Aula 04. RETAS TANGENTE E NORMAL, TAXA DE VARIAÇÕES E

(Texto Comp.) Movimento Retilíneo 1
Aula 04. RETAS TANGENTE E NORMAL, TAXA DE
VARIAÇÕES E DERIVADAS DE FUNÇÕES
Texto Compl. - MOVIMENTO RETILÍNEO
Este texto tem como objetivo tratar de um problema físico, cuja finalidade é
estabelecer os conceitos de velocidade e aceleração de uma partícula em movimento
retilíneo num determinado instante.
O limite da definição de m Po
também ocorre no movimento retilíneo de uma
partícula, isto é, uma partícula se deslocando ao longo de uma reta. Considere um eixo
coordenado na horizontal, convencione que a distância seja negativa se a partícula está à
esquerda da origem e positiva se a partícula está à direita da origem. O eixo coordenado
pode estar em qualquer outra posição, contudo é indispensável convencionar o sentido de
crescimento.
Seja f uma função que dá a distância orientada s da partícula no instante t, então
s é uma função de t definida por s = f ( t ). A equação s = f ( t ), chama-se uma equação
de movimento da partícula.
Se ∆s = f ( t + ∆t ) − f ( t ) é o espaço percorrido pela partícula do instante t ao
instante t + ∆t , então a velocidade média v m da partícula no intervalo de tempo ∆t é
definida por
v m = ∆s .
∆t
A velocidade média de uma partícula num período de tempo ∆t, não dá uma
informação precisa da velocidade que a partícula está desenvolvendo exatamente no tempo
t 0 ou em qualquer outro instante entre t o e t o + ∆t, mas apenas uma média das
velocidades nos instantes de t o a t o + ∆t. Assim é natural pensar que quanto menor for
∆t, melhor será a aproximação da velocidade da partícula em t o com a velocidade média
no intervalo de tempo ∆t. Isto sugere que se defina a velocidade da partícula em t o, como
a seguir.
Sendo s = f ( t ) a equação de movimento de uma partícula que se desloca em
movimento retilíneo, a velocidade da partícula no tempo t o é chamada de velocidade
instantânea (ou simplesmente, velocidade) da partícula em t o, é indicada e definida por
f ( t o + ∆t ) − f ( t o )
,
∆t → 0
∆t
v I ( t o ) = lim
desde que este limite exista.
2
(Aula 04)
Exemplo Resolvido. Se s = t 2 − 2t + 2 é a distãncia percorrida por uma partícula no
tempo t, supondo que o deslocamento é retilíneo e o tempo começa a ser medido de zero,
mostrar que a partícula no instante:
(a) t = 1 está em repouso;
(b) t = 0,5 se desloca para esquerda.
Solução. Nos instantes em que a partícula está em repouso, a velocidade instantânea é
zero. Assim entre esses instantes a velocidade é menor ou maior que zero e a partícula
estará se movendo para esquerda ou para direita. Para verificar tal fato, suponha que
f ( t o + ∆t ) − f ( t o )
< 0,
∆t
∆ t →0
v I ( t o ) = lim
então (pelo corolário 1b do teorema 6 do tópico 1 da aula 03),
f ( t o + ∆t ) − f ( t o )
<0
∆t
para valores de ∆t em algum intervalo aberto contendo zero, exceto ∆t = 0 ; mas ∆t > 0,
logo f ( t o + ∆t ) − f ( t o ) < 0, ou seja, f ( t o + ∆t ) < f ( t o ) . Portanto se vI ( t o ) < 0, em t o
a partícula estará se movendo para esquerda. Analogamente, prova-se que se vI ( t o ) > 0,
em t o a partícula estará se movendo para direita.
(a) Seja s = f ( t ) = t 2 − 2t + 2, calculando vI no tempo t = 1, tem-se
(1 + ∆t)2 − 2(1 + ∆t) + 2 − (12 − 2.1 + 2)
∆t →0
∆t
v I (1) = lim
1 + 2(∆t) + (∆t)2 − 2 − 2(∆t) + 2 − 1
∆t →0
∆t
= lim
(∆t) 2
∆t →0 ∆t
= lim (∆t) = 0.
= lim
∆t →0
Como a velocidade da partícula em t = 1, isto prova que a partícula está em repouso no
tempo t = 1.
(b) Calculando vI no tempo t = 0,5 = 12 , obtém-se
(Texto Comp.) Movimento Retilíneo 3
( 12 + ∆t )
1
v I   = lim
 2  ∆t →0
1
4
= lim
2
− 2( 12 + ∆t) + 2 − 

∆t
( 12 )
2
− 2 12 + 2 

+ (∆t) + (∆t) 2 − 1 − 2(∆t) + 2 − 54
∆t
∆t →0
−(∆t) + (∆t)2
∆t →0
∆t
∆t ( −1 + ∆t )
= lim
∆t →0
∆t
= lim (−1 + ∆t) = −1.
= lim
∆t →0
Como v I < 0 em t = 0,5 , a partícula nesse instante se move para esquerda.
Exemplo Proposto. Se s = t 3 − 12t + 1 é a distância percorrida por uma partícula no tempo
t ao longo de uma reta e o tempo começa a ser medido de zero, provar que a partícula no
instante:
(a) t = 2 está em repouso;
(b) t = 3 se desloca para direita.
Se uma partícula se desloca em movimento retilíneo, com velocidade instantânea
v ( t ) num tempo t qualquer, define-se:
(a) A aceleração média da partícula no intervalo de tempo ∆t, por
a m = ∆v ;
∆t
(b) A aceleração instantânea da partícula no tempo t, por
v(t + ∆t) − v(t)
∆t → 0
∆t
aI (t) = lim
desde que este limite exista.
No exemplo resolvido 5 do tópico 1 da aula 05, será feito um exemplo envolvendo
aceleração de uma partícula em movimento retilíneo.