Problemas Resolvidos de Física

Problemas Resolvidos de Física
Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES
RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996.
FÍSICA 2
CAPÍTULO 15 – OSCILAÇÕES
37. Um cilindro sólido está preso a uma mola horizontal sem massa, de tal modo que ele pode rolar
sem deslizar sobre uma superfície horizontal, como mostra a Fig. 32. A constante de força k da
mola é 2,94 N/cm. Sabendo-se que o sistema foi abandonado em repouso numa posição tal que
a mola estava distendida de 23,9 cm, calcule as energias cinéticas (a) de translação e (b) de
rotação do cilindro, quando ele passar na posição de equilíbrio. (c) Mostre que, nestas
condições, o centro de massa do cilindro executa movimento harmônico simples com período
de
3M
T = 2π
2k
onde M é a massa do cilindro.
(Pág. 22)
Solução.
A energia mecânica total vale (xm é a amplitude de oscilação):
1 2
(1)
=
E =
kxm 0, 09375 J
2
Quando o cilindro passa pelo ponto onde a mola está relaxada, a energia mecânica do sistema E
estará na forma de energia cinética K. Esta está dividida em energia cinética translacional KT e
rotacional KR.
(2)
E= K= KT + K R
A energia cinética translacional vale:
1
(3)
KT = Mv 2
2
A energia cinética rotacional vale (I é o momento de inércia do cilindro e ω é a sua velocidade
angular):
KR
=
1 2 1  MR 2   v 
Iω
=

 
2
2  2  R 
1
Mv 2
4
Substituindo-se (3) e (4) em (2):
1
1
=
E
Mv 2 + Mv 2
2
4
KR =
2
(4)
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Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4a Ed. - LTC - 1996.
Cap. 15 – Oscilações
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3
Mv 2
4
(a) Dividindo-se (4) por (5):
E=
(5)
2
Mv 2
KT 4
2
= =
3
E
Mv 2 3
4
2
K
=
=
E 0, 0625 J
T
3
KT ≈ 0, 063 J
(a) Dividindo-se (3) por (5):
1
Mv 2
KT 4
1
= =
3
E
Mv 2 3
4
1
K
=
=
E 0, 03125 J
T
3
KT ≈ 0, 031 J
(c) Considere o seguinte esquema das forças que agem sobre o cilindro:
v
y
α
F
z
x
P
f
N
Vamos analisar a dinâmica da translação do cilindro (em x), em que F é a força elástica, f é a força
de atrito estático, P é o peso do cilindro e N é a normal:
∑F
x
= Max
F− f =
M
d 2x
dt 2
d 2x
(6)
dt 2
Agora vamos analisar a dinâmica da rotação do cilindro (torques em z, em relação ao centro de
massa do cilindro):
− kx − f =
M
∑τ
z
= Iα z
MR 2
− fR = α z
2
Mas:
αz = −
vx
R
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Cap. 15 – Oscilações
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Logo:
fR =
MR 2 vx
2 R
M d 2x
2 dt 2
Substituindo-se (7) em (6):
f =
−kx −
(7)
M d 2x
d 2x
=
M
2 dt 2
dt 2
d 2 x 2k
0
+
x=
dt 2 3M
A Eq. (8) é a equação diferencial do movimento harmônico simples, onde:
2k
ω2 =
3M
A relação entre o período de oscilação T e a freqüência angular ω é:
2π
T=
ω
Logo:
T = 2π
(8)
3M
2k
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Cap. 15 – Oscilações
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