Lista de Exercícios Extra 1: Soluções

DCC111 – Matemática Discreta
UFMG/ICEx/DCC
Lista de Exercícios Extra 1: Soluções
Números Inteiros
1o Semestre de 2013
Ciências Exatas & Engenharias
1. Prove que se a|b e b|a, sendo a e b números inteiros, então ou a = b ou a = −b.
Resposta:
Se a|b e b|a, há números inteiros c e d tais que b = ac e a = bd. Assim„ a = acd. Uma vez que a 6= 0, tem-se
cd = 1. Deste modo, ou c = d = 1 ou c = d = −1. Portanto, ou a = b ou a = −b.
2. Seja m um número inteiro positivo. Prove que a ≡ b mod m se a mod m = b mod m.
Resposta:
Se a mod m = b mod m, então a e b possuem o mesmo resto quando divididos por m. Então a = q1 m + r e
b = q2 m + r, sendo 0 ≤ r < m. Segue que a − b = (q1 − q2 )m, então m|(a − b). Portanto, a ≡ b mod m.
3. Prove que se n|m, os quais são números inteiros maiores que 1, e se a ≡ b mod m, sendo a e b números
inteiros, então a ≡ b mod n.
Resposta:
Tendo em vista que n|m, então m = tn. Uma vez que a ≡ b mod m, existe um número inteiro s tal que
a = b + sm. Então, a = b + (st)n, portanto a ≡ b mod n.
4. Prove que log2 3 é um número irracional.
Resposta:
Suponha que log2 3 seja um número racional. Portanto, log2 3 = a/b, sendo a e b números inteiros não
negativos e b 6= 0. Então, 2a/b = 3, o que implica em 2a = 3b . Isso viola o Teorema Fundamental da
Artimética. Portanto, log2 3 é irracional.
5. Prove que se 2n − 1 é primo, então n é primo. Dica: Use o seguinte fato 2ab − 1 = (2a − 1).(2a(b−1) +
2a(b−2) + . . . 2a + 1).
Resposta:
fator é também maior que 1. Portanto, 2n − 1 não é primo.
6. Converta os seguintes números inteiros em base decimal para base binária: 231, 4532, 97644.
Resposta:
1110 0111, 1 0001 1011 0100, 1 0111 1101 0110 1100.
7. Converta os seguintes números inteiros em base binária para base decimal: 11111, 1000000001, 101010101,
110100100010000.
Resposta:
31, 513, 341, 26.896.
8. Utilize o algoritmo 5 da seção 3.6 para encontrar 7644 mod 645.
Resposta:
436.
9. Utilize o algoritmo de Euclides (Euclidiano) para encontrar: mdc(12,18), mdc(111,201), mdc(1001, 1331),
mdc(12345, 54321), mdc(1000,5040).
Resposta:
6, 3, 11, 3, 40.
1
10. Prove que um número inteiro positivo é divisível por 3 se e somente se a soma de seus dígitos for divisível
por 3.
Resposta:
Seja a = (an−1 an−2 . . . a1 a0 )10 . Então, a = 10n−1 an−1 + 10n−2 an−2 + · · · + 10a1 + 10a0 ≡ an−1 + an−2 +
· · · + a1 + a0 (mod 3), porque 10j ≡ 1 (mod 3) para todo número inteiro não negativo j. Segue que 3|a se
e somente se 3 divide a soma dos dígitos de a.
11. Determine o número inteiro representado pelos seguintes números binários em complemento de 1: 11001,
01101, 10001, 11111.
Resposta:
−6, 13, −14, 0.
12. Determine o número inteiro representado pelos seguintes números binários em complemento de 2: 11001,
01101, 10001, 11111.
Resposta:
−7, 13, −15, −1.
13. Prove que 115 é um inverso de 7 módulo 26.
Resposta:
15.7 = 105 ≡ 1 (mod 26)
14. Sejam m1 , m2 , . . . , mn números primos relativos par a par maiores ou iguais a 2. Prove que se a ≡ b mod mi ,
para i = 1, 2, . . . , n, então a ≡ b mod m, em que m = m1 m2 . . . mn .
Resposta:
Suponha que p seja um número primo que aparece na fatoração m1 m2 . . . mn . Uma vez que os números
m1 , m2 , . . . , mn são primos relativos, p é um fator de exatamente um dentre os números m1 , m2 , . . . , mn , a
saber mj . Uma vez que mj divide a−b, segue que a−b tem o fator p em sua fatoração cujo expoente é maior
ou igual àquele que na fatoração de mj . Segue que m1 m2 . . . , mn divide a−b, então a ≡ b mod m1 m2 . . . mn .
15. Prove que podemos fatorar um número n quando sabemos que n é o produto de dois primos p e q, como
também o valor de (p − 1)(q − 1).
Resposta:
Suponha que sabemos n = pq e o valor de (p − 1)(q − 1). Para encontrar p e q, note que (p − 1)(q − 1) =
pq − p − q + 1 = n − (p + q) + 1. Seja s = (p + q), temos que q = s − p, portanto n = p(s − p). Deste modo,
p2 − ps + n = 0. As raízes podem ser encontradas. Uma vez encontrado p, podemos encontrar q = n/p.
2