Computação Quântica: Complexidade e Algoritmos

Computação Quântica:
Complexidade e Algoritmos
Carlos H. Cardonha
Marcel K. de Carli Silva
Cristina G. Fernandes (orientadora)
Departamento de Ciência da Computação
Instituto de Matemática e Estatística
Universidade de São Paulo
Apoio financeiro FAPESP (03/13236-0 e 03/13237-7)
QC – p.1/21
Tópicos
O modelo quântico de computação
O algoritmo de fatoração de Shor
Breve histórico e descrição do trabalho
Relações entre classes de complexidade
QC – p.2/21
Breve Histórico
Feynman (82): explorar efeitos quânticos
Deutsch (85, 89): formalização do modelo
Grover (96): busca em tempo proporcional a
Shor (94): fatoração eficiente de inteiros
Bernstein e Vazirani (97): complexidade computacional
QC – p.3/21
Descrição do Trabalho
Estudo básico do modelo quântico de computação.
Parte do Marcel: Aspectos Algorítmicos. Algoritmos de
Deutsch, Deutsch-Jozsa e Simon
Shor
Grover
QC – p.4/21
Descrição do Trabalho
Estudo básico do modelo quântico de computação.
Parte do Marcel: Aspectos Algorítmicos. Algoritmos de
Deutsch, Deutsch-Jozsa e Simon
Shor
Grover
Parte do Carlos: Resultados de Complexidade.
Máquinas de Turing quânticas
Máquina de Turing quântica universal
Classes quânticas de complexidade e relação com
clássicas
QC – p.4/21
Tópicos
Breve histórico e descrição do trabalho
O algoritmo de fatoração de Shor
O modelo quântico de computação
Relações entre classes de complexidade
QC – p.5/21
espaço vetorial de dimensão
Bits Quânticos
QC – p.6/21
base ortonormal de
espaço vetorial de dimensão
Bits Quânticos
QC – p.6/21
e
base ortonormal de
espaço vetorial de dimensão
Bits Quânticos
: estados básicos
QC – p.6/21
espaço vetorial de dimensão
base ortonormal de
e
Bits Quânticos
: estados básicos
, pois
e
é um vetor unitário em
bit quântico
tem norma 1
QC – p.6/21
espaço vetorial de dimensão
base ortonormal de
e
Bits Quânticos
: estados básicos
, pois
e
tem norma 1
é um vetor unitário em
bit quântico
é superposição de estados básicos
QC – p.6/21
Principais Características: Superposição
e
Um bit quântico armazena uma superposição de
QC – p.7/21
Principais Características: Superposição
e
Um bit quântico armazena uma superposição de
Exemplo:
QC – p.7/21
Principais Características: Superposição
e
Um bit quântico armazena uma superposição de
Exemplo:
Um registrador com bits quânticos armazena uma
superposição de
estados básicos
QC – p.7/21
Principais Características: Superposição
e
Um bit quântico armazena uma superposição de
Exemplo:
Um registrador com bits quânticos armazena uma
superposição de
estados básicos
Exemplo:
QC – p.7/21
Principais Características
Ao tentarmos “enxergar” uma superposição, modificamos
(perdemos) esta irreversivelmente
(Princício da Incerteza)
QC – p.8/21
Principais Características
Ao tentarmos “enxergar” uma superposição, modificamos
(perdemos) esta irreversivelmente
(Princício da Incerteza)
e
Exemplo: função de negação —
No modelo clássico, portas lógicas são
funções de bits em bits.
No modelo quântico, as equivalentes “portas lógicas” são
funções bijetoras de bits quânticos em bits quânticos.
QC – p.8/21
Principais Características
Facilidade de extração de propriedades globais de uma
função. Exemplo: período.
QC – p.9/21
Principais Características
período
%$
!
"
#
'
'
'
(
(
(
&
'
'
' ( &
Exemplo:
função
Facilidade de extração de propriedades globais de uma
função. Exemplo: período.
QC – p.9/21
Breve histórico e descrição do trabalho
Tópicos
O modelo quântico de computação
O algoritmo de fatoração de Shor
Relações entre classes de complexidade
QC – p.10/21
Algoritmo de Shor
Recebe:
um inteiro composto, ímpar,
que não uma potência de primo
( tem pelo menos 2 divisores primos).
QC – p.11/21
Algoritmo de Shor
Recebe:
um inteiro composto, ímpar,
que não uma potência de primo
( tem pelo menos 2 divisores primos).
Devolve:
um fator de , com alta probabilidade.
QC – p.11/21
Algoritmo de Shor
Idéia:
transforma problema da fatoração em
busca do período de uma função.
QC – p.12/21
Algoritmo de Shor
Idéia:
transforma problema da fatoração em
busca do período de uma função.
Consumo de tempo:
.
#
*
)
polinomial em
QC – p.12/21
Algoritmo de Shor
Idéia:
transforma problema da fatoração em
busca do período de uma função.
Consumo de tempo:
.
#
*
)
polinomial em
Observação:
um único passo quântico!
QC – p.12/21
3
C
?
AB@
;
>=<
2:9
tal que
8
7
6
5
menor
"
então FALHOU!
8.
senão devolva mdc
.
+
D
E
7.
#
.F
$
D
é ímpar ou
+
6. se
4
E
3
ordem
+
,
4
5.
/.
+
então devolva
4.
único passo quântico
0
3. se
120
2.
-
,
mdc
,
+
rand
0
1.
Shor
Algoritmo de Shor
QC – p.13/21
Algoritmo de Shor
.
"
#
F
$
!
$
#
"
é fator de
D
+
E
+
D
.FG
E
+
1
com
4
4
menor
se par e
então mdc
Teorema:
QC – p.14/21
Algoritmo de Shor
"
#
F
$
!
$
#
"
.
é fator de
D
+
E
+
D
.FG
E
+
1
com
4
4
menor
se par e
então mdc
Teorema:
+
. D
.
+
é múltiplo de
não é múltiplo de
E
D
.
e
+
D
separados entre
+
Fatores de
E
.
+
D
E
+
D
não é múltiplo de
E
E
D
+
D
E
Prova:
.
QC – p.14/21
Algoritmo de Shor
Teorema:
MLK
I
J
H
Se tem divisores primos,
então probabilidade de falha
QC – p.15/21
Algoritmo de Shor
Teorema:
MLK
I
J
H
Se tem divisores primos,
então probabilidade de falha
Prova:
R
OPN
Q
Teorema Chinês do Resto e
Fato:
é cíclico se primo ímpar.
QC – p.15/21
Algoritmo de Shor
+
ordem de , módulo .
'
'
' "
+
#
$
S
$
#
"
.
.
"
+
#
$
!
4
é o período da função
+ $
#
"
"
#
$
&
+ é o período da seqüência
+ 4
4
Álgebra (Teoria dos Grupos):
QC – p.16/21
Busca do Período
Algoritmo quântico
"
#
*
)
+
#
$
!
encontra o período da função
em
tempo polinomial em
e com alta probabilidade.
QC – p.17/21
Busca do Período
Algoritmo quântico
"
#
*
)
+
#
$
!
encontra o período da função
em
tempo polinomial em
e com alta probabilidade.
Y
Y
'
'
'
X
WV
'
'
'
TU
Utiliza “versão” quântica (trabalhando com superposições)
da Transformada Discreta de Fourier
L
\
\_ Z
é -ésima raiz complexa da unidade.
J
a`
_
b
cd
e
^]\
L
L
Z Y
[
onde
QC – p.17/21
Breve histórico e descrição do trabalho
O modelo quântico de computação
Tópicos
O algoritmo de fatoração de Shor
Relações entre classes de complexidade
QC – p.18/21
Classes de Complexidade
Classe dos problemas resolvidos em
f
: tempo polinomial no modelo clássico
QC – p.19/21
Classes de Complexidade
Classe dos problemas resolvidos em
f
: tempo polinomial no modelo clássico
f
f
g
: tempo polinomial no modelo clássico
e probabilidade de falha limitada por constante
QC – p.19/21
Classes de Complexidade
Classe dos problemas resolvidos em
f
: tempo polinomial no modelo clássico
: espaço polinomial no modelo clássico
k
ji
f
f
f
f
h
g
: tempo polinomial no modelo clássico
e probabilidade de falha limitada por constante
QC – p.19/21
Classes de Complexidade
Classe dos problemas resolvidos em
f
: tempo polinomial no modelo clássico
ji
f
f
: espaço polinomial no modelo clássico
k
f
f
h
g
: tempo polinomial no modelo clássico
e probabilidade de falha limitada por constante
k
f
: tempo polinomial no modelo quântico
QC – p.19/21
Classes de Complexidade
Classe dos problemas resolvidos em
f
: tempo polinomial no modelo clássico
ji
f
f
: espaço polinomial no modelo clássico
k
f
f
h
g
: tempo polinomial no modelo clássico
e probabilidade de falha limitada por constante
k
f
: tempo polinomial no modelo quântico
f
g
: tempo polinomial no modelo quântico
e probabilidade de falha limitada por constante
QC – p.19/21
Classes de Complexidade
Classe dos problemas resolvidos em
f
: tempo polinomial no modelo clássico
ji
f
f
: espaço polinomial no modelo clássico
k
f
f
h
g
: tempo polinomial no modelo clássico
e probabilidade de falha limitada por constante
k
f
: tempo polinomial no modelo quântico
f
g
: tempo polinomial no modelo quântico
e probabilidade de falha limitada por constante
ji
k
f
f
lf
g
lf
f
g
lf
k
lf
h
Pode-se provar:
QC – p.19/21
Direções futuras
Estudo de mais algoritmos quânticos
Generalização dos algoritmos exponencialmente mais
rápidos (Hidden Subgroup Problem)
Uso de idéias quânticas no modelo clássico
Códigos resistentes a falha
Mais resultados de complexidade
QC – p.20/21
Fim
Sítio:
http://www.linux.ime.usp.br/~magal/quantum/
Carlos: [email protected]
Marcel: [email protected]
Cristina (orientadora): [email protected]
QC – p.21/21