)-1} = 40
4) Calcule o valor das expressões:
a) 7-(1+3) = 3)
b) 9-(5-1+2) = 3)
c) 10-(2+5)+4 = 7)
d) (13-7)+8-1 = 13)
e) 15-(3+2)-6 = 4)
f) (10-4)-(9-8)+3 = 8)
g) 50-[37-(15-8)] = 20)
h) 28+[50-(24-2)-10] = 46)
i) 20+[13+(10-6)+4] = 41)
j) 52-{12+[15-(8-4)]} = 29)
Expressões algébricas
Ao analisarmos a expressão (4+8-2)-4+3, observamos que ela possui uma sequência de números
separados por operações, sendo assim, podemos chamá-la de expressão numérica.
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MATEMÁTICA APLICADA
A partir da definição de expressão numérica podemos chegar à definição de expressões
algébricas:
Chamamos de expressões algébricas aquelas que envolvem números, letras e operações indicadas
entre eles.
As letras em uma expressão algébrica representam qualquer número real. Elas são chamadas de
incógnitas.
Por exemplo:
Y + 10
Y é a incógnita, um número qualquer (valor desconhecido).
A soma de um número qualquer mais 10.
10 unidades a mais do que um número representado por Y.
Outro exemplo:
5.K
K é a incógnita, um número qualquer (valor desconhecido).
O produto de 5 por um número qualquer.
Simplificação de expressões algébricas
y + y = 2y => pois os monômios são semelhantes (as letras são iguais e os seus expoentes
também).
m – 7m = -6m => pois os monômios são semelhantes (as letras são iguais e os seus expoentes
também).
5 . (x + 2) – 8 . x => utilizando a propriedade distributiva
5x + 10 – 8x
=> 5x e 8x são monômios semelhantes
-3x + 10
=> como -3x e 10 não são semelhantes, então você não pode somar.
Concluímos que:
5 . (x + 2) – 8 . x = -3x + 10
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Unidade I
1.3 Razão e proporção
Razão
Chama-se razão qualquer relação numérica entre grandezas feita através de uma divisão.
Especificando: dá-se o nome de razão, entre os dois números racionais a e b, com b ≠ 0, ao quociente
entre eles. Indica-se a razão de a para b por a/b ou por a : b.
Exemplo:
Na sala de aula de uma faculdade há 20 rapazes e 25 moças. Encontre a razão entre o número de
rapazes e o número de moças (lembrando que razão é divisão).
(indica que para cada 4 rapazes existem 5 moças)
Utilizando o mesmo exercício, vamos encontrar a razão entre o número de moças e rapazes. Note
que invertemos a pergunta.
(indica que para cada 5 moças existem 4 rapazes)
Lendo razões:
(lê-se 4 está para 10 ou 4 para 10)
(lê-se 7 está para 8 ou 7 para 8)
Termos de uma razão:
Proporção
É a igualdade entre razões.
Exemplo: meu carro faz 13 km por litro de combustível, então, para 26 km preciso de 2L, para 39 km
preciso de 3L e assim por diante.
Portanto
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MATEMÁTICA APLICADA
Propriedades
Grandezas diretamente proporcionais
– O aumento de uma implica o aumento da outra.
– A redução de uma implica a redução da outra.
– Ex.: número de biscoitos e quantidade de trigo.
Grandezas inversamente proporcionais
– O aumento de uma implica a redução da outra.
– A redução de uma implica o aumento da outra.
– Ex.: velocidade média de um automóvel e tempo de viagem.
Grandezas especiais
Escala é a razão entre a medida especificada no desenho e a medida real correspondente.
Exemplo:
Em um mapa, a distância entre Piracaia e Rio de Janeiro é representada por um segmento de 4,7 cm.
A distância real entre essas cidades é de 470 km. Vamos calcular a escala desse mapa. Para poder realizar
o cálculo, os números devem estar na mesma unidade de medida, logo 470 km = 47 000 000 cm
Velocidade média é a razão entre a distância a ser percorrida e o tempo gasto (note que no exemplo
a seguir as unidades são diferentes).
Exemplo:
Um carro percorre 400 km em 5h. Determine a velocidade média desse carro. Velocidade = 400/5 = 80
Densidade demográfica
Densidade demográfica é a razão entre o número de habitantes e a área onde eles ficam.
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Unidade I
Exemplo:
O município de São Paulo tem uma área de 1523 km2 e uma população de 11.037.593 habitantes.
Calcule a densidade demográfica do município.
Razões inversas
Vamos observar as seguintes razões:
Observe que o antecessor (4) da primeira é o consequente (4) da segunda.
Observe que o consequente (8) da primeira é o antecessor (8) da segunda.
O produto das duas razões é igual a 1, isto é 4/8 x 8/4 =1
Dizemos, então, que as razões são inversas quando o antecedente de uma é o consequente da outra
e vice-versa. Uma propriedade das razões inversas é que o produto delas é sempre igual a 1, isso porque
uma é o inverso multiplicativo da outra.
Exemplo:
A razão inversa de
1.4 Porcentagem
A porcentagem é utilizada em muitas situações do seu dia a dia. Veja, a seguir, algumas notícias
corriqueiras nos meios de comunicação:
O sindicato dos operadores de... pediu 8% de reajuste.
Foi estimado o crescimento do PIB em 4,5% para o próximo ano.
A taxa Selic foi alterada para 10,75%.
Os cálculos envolvendo porcentagens são comuns em nosso cotidiano, motivo pelo qual
devemos entender seu uso e as operações necessárias em cada situação. Por exemplo:
Determinado shopping resolve fazer uma liquidação e estabelece que todas suas lojas deverão
oferecer um desconto de 10% no preço de seus produtos. Se um produto custa R$ 120,00, quanto será
seu novo preço?
18
MATEMÁTICA APLICADA
Note que o desconto será de 10% do valor de R$ 120,00. Portanto:
Feito o cálculo, obtivemos o valor de R$ 12,00, que é a quantia (10%) a ser descontada. Subtraindo
esse valor do preço atual, que é R$ 120,00, temos: 120 - 12 = 108. Portanto, o novo preço do produto
será de R$108,00.
Razão centesimal:
Toda razão que tem como denominador o número 100 denomina-se razão centesimal. Por
exemplo:
Uma razão centesimal também pode ser representada de outras formas. Veja os exemplos a
seguir:
Definição de taxa porcentual ou porcentagem:
Agora vamos ver uma definição:
Taxa porcentual ou porcentagem de um número a sobre um número b, b ≠ 0, à
razão
Indica-se
tal que
por x%.
Porcentagem é o valor que obtemos quando aplicamos uma razão centesimal a um determinado
valor.
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Unidade I
Vejamos os seguintes exemplos:
1) 20% de 1200:
A razão centesimal é:
Portanto,
2) 20% de 800:
A razão centesimal é:
Portanto,
3) 25% de 200:
Portanto,
4) Para saber a taxa porcentual de 3 sobre 5, devemos calcular x%.
Portanto:
A taxa é de 60%
5) E a taxa porcentual de 10 sobre 20?
Portanto:
A taxa é de 50%
20
MATEMÁTICA APLICADA
Observação
Como se calcula porcentagem em uma calculadora? Veja o exemplo:
Calcular 25% de 1000:
1. Digite 1000
2. Aperte a tecla de multiplicação: X
3. Digite: 25
4. Aperte a tecla de porcentagem: %
Neste caso, o resultado é 250.
Exemplos de aplicação:
1. Em visita a uma loja, um consumidor efetuou uma compra no valor de R$ 2.000,00. Como o
consumidor já era cliente, conseguiu um desconto de 20%. Qual foi o valor pago?
2. Um automóvel foi comprado por R$ 18.000,00; após uma reforma e inclusão de vários acessórios
teve uma valorização (acréscimo no valor) de 10% em seu preço. Quanto ficou o novo valor do
automóvel?
3. Em uma loja de móveis, um conjunto de estofados custa R$ 2.200,00. Ele foi vendido com um
lucro de R$ 330,00. De quanto por cento foi o lucro sobre o preço de venda?
4. Em uma pequena loja, um novo comerciante comprou uma mercadoria por R$ 400,00. Acresceu
a esse valor 50%, que seria seu lucro. Um consumidor pediu um desconto e o comerciante
ofereceu um desconto de 40% sobre o novo preço, pensando que assim teria um lucro de 10%. O
comerciante teve lucro ou prejuízo?
Qual foi esse valor?
Como você resolveria o problema?
Resolução
1. Cálculo do desconto:
Valor final da compra, já subtraído o desconto: 2000 - 400 = R$ 1.600,00.
21
Unidade I
2. O acréscimo será de:
Portanto, o novo valor do automóvel será de: 18.000 + 1.800 = R$ 19.800,00.
3.
Portanto, o lucro foi de15%.
4. Vamos calcular:
O comerciante comprou a mercadoria por R$ 400,00 e acresceu 50% sobre esse valor.
Calculado o lucro de R$ 200,00 (50% de R$ 400), o valor da venda ficaria sendo de R$ 400,00 de
custo mais R$ 200,00 do lucro pretendido, ou seja, a mercadoria teria o preço de venda de R$ 600,00.
No momento da venda, entretanto, o comerciante deu um desconto de 40% sobre o preço de
venda:
Os 40% de desconto representam R$ 240,00. Descontando esse valor do preço de venda (R$ 600,00)
temos R$ 360,00, o preço de venda após desconto.
Portanto, como o comerciante comprou a mercadoria por R$ 400,00 e vendeu por R$ 360,00, teve
um prejuízo de R$ 40,00.
1.5 Regra de três
Vamos entender agora o que significa regra de três. Suponhamos que seu gerente informe que
precisa cortar 20% dos gastos do departamento. Quanto representa isso? O valor é alto ou baixo? Você
descobrirá ao calcular porcentagens e ao entender como funciona esse tipo de dado numérico. Veja as
definições e exemplos a seguir.
22
MATEMÁTICA APLICADA
Porcentagem nada mais é que uma razão, isto é, a relação entre dois números. É uma razão “fixa”,
uma fração em que o número 100 está sempre no denominador. No caso da redução de 20% dos gastos
do departamento:
A porcentagem é representada também pelo símbolo %:
Como é uma razão (relação entre números), a porcentagem varia segundo o número a que está
relacionada. No caso em questão, reduzir 20% das despesas pode ser muito ou pouco dinheiro,
dependendo do valor total das despesas do departamento.
Vamos supor que seu gerente informe que as despesas do departamento são de R$ 2.000,00. Para
determinar quanto é 20% de 2.000, vamos fazer uma regra de três. R$ 2.000,00 é o total, ou seja, é
100%. Você deseja saber quanto vale 20% (x). Alinhe de um lado as porcentagens (100% e 20%) e do
outro os valores em “números reais” (R$ 2.000,00 e o valor a ser reduzido, isto é, quanto vale 20%).
Logo:
O departamento deverá reduzir suas despesas em R$ 400,00, portanto, as despesas totais passarão
dos atuais R$ 2.000,00 para R$ 1.600,00.
Utilizamos com frequência as razões em nosso dia a dia. Por exemplo, podemos dirigir nosso carro
a 60 quilômetros por hora ou podemos ver um mapa que está em uma escala cartográfica de 1 por
1.000 – a escala estabelece uma relação de proporcionalidade entre as distâncias lineares no mapa e as
distâncias correspondentes na realidade.
No primeiro caso dizemos que em 1 hora percorremos 60 quilômetros. No segundo dizemos que
cada 1 centímetro no mapa corresponde a 1.000 centímetros da região representada. Também podemos
usar unidades de medida diferentes, por exemplo, cada 1 centímetro no mapa pode corresponder a 10
quilômetros na vida real.
Veja os seguintes exemplos:
1. Em um concurso concorreram 1.000 candidatos para 100 vagas. Qual a razão entre candidatos e
vagas?
23
Unidade I
Usando a simplificação, você pode reduzir esse número e entender melhor a relação entre candidatos
e vagas:
Dizemos que para cada 1 vaga concorreram 10 candidatos.
2. Um usuário de cartão de crédito tem desconto de 50% em teatros, cinemas e outros espetáculos.
Se a entrada em uma peça custa R$ 42,50, quanto ele vai pagar usando o cartão de crédito?
Logo:
Ele pagará R$ 21,25
Se o desconto fosse de apenas 20%, teríamos:
Como R$ 8,50 é o valor do desconto, fazemos:
42,50 – 8,50 = 34,00
Portanto, o valor do ingresso seria de R$ 34,00 no caso de o desconto ser de apenas 20%.
Siga o seguinte método para não errar na hora de calcular: os números que estão “na mesma
linha do x” (ao lado e acima) ficam na parte de cima da fração (denominador), multiplicando
(ou seja, 42,50 vezes 50), e o que estiver na diagonal (ou seja, o que sobrar) fica embaixo, no
denominador, dividindo:
24
MATEMÁTICA APLICADA
Para calcular acréscimos e diminuições de porcentagens também pode-se utilizar o fator
multiplicativo.
1.5.1 Regra de três simples
Grandezas diretamente proporcionais
Você pode perceber que algumas equações são simples de calcular, já que relacionam grandezas
(tempo, comprimento, quantidades etc.) que envolvem proporcionalidades, facilmente resolvidas por
regra de três. Veja os seguintes exemplos:
No rótulo de um suco concentrado, observam-se as seguintes instruções:
Misture 1 parte do produto a 4 partes de água. Adoce a gosto. Neste caso, temos a proporção de
suco concentrado para a de água, ou seja:
Isso é uma razão
Logo, se forem colocados 2 copos de suco concentrado, deverão ser acrescidos 8 de água. Então:
Vamos ver agora outro exemplo para você lembrar do conceito.
Numa receita de macarrão caseiro, lê-se: misturar 110g de farinha de trigo para cada ovo. Relembrando
o conceito, temos a proporção:
Portanto, uma igualdade entre razões é uma proporção.
25
Unidade I
As proporções possuem uma propriedade importante, que você precisa lembrar sempre: multiplicando
seus termos em cruz, obtém-se o mesmo resultado:
É o princípio da regra de três.
Aproveitando os dados apresentados no exemplo da receita de macarrão caseiro, pergunta-se:
quantos ovos devemos adicionar à massa para 550g de farinha de trigo?
Vimos que a proporção é de 1 ovo para 110g de farinha de trigo. Para facilitar, vamos aprender
a organizar os dados para a resolução da proporcionalidade através da regra de três. Assim, vamos
organizar as grandezas em colunas. Neste caso, as grandezas são os ovos e a farinha. Como já dissemos
anteriormente, colocam-se as grandezas iguais na mesma coluna:
Note que na coluna dos ovos a resposta que procuramos é representada por um “x”, o qual exprime
a quantidade de ovos necessária para 550g de farinha.
Agora vamos multiplicar em cruz:
Então fica assim:
26
MATEMÁTICA APLICADA
Lembrete
O ponto na expressão representa a multiplicação e nessa operação
matemática a ordem dos fatores não altera o produto.
Portanto, resolvendo a expressão:
Resposta: deverão ser usados 5 ovos para 550g de farinha de trigo.
Você deve usar esse raciocínio para grandezas diretamente proporcionais (quanto mais farinha,
mais ovos; assim como quanto menos água, menos suco). Para a proporção de grandezas inversamente
proporcionais, o modo de calcular é diferente.
Grandezas proporcionais e inversamente proporcionais – Na aplicação que acabamos de
aprender, utilizando a regra de três simples, observamos que quando se aumenta uma das
grandezas, ovos em nosso exemplo, aumenta-se também a de farinha. Quando acontece uma
situação dessas, dizemos que as grandezas são diretamente proporcionais.
Observe que algumas proporções (relação entre grandezas) se apresentam de forma diferente, isto
é, as proporções são grandezas inversamente proporcionais, de forma que para resolver a questão não
basta aplicar a regra de três simples.
O que significa inversamente proporcional? Simplesmente que enquanto uma grandeza cresce, a
outra diminui. Daí seu nome.
Observe este exemplo: em uma obra de construção, se 6 operários levantam um muro em 10 dias,
quantos operários serão necessários para levantar o mesmo muro em 4 dias?
Note que as grandezas são inversamente proporcionais, pois quanto mais operários forem contratados,
menor será o tempo necessário para a conclusão do trabalho. Vejamos como podemos calcular essa questão.
Para começar, vamos utilizar o que aprendemos na regra de três simples. Primeiramente organizamos
as grandezas em colunas; neste caso elas são os dias e os operários.
27
Unidade I
Fica assim:
Dias
Operários
10
→
6
4
→
x
Agora vamos fazer o cálculo.
Atenção: como as grandezas são inversamente proporcionais, devemos inverter uma das colunas:
Dias
Operários
10
→
x
4
→
6
Depois de inverter a coluna da grandeza operários, vamos multiplicar em cruz:
Dias
Operários
10
→
x
4
→
6
O novo cálculo fica assim: →
Resposta: será necessário aumentar de 6 para 15 o número de operários a fim de diminuir o tempo
de 10 para 4 dias. Perceba que uma grandeza diminuiu (dias) e a outra aumentou (operários), portanto
trata-se de grandezas inversamente proporcionais.
Agora você já sabe que antes de calcular uma regra de três devemos verificar a proporcionalidade
das grandezas, se são diretas (caso dos ovos e da farinha) ou indiretas (caso dos dias e operários).
E agora que você relembrou como calcular a proporção entre duas grandezas, sejam diretas ou
indiretas, vamos a novos desafios. Existem também problemas em que mais de duas grandezas estão
envolvidas. Para esses casos usa-se a chamada regra de três composta.
1.5.2 Regra de três composta
As regras de três são usadas quando há uma relação de dados que guardam entre si razão de
proporcionalidade. São regras de três simples, quando há apenas duas grandezas (quantidade de farinha
28
MATEMÁTICA APLICADA
e número de ovos para um bolo, número de operários e de dias para terminar uma obra), ou compostas,
quando há mais de duas grandezas envolvidas no problema. Para entender melhor, vamos ver um
exemplo passo a passo.
Problema: 12 tecelões, em 90 dias de trabalho, com jornada de 8 horas diárias, produzem 36m de
tecido. Quantos dias levarão 15 tecelões para fazer 12m de tecido com o dobro da largura, trabalhando
6 horas por dia?
Vamos utilizar a mesma técnica de cálculo dos exemplos anteriores. Iniciamos colocando as
variáveis em colunas. A incógnita, ou seja, o dado que você quer descobrir, é o número de dias, que
será representado por x. Como temos 4 variáveis, colocamos os dados fornecidos no problema em 4
colunas.
Assim:
Operários
Dias
Horas/Dia
Metros
12
90
8
36
15
x
6
24
Note que o problema pede 12 metros de tecido e não 24. Para facilitar o cálculo, foi dobrado o
comprimento. Assim, não se acrescentou uma nova grandeza, a largura. Afinal, dobrar uma das dimensões
do tapete é o mesmo que dobrar a outra, concorda?
Determinação da proporcionalidade direta e inversa
A primeira providência é o estabelecimento de direção de proporcionalidade entre cada grandeza e
a grandeza a ser determinada.
Começando com a dos operários:
Operários
Dias
Horas/Dia
Metros
12
90
8
36
15
x
6
24
Com o aumento do número de operários, a quantidade de dias deve diminuir: logo, trata-se de uma
relação inversamente proporcional. Portanto, você deve inverter a coluna dos operários. Temos, assim,
provisoriamente:
Operários
Dias
Horas/Dia
Metros
15
90
8
36
12
x
6
24
⇑
29
Unidade I
Agora, a coluna das Horas/Dia:
Operários
Dias
Horas/Dia
Metros
15
90
8
36
12
x
6
24
⇑
Quanto mais horas trabalhadas por dia, menos dias serão necessários. Logo, você deve inverter a
coluna das horas/dia. Temos, assim, provisoriamente:
Operários
Dias
Horas/Dia
Metros
15
90
6
36
12
x
8
24
⇑
Agora a última coluna:
Operários
Dias
Horas/Dia
Metros
15
90
6
36
12
x
8
24
⇑
Quanto mais dias trabalhados, mais metros serão produzidos. Ou seja, as duas grandezas são
diretamente proporcionais. Portanto, você não deve mexer na última coluna:
Operários
Dias
Horas/Dia
Metros
15
90
6
36
12
x
8
24
Agora, ao analisar coluna por coluna, teremos:
Operários
Dias
Horas/Dia
Metros
15
90
6
36
12
⇑
x
⇑
8
24
Operários
Dias
Horas/Dia
Metros
15
90
6
36
24
12
30
x
8
⇑
⇑
Operários
Dias
Horas/Dia
Metros
15
90
6
36
12
x
8
24
⇑
⇑
Multiplicando em cruz:
Multiplicando em cruz:
Multiplicando em cruz:
MATEMÁTICA APLICADA
Você deve agora verificar quais os números que pertencem ao numerador. Nas equações que
acabamos de ver podemos identificar que são 12, 90, 8 e 24. Também verificamos os números que fazem
parte do denominador, que são 15, 6 e 36. Dessa forma montamos a expressão:
Resposta: os trabalhadores precisarão de 64 dias de trabalho para fazer a quantidade de tecido
solicitada.
2 CONJUNTOS
2.1 Introdução: a ideia de conjunto indo além da matemática
Todos sabem que a precisão é premissa da matemática. Não é suficiente saber o que é
um objeto ou conjunto de objetos, mais que isso, faz-se necessária a aplicação concreta de
conceitos que nos permitam estudar com maior profundidade o que são objetos, conjuntos
e suas relações. A teoria dos conjuntos foi estabelecida por Georg Ferdinand Ludwig Philipp
Cantor (1845-1918).
Lembrete
Conjunto
Para Cantor, o conceito rudimentar (primitivo) de conjunto não tem
necessidade de definição. Essa ideia pode ser deduzida intuitivamente e
através de exemplos. O homem, quando deixa de ser nômade e começa
a se fixar, em grupos (coletividade), em determinados locais, percebe a
necessidade de conhecer seu espaço e suas posses, fazendo surgir esses
conceitos sociais primários.
O que é um conjunto? Vamos entender através de uma definição simples: é qualquer coleção,
dentro de um todo, de objetos definidos e distinguíveis de nossa intuição ou pensamento, chamados de
elementos. Essa definição intuitiva de um conjunto foi dada primeiramente por Cantor. Para entender
esse conceito na prática, vejamos estes exemplos:
• O conjunto de todas as cadeiras de uma sala de aula.
• O conjunto de todos os estudantes da universidade.
• O conjunto das letras a, b, c e d.
Objeto: é correto afirmar que um conjunto é composto de objetos. Esse conceito de objeto também
é primitivo, logo, aceito intuitivamente, não é preciso provar.
31
Unidade I
Neste ponto você já tem uma ideia sobre o que é um conjunto, mas vamos examinar mais alguns exemplos.
Podemos, através da intuição, considerar alguns conjuntos dentro do contexto moderno de civilização:
• o conjunto dos funcionários de uma empresa;
• o conjunto dos números naturais;
• o conjunto dos números reais;
• o conjunto dos países da América Latina que participam da Organização das Nações Unidas (ONU);
• o conjunto dos números racionais;
• o conjunto dos números pares;
• o conjunto dos alunos da Universidade Paulista (UNIP);
• o conjunto dos números ímpares;
• o conjunto dos números naturais que são múltiplos de 4;
• o conjunto dos números reais que são solução da equação: x4 + x = 0.
Até o momento possuímos dois conceitos primitivos: conjunto e objeto. Mesmo diante de um
objeto e de um conjunto, necessitamos ainda determinar a representação do objeto pertencendo a um
conjunto. Aqui surge um terceiro conceito: pertencer.
Assim como os anteriores, este também é um conceito primitivo, portanto, básico, da natureza e
do desenvolvimento cognitivo humano. Pertencer significa fazer parte de, logo, quando dizemos que
determinado objeto pertence a um conjunto, estamos dizendo que o objeto faz parte do conjunto.
Exemplos:
• Piracaia pertence ao conjunto das cidades do Brasil.
• Katmandu não pertence ao conjunto das cidades do Brasil.
• 57 pertence ao conjunto dos números naturais.
• 57 não pertence ao conjunto dos números primos.
• �2 pertence ao conjunto dos números reais.
• �2 não pertence ao conjunto dos números racionais.
• Vermelho pertence ao conjunto das cores primárias.
• A letra e pertence ao conjunto das vogais.
• A letra j pertence ao conjunto das consoantes.
Depois de entender as colocações acima, estamos prontos para esclarecer a teoria fundamentada
nos três conceitos primitivos – conjunto, objeto e pertencer: estamos falando da teoria intuitiva dos
conjuntos.
32
MATEMÁTICA APLICADA
Podemos notar que essa teoria tem início no desenvolvimento lógico do ser humano, em
suas necessidades de descrever áreas, animais, valores, propriedades, relações interpessoais e até
empresariais.
A teoria dos conjuntos e suas ferramentas são amplamente vistas em nossa formação escolar básica,
cabendo aqui apenas uma breve revisão para recordá-las.
2.2 Conceitos básicos
Vamos agora aprender mais dois conceitos que fazem parte dessa teoria.
Dizemos que um conjunto é finito quando ele contém um número finito de elementos, isto é,
quando podemos identificar a quantidade de elementos do conjunto.
Dizemos que um conjunto é infinito quando não podemos identificar a quantidade de
elementos contidos no conjunto. Por exemplo, o conjunto das vogais é finito, pois podemos
identificar cinco elementos. Já o conjunto dos números naturais é infinito, pois a quantidade de
elementos é infinita.
Vejamos exemplos dos dois tipos de conjuntos:
Conjuntos finitos:
• O conjunto de todas as cadeiras na sala de aula de Teoria dos Conjuntos.
• O conjunto de todos os estudantes desta universidade.
• O conjunto das letras a, b, c, d e f.
• O conjunto das regras de uso do laboratório de informática.
Conjuntos infinitos:
• O conjunto de todos os números naturais.
• O conjunto de todos os números reais entre 0 e 1.
Na matemática, e particularmente na teoria dos conjuntos, temos uma maneira de representar
conjuntos para facilitar suas operações. Frequentemente usamos chaves “{“ “}” e símbolos que
representam os elementos, quando possível, para demonstrar um conjunto.
Por exemplo, o conjunto das letras a, b, c, d, e, f pode ser denotado como:
{ a, b, c, d, e, f }
O conjunto dos números 1, 2, 3, 4, 5 pode ser denotado como: { 1, 2, 3, 4, 5 }
33
Unidade I
O conjunto de todos os números naturais pode ser denotado como: { 1, 2, 3, ... }
Com relação ao conjunto de todos os números racionais cujo quadrado é 2, ocorre o seguinte: esse
conjunto não tem elementos, pois a √2 é um número irracional. Nesse caso chamamos o conjunto de
vazio. Denotamos o conjunto vazio pelo símbolo ∅.
Usaremos letras maiúsculas para denotar conjuntos e letras minúsculas para denotar elementos. Por
exemplo, podemos denotar o conjunto das letras a, b, c assim:
A = { a, b, c }
Dessa forma, quando precisamos nos referir ao conjunto das letras a, b e c simplesmente colocamos
conjunto A.
A ordem em que aparecem os elementos num conjunto não tem importância. Assim, o conjunto {a;
b; c } é o mesmo que {b; c; a} etc. Outra coisa, como os elementos de um conjunto são distintos, se, por
exemplo, escrevemos {a; a; b}, essa não é uma notação apropriada de um conjunto, deveria ser substituída
por {a; b}. Se a é um elemento de um conjunto, a e { a } são considerados diferentes, isto é, a ≠ { a }.
Pois { a } denota o conjunto constituído somente do elemento a, enquanto a é apenas o elemento
do conjunto { a }.
2.3 Definições matemáticas
Na representação dos conjuntos utilizamos vários símbolos. Veja a lista a seguir, com suas
designações, e acompanhe nos tópicos seguintes suas utilizações.
Símbolos matemáticos utilizados na teoria dos conjuntos:
∈: pertence
∉: não pertence
⊂: está contido
⊄: não está contido
⊃: contém
⊄: não contém
/ : tal que
⇒ : implica que
→
⇔ : se, e somente se
↔
≡ : equivalente a
∃: existe
∄ : não existe
∀ : para todo (ou qualquer que seja)
∅ : conjunto vazio
N: conjunto dos números naturais
Z : conjunto dos números inteiros
Q: conjunto dos números racionais
I: conjunto dos números irracionais
R: conjunto dos números reais
C significa: {a + bi : a,b ∈ R}
i = √(−1) ∈ C
Quadro 1: símbolos matemáticos
34
MATEMÁTICA APLICADA
Fique atento e represente com esses símbolos quando solicitado.
Vamos estudar agora como podemos representar os conjuntos através de notações matemáticas.
Designa-se conjunto uma coleção de objetos. Sua representação pode ser feita de três modos:
2.3.1 Representação ordinária
Na representação ordinária, os elementos do conjunto são explicitamente listados. Exemplos:
Conjunto das faces de um dado A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Conjunto de regiões do Brasil A = {SU, SE, CO, NE, NO}
Conjunto das notas musicais A = {dó, ré, mi, fá, sol, lá, si}
Conjunto de cores primárias A = {vermelho, amarelo, azul}
2.3.2 Representação abstrata
Neste modo, os elementos do conjunto são representados através de uma caracterização que é
previamente definida. Em termos gerais, se os elementos de um conjunto A são caracterizados por uma
propriedade P, que é uma característica comum aos objetos do conjunto, então o conjunto A pode ser
enunciado assim:
A = {x tal que x satisfaz a propriedade P};
ou, ainda, utilizando símbolos:
A = {x/x satisfaz P} (como você viu no quadro, o símbolo / representa “tal que”; às vezes, a barra
é substituída por ponto e vírgula). A representação abstrata é amplamente utilizada em matemática
porque permite que se expressem quaisquer tipos de conjuntos, bastando definir a propriedade que
caracteriza os elementos do conjunto.
Por exemplo, se definirmos a propriedade P como “P: regiões do Brasil”, então o conjunto das regiões
do Brasil pode ser reescrito como:
A = {x/x satisfaz P}.
Outro exemplo: se definirmos a propriedade J como “J: letras do alfabeto latino”,
B = {y/y satisfaz J}.
Veremos, a seguir, várias representações de conjuntos. Tente representar aqui dois conjuntos
que você conhece usando a notação acima (definindo uma propriedade e reescrevendo o
conjunto).
35
Unidade I
2.3.3 Representação por diagramas de Venn
A forma gráfica de representar um conjunto, utilizando círculos que tornam seu entendimento
intuitivo e prático, chamamos de diagrama de Venn. A vantagem na utilização dos diagramas de Venn
como representação de conjuntos é seu apelo visual, muito útil para mostrar operações entre conjuntos;
entretanto, é importante salientar que o poder analítico desse tipo de dispositivo é extremamente
limitado. O conjunto de números ímpares menores ou iguais a 13 pode ser representado como:
A
7 9 13 1
3 5 11
2.4 Pertinência e inclusão
Quando um elemento a está num conjunto A, dizemos que ele pertence ao conjunto A e representamos
esse fato simbolicamente como:
a∈A
Se, ao contrário, o elemento não está no conjunto A, então dizemos que ele não pertence ao conjunto
A e representamos o fato como:
a∉A
Essas são as chamadas relações de pertinência que conectam os conjuntos aos seus elementos.
Quando o conjunto A não possui elemento algum, dizemos que ele é um conjunto vazio, e, nesse caso,
representamos tal conjunto pelo símbolo ∅.
Se tomarmos como exemplo o conjunto utilizado em nosso exemplo anterior:
A = { a, b, c }, podemos afirmar que:
a∈A
(estamos afirmando “a pertence a A”)
e também que:
f∉A
(estamos afirmando “f não pertence a A”)
Dados dois conjuntos A e B, quando todo elemento de A é também elemento de B, dizemos que
o conjunto A está incluso em B ou que o conjunto A é um subconjunto do conjunto B; tal fato é
simbolicamente representado como:
A ⊂ B (estamos afirmando “A está contido em B”)
36
MATEMÁTICA APLICADA
Portanto, podemos definir:
Definição: sejam A e B conjuntos; se todo elemento de A é elemento de B, então A é chamado um
subconjunto de B. Podemos agora escrever em símbolos:
A ⊂ B (estamos afirmando “A está contido em B”) ou
B ⊃ A (estamos afirmando “B contém A”)
Se A é subconjunto de B, então B é chamado um superconjunto de A.
Assim, escrevendo logicamente,
A ⊂ B ≡ (∀) [(x ∈ A) ⇒ (x ∈ B)]
Estamos afirmando que A está contido em B, que é equivalente a (cada x que pertence a A implica
que x pertence a B).
Quando, por outro lado, existe ao menos um elemento que pertence ao conjunto A e não pertence
ao conjunto B, então A não está incluso em B ou o conjunto A não é subconjunto do conjunto B. Esse
fato é simbolicamente representado como:
A ⊄ B (estamos afirmando “A não está contido em B”)
Essas são as chamadas relações de inclusão e conectam conjuntos a outros conjuntos. É importante
ter em mente a distinção entre pertinência e inclusão. No primeiro caso, a relação é entre elemento e
conjunto, e no segundo, entre dois conjuntos quaisquer. Por exemplo, as sentenças a seguir possuem
significados totalmente diferentes, embora pareçam dizer a mesma coisa:
a ∈ A e {a} ∈ A
A primeira sentença diz que o elemento a pertence ao conjunto A.
A segunda sentença diz que o conjunto unitário {a} está incluso ou é subconjunto do conjunto A.
A relação de inclusão é frequentemente utilizada para determinar a igualdade entre conjuntos. Dois
conjuntos A e B são iguais se possuem exatamente os mesmos elementos, fato que pode ser estabelecido
mostrando-se que:
A⊂BeB⊂A
Definição: dois conjuntos A e B são iguais ou idênticos quando contêm os mesmos elementos.
Isto é:
A = B significa (∀x) [(x ∈ A) ↔ (x ∈ B)]
37
Unidade I
Estamos afirmando que A igual a B significa qualquer que seja x (x pertence a A se e somente se x
pertence a B).
2.5 Operações entre conjuntos
Com base nessas definições e conceitos, foi formulada a teoria algébrica dos conjuntos – estudo da
criação de novos conjuntos partindo-se de conjuntos já definidos, através das operações de interseção,
união, diferença e complemento.
Símbolos das operações:
A∩B
A interseção B
A∪B
A união B
a-b
diferença de a com b
a<b
a menor que b
a≤b
a menor ou igual a b
a>b
a maior que b
a≥b
a maior ou igual a b
a∧b
aeb
a∨b
a ou b
Quadro 2: símbolos das operações
2.5.1 Interseção
Os elementos que compõem o conjunto interseção são aqueles comuns aos conjuntos relacionados,
ou seja, os elementos que aparecem nos dois conjuntos.
Interseção de conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se como interseção dos conjuntos
A e B o conjunto representado por A ∩ B, formado por todos os elementos pertencentes a A e B,
simultaneamente, ou seja: A ∩ B = {x / x ∈ A e x ∈ B}
A∩B
Propriedades:
a) A ∩ A = A
b) A ∩ ∅ = ∅
c) A ∩ B = B ∩ A (a interseção é uma operação comutativa)
d) A ∩ U = A onde U é o conjunto universo
38
MATEMÁTICA APLICADA
Exemplo 1: dados dois conjuntos A = {5, 6, 9, 8} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, se pedirmos a interseção
deles, teremos:
A ∩ B = {5}, dizemos que A “interseção” B é igual a 5.
O elemento 5 aparece nos dois conjuntos.
Exemplo 2: dados os conjuntos B = {-3, -4, -5, -6} e C = {-7, -8, -9}, se pedirmos a interseção
deles, teremos:
B ∩ C = {∩} ou B ∩ C = ∅; então, A e C são conjuntos distintos1.
Não existem elementos comuns aos dois conjuntos, portanto o resultado da operação é o conjunto
vazio.
Exemplo 3: dados os conjuntos D = {11, 12, 13, 14, 15} e E = {13, 14, 15}.
A interseção dos conjuntos ficaria assim:
E ∩ D = {13, 14,15} ou E ∩ D = E; pode ser concluído também que E ⊂ D.
2.5.2 União
Gerados dois conjuntos A e B, a união entre A e B é o conjunto delimitado:
A ∪ B = {x/x ∈ A ou x ∈ B}
(estamos afirmando que A união B é igual a x tal que x pertence a A ou x pertence a B).
Dessa forma, o conjunto união é composto por todos os elementos dos conjuntos referidos.
União de conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se como união dos conjuntos A e B
o conjunto representado por A ∪ B, formado por todos os elementos pertencentes a A ou B, ou
seja:
A ∪ B = {x/x ∈ A ou x ∈ B}
A∪B
1
Exemplos 1 e 2. Fonte: MIRANDA, Daniela de. Disponível em: <http://www.brasilescola.com.br>. Acesso em: 14 abr. 2011.
39
Unidade I
Propriedades:
a) A ∪ A = A
b) A ∪ ∅ = A
c) A ∪ B = B ∪ A (a união de conjuntos é uma operação comutativa)
d) A ∪ U = U, onde U é o conjunto universo
São importantes também as seguintes propriedades:
P1. A ∩ ( B ∪ C ) = (A ∩ B) U ( A ∩ C) (propriedade distributiva)
P2. A ∪ ( B ∪ C ) = (A ∪ B ) U ( A ∪ C) (propriedade distributiva)
P3. A ∩ (A ∪ B) = A (lei da absorção)
P4. A ∪ (A ∩ B) = A (lei da absorção)
Obs.: Se A ∩ B = ∅, então dizemos que os conjuntos A e B são disjuntos.
Exemplo 1: gerados os conjuntos A = {x / x é inteiro e -1< x < 2} e B = {1, 2, 3, 4}, a união
desses dois conjuntos é:
A ∪ B = {0, 1, 2, 3, 4}
Exemplo 2: gerados os conjuntos A = {1, 2, 13} e B = {1, 2, 3, 4, 5}, a união desses conjuntos é:
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 13}; nesse caso, podemos dizer que A ∪ B = B.2
Observe que o número de elementos da união é calculado por:
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)
2.5.3 Diferença ou complemento relativo
Gerados dois conjuntos, A e B, a diferença ou complemento relativo de A e B é o conjunto definido como:
A | B = {x/x ∈ A e x ∉ B}
Gerados dois conjuntos, A e B, é denominado conjunto diferença ou de diferença entre A e B o conjunto
formado pelos elementos de A que não pertencem a B. O conjunto diferença é representado por A – B.
Exemplo 1: A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {3, 4, 5, 6, 7}; o conjunto diferença ou a diferença é:
A – B = {1, 2}
2
40
Fonte: MIRANDA, Daniela de. Disponível em: <http://www.brasilescola.com.br>. Acesso em: 14 abr. 2011.
MATEMÁTICA APLICADA
Exemplo 2: A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {8, 9, 10}; o conjunto diferença ou a diferença é:
A – B = {1, 2, 3, 4, 5}
Exemplo 3: A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 3, 4, 5}; o conjunto diferença ou a diferença é:
A–B=∅
Exemplo 4: gerados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e B = {5, 6}; o conjunto diferença ou a
diferença é:
A – B = {1, 2, 3, 4}. Como B ⊂ A, podemos escrever em forma de complementar:
A – B = CA B = {1, 2, 3, 4}.
Outros exemplos
Diferença entre conjuntos
Gerados os conjuntos A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e B = {5, 6, 7}, a diferença desses conjuntos é demonstrada
em outro conjunto, designado de conjunto diferença.
Logo, A – B serão os elementos do conjunto A, subtraídos os elementos que pertencerem ao conjunto
B. Portanto,
A – B = {0, 1, 2, 3, 4}.
Conjunto complementar
Definição: Se A e B são conjuntos, o complemento relativo de B em A é o conjunto.
A - B, definido por:
A - B = {x ∈ A | x ∉ B}
Nesta definição, não é assumido que B ⊂ A.
Conjunto complementar está relacionado à diferença de conjunto. Encontramos um conjunto
complementar quando é gerado um conjunto A e B e o conjunto B ⊂ A, então o conjunto A - B é
chamado complementar de B em relação ao A.
Por exemplo:
A = {2, 3, 5, 6, 8}
41
Unidade I
B = {6, 8}
Como B ⊂ A, então o conjunto complementar será CAB = A – B = {2, 3, 5} 3
CAB Complemento de B em relação a A.
2.5.4 Cardinalidade de um conjunto
Definição de cardinalidade – Define-se a cardinalidade de um conjunto A como o número de
elementos que pertencem ao conjunto A.
Denotamos a cardinalidade de um conjunto A por card(A) ou n(A), e se lê “cardinalidade de A” ou
“número de elementos de A”.
Exemplos:
Seja o conjunto A = {1; 0; 3}, então n(A) = 3
Seja B = {1; 0; 1; 3; 8} então n(B) = 5
Seja A = { }, então n(A) = 0
Seja A = {1; 2; 3; 4; 5; 6;...}, então n(A) = n
Seja A = { 1 }, então n(A) = 1
Dois conjuntos A e B são ditos equipotentes (ou equivalentes, ou possuindo a mesma cardinalidade),
e denotados por A ~ B, se e somente se existir uma correspondência de um para um entre os elementos
de A e os elementos de B.
Podemos, por exemplo, mostrar que os números naturais N e os números naturais pares P têm a
mesma cardinalidade:
Para cada elemento n de N corresponderá o elemento 2x dos números pares. Assim, podemos
estabelecer a correspondência de um para um entre os dois conjuntos e, portanto, N ~ P.
Um conjunto A é dito finito se ele tem n elementos distintos onde n ∈ N. O número n chama-se
número cardinal de A e escreve-se:
n(A) = n ou |A| = n
Exemplo: seja o conjunto dos inteiros positivos ímpares menores do que 10.
|A|=5 ou n(A) = 5
3
42
Fonte: MIRANDA, Daniela de. Disponível em: <http://www.brasilescola.com.br>. Acesso em: 14 abr. 2011.
MATEMÁTICA APLICADA
Diz-se que um conjunto é infinito se ele for equivalente a um subconjunto próprio.
Qualquer conjunto equivalente ao conjunto dos números naturais é chamado de enumerável.
Propriedades:
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) - n(A ∩ C) - n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)
2.5.5 Representação de conjuntos usando o diagrama de Venn
Representação de conjunto único
Números Naturais (1, 2, 3, 4, 5, 6)
N
1
3
2
4
5
6
Relação entre dois conjuntos: A e B.
A = (1, 2, 3, 4, 5, 6)
B = (5, 6, 7, 8, 9, 10)
Símbolos
∪ = união
∩ = interseção
A ∪ B = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10)
A ∩ B = (5, 6)
A
1
3
4
B
7
2
5
6
8
9
10
Relação entre três conjuntos: A, B e C.
43
Unidade I
A = (3, 4, 5, 6, 7, 8)
B = (4, 6, 8, 10, 12)
C = (1, 2, 3, 4, 6, 10)
A ∪ B = (3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12)
A ∪ C = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10)
B ∪ C = (1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12)
A ∩ B = (4, 6, 8)
A ∩ C = (3, 4, 6)
C ∩ B = (4, 6, 10)
Saiba mais
Você poderá ver vários exemplos de operações com conjuntos no site:
http://educacao.uol.com.br/matematica/conjuntos---operacoesrelacoes-de-pertinencia-e-inclusao.jhtm
3 RELAÇÕES
3.1 Plano cartesiano
Os nomes plano cartesiano e produto cartesiano são homenagens ao seu criador, o filósofo e
matemático francês René Descartes (1596-1650). O nome de Descartes em latim era Cartesius, daí o
adjetivo cartesiano.
O plano cartesiano ortogonal é constituído por dois eixos, x e y, perpendiculares entre si, que se
cruzam na origem. O eixo horizontal é o eixo das abscissas (eixo OX) e o eixo vertical é o eixo das
ordenadas (eixo OY). Associando a cada um dos eixos o conjunto de todos os números reais, obtém-se
o plano cartesiano ortogonal.
Cada ponto P=(a,b) do plano cartesiano é formado por um par ordenado de números, indicados entre
parênteses, a abscissa e a ordenada respectivamente. Esse par ordenado representa as coordenadas de
um ponto.
O primeiro número indica a medida do deslocamento a partir da origem para a direita (se positivo)
ou para a esquerda (se negativo).
44
MATEMÁTICA APLICADA
O segundo número indica o deslocamento a partir da origem para cima (se positivo) ou para baixo
(se negativo). Observe no desenho que:
(a,b) ≠ (b,a) se a ≠ b.
Dois eixos dividem o plano em quatro regiões denominadas quadrantes, sendo que tais eixos são
retas concorrentes na origem do sistema formando um ângulo reto (90 graus). Os nomes dos quadrantes
são indicados no sentido anti-horário na figura abaixo.
Quadrante
Segundo
quadrante
Primeiro
quadrante
Terceiro
quadrante
Quarto
quadrante
sinal de x
sinal de y
Ponto
não tem
não tem
(0,0)
Primeiro
+
+
(2,3)
Segundo
-
+
(-3,1)
Terceiro
-
-
(-1,5,-2,5)
Quarto
+
-
(2,-2)
Quadro 3: quadrantes
3.2 Produto cartesiano
Denominamos produto cartesiano o conjunto de todos os pares (x,y), tais que x pertence a A e
y pertence a B, indicado pela expressão A x B. Simbolicamente representamos da seguinte maneira:
A x B = {(x,y) / x ∈ A e y ∈ B}
45
Unidade I
Podemos representar o produto cartesiano por outros meios. Veja os seguintes modelos:
Considere os conjuntos A = {1, 2} e B = {3, 5, 7}.
Conjunto de flechas
Em cada par ordenado de A x B, uma flecha parte do 1º elemento e atinge o 2º elemento, estabelecendo
a relação entre eles.
Conjunto de pares A x B = {(1,3), (1,5), (1,7), (2,3), (2,5), (2,7)}
3.3 Relação binária: domínio, contradomínio e conjunto imagem
Qualquer subconjunto do produto cartesiano A × B é chamado de relação de A em B.
As relações podem envolver produtos cartesianos de vários conjuntos (X1 × X2 × ... × Xn), e
a relação específica que envolve o produto cartesiano de dois conjuntos é chamada de relação
binária.
Então, uma relação binária é o conjunto de pares ordenados, em que o primeiro elemento pertence a
A e o segundo elemento pertence a B, quaisquer que sejam os conjuntos A e B. Representa-se a relação
binária por R: A → B. O conjunto A é chamado de domínio da relação, o conjunto B é chamado de
contradomínio da relação.
Então o domínio de uma relação R é o conjunto de todos os primeiros elementos de um par ordenado
que pertence a R. A imagem de R é o conjunto dos segundos elementos.
Suponha que R seja uma relação de A para B. Então R é um conjunto de pares ordenados, em
que cada primeiro elemento pertence a A e cada segundo elemento pertence a B, isto é, para cada
par (a,b), a ∈ A e b ∈ B.
Por exemplo, com os conjuntos A={2, 4, 8} e B={1, 3, 4, 6, 7, 10} vamos criar a função f: A → B
definida por f(x) = x + 2. Note que a função também pode ser representada por y = x + 2. Usando a
teoria dos conjuntos podemos representar essa função assim:
46
MATEMÁTICA APLICADA
O conjunto A é o conjunto de saída e o B é o conjunto de chegada (note que nem todos os elementos
do conjunto B recebem as setas da relação).
Domínio é o conjunto de saída, ou seja, para esta função, o domínio é o próprio conjunto A = {2, 4, 8}.
Contradomínio é o conjunto de chegada, B = {1, ,3, 4, 6, 7, 10}.
Conjunto imagem é composto por todos os elementos em que as flechas de relacionamento
chegam, ou seja, C = {4, 6, 10}.
3.4 Gráfico cartesiano
Representamos os elementos de A no eixo x e os elementos de B no eixo y. O gráfico de A x B é
constituído pelos pontos pertencentes ao produto A x B.
Considerando os conjuntos A e B, podemos ter as seguintes situações:
B x A = {(3,1), (5,1), (7,1), (3,2), (5,2), (7,2)}
A x A = {(1,1), (1,2), (2,2), (2,1)}
B x B = {(3,3), (3,5), (3,7), (5,5), (5,3), (5,7), (7,7), (7,3), (7,5)}
47
Unidade I
Outros exemplos: sejam A = {1, 2, 3, 4} e B = {1, 2, 5, 6}, então:
No diagrama4 abaixo, no plano cartesiano é apresentado o produto cartesiano entre números
reais:
O plano cartesiano é formado pelo conjunto
R X R = {(x, y); x ∈ R, y ∈ R}.
É importante observar que o conjunto resultante do produto cartesiano entre dois conjuntos
corresponde a uma coleção de pares ordenados, ou seja, cada elemento do produto cartesiano toma a
forma (x, y). Assim, as sentenças {x, y} e (x, y) correspondem a objetos inteiramente distintos. O primeiro
é o conjunto formado pelos elementos x e y, e o segundo o par ordenado (x, y). Desse modo, é imediato
concluir que {x, y} = {y, x}, mas (x, y) � (y, x).
Podemos relacionar os pontos cartesianos tabelados a seguir em um gráfico cartesiano dividido nos
quatro quadrantes.
4
48
Disponível em: <http://www.somatematica.com.br>. Acesso em: 14 abr. 2011.
MATEMÁTICA APLICADA
Ponto
Coordenadas (x,y)
A
(2,2)
B
(0,)
C
(-2,2)
D
(-3,0)
E
(-3,-3)
F
(-1,-2)
G
(0,-1)
H
(3,0)
Figura 1 - Silva et al. (2002).
Observando a figura, vamos fazer alguns exercícios. Procure resolvê-los antes de checar as respostas,
que estão na sequência.
1) Há algum ponto que pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares? Em caso afirmativo, transcreva
as coordenadas desses pontos.
2) Sempre, nesse caso, é possível identificar uma característica comum às coordenadas
dos pontos que pertencem à bissetriz dos quadrantes ímpares? Em caso afirmativo,
transcreva-a.
3) Pode-se identificar qual é a característica comum às coordenadas dos pontos que
pertencem ao eixo x das abscissas? E as coordenadas dos pontos que pertencem ao eixo y
das ordenadas?
Resolução
1) Sim, bissetriz é a reta que divide os quadrantes considerados exatamente ao meio, portanto, os
pontos A (2; 2) e E (-3; -3) pertencem a ela.
2) A abscissa é igual à ordenada.
3) Os pontos que pertencem ao eixo x têm ordenada zero: P (x; 0). Os pontos que pertencem ao eixo
y têm abscissa zero: P (0; y).
49
Unidade I
Nos tempos mais antigos já se podia
perceber que o homem tinha necessidade
de contar. Interessados na origem dos
números, alguns estudiosos pesquisaram e
acabaram percebendo que não os números,
mas a necessidade de contar já existia há
cerca de 30 mil anos. Nessa época, para
se alimentarem, os homens caçavam e
coletavam raízes e folhas. Normalmente
viviam em grutas, buscando proteger-se de
animais ferozes e do frio.
Figura 2: Pontos: contando na caverna (2011).
4 CONJUNTOS NUMÉRICOS
Em grutas como a de Lascaux, na França, foram encontrados desenhos de homens desse período.
Foram observadas imagens de animais e outros sinais como pontos e riscos. Desde que foram descobertos,
esses sinais estão sendo investigados. Há indícios de que os homens primitivos já contavam usando
marcas, não somente desenhando nas paredes de grutas, mas também fazendo riscos em ossos de
animais ou pedaços de madeira.
Os povos, durante o desenvolvimento da civilização humana, procuraram criar técnicas matemáticas
que permitissem resolver seus problemas cotidianos. Muitos deles, como os maias, os incas, os astecas,
os sumérios, os egípcios, os gregos, os romanos, os povos da região mesopotâmica, os chineses e outros,
contribuíram para esse desenvolvimento.
A partir desses estudos foram criados sistemas de numeração, técnicas de contagem, símbolos numéricos,
calendários baseados no sistema solar, objetos de contagem como o ábaco e outras descobertas.
Séculos depois surgiu o sistema de base decimal, ao qual nos referimos anteriormente. A
partir desse momento, vários gênios da matemática passaram a desenvolver novas técnicas que
permitiram o surgimento de importantes relações caracterizadas por números constantes, como o
π (pi) e o φ (número de ouro), que constituíram importantes passos para a ciência dos números.
4.1 Números naturais
O conjunto dos números naturais foi o primeiro conjunto gerado pelos homens. Ele tinha como
função apontar quantidades.
Por exemplo, quantos animais pertenciam a um grupo. Inicialmente, o zero não estava incluso
nesse conjunto, porém, a necessidade de representação de quantias nulas concedeu ao número zero
a condição de pertencente ao conjunto dos naturais. Assim, pertencem ao conjunto dos naturais os
50
MATEMÁTICA APLICADA
números inteiros positivos incluindo o zero. Esse conjunto é representado pela letra N maiúscula. Os
elementos dos conjuntos devem estar sempre entre chaves.
Representação:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, ... }
Quando for representar o conjunto dos naturais não nulos (excluindo o zero), devemos colocar * ao
lado do N.
Representado assim:
N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ... }
As reticências indicam que sempre é possível acrescentar mais um elemento.
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} ou N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... }
Qualquer que seja o elemento de N, há sempre um sucessor. Como todo elemento de N tem um
sucessor, dizemos que o conjunto N é infinito.
4.2 Números inteiros
Os números inteiros bastaram à sociedade por algum tempo. O passar do tempo e a ampliação das
“trocas” de mercadorias entre os homens tornaram iminente a criação de uma representação numérica
para as dívidas. Por exemplo, se eu “emprestei” um saco de trigo para outro grupo de pessoas e não
o recebi de volta, acabei com minhas reservas. Como indicar esse “empréstimo”? Com isso, nasceram
os conhecidos números negativos e, com eles, um novo conjunto: o conjunto dos números inteiros,
representado pela letra Z.
O conjunto dos números inteiros é composto pelos números naturais e todos os seus representantes
negativos. Observe que esse conjunto não possui começo nem término. Note que os números negativos
são sempre acompanhados pelo sinal negativo (-) à sua frente e os positivos são acompanhados pelo
sinal positivo (+) ou sem sinal nenhum. O zero não é positivo nem negativo.
Representação:
Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}
Inteiros não nulos: são os números inteiros, menos o zero.
Na sua representação, devemos colocar * ao lado do Z.
Z* = {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3,...}
51
Unidade I
Inteiros não positivos: são os números negativos incluindo o zero.
Na sua representação, deve ser colocado – ao lado do Z.
Z_ = {..., -3, -2, -1, 0}
Inteiros não positivos e não nulos: são os números inteiros do conjunto Z_ excluindo o zero.
Na sua representação devemos colocar o sinal _ e o * ao lado do Z.
Z*_ = {..., -3, -2, -1}
Inteiros não negativos: são os números positivos incluindo o zero. Na sua representação, devemos
colocar o + ao lado do Z.
Z + = { 0, 1, 2, 3, 4,...}
O conjunto Z + é igual ao conjunto dos N.
Inteiros não negativos e não nulos: são os números do conjunto Z+, excluindo o zero.
Na sua representação, devemos colocar o + e o * ao lado do Z.
Z* + = {1, 2, 3, 4,...}
O Conjunto Z* + é igual ao Conjunto N*
Todo número natural é inteiro, ou seja, N é um subconjunto de Z.
Como você representaria que N é subconjunto de Z?
4.3 Números racionais
Esses números surgem da necessidade de partilhar os bens dos indivíduos. Como dividir corretamente
um lote de terras?
Quando você divide números inteiros é comum surgirem resultados fracionários.
Um número racional é o que pode ser escrito na forma de fração:
a
b
onde a e b são números inteiros, sendo que b deve ser não nulo, isto é, b deve ser diferente de zero.
Frequentemente usamos a/b para significar a divisão de a por b. Quando não existe possibilidade
52
MATEMÁTICA APLICADA
de divisão, simplesmente usamos uma letra como q para entender que esse número é um número
racional.
Como podemos observar, números racionais podem ser obtidos por meio da razão (em latim: ratio
= razão = divisão = quociente) entre dois números inteiros, razão pela qual o conjunto de todos os
números racionais é denotado por Q. Assim, é comum encontrarmos na literatura a notação:
Q ={x/x = a/b com a e b pertencentes a Z com b diferente de 0}.
Quando há interesse, indicamos Q+ para entender o conjunto dos números racionais positivos e Q_
o conjunto dos números racionais negativos. O número zero é também um número racional.
Os numerais que representam números racionais não negativos são chamados frações e os números
inteiros utilizados na fração são chamados numerador e denominador, separados por uma linha
horizontal ou traço de fração.
Numerador
Denominador
O numerador indica quantas partes são tomadas do inteiro, isto é, o número inteiro que é escrito
sobre o traço de fração, e o denominador indica em quantas partes dividimos o inteiro, sendo que esse
número inteiro deve necessariamente ser diferente de zero. Para facilitar a escrita de frações, por vezes
utilizamos a barra “/” ou o sinal “÷“ em lugar do traço horizontal para denotar a divisão de dois números.
Por exemplo, a/b ou a fração 1/4, que pode ser escrita como:
Em linguagem matemática, as frações podem ser escritas da forma exemplificada acima ou assim:
1/4, que é considerada mais comum.
Então, de acordo com o exemplo, podemos citar o –1/2, 1, 2,5...
Podemos afirmar que números decimais exatos são racionais porque:
0,1 = 1/10
2,3 = 23/10...
Também são racionais os números decimais periódicos:
0,1111... = 1/9
0,3232... = 32/99
53
Unidade I
Observe que outra representação do número 1 é exibida por toda dízima periódica 0,9999... 9.
Essa representação é de grande utilidade quando trabalhamos com estatística, avaliações de
qualidade e produtividade e até financeiramente (imagine o arredondamento do número 1 trabalhando
em prol de um negócio!).
Propriedades
Se multiplicarmos os termos (numerador e denominador) de uma fração por um mesmo número
natural, obteremos uma fração equivalente à fração dada:
Se for possível dividir os termos (numerador e denominador) de uma fração por um mesmo número
natural, obteremos uma fração equivalente à fração dada:
Representação:
Q ={ ∀ a/b / a ∈Z e b ∈ Z*}
Subconjuntos de Q:
Q* é o conjunto dos números racionais diferentes de zero.
Q+ é o conjunto dos números racionais positivos e o zero.
Q- é o conjunto dos números racionais negativos e o zero.
Q*+ é o conjunto dos números racionais positivos.
Q*- é o conjunto dos números racionais negativos.
4.4 Números irracionais
Quando um número real não pode ser escrito na forma de uma fração ou nem mesmo pode ser
escrito na forma de uma dízima periódica, ele é chamado de número irracional.
São assim nomeados porque não podem ser expressos na forma a/b, com a e b inteiros e b diferente
de 0. São formados por dízimas infinitas não periódicas, por exemplo:
π = 3,141592654... ou �3 = 1,73205...
54
MATEMÁTICA APLICADA
Outro exemplo: o número real abaixo é um número irracional, embora pareça uma dízima
periódica:
X = 0,3030030003000...
Observe que o número de zeros após o algarismo 3 aumenta a cada passo. Existem infinitos números
reais que não são dízimas periódicas e dois números irracionais muito importantes. São:
e = 2,718281828459045...,
Pi = 3,141592653589793238462643...
Eles são utilizados nas mais diversas aplicações práticas, como: cálculos de áreas, volumes, centros
de gravidade, previsão populacional etc.
Os números irracionais foram surgindo ao longo de inúmeras descobertas matemáticas. Um dos
primeiros irracionais está diretamente ligado ao teorema de Pitágoras, o número �2 (raiz quadrada de
dois), ele surge da aplicação da relação de Pitágoras no triângulo retângulo com catetos medindo 1
(uma) unidade.
Antes de os números irracionais serem criados, só era possível extrair a raiz de números que possuíam
quadrados inteiros, por exemplo, 42 = 16, portanto,�16 = 4; no caso de �2 não existia um número que,
elevado ao quadrado, resultasse em 2.
Um outro número irracional surgiu da relação entre o comprimento da circunferência e o seu
diâmetro, resultando em um número constante igual a 3,141592....., representado pela letra grega π
(lê-se pi).
55
Unidade I
John Napier, matemático que intensificou os estudos sobre logaritmos, desenvolveu uma expressão
que, ao ser calculada, resulta em um número irracional:
O número de Neper é uma constante que surge em várias aplicações científicas. O seu valor
encontra-se, por exemplo, ao calcular o limite da sucessão
n
. O valor desse limite é um número
irracional (além disso, também é transcendente, uma vez que não é solução de qualquer equação
algébrica de coeficientes racionais).
Representa-se por e, sendo e = 2,7182818284590452353602874...
Obs.: as informações que apresentamos sobre os diferentes tipos de números estão disponíveis em
<http://www.infopedia.pt/>.
Como dissemos anteriormente, o número irracional não admite representação na forma de fração (contrário
dos números racionais). Quando escrito na forma de decimal, ele é um número infinito e não periódico.
Exemplos:
π = 3,141592653589793238462... no número pi, após a vírgula, não existe formação de períodos,
por isso é considerado irracional.
0,232355525447... é infinito e não é dízima periódica (pois os algarismos depois da vírgula não
formam períodos), então é irracional.
2,102030569... não admite representação fracionária, pois não é dízima periódica.
Se utilizarmos uma calculadora, veremos que �2, �3, �5, �7, entre outros, são valores que representam
números irracionais.
A representação do conjunto dos irracionais é feita pela letra I maiúscula.
Exemplo de aplicação:
Determinar a medida da diagonal de um quadrado cujo lado mede 1 metro. O resultado numérico é
um número irracional e pode ser obtido por meio da relação de Pitágoras.
Resolução:
O resultado é a raiz quadrada de 2.
4.5 Números reais
O conjunto formado por todos os números racionais e irracionais é o conjunto dos números reais,
indicado por R.
56
MATEMÁTICA APLICADA
O conjunto dos números racionais é formado pelos seguintes conjuntos: Números Naturais e
Números Inteiros. Os conjuntos que unidos formam os números reais são:
Números Naturais (N): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16...
Números Inteiros (Z): ..., –8, –7, –6, –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7...
Números Racionais (Q): 1/2, 3/4, 0,25, –5/4...
Números Irracionais (I): �2, �3, –�5, 1,32365498..., 3,141592...
Portanto, como todo número natural é inteiro, como todo número inteiro é racional e como todo
número racional é real, podemos concluir que o conjunto dos números reais é a união dos seguintes
conjuntos:
N ∪ Z ∪ Q ∪ I = R ou Q ∪ I = R
E também que:
N⊂Z⊂Q⊂R
Todos os conjuntos numéricos exibidos podem ser sintetizados em um gráfico, conforme
mostramos a seguir:
N⊂Z⊂Q⊂R
Figura 3: Silva et al. (2002).
Intervalo: nome dado a outro conceito fundamental da comunicação das relações. Também muito
utilizado em estatística.
Sendo a e b dois números reais, com a < b, teremos os seguintes subconjuntos de R nomeados intervalos:
Notação em símbolos de um intervalo
Habitualmente são utilizados os colchetes [“ e “] para indicar que um dos extremos do intervalo
é parte desse intervalo. Também são empregados os colchetes invertidos ]” e “[ para indicar o
contrário.
57
Unidade I
Assim, por exemplo, dados a e b números reais, com a ≤ b, o intervalo I = ]a,b] representa o conjunto
dos x � R, tal que a < x ≤ b. Note que a não faz parte do intervalo, já que o início do intervalo indica que
x é maior que a. Na representação do intervalo indicada por I =]a,b] podemos observar que o primeiro
colchete “]” está voltado para fora, indicando que a não pertence ao intervalo. No final do intervalo
podemos observar o colchete “]” voltado para dentro, indicando que b faz parte do intervalo.
Representação de um intervalo na reta real
Um intervalo é representado na reta real utilizando-se de um pequeno círculo vazio para indicar
que um dos pontos extremos não pertence ao intervalo e de um círculo cheio para indicar que o ponto
extremo pertence.
Tipos de intervalos
Dados a e b números reais, com a ≤ b, x pertencente ao intervalo e c o seu comprimento, podemos
classificar os intervalos como:
Intervalos de comprimento finito c = b – a
a) Intervalo fechado:
[a,b] = {x ∈ R | a � x � b}
b) Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita:
[a,b[ = [a,b) = {x ∈ R | a � x < b}
c) Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita:
(a,b] = ]a,b] = {x ∈ R | a < x � b}
d) Intervalo aberto:
]a,b[ = (a,b) = {x ∈ R | a < x < b}
Intervalos de comprimento infinito
a) Intervalo aberto à direita:
]-�,b[ = (-�,b) = {x ∈ R | x < b}
b) Intervalo fechado à direita:
]-�,b] = (-�,b] = {x ∈ R | x � b}
c) Intervalo fechado à esquerda:
[a,+�) = [a,+�[ = {x ∈ R | a � x}
58
MATEMÁTICA APLICADA
d) Intervalo aberto à esquerda:
]a,+�[ = (a,+�) = {x ∈ R | x > a}
e) Intervalo aberto:
]-�,+�[ = (-�,+�) = R
f) Intervalo fechado de comprimento nulo:
Como o comprimento é nulo e o intervalo fechado, então a = b e esse intervalo corresponde ao
conjunto unitário {a}, isto é, a um ponto da reta real.
4.6 Aplicação
Ainda que fundamental e generalista, a teoria dos conjuntos conduz a poucas aplicações práticas
diretas. É mais utilizada para desenvolver a álgebra de grupos, anéis e campos, em engenharia e em
outras áreas de exatas, assim como para desenvolver uma base lógica para o cálculo, a geometria e a
topologia. Todos esses desenvolvimentos são aplicados extensivamente nos campos da física, da química,
da biologia, da engenharia elétrica e da ciência da computação.
Na área de ciências humanas, seus conceitos servem de base à estatística; esta, por sua vez, é
direcionada a pesquisas de mercado, avaliação e desempenho de funcionários, cálculos de riscos em
investimentos etc.
Exemplo:
Em uma pesquisa de mercado, mil pessoas foram entrevistadas em todo o território nacional sobre
a preferência por marcas de refrigerante. O gráfico abaixo mostra como a pesquisa foi distribuída entre
as regiões brasileiras.
Três marcas de refrigerante foram pesquisadas, a A, a B e a C. Na pesquisa, verificou-se que 40% dos
entrevistados preferem a marca A, 25% a marca B e 35% a marca C. Também foi constatado que entre
aqueles que preferem a marca B, 70% são da região Nordeste, 8% da região Sul, 2% da região CentroOeste, 10% da região Norte e 10% da região Sudeste. A empresa que encomendou a pesquisa deseja
saber o seguinte:
59
Unidade I
a) Quantas pessoas pertencem ao conjunto dos sulistas que preferem a marca B?
b) Dentro do conjunto de pessoas que preferem a marca B, quantas são da região Norte ou da região
Nordeste?
Resolução:
a) Pelos dados do gráfico, o número de pessoas que consomem a marca B é 25% de mil pessoas
= 250 pessoas. Dessas 250 pessoas, 8% são sulistas, portanto, 8% de 250 = 20 sulistas.
b) Conforme o enunciado, dos que preferem a marca B, 10% são da região Norte, logo, 10% de 250
= 25 pessoas, e 70% são da região Nordeste, logo, 70% de 250 = 175 pessoas. Serão representadas
pelo conjunto A as pessoas da região Norte e pelo conjunto B as pessoas da região Nordeste. O
número de pessoas que são da região Norte ou Nordeste é dado por n(A ∪ B), com n(A ∩ B) = 0,
pois não há pessoas em comum das regiões Norte e Nordeste que preferem a marca B, portanto,
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)
n(A ∪ B) = 25 + 175 – 0
n(A ∪ B) = 200 pessoas.
Logo, 200 pessoas da região Norte ou Nordeste preferem a marca B.
Saiba mais
Os números que utilizamos no dia a dia podem ser agrupados em
conjuntos, como vimos neste item. Veja no site abaixo comentários
interessantes sobre os conjuntos numéricos: <http://educacao.uol.com.br/
matematica/conjuntos-numericos-respostas-aos-problemas-da-realidade.
jhtm>. Acesso em: 08 maio 2011.
Resumo
Nesta unidade, você pode recordar conceitos de matemática estudados
em seus cursos de formação básica. Ao rememorar, vimos que as expressões
algébricas são aquelas que envolvem números, letras e operações
indicadas entre eles – você ficou mais bem preparado para efetuar os
cálculos apresentados na continuação.
Quanto às razões e proporções, ficou constatado que são úteis em muitos
cálculos comuns do nosso cotidiano, inclusive para entender conceitos de
administração e economia, por isso devem fazer parte de sua formação.
60
MATEMÁTICA APLICADA
Quanto à revisão de porcentagem e de regra de três, certamente você
percebeu que é fundamental estar afiado nesse tipo de cálculo, uma vez que
são utilizados em muitas análises de situações (administração, economia,
cálculos financeiros) que você poderá vir a fazer profissionalmente.
Demos uma pincelada rápida na história do progresso humano, o que nos
levou ao nosso velho conhecido sistema de numeração decimal. Estudamos
ainda que os números reais fazem parte de um conjunto numérico e que
quando você estuda o comportamento das funções percebe que ele depende
dos elementos que as compõem, ou seja, do domínio, do contradomínio e
da lei de definição.
Com relação à teoria axiomática – a qual é formada por termos
indefinidos, relações indefinidas, axiomas relacionando termos indefinidos
e relações indefinidas, definições e teoremas baseados em axiomas e
definições –, você pôde constatar que ela simplesmente fundamenta toda
a matemática.
Tivemos a oportunidade de rever também, entre outros, temas como razão
e proporção, conjuntos, plano cartesiano e gráfico cartesiano, não apenas na
teoria, mas de forma prática, por meio de vários exemplos e exercícios aplicados
à administração para que você pudesse aliar a teoria à prática.
Dedique-se ao estudo da matemática, porque ela irá auxiliá-lo em
questões referentes a pesquisas de mercado, na hora de calcular riscos em
investimentos e muito mais.
Exercícios
Questão 1. O gráfico abaixo representa a evolução dos estoques de um determinado item de
almoxarifado ao longo do tempo. A evolução dos estoques está desenhada num plano cartesiano no
qual o eixo horizontal representa o tempo em semanas e o eixo vertical as quantidades estocadas no
início de cada semana.
61
Unidade I
A política de estocagem da empresa obriga que, cada vez que o estoque atingir 2350 unidades,
seja emitido um novo pedido. Nestas condições podemos afirmar que, considerando que estejamos na
semana zero, o próximo pedido deverá ser emitido:
a) Na semana 3.
b) Na semana 4.
c) Na semana 5.
d) Na semana 6.
e) Na semana 7.
Resposta correta: alternativa d.
Análise das alternativas: esta questão deve ser resolvida utilizando-se os conceitos básicos
de plano cartesiano e de regra de três. Do gráfico, retiramos a informação que na semana zero o
estoque é de 9400 unidades. O estoque vai sendo consumido ao longo das semanas até chegar
a zero unidades em 8 semanas. No início de cada semana existirá no estoque uma quantidade
diferente e numa delas o estoque será de 2350 unidades (ou muito próximo disso). Assim, podemos
montar a seguinte regra de três: 9400 (estoque inicial menos estoque final, ou seja, 9400 – 0) está
para 8 semanas, assim como o estoque consumido até sobrarem 2350 unidades (9400 – 2350) está
para X, ou seja,
Portanto, após seis semanas, o estoque remanescente será de 2350 unidades, logo deverá ser feito
um novo pedido de unidades.
Questão 2. Entre as muitas aplicações do plano cartesiano, encontram-se as coordenadas terrestres.
Cada localidade dentro do planeta pode ser situada a partir do seu ponto coordenado correspondente.
É a informação básica que o sistema conhecido como GPS utiliza para operar. Normalmente, essas
coordenadas são dadas em graus, minutos e segundos que a referida localidade está afastada do ponto
zero do planeta, que é o cruzamento da linha do Equador e do meridiano que passa pela cidade e pelo
observatório de Greenwich. Assim, por exemplo, a cidade de São Paulo tem as coordenadas 21º 40’ sul e
49º 12’ oeste, ou seja, dista do Equador 21º e 40’ na direção sul e do meridiano de Greenwich 49º 12’ na
direção oeste. De modo análogo, qualquer localidade tem sua localização.
Apesar de normalmente as distâncias serem dadas em graus, nada impediria que fossem
dadas em quilômetros, com distâncias positivas ou negativas de acordo com sua relação com
62
MATEMÁTICA APLICADA
o ponto zero. O gráfico a seguir esboça essa possibilidade, para duas cidades: São Paulo e
Lisboa.
Com essas informações e lembrando que o conhecido teorema de Pitágoras nos informa que o
quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos, podemos dizer que a distância entre
essas cidades em linha reta é de aproximadamente:
a) 9800 km
b) 8900 km
c) 7800 km
d) 8700 km
e) 6700 km
Resolução desta questão na Plataforma.
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