PUC-Rio, 2017.1, INF1009.3WB: Lógica para computação Lista 0

PUC-Rio, 2017.1, INF1009.3WB: Lógica para computação
Lista 0: Formalização de proposições e argumentos em lógica proposicional
Exercício 1
Enumere todas as subfórmulas das seguintes fórmulas:
(a) ¬p ∨ (q → r)
Exemplo. Sub(¬p ∨ (q → r)) = {¬p ∨ (q → r), ¬p, (q → r), p, q, r}.
(b) ¬¬a → b
Solução. S = {¬¬a → b, ¬¬a, b, ¬a, a}.
(c) (a → (b ∧ ¬a)) → ¬a
Solução. S = {(a → (b ∧ ¬a)) → ¬a, a → (b ∧ ¬a), ¬a, a, b ∧ ¬a, b}.
(d) (p → q) → (¬p ∨ r)
Solução. S = {(p → q) → (¬p ∨ r), p → q, ¬p ∨ r, p, q, ¬p, r}.
(e) p ∨ (q ∧ r)
Solução. S = {p ∨ (q ∧ r), p, q ∧ r, q, r}.
(f) ¬¬(p ∧ ¬q) → t
Solução. S = {¬¬(p ∧ ¬q) → t, ¬¬(p ∧ ¬q), t, ¬(p ∧ ¬q), p ∧ ¬q, p, ¬q, q}.
(g) ¬(a ∧ b) → (a ∨ ¬b)
Solução. S = {¬(a ∧ b) → (a ∨ ¬b), ¬(a ∧ b), a ∨ ¬b, a ∧ b, a, b, ¬b}.
(h) ¬¬a ∨ (¬¬a → ¬¬a)
(i) (((p → p) → p) → p) → p
Exercício 2
Reescreva cada proposição abaixo identificando os conectivos usados em sua formação. Note que todas as
proposições podem ser reescritas a partir das seguintes proposições atômicas:
a : “Ele acordou cedo”
p : “Ele partiu para o serviço”
t : “Ele tomou café da manhã”
c : “Ele chegou atrasado ao trabalho” .
(a) Não acordou cedo, ou se tomou café, chegou atrasado ao trabalho.
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Exemplo.
“Não é o caso que ele acordou cedo ou, se ele tomou café da manhã, então ele chegou
atrasado ao trabalho.”
Em símbolos (cf. Exercício 3),
¬a ∨ (t → c) .
(b) Acordou cedo mas chegou atrasado ao trabalho.
Solução. “Ele acordou cedo e ele chegou atrasado ao trabalho.” Em símbolos, a ∧ c.
(c) Acordou cedo, tomou café e partiu para o serviço.
Solução. “Ele acordou cedo e ele tomou café da manhã e ele partiu para o serviço.” Em símbolos,
a ∧ t ∧ p.
(d) Ele chega na hora ao trabalho ou toma café.
Solução. “Não é o caso que ele chegou atrasado ao trabalho ou ele tomou café da manhã.” Em
símbolos, ¬c ∨ t.
(e) Ele chega atrasado toda vez que toma café.
Solução. “Se ele tomou café da manhã, então ele chegou atrasado ao trabalho.” Em símbolos,
t → c.
(f) Ele não sai para o trabalho sem tomar café.
Solução. “Se ele partiu para o serviço, então ele tomou café da manhã.” Em símbolos, p → t.
(g) Ele perdeu a hora, não tomou café e chegou atrasado ao trabalho.
Solução. “Não é o caso que ele acordou cedo e não é o caso que ele tomou café da manhã e ele
chegou atrasado ao trabalho.” Em símbolos, ¬a ∧ ¬t ∧ c.
(h) Se ele não acordar cedo ou se ele tomar café, então ele chegará atrasado ao trabalho.
Solução. “Se não é o caso que ele acordou cedo ou ele tomou café da manhã, então Ele chegou
atrasado ao trabalho.” Em símbolos, (¬a ∨ t) → c.
Exercício 3
Traduza as proposições do Exercício 2 para a linguagem da lógica proposicional.
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Exercício 4
Formalize os seguintes argumentos.
(a) Se não há subsídio governamental na agricultura, então há controle governamental sobre a agricultura.
Se existe controle governamental sobre a agricultura, então não há depressão agrícola. Ou há depressão
agrícola ou superprodução. De fato, não há superprodução agrícola. Portanto, há subsídio governamental
na agricultura.
Exemplo. Vamos usar os seguintes símbolos proposicionais:
S : “Há subsídio governamental na agricultura”
C : “Há controle governamental sobre a agricultura”
D : “Há depressão agrícola”
P : “Há superprodução agrícola”
Argumento:
{¬S → C, C → ¬D, D ∨ P, ¬P} ` S .
(b) Se o Flamengo for o terceiro, então se o Botafogo for o segundo o Vasco será o quarto. Ou o Fluminense
não será o primeiro ou o Flamengo será o terceiro. Sabemos que o Botafogo será o segundo. Logo, se o
Fluminense é o primeiro, então o Vasco será o quarto.
(c) Se o mercado é perfeitamente livre, então um único fornecedor não pode afetar os preços. Se um único
fornecedor não pode afetar os preços, então existe um grande número de fornecedores. Sabe-se que há
um grande número de fornecedores. Portanto, o mercado é perfeitamente livre.
(d) Se os salários ou os preços subirem, haverá inflação. Se houver inflação, ou o Banco Central a regula
ou o povo sofre. Se o povo sofrer, a popularidade do Presidente cai. O Banco Central não regulará a
inflação, e a popularidade do Presidente não cairá. Portanto, os salários não vão subir.
(e) Ou lógica é difícil, ou não há muitos estudantes que gostam de lógica. Se matemática é fácil, então
lógica não é difícil. Portanto, se muitos estudantes gostam de lógica, matemática não é fácil.
(f) Se Agenor está na cadeia então ele não é um fardo para a sua família. Se ele não está na cadeia, então
ele não é uma desgraça. Se ele não é uma desgraça, então ele está no exército. Se ele está bêbado, então
ele é um fardo para sua família. Portanto, ou Agenor está bêbado ou está no exército.
(g) Ou João e Henrique têm a mesma idade, ou João é mais velho que Henrique. Se João e Henrique têm a
mesma idade, então Elisabete e João não têm a mesma idade. Se João é mais velho que Henrique, então
João é mais velho que Maria. Logo, ou Elisabete e João não têm a mesma idade ou João é mais velho
que Maria.
(h) Se é dezembro, então mês passado foi novembro. Se mês passado foi novembro, então há seis meses era
Junho. Se há seis meses era junho, então há onze meses era janeiro. Se mês que vem for janeiro, então
estamos em dezembro. Mês passado foi novembro. Logo, é dezembro.
(i) Se o contrato é válido, então Horácio é responsável. Se Horácio é responsável, ele irá a falência. Se o
banco emprestar-lhe dinheiro, ele não irá a falência. De fato, o contrato é válido e o banco emprestará
dinheiro. Dessa forma, Horácio é responsável.
(j) Se Jonas cometeu o assassinato, então ele estava no apartamento da vítima e não saiu antes das onze.
Sabemos que ele estava no apartamento da vítima. Se ele tivesse saído antes das onze, o porteiro o teria
visto. Mas o porteiro não o viu. Portanto, Jonas não cometeu o assassinato.
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(k) Se o hedonismo não é correto então o eroticismo não é virtuoso. Se o eroticismo é virtuoso, então ou o
dever cívico não é a virtude mais elevada ou o dever supremo é a busca do prazer. Mas o dever supremo
não é a busca do prazer. Portanto, ou o dever cívico não é a virtude mais elevada ou o hedonismo não é
correto.
(l) Se a declaração de guerra é uma estratégia sensata, então ou cinquenta divisões estão posicionadas
na fronteira ou vinte esquadrões aéreos de bombardeiros de longo alcance estão prontos para atacar.
No entanto, cinquenta divisões não estão posicionadas na fronteira. Portanto, se vinte esquadrões de
bombardeiros de longo alcance não estão prontos para atacar, então ou a declaração de guerra não é uma
estratégia sensata ou novas armas secretas estão disponíveis.
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