Gabarito Parte III (Consumidor)

PARTE III - TEORIA DO CONSUMIDOR
Questão 14. Preferências dos Consumidores
(a.) Preferências de consumidores são "bem-comportadas" se as quatro premissas da teoria do
comportamento do consumidor são válidas. Leia as constatações abaixo e avalie qual ou quais
destas representam premissas desta teoria. Assinale todas as respostas certas.
i.
ii.
iii.
iv.
Mais sempre é melhor de que menos.
Há um ponto de saturação.
O consumidor pode comparar e ordenar todas as cestas de mercado.
O consumidor prefere cestas balanceadas a cestas não balanceadas.
(b.) Leia as afirmações abaixo e assinale as verdadeiras.
(a.) O princípio da utilidade marginal decrescente diz que, à medida que se consome mais
de determinada mercadoria, quantidades adicionais consumidas geram incrementos
menores na utilidade.
(b.) O princípio da utilidade marginal decrescente sempre é válido.
(c.) O princípio da igualdade marginal diz que no ponto da escolha ótima do consumidor a
utilidade marginal de cada bem por real (R$) gasto com ele é a mesma para todos os
bens.
(d.) O princípio da igualdade marginal sempre é válido.
(c.)
i.
Você é indiferente entre Coca-cola e Pepsi. Desenhe seu mapa de indiferença.
Coca
2
1
1
2
Pepsi
ii.
Se a Coca custar 10% a mais do que a Pepsi, qual sua escolha ótima?
Resposta: Como a Pepsi é mais barata, e você é indiferente entre ambas, você optaria
por consumir apenas Pepsi.
iii.
Qual sua taxa marginal de substituição? Explique em palavras o que ela significa.
Resposta: Como a taxa marginal de substituição indica a quantidade máxima de um
bem que um consumidor estaria disposto a deixar de consumir para obter uma
unidade adicional do outro bem, neste exercício, a taxa marginal de substituição será
de 1, ou seja, ele abre mão de 1 unidade de Coca para consumir 1 unidade a mais de
Pepsi.
iv.
Você só toma Coca-cola com gelo. Para cada copo de Coca você usa 5 pedras de gelo.
Desenhe seu mapa de indiferença (entre Coca e gelo).
Coca
2
1
5
v.
10
Gelo
Se você tem R$6,00 para gastar hoje com refrigerante, a Coca custa R$1,00 e cada
pedra de gelo R$0,20, quantas Cocas e quantas pedras de gelo você deve comprar
para maximizar sua utilidade?
Resposta: Sendo Coca = x1 e Gelo = x2
U(x1; x2) = min {x1,x2}
RO: x1 + 0,2 x2 = 6
Coca
1
2
3
4
Gelo
5
10
15
20
Gasto
$2
$4
$6
$8
Logo, você pod
erá comprar, para respeitar sua restrição orçamentária, 3 refrigerantes e 15 pedras de
gelo (cesta ótima).
(d.)
Suponha que os três patetas Larry, Moe e Curly,
tenham as seguintes preferências por tortas (bem X) e
sorvetes (bem Y). Com base nas informações abaixo,
escreva as funções de utilidade que melhor
representam as preferências de cada uma dos patetas,
e esboce cada uma delas em um gráfico:
i.
Tortas e sorvetes são bens não-relacionados para Larry. Ele sempre gasta parcelas fixas
da sua renda dedicada à alimentação com cada bem: 40% com tortas (bem X) e 60%
com sorvetes (bem Y).
Resposta: U(x,y) = x0,4 y0,6
ii.
Tortas e sorvetes são substitutos perfeitos para Moe, e a taxa marginal de substituição
é 2/3.
Resposta: U(x,y) = ax + by
TMS UMG
UMG
U(x,y) = 2x + 3y
2
3
iii.
Os bens são complementos perfeitos para Curly: ele sempre come 3 fatias de torta
junto com 2 bolas de sorvete.
Resposta: U(x,y) = min {2x ; 3y}
y
4
2
3
6
x
Questão 15. Churrasco
Observe a tabela abaixo, obtida a partir dos dados da rodada 2002-2003 da Pesquisa de
Orçamento Familiar (POF), do IBGE. Ela apresenta a aquisição alimentar per capita anual, por
classe de rendimento mensal familiar, de vários tipos de carne bovina.
Responda:
(a.) Defina bens normais e bens inferiores, e represente graficamente curvas de Engel para
ambos os bens.
Bens normais são aqueles que apresentam elasticidade renda da demanda positiva. Nos bens
inferiores, a elasticidade renda da demanda é negativa.
Renda
Bem inferior
Bem normal
Quantidade demandada
(b.) De acordo com os dados do IBGE, e considerando apenas a aquisição alimentar das duas
classes de rendimento mais elevadas, podemos dizer que, no Brasil, todos os tipos de carne de
segunda são bens inferiores? Da mesma forma, podemos dizer que, no Brasil, todos os tipos de
carne de primeira são bens normais? Justifique.
De acordo com os dados da Tabela, carne de segunda no Brasil é bem normal do primeiro até
o quinto sextil de renda. Ela só é bem inferior do quinto para o sexto sextil de renda. Isto é,
para 90% ou mais da população brasileira, carne de segunda é bem normal, ao contrário do
que afirmam alguns livros de microeconomia. As carnes de primeira são todas bens normais.
Já a tabela a seguir, também construída a partir dos dados da POF 2002/2003 do IBGE,
apresenta a despesa (ou gasto) em reais com alguns itens do orçamento familiar, classificados
pela média da despesa total de 10 faixas de despesa.
Alimentação
Habitação
Manutenção do lar
Vestuário
Transporte
Aquisição de veículos
Educação
Periódicos, livros...
1
454,70
148,59
168,92
18,99
24,06
37,08
7,54
3,63
0,38
2
658,18
195,85
242,00
21,52
37,53
56,52
12,39
6,83
0,69
3
920,69
234,26
330,33
26,92
53,44
100,57
26,87
12,15
1,49
Despesa Média por Faixa
4
5
6
7
1.215,33 1.494,43 1.914,35 2.450,03
282,12
312,33
359,76
397,94
417,23
485,10
599,76
714,56
37,24
40,75
63,16
75,10
71,57
83,78
104,77
121,82
143,25
207,25
277,37
418,81
40,60
62,78
91,16
167,79
21,63
29,54
51,55
85,86
2,91
3,28
5,99
8,46
8
3.270,20
474,54
881,33
102,27
154,01
620,59
260,65
143,31
13,89
9
4.445,42
523,77
1.189,44
168,15
179,26
802,61
343,40
230,80
21,56
10
8.721,91
788,70
1.987,85
348,09
279,76
1.505,24
715,53
426,45
37,23
Suponha, por simplicidade, que a despesa total média por faixa corresponda à renda familiar
média mensal de cada faixa1. Considere também que “elasticidade renda das despesas” é a
variação percentual das despesas (ou gastos) com um determinado item, face à variação
percentual da “renda”. Ou seja, que η =
∆%despesas
.
∆%renda
Para as questões abaixo, você pode ignorar os algarismos decimais da tabela.
(c.) Estime a elasticidade renda das despesas com “alimentação” e com “aquisição de veículos”
para famílias cuja “renda” média está entre as faixas 7 e 8. Utilize para tanto o conceito de
elasticidade no arco (ou interpolada).
A elasticidade renda da despesa com alimentação é aproximadamente 0,504 e a da aquisição
de veículos, 1,42
(d.) Bens de luxo são aqueles cuja elasticidade renda da despesa supera a unidade.
“Alimentos” e “aquisição de veículos” são bens de luxo para as faixas de renda 7 e 8? Por
que?2
Aquisição de veículos é bem de luxo para as faixas de renda 7 e 8, pois a elasticidade renda da
despesa supera a unidade. Alimentação, não.
(e.) Considerando um crescimento de 5,2% da economia brasileira no ano anterior, e
pressupondo que esse aumento da renda se deu de forma homogênea entre as faixas de
“renda”3, qual foi o aumento esperado nas despesas com “alimentação” e com “aquisição de
veículos” para famílias cuja “renda” média está entre as faixas 7 e 8?
Alimentação: aumento da despesa foi de 2,6% (5,2%*0,504). Aquisição de veículos: 7,4%
(5,2%*1,42).
1
Essa suposição não é muito realista, pois é razoável supor que as faixas de renda superiores despendem menos
relativamente à renda (isto é, poupam relativamente mais) em comparação com as faixas de renda inferiores. Mas
pense nas despesas mensais totais de sua família para saber em que faixa ela se enquadraria.
2
Em casa, “divirta-se” em descobrir se “educação” e “despesa com livros e periódicos” são bens de luxo para todas
as faixas de “renda”.
3
Será que essa suposição é realista? A resposta depende de estudos empíricos mais trabalhosos.
Questão 16. Vamos ao Shopping?
Você foi chamado para descrever o comportamento dos consumidores em Shopping Centers.
Após criteriosa observação, você conseguiu separar três tipos de consumidores com as
seguintes características:
(a.) O primeiro grupo de consumidores se mostra indiferente entre consumir vinhos nacionais
(bem Y) ou importados (bem X), trocando sempre duas garrafas de vinho nacional por uma de
vinho importado.
i. Escreva a equação que descreve as preferências desse consumidor por vinho nacional
(Y) e vinho importado (bem X).
U(X,Y) = 2X + Y
ii. Esboce o gráfico que representa estas preferências.
Y
16
12
2
Ponto ótimo (8 ; 0)
ótimo (8 , 16)
1
8
X
iii. Calcule e indique no gráfico a restrição orçamentária e a escolha ótima desse grupo de
consumidores, assumindo que o consumidor dispõe de R$ 480 para gastar com vinhos,
PX = R$ 60/garrafa e PI = R$ 40/garrafa.
Restrição orçamentária: 60X + 40Y = 480 (veja em vermelho no gráfico)
(b.) O segundo grupo de consumidores vai ao Shopping para ir ao cinema e sempre come dois
salgados.
i. Escreva a equação que descreve as preferências desse grupo de consumidores por
cinema (C) e salgados (S).
U(S,C) = Min { C , S/2 }
ii. Esboce o gráfico que representa estas preferências.
C
3
Ponto ótimo (2 , 4)
1
2
12
S
iii. Calcule e indique no gráfico a restrição orçamentária e a escolha ótima desse grupo de
consumidores, assumindo que ele disponha de R$ 60 para gastar com o programa,
sendo que o ingresso de cinema custa R$20 (PC = 20) e cada salgado sai por R$5 (PS =
5).
Restrição orçamentária: 20C + 5S = 60 (veja em vermelho no gráfico)
(c.) O terceiro grupo de consumidores vai ao Shopping para gastar na praça de alimentação (A)
e comprar peças de vestuário (V) e seu comportamento deste consumidor pode ser descrito
pela seguinte função Cobb-Douglas:
U = A0,4V0,6
i. Encontre as funções de demanda por vestuário e alimentação, assumindo que o
consumidor maximiza sua utilidade (Obs: você pode utilizar ou não o método de
Lagrange, mas deve mostrar como chegou ao resultado! Não vale decorar!).
O consumidor irá maximizar sua utilidade, sujeito à restrição orçamentária. O
lagrangeano fica:
L = A0,4V0,6 – λ [pAA + pVV – R]
L
A
L
V
L
0,4 A -0,6 V 0,6 – λpA = 0
0,6 A 0,4 V-0,4 – λPV = 0
=>
=>
pAA + pVV – R = 0
λ = (0,4 A -0,6 V 0,6) / pA (Eq.1)
λ = (0,6 A 0,4 V-0,4) / pV
(Eq.2)
(Eq.3)
Igualando as equações (1) e (2):
(0,4 A -0,6 V 0,6) / pA = (0,6 A 0,4 V-0,4) / pV
V = 1,5 pA A / pV
(Eq. 4)
Substituindo na equação (3):
pAA + pV [1,5 pA A / pV] – R = 0
A = 0,4R/pA
Voltando na equação (4):
V = 1,5 pA A / pV = 0,6R/PV
Portanto, as curvas de demanda são:
Demanda por alimento:
A = 0,4R/pA
Demanda por vestuário:
V = 0,6R/pV
ii. Para esses consumidores Alimentos e Vestuários são bens independentes,
complementares ou substitutos. Explique.
Os bens são independentes pois a elasticidade-preço cruzada das demandas é zero (ou
seja, a demanda por A não depende do preço de V e a demanda de V não depende do
preço de A).
iii. Mostre que o consumidor gasta sempre uma parte fixa do dinheiro que leva ao
Shopping (R) em Alimentação (A) e outra, em Vestuário (V). Quantos por cento de R ele
gasta com cada bem?
O gasto do consumidor com A é igual a:
pA x A
Do item (i.) temos que:
A = 0,4R/pA.
Multiplicando a demanda por pA:
pA x A = 0,4R
Ou seja, o gasto do consumidor com alimentação é fixo e equivale a 40% de sua renda.
Analogamente, usando a curva de demanda por vestuário temos que pV x V = 0,6R, ou o
gasto do consumidor com vestuário é fixo em 60% de sua renda.
iv. Esboce o gráfico que representa as preferências deste tipo de consumidor por
vestuário (V) e alimentação (A), bem como sua restrição orçamentária, e assinale o
ponto que maximiza sua utilidade, assumindo que PA= R$40, PV= R$60 e R= $600
V
10
Ponto ótimo (6 , 6)
15
A
Questão 17. A tábua (‘tablet’) mais famosa desde os 10 Mandamentos
“2010 foi o ano do iPad”, disse Steve Jobs, fundador da Apple, no evento em março último em
que apresentou uma nova versão do produto. Em apenas 9 meses, a Apple vendeu 15 milhões
de unidades do produto, mais do que todos os tablets juntos venderam na história.
O fato é que o sucesso dos tablets vem mudando hábitos de consumo para diversos tipos de
conteúdo, tais como músicas, livros, filmes, revistas e jornais.
(a.) O efeito mais óbvio da disseminação dos tablets é a substituição de conteúdos em meio
físico por conteúdos digitais. Suponha que, para você e-Books (bem X) e livros impressos (bem
Y) são substitutos perfeitos. Como usar seu iPad novo é particularmente prazeroso para você,
ler um e-Book te dá uma utilidade marginal 20% maior do que ler um livro tradicional.
i.
Escreva uma equação que descreva suas preferências por e-Books (bem X) e livros
impressos (bem Y).
U(X,Y) =1, 2X + Y
ii.
Desenhe em um mesmo gráfico suas preferências e sua restrição orçamentária,
assumindo que você dispõe de R$ 300 para gastar com livros (digitais e impressos) no
ano, e que um e-Book custa PX = R$ 15/livro e um livro impresso custa PY = R$30/livro.
RO:
pXX + pYY = R
15X + 30Y = 300
(ou X + 2Y = 20)
Y
24
10
1,2
Ponto ótimo (20 ; 0)
ótimo (8 , 16)
1
20
X
iii.
Quantos e-Books e quantos livros impressos você deve comprar no ano, se quiser
maximizar sua utilidade? Indique no gráfico do item (ii.).
Como eBooks (bem X) oferecem uma maior utilidade por real gasto, já que:
UMgX / pX = 1,2 / 15 = 0,08
UMgY / pY = 1 / 30 = 0,03
a escolha ótima do consumidor é comprar apenas eBooks. Com R$ 300, ele consegue
comprar 300/15 = 20 eBooks, portanto, a escolha ótima é X = 20 e Y = 0, uma solução
de canto.
iv.
Qual teria que ser o preço do livro impresso para que você se tornasse indiferente
entre ele e um e-Book?
Para o consumidor ser indiferente entre os dois, é preciso que:
UMgX / pX = UMgY / pY
ou, reescrevendo:
UMgX / UMgY = pX / pY
1,2 = pX / pY
ou seja, o preço do eBook teria que ser 20% maior do que o do livro impresso.
Reescrevendo:
PY = pX / 1,2
Se pX = R$15, então:
PY = 15 / 1,2 = 12,50
Portanto, o livro impresso teria que custar R$12,50 para que eu fosse indiferente entre
ele e um eBook.
(b.) Em outras situações, bens reais e virtuais são complementares. Imagine que você compre
sempre 20 músicas através do iTunes (bem X) para cada show de algum grupo que assiste no
estádio (bem Y).
i.
Escreva a equação que descreve suas preferências por músicas (X) e shows (Y).
U(X,Y) = Min { X , 20Y } ou U(X,Y) = Min { (1/20) X , Y }
ii.
Desenhe em um mesmo gráfico suas preferências e sua restrição orçamentária,
assumindo que você disponha de R$ 360 para gastar com os dois bens no ano,
sendo que cada música custa PX = R$ 1 e cada show, PY = R$100.
RO:
X + 100Y = 360
Y
3,6
Ponto ótimo (60, 3)
1
360
20
iii.
X
Qual sua escolha ótima? Calcule e indique no gráfico do item (ii.).
No ponto ótimo, temos que X = 20Y para que não haja desperdício. Jogando na
restrição orçamentária:
(20Y) + 100Y = 360
Y=3
X = 20 (3) = 60
Portanto, o consumidor deve comprara 60 músicas e ir a 3 shows.
(c.) Suponha agora que e-Books (bem X) e música digital (bem Y) sejam bens independentes
entre si para você, e que você gasta sempre 30% da renda que dedica à compra de conteúdos
digitais (R) com e-Books e 70% com músicas.
i.
Escreva a equação que descreve suas preferências por e-Books (bem X) e música
digital (bem Y).
Como os bens são independentes, a função é uma Cobb Douglas, sendo que os
expoentes representam quantos % da renda ele gasta com cada bem:
U (X,Y) = X0,3Y0,7
ii.
Encontre suas funções de demanda por e-Books e música digital, assumindo que
você maximiza sua utilidade, utilizando o método da TMS OU o método de
Lagrange.
Pela TMS, temos que, no ponto ótimo:
UMgX / pX = UMgY / pY
(0,3 X -0,7 Y 0,7) / pX = (0,7 X 0,3 Y-0,3) / pY
pY Y = 2,33 pX X
Equação (1)
Jogando na restrição orçamentária:
pXX + pYY = R
pXX + 2,33 pX X = R
X = 0,3R/pX
(Função de demanda por X)
Voltando na Equação (1):
pY Y = 2,33 pX X
pY Y = 2,33 pX (0,3R/pX )
Y = 0,7R/pY
iii.
(Função de demanda por Y)
Qual sua escolha ótima, assumindo que um e-Book custa R$15, uma música digital
custa R$1 e que sua renda dedicada a este fim é R= R$100 por mês?
Basta substituir os dados acima nas funções de demanda:
X = 0,3R/pX = 0,3 (100) / 15 = 2
Y = 0,7R/pY = 0,7 (100)/1) = 70
A escolha ótima é comprar 2 eBooks e 70 músicas por mês.
Questão 18. Escolha entre álcool e gasolina
O objetivo desse exercício é derivar a curva de demanda
por um bem que é substituto perfeito de outro. No caso,
de etanol em automóveis do tipo flex-fuel,
fuel, que é
substituto perfeito da gasolina.
(a.)
Defina bens substitutos perfeitos.
A definição rigorosa de bens substitutos perfeitos é a de
que a TMS entre eles é constante. Isto é, de que eles
podem ser trocados em uma proporção constante (e não
necessariamente 1:1), independentemente da combinação inicial dos bens, sem que haja
alteração não nível de utilidade.
Um vereador recebe,
e, além de seus proventos e outros benefícios, verba fixa, exclusiva para
combustível, que ele utiliza em seu carro oficial nos deslocamentos pela cidade. Suponha que
o valor desta verba seja de R$ 700,00 por mês, mais ou menos o equivalente a um tanque
cheio de gasolina por semana.
(b.) Suponha que o preço do litro da gasolina seja de R$ 2,80 e do litro de etanol seja de R$
2,0. Desenhe a Restrição Orçamentária do vereador, colocando no eixo horizontal
quantidade consumida de litros de etanol (E) e no eixo vertical, gasolina (G).
G
250
350
E
Sabemos que o rendimento do etanol é equivalente a 0,7 vezes o rendimento da gasolina, e
que os combustíveis são, em tese, substitutos perfeitos. Para simplificar, suponha que o carro
do vereador faça 7 km com um litro de álcool e 10 km com um litro de gasolina.
gas
(c.) (i.) Escreva a função utilidade do vereador, isto é, U = f(E, G), onde E é o consumo de
etanol e G, de gasolina. (ii.) Calcule a taxa marginal e substituição (-dG/dE).
U = 10G + 7E. Obviamente, também são válidas respostas como U = G + 0,7E. Observe que
esta função utilidade pode ser analisada pela abordagem cardinal, e não apenas ordinal. A
TMS (-dG/dE) = 0,7. Isto é, para cada redução (aumento) de 1 litro de etanol, o consumidor
vai precisar de um aumento (redução) de 0,7 litro de gasolina para ficar no mesmo nível de
utilidade.
(d.) Escolha ótima:
(i)
Desenhe no gráfico do item (b) o mapa de indiferença da função utilidade que
você encontrou em (c). Qual é o ponto de escolha ótima, isto é, a combinação
de gasolina e etanol que maximiza a utilidade do vereador? Qual é a utilidade
neste ponto?
O ponto de escolha ótima nesta situação é o consumo exclusivo de gasolina, como
mostra a figura abaixo. Neste ponto, a utilidade será de 2.500 (ou 250, dependendo de
como o aluno definiu a função utilidade).
G
250
Pt de escolha ótima
350
357,4
E
Algebricamente, o aluno pode também comparar utilidade marginal com o preço dos
dois combustíveis. No caso da gasolina, a razão seria 10/2,8 = 3,57; no caso do etanol,
7/2 = 3,5. Como a relação benefício/custo é maior na gasolina, e os bens são
substitutos perfeitos, a escolha ótima será o consumo exclusivo de gasolina.
(e.) O preço do etanol varia bastante ao longo do ano, especialmente por causa da safra de
cana de açúcar, que ocorre entre abril e setembro, quando o preço cai.
(ii)
Suponha que em abril, em virtude da safra de cana, o preço do litro do etanol
caia para R$ 1,96/litro. Desenhe em um novo gráfico a nova Restrição
Orçamentária e as curvas da função utilidade. Qual é a escolha agora entre
gasolina e etanol? Qual é a utilidade?
Neste caso, o máximo de etanol que o vereador pode comprar com sua verba exclusiva
aumenta para 357,4 e a RO coincide exatamente com a curva de indiferença. Qualquer
combinação possível de gasolina e etanol estará maximizando sua utilidade, que
permanece no nível de 2.500 (ou 250).
G
250
350
(iii)
357,4
E
E se o preço do litro do álcool cair para abaixo de R$ 1,96/litro, qual será a
escolha entre gasolina e etanol? (Desenho optativo, faça apenas se quiser, mas
não deixe de escrever a resposta).
Este caso é a situação inversa do item d.(i). O vereador consumirá apenas etanol,
auferindo a mesma utilidade.
(f.) A partir dos resultados obtidos nos itens anteriores, esboce graficamente a curva de
demanda de etanol por parte do vereador.
250
357,4
357,4
19. Os alcoólatras
(para fazer com o auxilio do excel)
Três amigos foram a um bar, cada qual com R$ 25 para gastar em pinga. Suponha que o preço
da dose de pinga seja R$ 1.
(a.) Desenhe a restrição orçamentária dos três amigos, representando doses de pinga no
eixo horizontal e mercadoria composta (cujo preço, por definição, também é R$1) no
eixo vertical.
30
25
20
15
10
5
0
0
5
10
15
20
25
30
(b.) Os três amigos tem tendência ao alcoolismo. Suponha que a função utilidade do primeiro
possa ser representada por:
2 + (i)
Lembre-se de suas aulas de geometria analítica no colegial e desenhe a curva de
indiferença desse primeiro consumidor para U = 25 e para U = 35,355.
40
35
30
25
20
15
10
5
0
0
(ii)
5
10
15
20
25
30
A curva de indiferença desse consumidor é côncava ou convexa? Que premissa da
teoria do consumidor essa função utilidade não respeita?
Ela é concava, não obedecendo a premissa da TMS decrescente, o que significa
que para esse consumidor, a utilidade marginal da pinga é crescente.
(iii)
Qual é a combinação de pinga e mercadoria composta que este consumidor deve
escolher, de forma a maximizar sua utlidade nesta noite? O que isso significa, no
médio prazo, para a saúde deste consumidor?
Esse consumidor vai gastar tudo em pinga, e no médio prazo vai morrer de cirrose
hepática, a não ser que seja impedido de entrar no bar.
(c.) O segundo consumidor apresenta função utilidade um pouco diferente, que pode ser
representada por:
+ 2 (i)
Assim como no caso anterior, desenhe a curva de indiferença desse segundo
consumidor para U = 25 e U = 35,355.
30
25
20
15
10
5
0
0
(ii)
5
10
15
20
25
30
Qual é a combinação de pinga e mercadoria composta que este consumidor deve
escolher, de forma a maximizar sua utilidade nesta noite? O que isso significa, no
médio prazo, para a saúde deste consumidor?
Esse consumidor, mesmo tendo tendência ao alcoolismo, prefere gastar todo o
seu dinheiro em mercadoria composta. Mesmo tendo a tendência (genética), não
deve desenvolver a doença.
(d.) Finalmente, o último consumidor apresenta a seguinte função utilidade:
+ (i)
Desenhe a curva de indiferença desse terceiro consumidor para U = 25.
30
25
20
15
10
5
0
0
(ii)
5
10
15
20
25
30
Qual ou quais combinações de pinga e mercadoria composta este consumidor
deve escolher, de forma a maximizar sua utlidade nesta noite?
Esse consumidor apresenta dois equilíbrios: ou gasta tudo em mercadoria
composta, ou gasta tudo em pinga.
(iii)
O terceiro consumidor entra no bar com seus R$ 25. O que acontece com as
escolhas deste consumidor se ele adquirir a primeira dose de pinga? Com base
neste resultado, que conselho você daria a este consumidor?
Se ele beber o primeiro gole, ele só voltará ao estado inicial de satisfação se
gastar todo o dinheiro em pinga. Meu conselho é evitar o primeiro gole. E
frequentar os Alcoólatras Anônimos.
Questão 20. Uma Viagem a Nova Iorque
Márcia, Luana e Bianca resolveram viajar juntas a Nova Iorque. Cada uma reservou a mesma
quantia em dinheiro (M) para gastar semanalmente em bons restaurantes (bem X) e alguns
espetáculos, como shows, peças de teatro, óperas, musicais etc. (bem Y). Chegar a um
consenso do que fazer foi difícil, uma vez que suas preferências são bastante distintas.
A solução foi decidir que a cada semana uma delas escolheria os programas, levando em conta
apenas suas próprias preferências.
Na primeira semana Márcia é quem escolheria os programas. Ela possui a seguinte função
utilidade:
U ( X , Y )Márcia = X Y4
onde X é o número vezes que iriam a espetáculos e Y é o número de vezes que iriam a bons
restaurantes.
(a.) Com base na função utilidade de Márcia:
i.
Encontre as funções demanda por X e Y, como função dos preços PX , PY e da quantia
semanal (M) destinada aos gastos com X e Y . (Você pode usar Lagrange ou não, mas a
resposta só será válida se você mostrar como chegou ao resultado.)
Resolveremos pela fórmula da TMS:
#
1
!" 4 4 Sabemos que no ponto ótimo: &'
&(
1
)
)"
4
4) )"
Substituindo na restrição orçamentária, temos:
) + )" *
) + 4) *
+
,
0
-./
Voltando em (1):
4) )"
4 1&' *2 ) )"
(1)
3
ii.
4
0
-.5
Mostre que a proporção de M que Márcia dedica a cada programa (X e Y) é sempre
fixa.
Usando as curvas de demanda calculadas em (i), temos:
Parcela da renda gasta com X =>
Parcela da renda gasta com Y =>
&'6
7
&'6
7
#
Portanto, Márcia gasta sempre 20% da sua renda com X e 80% com Y.
Suponha que cada amiga disponha de 600 dólares semanais para gastar em espetáculos e
restaurantes, que cada espetáculo custe 80 dólares e que o gasto em um bom restaurante
esteja 120 dólares por pessoa, ou seja, PX = 120, PY = 80 e M = 600.
(b.) Com base nas funções de demanda calculadas do item (a), e os dados acima, responda:
i.
Na semana em que Márcia escolherá os programas, a quantos espetáculos e bons
restaurantes elas iriam?
Usando as curvas de demanda calculadas em (a), temos:
1
1
*
∙ 600 1
5)
5 ∙ 120
4
4
*
∙ 600 6
5 ∙ 80
5)"
Resposta: Elas irão apenas 1 vez ao teatro e 6 vezes a restaurantes.
ii.
Para Márcia, X e Y são substitutos, complementares ou independentes? Justifique sua
resposta.
Resposta: Os bens são independentes, pois a elasticidade-cruzada da demanda dos dois
bens é nula. Isso quer dizer que a demanda de X não depende do preço de Y e a demanda
de Y não depende do preço de X.
@
=6,?
A )"
)"
∙
0∙
0
A)" @
=?,6
iii.
A )
)
∙
0∙
0
A)
Desenhe a curva preço-consumo considerando variações no preço de X, mantendo
constante o preço de Y (Py = 80) e a quantia em dinheiro para gastar semanalmente
(M = 600). Explique o formato da curva preço-consumo de Márcia.
Curv a Preço-Consum o: Be ns Ind ependen tes
Px ?
Y
X?
Yconstante
6
E1
E2
X
1
1
Nas outras duas semanas, como combinado, Bianca e Luana decidiriam os programas. Suponha
que os preços de uma semana para outra permaneçam os mesmos e que cada uma disponha
da mesma quantia para gastar a cada semana PX = 120, PY = 80 e M = 600.
(c.) As preferências de Bianca poderiam ser representadas por:
U ( X , Y )Bianca =min { X Y}
i.
Desenhe o mapa das curvas de indiferença de Bianca. O que você pode afirmar sobre
suas preferências?
Resposta: Os bens são complementares perfeitos.
Complementares Perfeitos
Y
Curvas de Indiferença
U ( X , Y ) = mín {X , Y }
3
2
1
0
1
2
3
X
5
ii.
Desenhe a restrição orçamentária no gráfico no item (d)-(i) e indique a escolha ótima.
Nessa semana, em que a programação é decidida por Bianca, a quantos espetáculos e
bons restaurantes elas iriam? Explique sua resposta.
Resposta: Quando dois bens são complementares, a escolha ótima ocorre sempre na
“quina” da função utilidade, de forma que não haja desperdício comprando unidades
adicionais de X ou Y que não aumentarão a utilidade do consumidor. Neste caso, a
maior curva de indiferença que se consegue atingir com a restrição orçamentária dada
é U = 3, ou seja, X = Y = 3.
Y
7,5
Cesta Ótima
Cesta Ótima : ( X , Y ) = (3 , 3)
3
2
1
0
1
2
3
X
5
6
(d.) Considerando que Luana possui a seguinte função utilidade:
U ( X , Y )Luana =5X + Y
i.
Desenhe o mapa das curvas de indiferença de Luana. O que você pode afirmar sobre
suas preferências?
Resposta: Os bens são substitutos perfeitos.
Substitutos Perfeitos
Y
Curvas de Indiferença
U ( X ,Y ) = 5X + Y
5
TMS =
0
1
2 3 4
5
dY UMgX
=
=5
dX UMgY
X
2
ii.
Desenhe a restrição orçamentária no gráfico no item (e)-(i) e indique a escolha ótima.
Nessa semana, em que a programação é decidida por Luana, a quantos espetáculos e
bons restaurantes elas iriam? Explique sua resposta.
Resposta: Se dois bens são substitutos teremos uma solução de canto. O consumidor
optará por adquirir apenas o bem que lhe proporciona maior utilidade por real gasto.
Assim, a programação da semana escolhida apenas por Luana consistirá em 5
concertos e nenhum restaurante.
Curvas de Indiferença
Y
U ( X ,Y ) = 5 X + Y
7,5
TMS =
dY UMgX
=
=5
dX UMgY
5
Cesta Ótima
Cesta Ótima : ( X , Y ) = (5 , 0)
0
1
2 3 4
5
X
3
Questão 21. Aumento nos preços de transporte público
Até maio deste ano, um trabalhador recebia salário mínimo de R$ 260,00, e gastava,
hipoteticamente, em duas mercadorias: transporte público (representado por Y ) e a
mercadoria composta (isto é, uma mercadoria que simboliza todas as demais mercadorias,
representada por X ). Até março, o preço do transporte público era PX = 1,70 , enquanto o da
mercadoria composta é, por construção, PY = 1,00 .
Todo mês, o trabalhador gasta o equivalente a 40 viagens de transporte público (ida e volta do
trabalho, 20 dias por mês), e o resto em mercadoria composta. Suponha que suas preferências
sejam regulares e bem comportadas, isto é, atendam às quatro premissas básicas da teoria do
consumidor4.
(a.) Recentemente, o prefeito de São Paulo aumentou a preço da passagem para R$ 2,00 e o
salário mínimo subiu para R$ 300,00. O trabalhador está em melhor situação agora? Mostre
graficamente.
Na situação inicial, a escolha ótima do trabalhador é (X*; Y*) = (40; 192), onde 192 = 260 –
1,7*40. A situação está representada na figura abaixo pela linha do orçamento preta e pela
curva de indiferença em azul. A figura está fora de escala, o que não muda em nada o
raciocínio. Com o aumento do salário mínimo e da tarifa de ônibus, a nova linha do orçamento
é a que está em vermelho na figura. Com o novo salário mínimo, o trabalhador pode comprar
a cesta (X*, Y*) original, que custa agora R$ 272 = 40*2 + 192, e ainda sobra algum dinheiro. O
trabalhador está inequivocamente em melhor situação, como mostra a curva de indiferença
tracejada em vermelho.
300
260
192
40
4
150
152,9
Elas devem ser também monotônicas, mas isso é assunto para estudos mais avançados.
(b.) Se o prefeito tivesse aumentado o preço da passagem para R$ 2,70, o trabalhador estaria
em melhor situação do que na situação inicial? Mostre graficamente?
Nesta nova situação, o trabalhador consegue comprar a cesta inicial (X*, Y*), mas não sobra
nenhum dinheiro. A antiga cesta custa agora exatamente os mesmos R$ 300 do novo salário
mínimo. A análise da figura mostra que neste o caso, o trabalhador continua inequivocamente
em melhor situação, desde que as suas preferências sejam bem comportadas.
300
260
192
40
111
152,9
(c.) Se o salário mínimo tivesse subido para R$ 270,00 e o preço da passagem para R$ 2,00, o
trabalhador estaria em melhor situação do que na situação inicial? Mostre graficamente?
Nessa situação, o trabalhador não pode comprar a sua cesta inicial (X*, Y*). A nova cesta custa
R$ 272, enquanto seu salário é de apenas R$ 270. Neste caso, a situação final do trabalhador é
inconclusiva, dependendo de quão importante é para ele o transporte em relação às demais
mercadorias. Ele pode ficar melhor (fig. A), pior (fig. B) ou até igual (fig. C).
270
260
192
40
150
152,9
Fig. A: transporte é relativamente menos importante; situação do trabalhador é melhor
270
260
192
40
150
152,9
Fig. B: transporte é mais importante; situação do trabalhador é pior
270
260
192
40
150
152,9
Fig. C: trabalhador é indiferente
(d.) Suponhamos que a combinação de aumentos no salário mínimo e no preço da passagem
de ônibus tenha resultado no aumento de satisfação de dois trabalhadores e na redução da
satisfação de um trabalhador. É possível dizer, a partir da abordagem cardinal da utilidade, se a
satisfação geral dos trabalhadores (soma das satisfações individuais dos três trabalhadores)
aumentou ou diminuiu? E pela abordagem ordinal? Explique.
Na abordagem cardinal é possível, pois ela permite a mensuração comparativa dos níveis de
satisfação dos trabalhadores (em “utiles”). Na abordagem ordinal, essa comparação não é
possível.
Questão 22. A classe C vai às compras
O Brasil passa por uma transformação sem precedentes no perfil de seus consumidores. A
estabilidade e o crescimento da economia levaram à escalada de dezenas de milhões de
pessoas para a classe C, que hoje representa cerca de metade da população brasileira. Mais do
que uma simples elevação da renda, a ascensão para a classe C leva a mudanças nas
preferências dos consumidores. Itens antes inacessíveis como celulares, computadores e até
cursos superiores tornam-se agora anseios de consumo e símbolos de status.
Estudo recente do Ibope identificou dois perfis principais de consumidores da classe C: o
consumista, ou “deslumbrado”, que compra por impulso e valoriza bens de consumo como
carros e eletrodomésticos, e o planejador, mais cauteloso, cético e preocupado com o futuro,
que tende a investir mais em educação (escolas particulares para os filhos, curso superior,
etc.).
Waldisnei da Silva, assistente administrativo, e sua esposa Edinéia, cabeleireira, acabaram de
ascender para a classe média. Eles estão tendo dificuldade em determinar a melhor maneira
de gastar sua renda familiar e, depois de incontáveis brigas familiares, pediram que você use
seus prestimosos conhecimentos de Microeconomia para evitar o divórcio!
Suponha, de forma simplificada, que Waldisnei e Edinéia pretendem gastar toda a parcela de
sua renda que sobra após seus gastos com subsistência (alimento, aluguel, roupas, etc.) com
duas categorias de bens: telefonia celular (bem X) e educação (bem Y). As funções de utilidade
de cada um são dadas por:
Waldisnei:
UW = X0,2Y0,8
Edinéia:
UE = X0,7Y0,3
onde X é o número de minutos por mês que o consumidor passa no celular e Y, o número de
horas por mês que gasta com um curso de especialização.
(a.) (i.) Calcule a taxa marginal de substituição (TMS) de Y por X para cada um dos
consumidores. (ii.) Defina taxa marginal de substituição. (iii.) Com base nos valores calculados
em (i.), como você classificaria Waldisnei e Edinéia dentro dos perfis “consumista” e
“planejador” explicados anteriormente? Explique sua resposta.
(i.) Sabemos que a taxa marginal de substituição é dada por:
TMS = UMgX / UMgY
sendo UMgx = AU/AX e UMgY = AU/AY.
Para Waldisney:
TMS = (0,2X-0,8Y0,8) / (0,8X0,2Y-0,2) = 0,25 Y / X
Para Edinéia:
TMS = (0,7X-0,3Y0,3) / (0,3X0,7Y-0,7) = 2,33 Y / X
(ii.) A taxa marginal de substituição é a quantidade do bem Y que o consumidor está
disposto a abrir mão para obter uma unidade adicional do bem X, de forma a manter sua
utilidade constante.
(iii.) Vemos que Edinéia está disposta a abrir mão de uma quantidade muito maior (cerca
de 9 vezes) do bem Y (educação)do que Waldisney para obter uma unidade adicional do
bem X (telefonia celular), para uma mesma quantidade de Y e X. Isto indica que Edinéia
atribui mais valor ao bem “telefonia celular”, enquanto Waldisney atribui mais valor ao
bem educação. Podemos dizer, assim, que Edinéia enquadra-se no perfil “consumista”
enquanto Waldisney enquadra-se no perfil “planejador”.
Obs: repare que como a TMX de Waldisney, por exemplo, é 0,25Y/X, ele está disposto a
abrir mão de 0,25 vezes Y/X unidades de Y para conseguir uma unidade a mais de X (e não
0,43, como muitos alunos colocaram). O significado do termo Y/X na TMS é o seguinte:
como a função utilidade não é uma reta, ela terá uma inclinação (ou TMS) diferente em
cada ponto. Para você saber exatamente o valor desta inclinação, é preciso escolher um
ponto da curva (ou seja, um X e um Y).
(b.) Suponha que, vencido pelo cansaço, Waldisnei tenha concordado que as preferências da
mulher (UE = X0,7Y0,3) prevaleçam e deixa que ela tome as decisões sobre como gastar a renda
disponível da família (R). Obtenha as curvas de demanda por eletrônicos (bem X) e educação
(bem Y) de Edinéia. (Obs: você pode usar Lagrange ou não, mas precisa demonstrar como
chegou ao resultado. Não vale decorar!!!)
Edinéia irá maximizar sua utilidade, sujeito à restrição orçamentária. O lagrangeano fica:
L = X0,7Y0,3 – λ [pXX + pYY – R]
L
X
L
Y
L
0,7 X -0,3 Y0,3 – λpX = 0
=> λ = (0,7 X -0,3 Y0,3) / pX
0,3 X 0,7 Y-0,7 – λPY = 0
=>
pXX + pYY – R = 0
λ = (0,3 X 0,7 Y-0,7) / pY (Eq.2)
(Eq.3)
Igualando as equações (1) e (2):
(0,7 X -0,3 Y0,3) / pX = (0,3 X 0,7 Y-0,7) / pY
Y = (3pX X) / (7pY)
(Eq. 4)
(Eq.1)
Substituindo na equação (3):
pXX + pY [(3pX X) / (7pY)] – R = 0
X = 0,7R/pX
Voltando na equação (4):
Y = 3pX (0,7R/pX) / (7pY) = 0,3R/PY
Portanto, as curvas de demanda são X = 0,7R/pX e Y = 0,3R/PY.
(c.) Suponha que a família disponha de uma renda de R$500 por mês para gastar com não
supérfluos, e que o preço a ligação no celular (PX) seja R$1,00 por minuto e o preço do curso
de especialização (PY) seja R$5,00 a hora. Qual a escolha entre eletrônicos e educação capaz de
maximizar a utilidade?
Aplicando os valores dados nas curvas de demanda encontradas em (b.):
X = 0,7R/pX = 0,7 (500) / 1 = 350 minutos ao celular
Y = 0,3R/PY = 0,3 (500) / 5 = 30 horas de curso de especialização
(d.) Imagine que você seja o diretor de uma nova empresa de celular criada para atender a
nova classe emergente e gostaria de estimar a demanda total por eletrônicos deste público.
Assumindo que Edinéia represente um consumidor padrão, e que existem 20 milhões de
consumidores potenciais com as mesmas preferências e renda disponível que ela, qual seria a
demanda agregada por serviços de telefonia celular?
Utilizando a curva de demanda de Edinéia por X calculada em (b.), temos que:
QD = 20.000.000 x (0,7R/pX)
Ou, para R = 500:
QD = 20.000.000 x (0,7(500)/pX) = 7.000.000.000/pX
Poderíamos escrever, portanto, que a demanda por telefonia celular é dada por QD = 7 / P,
onde P é o preço da ligação, em R$ por minuto, e QD é a quantidade demandada em
bilhões de minutos por mês.
(e.) De forma a estimular os consumidores da classe C a investirem mais em educação, o
governo criou um programa de subsídio a cursos superiores de forma que PY caiu pela metade.
Represente a função de utilidade da família no gráfico correspondente de sua folha de
resposta e mostre (i.) a restrição orçamentária antes e após o subsídio, (ii.) a escolha ótima
entre eletrônicos e educação antes e após o subsídio (mostre os valores correspondentes de X
e Y nos respectivos eixos) e (iii.) o efeito renda e o efeito substituição, em termos do consumo
de Y.
(i.) As restrições orçamentárias (pXX + pYY = R) são:
Antes:
Depois:
X + 5Y = 500
X + 2,5Y = 500
(ii.) As escolhas ótimas são:
Antes (calculada em e.):
Depois:
X = 350 e Y = 30
X = 350 e Y = 60
X = 0,7R/pX = 0,7 (500) / 1 = 350 minutos ao celular
Y = 0,3R/PY = 0,3 (500) / 2,5 = 60 horas de curso de especialização
(iii.) Para encontrar os efeitos renda e substituição utilizaremos o método de Hicks. Para
tanto, traçamos uma reta (em cinza, no gráfico) paralela a nova restrição orçamentária,
porém tangente à curva de utilidade em que Edinéia se encontrava antes do subsídio.
Encontramos então o que seria o ponto ótimo nesta situação (em cinza), em que
consideramos apenas o efeito da mudança no preço relativo dos bens (ou, graficamente,
na inclinação da restrição orçamentária). Este é o efeito substituição. O restante,
correspondente a um aumento de poder aquisitivo (ou, graficamente, a um deslocamento
paralelo da restrição orçamentára – da cinza para a vermelha), é o efeito renda. Os efeitos
estão marcados no eixo Y do gráfico, porque foram pedidos em termos do consumo de Y.
Y
R/pY = 500/2,5 = 200
R/pY = 500/5 = 100
Ponto ótimo depois
60
Efeito renda
Ponto ótimo antes
Efeito substituição
30
350
R/pX = 500/1 = 500
X
Questão 23. A escolha de Sofia
Andrea e Renato, após um bom período sem viajar sozinhos, foram surpreendidos por seus
pais que se reuniram e depois de alguma discussão resolveram ficar com as netas para que o
casal pudesse viajar e viver novas emoções. Democraticamente, decidiram que o casal poderia
escolher entre uma semana na Selva Amazônica ou uma semana na Patagônia, o que custaria
o mesmo. Eles ganhariam as passagens e a estadia, e os demais gastos ficariam por conta do
casal.
A primeira decisão a ser tomada seria para onde ir. Suponha que as preferências de Andrea e
Renato possam ser expressas por: UANDREA (X ,Y) = X + Y e URENATO (X, Y) = X – Y , onde X é
Patagônia e Y Selva Amazônica.
(a.) O que você pode dizer a respeito das preferências dos dois? Represente graficamente o
mapa de indiferença de cada um. Explique a partir das funções utilidade o que cada um
prefere. Seria possível chegarem a um consenso? Justifique.
Para Andrea os bens são substitutos perfeitos: uma semana na selva Amazônica gera
exatamente a mesma utilidade que uma semana na Patagônia. Ela é, portanto, indiferente
entre as duas opções e seu mapa de indiferença seria:
3
2
Melhor
1
1
2
3
Já Renato considera Y (Selva Amazônica) um mal, já que Umgy < 0. Logo, seu mapa de
indiferença fica:
2
Melhor
1
1
2
A única possibilidade de consenso seria irem apenas para a Patagônia, já que Andrea obtém a
mesma utilidade com as duas opções e para Renato esta é a única opção que gera utilidade
marginal positiva.
Entretanto, Sofia, a filha mais velha do casal “fechou o tempo”. Segundo Sofia, na Amazônia
seus pais seriam atacados por onças e piranhas e, na Patagônia, por leões marinhos ferozes.
Além disso, a dificuldade de locomoção e comunicação impediria o resgate rápido de seus
corpos ou o que restasse deles. Estes argumentos sensibilizaram seus avós, que mais uma vez
democraticamente, com o aval de Sofia, decidiram agora enviá-los ao Nordeste.
Assim, Andrea e Renato viajariam para o Nordeste e caberia aos mesmos apenas decidir
quantos dias ficar na cidade de Fortaleza (X) e quantos em Natal (Y).
(b.) Agora a decisão seria quantos dias em cada cidade. Por sorte, suas preferências
convergiam, podendo ser representadas por UCASAL (X,Y) = 0,5 lnX + 0,5 lnY .
i.
(P
,P
)
Encontre as funções demanda por X e Y, como função dos preços X Y e da
quantia (R) destinada à estadia em Fortaleza (X) e Natal (Y). (Você pode usar Lagrange
ou não, mas a resposta só será válida se você mostrar como chegou ao resultado.)
UCASAL (X,Y) = 0,5 lnX + 0,5 lnY
L = 0,5 lnX + 0,5 lnY – λ(PXX + PYY – R)
1.
D
6
0,5 6 − F) 0 F G,
&'6
2.
D
?
0,5 ? − F)" 0 F G,
&(?
3.
D
H
) + )" − * 0
Igualando as equações 1 e 2 temos:
0,5
0,5
) )"
) )"
Substituindo Y em 3:
) + )" I
2) *
7
&'
) J *
)"
7
&(
ii.
Supondo que o preço médio da diária em Fortaleza seja de 750 reais (Px = 750) e que
em Natal seja 500 reais (Py = 500) e que seus pais tenham disponibilizado 6000 reais
para os gastos com estadia R = 6000 reais. Quantos dias eles ficariam em cada cidade?
*
6000
4
2)
2750
6000
*
6
2500
2)"
Resposta: Eles ficariam 4 dias em Fortaleza e 6 dias em Natal
iii.
Represente em um gráfico a restrição orçamentária e indique a cesta ótima.
Y
12
6
4
8
X
(c.) Suponha agora que os preços das diárias em Natal (Y) sofram em média uma queda de
14,29%.
i.
Será que eles alterariam os seus planos? Em caso afirmativo mostre quantos dias
ficariam em cada cidade. Represente no gráfico anterior a nova restrição e a escolha
ótima.
PY’ = (1-0,1429)PY = 428,55
LGGG
X = 4 e Y = (#N,) 7
Assumindo que eles pudessem comprar ‘frações’ de uma diária, eles ficariam
0,9 dias a mais em Natal. Seus planos, portanto, se alterariam.
ii.
Sabemos que uma variação de preços gera um efeito substituição e um efeito renda.
Discuta e calcule cada um deles. (Dica: Utilize o conceito de Slutsky, i.e. calcule qual a
nova renda – menor! – que permitiria ao casal comprar exatamente a mesma cesta
que comprava antes.)
A variação nos preços gera um efeito TOTAL de: 7 – 6 = 1 unidade de Y (o consumo de
X fica inalterado, portanto, não há efeito total.
Agora vamos alocar este efeito total entre efeito renda e distribuição. Uma forma de
fazer isto é eliminar o efeito renda, reduzindo a renda do consumidor de forma que ele
possa continuar a comprar apenas a cesta que comprava antes (e não mais!), mesmo
com a redução de preços. Para fazer isto precisamos encontrar a renda necessária para
se comprar a antiga cesta (4 unidades de X e 6 de Y) aos novos preços:
R’ = 4(750) + 6 (428,55) = 3000 + 2571,30 = 5571,3
Para comprar a mesma cesta que compravam antes, Renato e Andrea precisariam de
apenas R$5571,3 (ao invés de R$6000). Vamos encontrar agora a cesta ótima
assumindo os NOVOS preços (Px = 750, Py’ = 428,55) E A NOVA RENDA R’ = 5571,3:
′ 5571,3
3,7
2(750)
R ′ 5571,3
6,5
2(428,55)
A cesta acima considera uma compensação na renda que elimina exatamente o efeito
renda. Portanto, a variação que ocorre entre a cesta original (X=4 e Y=6) e a nova
(X’=3,7 e Y’=6,5) é o efeito substituição por Slutsky. Assim, o efeito substituição é de
(3,7 – 4) = -0,3 unidades de X e (6,5 – 6) = +0,5 unidades de Y.
Para X:
EFEITO TOTAL =
EFEITO RENDA + EFEITO SUBSTITUIÇÃO:
0
EFEITO RENDA + (-0,3)
=
EFEITO RENDA = + 0,3
Para y:
1
= EFEITO RENDA
+ 0,5
EFEITO RENDA = + 0,5
Portanto, o efeito renda é de +0,3 unidades de X e +0,5 unidades de Y.
iii.
Suponha agora que o casal decida restituir aos seus pais a diferença dos gastos em
estadia decorrente do desconto obtido. Seus planos continuariam os mesmos?
Justifique sua resposta.
Não. Se eles fizerem esta restituição, o efeito renda seria eliminado e sobraria apenas
o efeito substituição. O novo ponto ótimo (calculado em ii) seria X = 3,7 e Y = 6,5.
Questão 24. Aumento Salarial x Vale Refeição
Trabalhadores de uma empresa recebem por mês R$ 300. Esta renda é repartida em
alimentação dentro da empresa (bem X), cujo preço por quilograma é PX = R$ 10, e
mercadoria-composta (isto é, uma mercadoria que representa todas as demais mercadorias,
bem Y), cujo preço é, por definição, PY = R$ 1. Em meio a um processo de negociação salarial,
os trabalhadores pedem um aumento salarial de R$ 50. Em contrapartida, o diretor desta
empresa oferece vales-refeição, valendo os mesmos R$ 50, que só podem ser gastos no
refeitório da empresa. Suponha que os trabalhadores são racionais.
(a.) Escreva e desenhe a restrição orçamentária nas três situações:
(a.) antes do aumento
Resposta:
Pxx + Pyy = R
10x + y = 300
300
30
(b.) supondo aumento salarial de R$ 50
Resposta:
350
10x+ y = 350
35
(c.) considerando a oferta do diretor
Resposta:
300
Para x <5 y = 300
Se x ≥ 5 10x + y = 350
5
35
Na empresa, há trabalhadores que na situação inicial consomem mensalmente menos de 5
quilos de alimentação no refeitório (Grupo 1); para estes trabalhadores, o bem X é um bem
inferior. Outros trabalhadores consomem inicialmente mais do que 5 quilos por mês (Grupo 2);
para estes, o bem X é um bem normal. Considere que ambos os grupos de trabalhadores têm
preferências bem comportadas (isto é, que obedecem às quatro premissas usuais da teoria do
consumidor).
(b.) Represente graficamente na figura com item (a.) a possível escolha ótima de um
trabalhador do Grupo 1 nas três situações: antes do aumento, supondo aumento salarial de R$
50,00 e considerando a oferta do diretor. Qual das alternativas lhes proporciona maior
utilidade?
Resposta: Para o trabalhador do Grupo 1, o bem X é inferior, ou seja, ele gostaria de gastar
qualquer aumento de renda apenas com bem Y. Assim, a melhor alternativa para ele é um
aumento salarial de $ 50, porque é a única alternativa que lhe permite fazer isto.
Ótimo com aumento em dinheiro
350
300
Ótimo com aumento em vales
Ótimo sem aumento
5
30
35
(c.) Com relação aos trabalhadores do Grupo 2, qual das alternativas lhes proporciona maior
utilidade? Calcule a Taxa Marginal de Substituição (TMS) de um trabalhador do Grupo 2 no
ponto de escolha ótima.
Resposta: O grupo 2 é indiferente entre as opções ii e iii.
STU VWXY
VWXZ
[Y
[Z
,\
,
Questão 25. Preferências, Restrições Orçamentárias e Fome Zero
Guaribas é a cidade brasileira com menor Índice de Desenvolvimento Humano (IDH). Segundo
o site do Programa Fome Zero em Piauí, “crianças vivem em condições sub-humanas herdadas
dos pais; o abastecimento de água é praticamente inexistente; para ter acesso a água potável
é preciso subir a serra; centenas de famílias passam semanas inteiras sem ter uma refeição
decente”.
Para combater tanto a miséria, na qual parte significativa da população brasileira vive, quanto
sua persistência, muitas ações serão necessárias. Nesta questão, somente um aspecto é
avaliado, o impacto sobre o bem-estar do consumidor decorrente da concessão do benefício
“Bolsa-Família” (em dinheiro) em comparação com a distribuição de cestas de alimentos.
Suponha que as preferências de um habitante pobre de Guaribas possam ser descritas como
“preferências hierárquicas”, as quais podem ser representadas pela seguinte função de
utilidade:
^R < 40
a
(, ) ]
(40 + ) ^R ≥ 40
onde X é quantidade mensal de alimento e Y é quantidade mensal de vestuário.
(a.) Desenhe o mapa de curvas de indiferença que corresponde a esta função de utilidade e
indique nele o nível de utilidade (em números). Dê uma interpretação do significado do
ponto ( X ,Y ) = (40,0) .
Resposta: O ponto (40,0) indica o ponto de saturação, ou seja, neste ponto o habitante não
está mais com fome.
(b.)
i.
Quais são as quatro premissas usualmente adotadas na teoria de consumidor?
1.
2.
3.
4.
ii.
Integralidade: as preferências são completas
Transitividade: preferências são transitivas
Não saciedade: mais é melhor do que menos
Convexidade: a TMS é decrescente
Qual/quais desta(s) premissa(s) é (são) violada(s) no mapa de curvas de indiferença
desta questão?
Nesse mapa de curvas de indiferença são violados premissas 3 e 4.
(c.)
i.
ii.
Desenhe a restrição orçamentária de um habitante de Guariba, supondo que a renda
mensal dele é R = 30 , e que os preços são 1 X P = e 2 Y P = , e indique a escolha ótima
do habitante.
Restrição Inicial:
)' + )( * ⟹ Restrição 1:
15 −
7
&c
−
&d
&c
Qual é o pacote ( X ,Y ) que maximiza sua utilidade?
Escolha ótima: ( X ,Y ) = (30, 0)
iii.
Qual é o valor da sua utilidade?
U (= X ) = 30
(d.) Suponha que o governo, através de um programa Bolsa Família, dê R$45 para cada
habitante por mês.
i.
Desenhe a nova restrição orçamentária do habitante, mostrando o novo ponto de
escolha ótima ( X ,Y ) .
Nova Restrição:
37,5 −
ii.
Qual é o pacote ( X ,Y ) que maximiza sua utilidade?
Escolha ótima: ( X ,Y ) = (40, 17, 5)
iii.
Qual é o valor da sua utilidade?
U ( = 40 + Y ) = 57,5
(e.) Suponha que, ao invés de R$45, o governo dê a cada habitante de Guaribas uma cesta de
alimentos no valor de R$45 por mês.
i.
Mostre como isto muda a restrição orçamentária desenhada na questão (d).
Nova restrição:
•
•
no intervalo [0,45]:
no intervalo [45, →]:
15
37,5 −
Ou seja, em comparação com a restrição 2, a restrição é quebrada. No intervalo para X
de zero para 45, a restrição é uma linha horizontal, com Y=15.
ii.
Qual é o novo pacote ( X ,Y ) que maximiza sua utilidade?
Novo pacote:
X = 45
Y = 15
iii.
Qual é o novo valor da utilidade?
Nova utilidade:
U (= 40 + 15) = 55
i.
Qual dos programas permite que o habitante de Guaribas atinja maior utilidade?
A utilidade do programa bolsa família é mais alta do que a utilidade do programa
cesta de alimentos. Dentro este modelo a escolha é então em favor da bolsa família.
ii.
Sua resposta ao item (i) é um exemplo de análise positiva ou normativa? Explique sua
resposta.
Isto é uma análise positiva, porque dentro o modelo isto é como a economia é, não
como a economia deveria ser.
Questão 26. Ligações Telefônicas para os EUA
Charlinssom e Charlene namoram desde 2003. Charlene sempre teve um sonho: conhecer os
EUA. A chance finalmente apareceu quando, entre 200 universitários, Charlene foi escolhida
para trabalhar na Disney durante seu período de férias de final de ano. Charlinssom não
gostou muito da idéia, mas acabou concordando que Charlene não deveria desperdiçar esta
chance. Além disso, Charlinssom já estava com saudades de quando ia para baladas com os
amigos e esta seria uma boa oportunidade para relembrar os velhos tempos.
PARTE A
Charlinssom tem a seguinte função utilidade: U(X,Y) = X1/3 Y2/3, onde X é o número de minutos
mensais de ligação telefônica para Charlene e Y é o número de vezes no mês que ele sai com
os amigos para a balada.
(a.) Com base na função utilidade de Charlinssom descrita acima:
i.
Obtenha a taxa marginal de substituição (TMS) de Y por X (TMS = - dY/dX) .
ii.
1⁄3 f⁄ / 1 !" 2⁄3 ⁄ f/ 2 Mostre que a TMS obtida acima é decrescente e interprete esse resultado.
Para sabermos se a TMS é mesmo decrescente em X basta derivar:
A
1 −
<0
A
2 Interpretação: Quando X aumenta a TMS diminui. Com um aumento no consumo de X,
cai a utilidade marginal de X, ou seja, o indivíduo troca menos unidades de Y por uma
unidade adicional de X.
iii.
Encontre as funções demanda por X e Y, como função dos preços (PX ,PY) e da renda (R).
(Você pode usar Lagrange ou não. Mas, a resposta só será válida se você mostrar como
chegou ao resultado. Não vale decorar!!!!!!!!!!)
Sabemos que no ponto ótimo:
&'
&(
1 )
∙ 2 )"
2) )"
Substituindo na restrição orçamentária, temos:
) + )" *
) + 2) *
+
,
0
h./
2) )"
Voltando em (1):
21
*2 )
&'
3
i
0
h.5
)"
(b.) Com base nas funções de demanda calculadas do item (a), responda:
i.
Os bens X e Y são substitutos, complementares ou independentes? Justifique sua
resposta usando as elasticidades relevantes. Mostre como chegou ao resultado.
Os bens são independentes, pois a elasticidade-cruzada da demanda dos dois bens é nula.
Isso quer dizer que a demanda de X não depende do preço de Y e a demanda de Y não
depende do preço de X.
@
=6,?
@
=?,6
ii.
A )"
)"
∙
0∙
0
A)" A )
)
∙
0∙
0
A)
Os bens X e Y são normais ou inferiores? Justifique sua resposta usando as
elasticidades relevantes. Mostre como chegou ao resultado.
Os bens são normais, pois as elasticidades-renda da demanda dos dois bens são positivas.
Isso significa que quando a renda aumenta, aumenta a demanda pelos dois bens.
=67 =?7 A *
1 *
∙ ∙ 3) 1 > 0
A* 3) *
A *
2 *3
∙ ∙
)" 1 > 0
A* 3)" * 2
(c.) Supondo que PX = 0,80, PY = 50 e R = 600:
i.
Calcule a cesta de consumo ótimo de Charlinssom (a quantidade de X e Y que
maximiza a sua utilidade).
Substituindo nas curvas de demanda calculadas em (a) temos:
1
1
*
600 250
3)
3 ∙ 0,80
2
2
*
600 8
3)"
3 ∙ 50
Resposta: Charlinsson falará 250 minutos com Charlene e irá a 8 baladas.
ii.
Desenhe a restrição orçamentária de Charlinssom e marque a cesta ótima escolhida
por ele.
12
8
Cesta
ótima
250
PARTE B
A companhia telefônica, percebendo que Charlinssom liga freqüentemente para Charlene nos
EUA, oferece a ele um novo plano telefônico. Charlinssom pagaria R$ 150 por mês e teria
direito de falar até 250 minutos com Charlene. Caso quisesse falar mais do que esses 250
minutos no mês, pagaria R$ 1 por minuto adicional. A renda e o preço do bem Y permanecem
inalterados (veja no item (c)).
(d.) Desenhe a nova restrição orçamentária de Charlinssom, com o novo plano da telefônica.
Coloque também neste gráfico as informações (restrição orçamentária inicial e a cesta ótima
de consumo calculada em (c)-(i)) que você colocou no gráfico do item (c)-(ii).
Se Charlinsson gasta R$150 com o novo plano, a renda que sobra é: R’ = 600 – 150 = 450
Se ele gastar estes R$450 integralmente com baladas, ele conseguirá ir no máximo a 450 / 50 =
9 baladas. Assim, sua nova restrição orçamentária será quebrada neste nível, já que não será
possível a Charlinsson atingir um Y maior do que 9. Para qualquer X menor que 250 minutos, Y
será 9. Já para X >= 250, a RO será: 1X’ + 50Y = 450, sendo X’ o número de minutos adicionais
que Charlisson fala. O número total de minutos será, portanto, X = 250 + X’.
Y (balada)
12
9
8
cesta ótima sem plano (250,8)
●
restrição orçamentária
com plano da telefônica
250
700
750
X (ligações telefônicas para
EUA em minutos)
(e.) Caso Charlinssom continue falando a mesma quantidade de minutos com Charlene por
mês (calculada no item (c)) e escolha aderir ao novo plano oferecido:
i.
Qual será sua nova combinação de consumo de X e Y?
Dos 600 reais, Charlinssom gasta 150 reais no plano da telefônica para falar 250 minutos
(mesmo que o calculado no item c) com Charlene. Pode utilizar o restante (450 reais) para
sair com os amigos. Considerando que ele gasta 50 reais por balada, agora ele poderá sair
9 vezes. Portanto, a combinação será 250 minutos e 9 idas à balada.
Y (balada)
cesta ótima com plano (250,9)
12
9
8
●
●
cesta ótima sem plano (250,8)
250
700
750
X (ligações para
EUA em minutos)
ii.
Qual a utilidade dessa nova combinação de ligações para Charlene (X) e idas à balada
(Y)?
(, ) ⁄ ⁄ 250⁄9⁄ 27,26
iii.
Neste ponto, ele estará numa situação melhor que no plano antigo? Utilize o gráfico
(ítem d) para justificar sua resposta.
Resposta: Como agora ele fala o mesmo que antes, mas pode sair mais vezes com os
seus amigos, Charlinsson se encontra em uma situação melhor. Também é possível
observar tal fato pela análise do gráfico, em que Charlinsson poderia atingir uma curva
de indiferença mais elevada (maior satisfação). Além disso, é possível ver que a nova
combinação de X e Y fornece maior utilidade ao Charlinsson.
(, ) ⁄ ⁄ 250⁄8⁄ 27,21
(f.) Com o novo plano Charlinssom deve falar com Charlene 250 minutos, mais que 250
minutos ou menos que 250 minutos, para maximizar a sua utilidade? Justifique sua resposta.
Resposta: com o novo plano, Charlinsson deverá falar os 250 minutos com Charlene.
No ponto (250, 9) a TMS = 9/500 enquanto a razão dos preços é 1/50 (10/500), ou
seja: TMS < Px/Py.
Sabemos então que UMgx/Px < UMgy/Py.
Ou seja, a satisfação adicional de ter mais do bem Y (em troca do bem X), por real
gasto com bem Y é maior do que a satisfação adicional de ter mais do bem X por real
gasto com bem X. Charlinsson tem um incentivo de abrir mão dos seus minutos no
telefone com Charlene, para sair mais com seus amigos. Apesar desse incentivo, o
plano da telefônica impossibilita que isto ocorra. Assim, Charlinsson maximiza sua
satisfação no ponto (X,Y) = (250, 9).
Y (balada)
cesta ótima com plano (250,9)
12
9
8
●
●
250
cesta ótima sem plano (250,8)
700
750
X (ligações para
EUA em minutos)
Questão 27. Imposto sobre o Cigarro
Após diversos estudos demonstrarem os efeitos nocivos do cigarro à saúde, vários governos
têm adotado políticas no sentido de reduzir seu consumo. Restrição à propaganda, limitação
dos locais no qual o fumo é permitido e campanhas de conscientização são exemplos de
iniciativas deste tipo. Uma medida também bastante comum tem sido aumentar o imposto
sobre o cigarro, encarecendo o produto e assim reduzindo seu consumo. Esta última medida,
entretanto, vem acompanhada de certa polêmica. Críticos argumentam que cidadãos mais
pobres, por gastarem uma porção maior de sua renda com o vício, pagariam uma parte
desproporcional do imposto, ampliando a desigualdade social. Nesta questão analisaremos a
possibilidade de eliminar esta distorção devolvendo, na forma de uma transferência em
dinheiro, o valor pago em impostos sobre o cigarro.
Imagine um trabalhador que consuma cigarros todos os dias, e tenha suas preferências
representadas pela seguinte função de utilidade Cobb- Douglas:
U ( x, y) = xy3
onde x é quantidade diária de cigarros e y é um bem composto que representa os demais
bens que o trabalhador consome (alimento, vestuário, etc.).
(a.) (i) Quais as curvas de demanda do bem x e do bem y, assumindo que o trabalhador
maximiza sua utilidade?
Utilizando Lagrange, temos:
l " − Fmn' + n( " − *o
pD
p'
" − Fn' 0
=>
Fr
(2)
pD
p(
3 " − Fn( 0
=>
F
(3)
pD
pH
n' + n( " − * 0
Fazendo (1) = (2) temos:
" 3 "
n'
n"
"
(q
(1)
3 n'
n(
Substituindo em (3):
3 n'
n' + n( t
u−* 0
n(
d
'( s
rc
4n' − * 0
/
5
0
4v/
*
3 w4n x n'
'
n(
h0
4v5
(b.) Suponha que a renda diária do trabalhador é R = R$ 8 e que os preços são PX = R$ 0,25 e PY
= R$ 0,75. Escreva e desenhe a restrição orçamentária do trabalhador. Qual a cesta A = (xA , yA )
que maximiza sua utilidade? Indique esta cesta em sua figura, e calcule o valor da utilidade
dessa cesta.
A restrição orçamentária será: n' + n( " *
0,25 + 0,75" 8
Isolando y para obter a equação da reta:
"
8 − 0,25
0,75
A cesta ótima será (usando as curvas de demanda calculadas em (a)):
"
8
*
8
4n' 4 ∙ 0,25
3*
3∙8
8
4n( 4 ∙ 0,75
Ou seja, consumir 8 unidades de cigarro e 8 do bem composto. Esta cesta dá a seguinte
utilidade:
" 8 ∙ 8 4096
Y
Cesta ótima
13,33
10,67
Cesta ótima; (A)
Restrição
Orçamentária
10
8
X
45 8
16 20
32
(c.) Suponha agora que o governo aumente o imposto sobre o cigarro de forma que este passe
a custar PX = R$0,50, tudo o mais constante. Calcule o novo ponto de escolha ótima B = (xB ,yB ).
Escreva e desenhe também a nova restrição orçamentária na figura do item (b), indicando o
ponto (B). Qual o impacto do imposto na utilidade do consumidor?
Veja no gráfico as respostas em vermelho.
O novo preço será n'y 0,50. Jogando nas curvas de demanda:
"
*
8
4
4n' 4 ∙ 0,50
3*
3∙8
8
4n( 4 ∙ 0,75
O indivíduo consumirá agora 4 unidades de cigarro e as mesmas 8 unidades do bem composto
que consumia antes. A restrição orçamentária passa a ser:
0,50 + 0,75" 8
E a utilidade correspondente será menor:
" 4 ∙ 8 2048
(d.) Um economista calculou que o imposto terá um efeito substituição de –3 cigarros e um
efeito renda de –1 cigarro. Qual a interpretação desses valores? Dê também uma definição
geral dos dois efeitos.
O efeito SUBSTITUIÇÃO indica que os consumidores comprarão mais da mercadoria que ficou
relativamente mais barata (bem composto) e menos da mercadoria que ficou mais cara
(cigarro). Ele mede a variação do consumo, mantendo constante o nível de utilidade (Hicks) ou
o poder aquisitivo (Slutstky). Portanto, mantendo-se constante a utilidade ou o poder
aquisitivo, e variando apenas os preços relativos, o indivíduo deixaria de comprar 3 cigarros.
O efeito RENDA mede a variação do consumo referente ao aumento ou redução do poder
aquisitivo do consumidor, mantendo-se constante o preço do item. Aqui, ela deixaria de
comprar 1 cigarro em decorrência de uma perda de poder aquisitivo.
(e.) Suponha agora que o governo dê ao trabalhador uma restituição em dinheiro de forma
que seu poder de compra não caia. Quantos reais (R$) o governo deve transferir ao
trabalhador para que seja possível a ele comprar exatamente a mesma cesta comprava antes
do imposto?
Para recompor a renda do trabalhador e tornar possível que ele compre exatamente a mesma
cesta que comprava antes do imposto, o governo precisaria restituir o equivalente ao número
de unidades de cigarros que ele comprava antes do imposto vezes o imposto por unidade
(R$0,25): 8 x 0,25 = 2 reais
(f.) Escreva e desenhe a nova restrição orçamentária na sua figura no item (b) e calcule o novo
ponto ótimo C, e o valor da utilidade dessa cesta. Em comparação com a cesta A, qual é a
redução no consumo de cigarro por parte do trabalhador? O bem-estar do trabalhador
aumentou ou diminuiu?
Veja as retas referentes ao item f em verde no gráfico do item b.
A nova restrição orçamentária será:
n' + n( " * + 2
0,50 + 0,75" 10
"
*
10
5
4n' 4 ∙ 0,50
3 ∙ 10
3*
10
4n( 4 ∙ 0,75
A nova cesta ótima será consumir 5 cigarros e 10 unidades do bem composto. O consumo de
cigarros cai ( 8 – 5) = 3 unidades. O bem estar passa a ser:
" 5 ∙ 10 5000
Ou seja, houve aumento do bem estar em relação ao item c, mas este ainda permanece
inferior ao item a.
(g.) Considerando esta compensação financeira, o que aconteceu com o efeito renda e com o
efeito substituição, em termos do consumo de cigarro?
Com a restituição do imposto, o governo recompõe o poder aquisitivo das pessoas, fazendo
com que a renda volte ao nível que era antes do imposto. Assim, o efeito renda é zero. Como
sabemos que:
EFEITO TOTAL = EFEITO RENDA + EFEITO SUBSTITUIÇÃO
Se o efeito renda é zero, o efeito substituição será equivalente ao efeito total, portanto, de 3
cigarros a menos em relação à situação inicial (sem imposto e sem compensação financeira).
(h.) Se você fosse Ministro da Saúde e tivesse como objetivo diminuir o consumo de cigarro,
você implementaria a política proposta no enunciado? Justifique sua resposta.
Sim, eu implementaria a política, pois ela atinge o objetivo de reduzir o consumo de cigarros,
diminuindo o consumo 3 unidades, e ainda leva a um aumento do consumo do bem composto
em 2 unidades. A restituição evita o efeito renda negativo (ou redução do poder aquisitivo)
que ocorreria no caso de apenas instituir-se o imposto. A utilidade do indivíduo aumenta em
relação à situação inicial.
Questão 28. Vagabundo, eu???
Em geral, usamos a teoria da escolha do consumidor para analisar como uma pessoa decide
alocar sua renda entre dois bens. Aqui, usaremos exatamente o mesmo arcabouço para
analisar como uma pessoa decide alocar seu tempo entre trabalho e lazer.5
Imagine que Bill Kates III é um programador de computadores recém formado, que trabalha
como autônomo para uma empresa de software. Bill permanece acordado 100 horas por
semana. Ele gasta parte deste tempo com lazer – jogando joguinhos de computador,
atualizando sua página no Orkut ou seguindo os passos de Steve Jobs no Twitter. O resto de
seu tempo, Bill gasta desenvolvendo programas de computador; para cada hora de
programação, ele ganha R$50, que imediatamente gasta, comprando bens diversos. Assim, Bill
enfrenta um tradeoff entre consumo (possibilitado pelo seu trabalho como programador) e
lazer.
Suponha que X é o número de horas que Bill gasta com lazer, Y é o consumo de Bill na semana
(em R$), w é o salário que Bill recebe por hora de trabalho (em R$ por hora) e T, o número de
horas que passa acordado na semana. Sua restrição será dada por:
X + (1/w)Y = T
Repare que, como Bill terá agora que alocar as horas que passa acordado (T) – e não sua renda
como no caso dos problemas tradicionais – ao invés de uma restrição orçamentária teríamos
uma restrição de tempo.
(a.) Desenhe a restrição de Bill, colocando o consumo de Bill em R$ (bem Y) no eixo vertical e o
número de horas de lazer (bem X) no eixo horizontal. (Obs: Assuma que Bill recebe um salário
de R$50 por hora trabalhada e fica acordado 100 horas na semana.)
Com w=50 e T=100, a restrição fica X + (1/50)Y = 100. No gráfico:
Consumo (Y)
5000
100
5
Lazer (X)
Esta questão foi baseada em Mankiw, N.G., “Princípios de Microeconomia”, pp. 469-470.
(b.) A restrição acima mostra que a decisão de Bill – como qualquer decisão de consumo –
dependerá do preço relativo entre consumo e lazer. (i) Defina preço relativo. (ii) Qual o preço
relativo entre consumo e lazer para Bill?
i. Preço relativo é o preço de uma mercadoria comparativamente aos demais preços da
economia.
ii. O preço relativo entre consumo e lazer é o salário (w ou 1/w).
(c.) Suponha que a utilidade de Bill possa ser dada por:
U(X,Y) = X0,3Y0,7
Encontre as equações das curvas de demanda por lazer e por consumo, em função do salário
de Bill e do tempo que ele fica acordado (T). (Obs: É preciso demonstrar como o resultado foi
obtido!)
Bill irá maximizar sua utilidade, sujeito à restrição dada pelo exercício. O lagrangeano fica:
L = X0,3Y0,7 – λ [X + (1/w)Y – T]
L
X
L
Y
L
0,3 X -0,7 Y0,7 – λ = 0
λ = 0,3 X -0,7 Y0,7 (Eq.1)
=>
0,7 X 0,3 Y-0,3 – (1/w) λ = 0
X + (1/w)Y – T = 0
=>
(Eq.3)
Igualando as equações (1) e (2):
0,3 X -0,7 Y0,7 = 0,7 wX 0,3 Y-0,3
Y = 2,33wX
Substituindo na equação (3):
X + { (2,33wX) – T = 0
X = T / 3,33 = 0,3T
(Eq. 4)
λ = 0,7w X 0,3 Y-0,3
(Eq.2)
Voltando na equação (4):
Y = 2,33wX = 2,33w (0,3T) = 0,7wT
Portanto, as curvas de demanda são X = 0,3T e Y = 0,7wT.
(d.) Se o salário de Bill for de R$50 por hora e ele permanecer acordado 100 horas na semana:
(i.) Quanto ele irá consumir na semana? (ii.) Quanto tempo ele gastará com lazer? (iii.) Quantas
horas ele trabalhará na semana?
Utilizando as curvas de demanda calculadas no item anterior:
X = 0,3T = 0,3 (100) = 30 horas
Y = 0,7wT = 0,7 (50) (100) = 3500 reais
Ele trabalhará as horas do dia que não gasta com lazer, portanto 100 – 30 = 70 horas.
Assim, Bill (i) irá consumir R$3500, (ii) gastar com lazer 30 horas e (iii) trabalhar 70 horas por
semana.
(e.) Imagine que o salário de Bill agora aumente para R$100 por hora de programação.
i.
Bill trabalhará mais, menos ou o mesmo número de horas após o aumento?
Bill trabalha todo o tempo que ele não gasta com lazer (T – X).
Observando a curva de demanda por lazer calculada no item (c) vemos que X não depende do
salário. Assim, Bill gasta com lazer as mesmas X = 0,3T = 30 horas, e trabalha 70 (100 – 30)
horas que fazia antes do aumento.
ii.
O resultado obtido no item (i) é consistente com o que você aprendeu sobre oferta
e demanda? Por que sim/não?
Não. A lei da oferta diz que, quanto maior o preço de um bem, maior a quantidade ofertada.
Aqui, entretanto, o preço do trabalho (ou seja, o salário) aumenta e Bill trabalha o mesmo
número horas, portanto, oferta a mesma “quantidade” de trabalho.
iii.
Calcule o efeito renda e o efeito substituição do aumento de salário de Bill sobre o
tempo alocado para lazer (bem X). (Dica: comece calculando quantas horas Bill
teria que permanecer acordado (T’) para obter a mesma combinação de consumo
e lazer que tinha antes do aumento.)
Como o tempo alocado para lazer não muda, o efeito total em X é ZERO.
Para calcular o efeito substituição, podemos calcular quantas horas Bill teria que permanecer
acordado (T’) para obter a mesma combinação de consumo e lazer que tinha antes do
aumento, ou seja, X = 30 e Y = 3500, agora com um novo salário de w’= 100:
T´= X + (1/w)Y = 30 + (1/100)3500 = 65
Ou seja, 65 horas acordado (ao invés de 100) seriam suficientes para Bill obter o mesmo
consumo e lazer de antes, agora que seu salário é maior. Substituindo T´=65 na curva de
demanda por X calculada em (c):
X = 0,3T = 0,3(65) = 19,5
O efeito substituição é, portanto, 19,5 – 30 = -10,5
Como sabemos que:
EFEITO TOTAL = EFEITO RENDA + EFEITO SUBSTITUIÇÃO
0 = EFEITO RENDA + (-10,5)
EFEITO RENDA = 10,5
O efeito renda em X é +10,5 e o efeito substituição, -10,5.
iv.
Defina efeito renda e efeito substituição. Utilize estes conceitos e os valores
calculados no item anterior para explicar como a decisão de Bill sobre como alocar
seu tempo entre trabalho e lazer muda com o aumento de salário.
Quando o preço de um bem varia, o efeito total (aumento ou redução) na quantidade
consumida por ser dividido em 2 partes: (1) o EFEITO SUBSTITUIÇÃO mede a parte resultante
de uma alteração do preço relativo. Quando o salário de Bill aumenta, o lazer se torna mais
caro em relação ao consumo, e isso encoraja Bill a substituir lazer por consumo, trabalhando
mais. (2) O EFEITO RENDA mede a parte resultante de um aumento do poder de compra, com
os preços relativos mantidos constantes. Com o aumento de salário, Bill está mais rico que
antes, e consegue atingir o nível de consumo que deseja trabalhando menos. Neste caso, os
efeitos renda e substituição se anulam, e Bill trabalha a mesma coisa.
(f.) Após alguns anos trabalhando intensamente como programador, Bill teve uma crise de
stress. Sua pressão subiu, ele desenvolveu uma úlcera, seus cabelos ficaram prematuramente
brancos... Seu médico recomendou fortemente que ele mudasse seu comportamento e que,
de agora em diante, para evitar o risco de um colapso, tirasse uma hora de lazer para cada
hora trabalhada na semana. Assumindo que Bill recebe R$50 por hora trabalhada, desenhe em
um mapa de indiferença como ficariam as preferências de Bill (entre CONSUMO e lazer) se ele
seguisse o conselho de seu médico. Represente no mesmo gráfico a restrição de Bill e indique
o ponto ótimo.
Consumo (Y)
5000
Ponto ótimo (50 , 2500)
2500
50
100
Lazer (X)
(g.) Mas Bill é teimoso e, ao invés de seguir as indicações de seu médico, manteve suas
preferências como eram antes: U(X,Y) = X0,3Y0,7. Entretanto, ele modificou sua restrição de
forma que lhe sobrassem para lazer ao menos 50 horas semanais. Supondo que Bill recebe
R$50 por hora: (i) Represente graficamente as preferências e a nova restrição de Bill, indicando
o ponto ótimo. (ii) O que acontece com a utilidade de Bill em relação à situação inicial (item
d)? Mostre graficamente.
Consumo (Y)
5000
3500
Ponto ótimo antes (30 , 3500)
2500
Ponto ótimo depois (50 , 2500)
30
50
Lazer (X)
Questão 29. A Herança
Zé Moleza é o único parente vivo do milionário ancião Sr. Paulo Patinhas. Há anos Zé espera
que seu tio morra e lhe deixe uma polpuda herança. Na última consulta, o médico da família
disse que o Sr. Patinhas teria exatamente um ano de vida. Como Zé é preguiçoso e não tem
nenhuma outra fonte de renda para sobreviver até lá, o gerente do banco dispôs-se a lhe
emprestar dinheiro a uma taxa de 25% o período, ou seja, para cada $1 emprestado hoje ele
pagaria de volta $1,25 daqui a um ano, quando recebesse a herança, que se estima alcançará o
valor de R$1,25 milhão até lá.
Suponha que X e Y sejam duas mercadorias compostas: os gastos com consumo neste ano (X)
e no próximo (Y).
(a.) Qual a restrição orçamentária de Zé (ou seja, quais combinações de X e Y sua herança lhe
permite ter)? Pense que o dinheiro hoje (PX) custa a Zé 1,25 vezes o dinheiro daqui a um ano
(PY). (Escreva a renda em milhares de reais, para facilitar a representação).
Restrição orçamentária: 1,25X + 1Y = 1250
Suponha que a função de utilidade que descreve as preferências de Zé Moleza seja dada por:
U = min |1,25; ~
(b.) Represente em um mesmo gráfico o mapa de indiferença e a restrição orçamentária de Zé
Moleza, indicando claramente o ponto ótimo.
Os bens são complementares para Zé Moleza porque ele gasta com consumo futuro (bem
Y) sempre 1,25 vezes o que gasta com consumo hoje (bem X). Para visualizar isto, imagine
que você queira desenhar uma curva de indiferença qualquer (U = 5, por exemplo). Para
tanto você precisa lista todas as combinações de X e Y que fazem com que U = 5. Podemos
reescrever a função de utilidade desta forma:
U = 1,25X se 1,25X < Y
U = Y se Y >= 1,25X
E assim encontrar facilmente pontos onde U = 5:
Y
X
4
5
4
6
4
7
4
8
4
9
4
10
5
5
6
5
7
5
8
5
Colocando no gráfico esta curva de indiferença, vemos que ela tem o formato de um L (o que
ocorre sempre que os bens são complementares), porque se X = 4, mesmo que Y seja maior
que 5, a utilidade continuará sendo U = 5 porque ela é determinada pelo menor valor entre
1,25X e Y. Da mesma forma, mesmo que X seja maior que 4, U continua sendo 5. As demais
curvas de indiferença serão paralelas àquela que encontramos para U = 5:
Y
1250
Obs: o gráfico não está
em escala para facilitar
a visualização
Ponto ótimo (500 ; 625)
625
U=5
5
4
500
1000
X
A restrição orçamentária (1,25X + 1Y = 1250) aparece em vermelho no gráfico.
O ponto ótimo ocorrerá onde a restrição orçamentária tangenciar a maior curva de indiferença
possível. Se os bens forem complementares, o ótimo ocorrerá sempre na “quina” do L porque
é onde não se desperdiça recursos comprando unidades de X ou Y que não gerarão aumento
na utilidade... Neste ponto, 1,25X = Y. Substituindo na restrição orçamentária:
1,25X + 1(1,25X) = 1250
2,50X = 1250
X = 500
Y = 1,25X = 625
Portanto, o ponto ótimo é (500 ; 625).
(c.) O que você pode dizer sobre as preferências de Zé?
Os bens são complementares para Zé Moleza porque ele gasta com consumo futuro (bem Y)
sempre 1,25 vezes o que gasta com consumo hoje (bem X). Dizendo de outra forma, aumentar
o consumo em um período sem a contrapartida de um aumento em outro não aumenta a
utilidade de Zé, já que ele prefere consumir X e Y nua proporção fixa.
Imagine que, contrariando as expectativas do médico, o Sr. Patinhas morra repentinamente e,
para surpresa de todos, ao abrir seu testamento descobre-se que ele deixou a herança (de
R$1.000 mil, após pagar os impostos e advogados) para sua amante secreta, a Sra. Maria
Sortuda. Imagine que Maria possa receber 25% de juros sobre suas economias, ou seja, para
cada $1 investido este ano na ela receberá $1,25 no próximo. Novamente, X e Y são duas
mercadorias compostas: os gastos com consumo neste ano (X) e no próximo (Y).
Suponha que a função de utilidade que descreve as preferências de Maria Sortuda seja dada
por:
U = X0,7Y0,3
(d.) Encontre as curvas de demanda por X e Y, em função de PX, PY e R. (Obs: Você pode usar
Lagrange ou não, mas a resposta só será válida se você mostrar como chegou ao resultado.
Não vale decorar!)
Maria Sortuda irá maximizar sua utilidade, sujeita à restrição orçamentária, portanto o
lagrangeano fica:
L = X0,7Y0,3 – λ [pXX + pYY – R]
Derivando em função de X, Y e λ, temos:
(1) δL/δX = 0,7X-0,3Y0,3 – λpX = 0
(2) δL/δY = 0,3X0,7Y-0,7 – λpY = 0
(3) δL/δλ = pXX + pYY – R = 0
ou
ou
Igualando (1) e (2):
[0,7X-0,3Y0,3] / pX = [0,3X0,7Y-0,7] / pY
0,7pYY = 0,3pXX
Y = (0,3pXX) / (0,7pY)
Substituindo em (3):
pXX + pY [(0,3pXX) / (0,7pY)] – R = 0
pXX + (0,3/0,7)pXX – R = 0
0,7pXX + 0,3pXX = 0,7R
pXX = 0,7R
X = 0,7*(R/Px)
λ = [0,7X-0,3Y0,3] / pX
λ = [0,3X0,7Y-0,7] / pY
Como Y = (0,3pXX) / (0,7pY), temos:
Y = 0,3*(R/Py)
As curvas de demanda são X = 0,7*(R/Px) e Y = 0,3*(R/Py).
(e.) Do enunciado sabemos que Px = 1, Py = (1/1,25) = 0,80 e R = 1000 (assuma que a única
fonte de renda de Maria Sortuda é a herança), encontre a cesta ótima que maximiza a
utilidade de Maria, dada sua restrição orçamentária.
Usando as curvas de demanda:
X = 0,7*(R/Px) = 0,7*(1000/1) = 700
Y = 0,3*(R/Py) = 0,3*(1000/0,8) = 375
A cesta ótima será um gasto com X de 700 e um gasto com Y de 375.
(f.) Qual a taxa marginal de substituição (de Y por X)? Dê a interpretação econômica deste
valor.
TMS = (7Y)/(3X)
O valor indica que Maria estará disposta a abrir mão de (7Y)/(3X) unidades de consumo
futuro para conseguir uma unidade adicional de consumo presente.
(g.) Imagine que o Sr. Patinhas, temeroso que Maria gaste toda a herança imediatamente e
fique desprovida no futuro, determine em seu testamento que metade da herança não
pode ser gastada no primeiro ano, e deve ser poupada para o segundo ano (ou seja, o
gasto com X deve representar no máximo 50% da renda).
i.
Escreva e desenhe no mesmo gráfico as duas restrições orçamentárias de Maria: a
antiga (sem restrição de gasto) e a nova (com restrição).
A nova restrição orçamentária será quebrada, de forma que 50% da renda ($500)
sejam gastos com X. Como Px = 1, ela terá que “consumir” no máximo X = 500 / 1 =
500. Como conseqüência, com as $500 restantes ela deverá comprar, no mínimo,
500 / 0,80 = 625 unidades de Y.
A nova restrição fica:
Para Y =< 625, X = 500
Para Y > 625, X + 0,80Y = 1000 (continua valendo a restrição original)
Y
1250
Restrição antiga
Restrição nova
625
500
ii.
1000
X
Qual o novo ponto ótimo?
Maria gostaria de consumir X= 700 (calculado em (e.), mas Patinhas limitou seu X a, no
máximo, 500. Assim, o melhor que ela pode fazer é X = 500 e Y = 625.
iii.
O que acontece com a utilidade de Maria, em relação à situação inicial? Calcule a
variação da utilidade.
A utilidade é dada por U = X0,7Y0,3.
- Na situação inicial, com X = 700 e Y = 375:
- Na nova situação, com X = 500 e Y = 625:
U = (700)0,7(375)0,3 = 580,47
U = (500)0,7(625)0,3 = 534,62
Sua utilidade, portanto, caiu bastante.
(h.) Voltemos agora à situação inicial (sem a restrição ao gasto no primeiro período imposta no
item g). Suponha agora que, para estimular o consumo neste ano de crise econômica, o
governo decida implantar um imposto sobre a poupança de forma que Maria receba apenas
$1,15 por $1 investido. Assim, o preço de Y passa a ser (1/1,15) = 0,87.
i. Como Maria deve agora distribuir seu consumo entre este ano (X) e o próximo (Y), se
quiser maximizar sua utilidade?
Usando as curvas de demanda:
X = 0,7*(R/Px) = 0,7*(1000/1) = 700
(não muda)
Y = 0,3*(R/Py) = 0,3*(1000/0,87) = 344,83
A cesta ótima será um gasto com X de 700 e um gasto com Y de 344,83.
ii. O governo conseguiu atingir seu objetivo de aumentar o consumo presente (X)?
Explique por quê.
Não, o consumo presente (X) permaneceu inalterado em 700. Isto porque os bens são
independentes (repare que a função utilidade é uma Cobb-Douglas) de forma que o
consumo de um bem independe do preço do outro.
iii. Calcule os efeitos renda e substituição da medida, utilizando a metodologia de Slutsky,
em termos dos consumos de X e Y.
Primeiro calculamos os efeitos totais, ou seja, a variação total no consumo resultante
da alteração do preço de Y de 0,80 para 0,87:
ET (X) = 700 – 700 = 0
ET (Y) = 344,83 – 375 = -30,17
Para comprar a cesta que comprava antes (700,375) ao novo preço de 0,87 Maria
precisaria de uma renda de: (700 x 1) + (375 x 0,87) = 1026,25 (R’).
Vamos agora encontrar o efeito substituição utilizando as curvas de demanda de Maria
calculadas em (d.) e substituindo para Px=1, Py=0,87 e R’=1026,25 (ao utilizar esta
renda ajustada eliminamos o efeito renda, e o que sobre é efeito substituição):
X = 0,7*(R/Px) = 0,7*(1026,25/1) = 718,375
Y = 0,3*(R/Py) = 0,3*(1026,25/0,87) = 353,879
O efeito substituição é, portanto, a diferença entre esta cesta nova com a renda
ajustada R’ e a cesta original?
ES (X) = 718,375 – 700 = 18,375
ES (Y) = 353,879 – 375 = -21,121
O efeito renda é a parte do efeito total que não é efeito substituição:
ER (X) = ET(X) – ES(X) = 0 – 18,375 = -18,375
ER (Y) = ET(Y) – ES(Y) = –30,17 + 21,121 = -9,05
Assim, podemos dizer que, em termos do consumo de X, o efeito total é zero. Isto
porque o efeito substituição positivo de 18,375 unidades é exatamente compensado
por um efeito renda negativo de 18,375 unidades.
Já em termos do consumo de Y, o efeito total é negativo em 30,17 unidades. Esta
redução no consumo de Y resulta de um efeito substituição negativo em 21,121
unidades e de um efeito renda também negativo de 9,05 unidades.
iv. Defina efeito renda e efeito substituição, e interprete os números calculados no item (ii).
Quando o preço de um bem se altera, o consumidor comprará menos deste bem por
dois motivos:
(1) Porque este bem se tornou mais caro comparativamente às demais opções que ele
tem e ele, portanto, irá substituir o bem que ficou mais caro por outro que ficou
comparativamente mais barato (efeito substituição)
(2) Porque ele teve uma redução em seu poder aquisitivo, já que com a mesma renda
não pode mais comprar a mesma cesta que comprava antes... Como o consumidor
agora está mais “pobre”, ele comprará menos de todos os bens (efeito renda).
OBS: Repare que o efeito renda NÃO resulta de uma variação na renda, mas de uma
variação no preço de um dos bens!!!
Interpretação: o aumento do preço de Y de 0,80 para 0,87 não teve impacto no
consumo de X (o efeito total é zero) porque a tendência do consumidor de comprar
18,375 unidades a mais deste bem que se tornou comparativamente mais barato
(efeito substituição) foi exatamente compensada pela tendência de reduzir o consumo
do bem agora que o poder aquisitivo caiu (efeito renda).
Já o consumo de Y caiu 30,17 unidades (efeito total), porque além da tendência do
consumidor de comprar 21,121 unidades a menos deste bem que se tornou
comparativamente mais caro (efeito substituição), houve ainda uma tendência a
reduzir o consumo do bem agora que o poder aquisitivo caiu (efeito renda) de 9,05
unidades.
(h.) Suponha agora que o governo, de forma a não reduzir ainda mais a renda dos
consumidores em épocas de crise, decide restituir a Maria o valor pago em impostos. O
contador de Maria sugere que esta volte então a consumir as quantidades de X e Y que
fazia antes do imposto, já que a restituição anularia completamente o efeito do imposto.
Este raciocínio está certo ou errado? Calcule os dados relevantes e utilize-os para justificar
sua resposta.
Como calculamos em (i.), mesmo que o governo restitua Maria, aumentando sua renda
para $1026,25, de forma a permitir que esta tenha os recursos para comprar a cesta
original, eliminando o efeito renda, o efeito substituição permanece já que o consumo
presente ficou comparativamente mais barato que o consumo futuro. A cesta ótima após a
restituição será aquela calculada em (i.) para Px=1, Py=0,87 e R’=1026,25:
X = 0,7*(R/Px) = 0,7*(1026,25/1) = 718,375
Y = 0,3*(R/Py) = 0,3*(1026,25/0,87) = 353,879
Portanto o contador está errado: Maria terá uma nova cesta ótima, considerando agora só
o efeito substituição. Repare que agora o governo atingiu seu objetivo de aumentar X, que
passou de 700 para 718,375.