1 - FACOM

Representação de Dados e Sistemas de Numeração
•
Sistema de numeração decimal e números decimais (base 10)
•
Sistema de numeração binário e números binários (base 2)
•
•
Conversão entre binário e decimal
Sistema de numeração hexadecimal e números hexadecimais (base 16)
•
Conversão entre hexadecimal e outras bases
•
Números octais (base 8)
•
Representação de números reais em binário
•
Operações aritméticas com números binários:
•
Soma, subtração, multiplicação e divisão
•
Complemento a 1 e complemento a 2 de números binários
•
Números binários com sinal
•
•
Operações aritméticas com números binários com sinal
Representação de dados alfanuméricos: códigos ASCII e Unicode
1
Sistema de Numeração Decimal
•
Forma de representação de números usada no dia-a-dia
•
10 algarismos: 0 a 9
•
Números decimais: números na base 10
•
•
Notação: 64710
Sistema posicional:
•
Posição de cada dígito em um número é associada a um peso
•
Valor do número: somatório dos dígitos multiplicados pelos pesos
•
Pesos dos dígitos de números inteiros, da direita para esquerda:
•
Base 10 ⇒ Potências de 10:
...
104
103
102
101
100
...
10000
1000
100
10
1
2
Exemplos: Sistema de Numeração Decimal
•
64710
= (6 × 102 ) + (4 × 101 ) + (7 × 100 )
= (6 × 100) + (4 × 10) + (7 × 1)
= 600 + 40 + 7
•
1903910 =
3
Sistema de Numeração Binário
•
Forma de representação de nos usada em computadores e sistemas digitais
•
2 algarismos: 0 e 1
•
Números binários: números na base 2
•
•
Notação: 10012
Sistema posicional:
•
Posição de cada bit em um número é associada a um peso
•
Valor do número: somatório dos bits multiplicados pelos pesos
•
Pesos dos bits de números inteiros, da direita para esquerda:
•
Base 2 ⇒ Potências de 2:
...
210
29
28
27
26
25
24
23
22
21
20
...
1024
512
256
128
64
32
16
8
4
2
1
4
Exemplos: Sistema de Numeração Binário
•
10012
= (1 × 23 ) + (0 × 22 ) + (0 × 21 ) + (1 × 20 )
= (1 × 8) + (0 × 4) + (0 × 2) + (1 × 1)
= 8 + 1
= 910
•
01001012 =
5
Contagem em Binário
Contagem de 0 a 3
•
Número
Número
Número
Número
decimal
binário
decimal
binário
0
0
0
1
0
1
2
1
0
3
1
1
0
0
0
0
1
0
0
1
2
0
1
0
3
0
1
1
4
1
0
0
5
1
0
1
6
1
1
0
7
1
1
1
Com 2 bits:
•
•
Contagem de 0 a 7
Representa 4 (22 ) valores diferentes: de 0 a 3 (22 − 1)
Com 3 bits:
•
Representa
valores diferentes: de 0 a
6
Contagem em Binário: de 0 a 15
Número decimal
•
Número binário
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
2
0
0
1
0
3
0
0
1
1
4
0
1
0
0
5
0
1
0
1
6
0
1
1
0
7
0
1
1
1
8
1
0
0
0
9
1
0
0
1
10
1
0
1
0
11
1
0
1
1
12
1
1
0
0
13
1
1
0
1
14
1
1
1
0
15
1
1
1
1
Com 4 bits:
•
Representa
valores diferentes: de 0 a
7
Contagem em Binário: de 0 a 15
Número decimal
Número binário
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
2
0
0
1
0
3
0
0
1
1
4
0
1
0
0
5
0
1
0
1
6
0
1
1
0
7
0
1
1
1
8
1
0
0
0
9
1
0
0
1
10
1
0
1
0
11
1
0
1
1
12
1
1
0
0
13
1
1
0
1
14
1
1
1
0
15
1
1
1
1
8
Sistema de Numeração Binário
•
•
•
•
Com n bits:
•
Representa 2n valores diferentes
•
Conta de 0 a 2n − 1
Com n = 5 bits:
•
Representa 25 = 32 valores diferentes
•
Conta de 0 a 25 − 1 = 31
Com n = 6 bits:
•
Representa
•
Conta de
valores diferentes
a
Com n = 10 bits:
•
Representa
•
Conta de
valores diferentes
a
9
Exemplos: Conversão de Binário para Decimal
•
11011012
= (1 × 26 ) + (1 × 25 ) + (0 × 24 ) + (1 × 23 ) + (1 × 22 ) + (0 × 21 ) + (1 × 20 )
= (1 × 64) + (1 × 32) + (0 × 16) + (1 × 8) + (1 × 4) + (0 × 2) + (1 × 1)
= 64 + 32 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1
= 10910
1 1 0 1 1 0 12
bit mais
significativo
•
bit menos
significativo
1 0 0 1 0 0 0 12
10
Conversão de Decimal para Binário
•
•
Método de sucessivas divisões por 2:
•
Divide número decimal por 2
•
Continuamente, divide quociente por 2, até chegar no quociente 0
•
Restos da divisão formam número binário
•
1o resto: bit menos significativo
•
Último resto: bit mais significativo
Exemplo:
1210
12 / 2 = 6
resto 0
6 / 2 = 3
resto 0
3 / 2 = 1
resto 1
1 / 2 = 0
resto 1
⇐ bit menos significativo
⇐ bit mais significativo
1210 = 11002
11
Exemplos: Conversão de Decimal para Binário
4310
1910
12
Sistema de Numeração Hexadecimal
•
Forma compacta de representar números binários
•
16 símbolos:
•
Números hexadecimais: números na base 16
•
•
0a9
e
A a F (valendo de 10 a 15)
Notação: 1C16 ou 1Ch
Sistema posicional:
•
Posição de cada dígito em um número é associada a um peso
•
Valor do número: somatório dos dígitos multiplicados pelos pesos
•
Pesos dos dígitos de números inteiros, da direita para esquerda:
•
Base 16 ⇒ Potências de 16:
...
165
164
163
162
161
160
...
...
...
4096
256
16
1
13
Sistema de Numeração Hexadecimal
•
Exemplo:
1C16 = (1 × 161 ) + (C × 160 )
= (1 × 16) + (C × 1)
= (1 × 16) + (12 × 1)
= 16 + 12
= 2810
14
Contagem em Hexadecimal: de 0 a 15
Número
Número
Número
decimal
binário
hexadecimal
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
1
2
0
0
1
0
2
3
0
0
1
1
3
4
0
1
0
0
4
5
0
1
0
1
5
6
0
1
1
0
6
7
0
1
1
1
7
8
1
0
0
0
8
9
1
0
0
1
9
10
1
0
1
0
A
11
1
0
1
1
B
12
1
1
0
0
C
13
1
1
0
1
D
14
1
1
1
0
E
15
1
1
1
1
F
15
Contagem em Hexadecimal
Base
Base
Base
Base
Base
10
16
10
16
10
16
10
16
10
16
0
0
16
10
32
20
160
A0
240
F0
1
1
17
11
33
21
161
A1
241
F1
2
2
18
12
34
22
162
A2
242
F2
3
3
19
13
35
23
163
A3
243
F3
4
4
20
14
36
24
164
A4
244
F4
5
5
21
15
37
25
165
A5
245
F5
6
6
22
16
38
26
166
A6
246
F6
7
7
23
17
39
27
167
A7
247
F7
8
8
24
18
40
28
168
A8
248
F8
9
9
25
19
41
29
169
A9
249
F9
10
A
26
1A
42
2A
170
AA
250
FA
11
B
27
1B
43
2B
171
AB
251
FB
12
C
28
1C
44
2C
172
AC
252
FC
13
D
29
1D
45
2D
173
AD
253
FD
14
E
30
1E
46
2E
174
AE
254
FE
15
F
31
1F
47
2F
175
AF
255
FF
...
...
16
Conversão de Binário para Hexadecimal
•
Cada dígito hexadecimal corresponde a 4 bits
•
•
16 = 24
Método:
•
Quebra número binário em grupos de 4 bits,
começando no bit menos significativo
•
•
Substitui cada grupo de 4 bits pelo símbolo hexadecimal correspondente
Exemplos:
1100 1010 0101 01112
11 1111 0001 0110 10012
C A 5 716
17
Conversão de Hexadecimal para Binário
•
Método inverso:
•
•
Substitui cada dígito hexadecimal pelo grupo de 4 bits correspondente
Exemplo:
1 0 A 416
1 0000 1010 01002
•
Exemplos:
C F 8 E16
9 7 4 A16
18
Conversão de Hexadecimal para Decimal
•
•
1o método:
•
Converter de hexadecimal para binário
•
Depois, converter de binário para decimal
Exemplos:
1C16 = 0001 11002
A 8 516 =
= 2 4 + 23 + 22
= 16 + 8 + 4
= 2810
19
Conversão de Hexadecimal para Decimal
•
2o método:
•
•
Usar potências de 16
Exemplo:
B2F816 = (B × 163 ) + (2 × 162 ) + (F × 161 ) + (8 × 160 )
= (B × 4096) + (2 × 256) + (F × 16) + (8 × 1)
= (11 × 4096) + (2 × 256) + (15 × 16) + (8 × 1)
= 45056 + 512 + 240 + 8
= 4581610
20
Exemplo: Conversão de Hexadecimal para Decimal
•
E516 =
21
Conversão de Decimal para Hexadecimal
•
•
1o método:
•
Converter de decimal para binário
•
Depois, converter de binário para hexadecimal
Exemplo: 65010
650
325
162
81
40
20
10
5
2
1
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
325
162
81
40
20
10
5
2
1
0
resto
resto
resto
resto
resto
resto
resto
resto
resto
resto
0
1
0
1
0
0
0
1
0
1
10 1000 10102
2 8 A16
22
Conversão de Decimal para Hexadecimal
•
•
2o método:
•
Repetidas divisões por 16 até obter quociente 0
•
Restos formam número hexadecimal
Exemplo: 65010
650 / 16 = 40
resto 10 ⇒ A
40 / 16 = 2
resto 8
⇒ 8
/ 16 = 0
resto 2
⇒ 2
2
⇐ menos significativo
⇐ mais significativo
65010 = 28A16
23
Sistema de Numeração Octal
•
8 símbolos: 0 a 7
•
Números octais: números na base 8
•
•
Notação: 23748
Sistema posicional:
•
Posição de cada dígito em um número é associada a um peso
•
Valor do número: somatório dos dígitos multiplicados pelos pesos
•
Pesos dos dígitos de números inteiros, da direita para esquerda:
•
•
Base 8 ⇒ Potências de 8:
...
84
83
82
81
80
...
...
512
64
8
1
Exemplo: 23748 = (2 × 83 ) + (3 × 82 ) + (7 × 81 ) + (4 × 80 )
= (2 × 512) + (3 × 64) + (7 × 8) + (4 × 1)
= 1024 + 192 + 56 + 4
= 127610
24
Representação de Números Reais na Base 10
•
Sistema de numeração decimal:
•
Digitos à esquerda do ponto decimal: potências de 10 positivas
•
Digitos à direita do ponto decimal: potências de 10 negativas
,
...
...
101
100
10−1
10−2
10−3
...
1000 100
10
1
1
10
1
100
1
1000
...
1000 100
10
1
0, 1
0, 01
0, 001
...
...
103
...
...
102
25
Exemplo: Representação de Números Reais na Base 10
•
243, 7510
= (2 × 102 ) + (4 × 101 ) + (3 × 100 ) + (7 × 10−1 ) + (5 × 10−2 )
= (2 × 100) + (4 × 10) + (3 × 1) + (7 × 0, 1) + (5 × 0, 01)
= 200 + 40 + 3 + 0, 7 + 0, 05
= 243, 75
26
Representação de Números Reais na Base 2
•
Sistema de numeração binário:
•
Bits à esquerda do ponto binário: potências de 2 positivas
•
Bits à direita do ponto binário: por potências de 2 negativas
,
...
...
...
23
22
21
20
2−1
2−2
2−3
...
...
8
4
2
1
1
2
1
4
1
8
...
...
8
4
2
1
0, 5
0, 25
0, 125
...
27
Exemplos: Representação de Números Reais na Base 2
•
1010, 112 = (1 × 23 ) + (1 × 21 ) + (1 × 2−1 ) + (1 × 2−2 )
= (1 × 8) + (1 × 2) + (1 × 0, 5) + (1 × 0, 25)
= 8 + 2 + 0, 5 + 0, 25
= 10, 7510
•
•
Conversão de números reais de binário para decimal
11, 0112 =
28
Conversão de Números Reais de Decimal para Binário
•
Método de sucessivas multiplicações por 2:
•
Multiplica parte fracionária do número por 2
•
Continuamente, multiplica parte fracionária do resultado por 2,
até chegar no resultado 1 (parte fracionária com zeros) ou quando o número
desejado de casas decimais for alcançado
•
•
Parte inteira dos resultados formam número binário
•
1o resultado: bit mais significativo
•
Último resultado: bit menos significativo
Exemplo:
4, 312510 = 100.01012
•
Parte inteira: 410 = 1002
•
Parte fracionária: 0, 312510 = 0.01012
0, 3125
0, 625
0, 25
0, 5
×
×
×
×
2
2
2
2
=
=
=
=
0, 625
1, 25
0, 5
1
parte inteira
parte inteira
parte inteira
parte inteira
0 ⇐ bit mais significativo
1
0
1 ⇐ bit menos significativo
29
Exemplo: Conversão de Números Reais de Decimal para Binário
•
3, 687510 =
30