(Professor: Sidclei) (unidade 10) Composição de movimentos Você

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(Professor: Sidclei)
(unidade 10)
Composição de movimentos
Você está olhando de cima a carroceria de um caminhão que está em repouso. Sobre a carroceria uma
bola está se movendo com velocidade , em relação à mesma, na direção e sentido indicados na figura.
Essa velocidade é chamada de velocidade relativa.
Em seguida, o caminhão adquire movimento retilíneo e uniforme de direção horizontal e sentido para a
direita, com velocidade
de arrastamento.
em relação à Terra.Essa velocidade é chamada de velocidade
Segundo o princípio da independência de movimentos (Galileu Galilei) a bola apresentará dois
movimentos parciais: O primeiro em relação à carroceria ( ) e o segundo, provocado pelo deslocamento
do caminhão (
mesmo tempo.
),e cada movimento acontece como se o outro não existissee os dois acontecem ao
A velocidade da bola em relação à Terra (vista por uma pessoa na Terra), que é chamada de velocidade
resultante, será
, tal que:
Exemplo de composição de movimentos:
1. Um vagão que se movimenta em relação á terra e dois garotos que se movimentam em relação ao
vagão. Baseando- se na figura abaixo, considere:
VV ,T = 4 m/s
módulo da velocidade do vagão em relação à Terra (velocidade de arrastamento).
VB, V = 1m/s
módulo da velocidade de B em relação ao vagão (velocidade relativa).
VC,V =1m/s
módulo da velocidade de C em relação ao vagão (velocidade relativa).
D --- uma pessoa em repouso em relação ao vagão.
P --- uma árvore em repouso em relação á Terra.
Velocidade resultante do garoto B em relação á arvore ( Terra )
VB,T = VV ,T + VB, V = 4m/s + 1m/s = 5m/s
Velocidade resultante do garoto C em relação á arvore ( Terra )
VC, T = VV ,T - VC, V = 4m/s - 1m/s = 3 m/s
Velocidade relativa do garoto B em relação ao garoto C.
VB,C = VB ,V + VC, V = 1m/s + 1m/s = 2m/s
2. Uma esteira que se movimenta em relação á Terra e uma pessoa (mulher) que se movimenta em
relação á esteira . E Baseando- se na figura abaixo, considere:
Ve,T = 5 km/h
módulo da velocidade da esteira em relação à Terra (velocidade de arrastamento).
Vm, e = 1m/s
módulo da velocidade da mulher em relação á esteira (velocidade relativa).
H --- um homem em repouso em relação á Terra.
Velocidade resultante da mulher em relação ao homem ( Terra )
Vm, T = Vm ,e - Ve, T = 5 km/h - 5 km/h = 0
3. Exemplos clássicos:
Barco em movimento num rio que possui correnteza( velocidade da água em relação á margem).
Um barco desenvolve velocidade própria (em relação à água) vB=4m/s num rio em que a correnteza
tem velocidade Vc=3m/s (velocidade da água em relação à margem). . Pede-se:
a) A velocidade ( ) do barco em relação à margem, quando ele sobe o rio.
Em módulo --- V=4 – 3 --- V=1m/s (velocidade com que uma pessoa parada na margem do rio veria o
barco passar por ela, subindo o rio).
b) A velocidade ( ) do barco (em relação à margem), quando ele desce o rio.
Em módulo --- V=4 + 3 --- V=7ms (velocidade com que uma pessoa parada na margem do rio veria o
barco passar por ela, descendo o rio)
Para travessia de barcos no rio
c) A velocidade ( ) do barco( vb = 8m/s) em relação à água sabendo que durante a travessia seu eixo se
mantém perpendicular à mesma,e a velocidade da água em relação a margem é vc= 6m/s e largura do rio
é de 80m
Determine:
A velocidade do barco em ralação á margem (Terra)
Em módulo --- V2=Vb2 + Vc2 --- V=√82 + 62
parada na margem do rio).
V=10m/s (velocidade do barco visto por uma pessoa
Qual é o tempo mínimo de travessia?
V=ΔS/Δt --- 8=80/ Δt --- Δt=10s --- lembre-se de que esse tempo não depende da velocidade da
correnteza, mas apenas da velocidade do barco e da largura do rio.
Deslocamento do barco rio abaixo.
ΔS = vc. Δt --- ΔS = 6.10 = 60m
d) Para que a distância percorrida seja mínima o barco deve atravessar o rio perpendicularmente, ou
seja, pelo caminho PY (menor distância entre as margens) e, para que isso ocorra o barco deve estar
posicionado conforme a figura abaixo. Assim, a velocidade resultante ( ) deve ser perpendicular à
margem de modo que
forme um ângulo β com .
A velocidade ( ) do barco( vb = 8m/s) em relação à água sabendo que durante a travessia seu eixo se
mantém perpendicular à mesma,e a velocidade da água em relação a margem é vc= 6m/s e largura do rio
é de 80m
Determine:
A velocidade do barco em ralação á agua (Terra)
Vb2=V2 + Vc2 --- 82=V2 + 62 --- V= 5,2m/s (velocidade do barco visto por uma pessoa parada na
margem do rio).
Qual é o tempo de travessia?
V=ΔS/Δt --- 5,2=80/ Δt --- Δt=15,4s --- lembre-se de que esse tempo não depende da velocidade
da correnteza, mas apenas da velocidade do barco e da largura do rio.
4. Chuva no pára-brisas de um automóvel em movimento em relação a Terra.
Mesmo que a chuva caia na vertical para o observador fixo na Terra, o motorista - um observador dentro
do automóvel em movimento que esteja vendo o pára-brisas - vê a chuva bater obliquamente.
Considere um carro movendo-se com velocidade constante de 60 km/h. Começa a chover e o motorista
observa que as gotas de água da chuva caem formando um ângulo de 30° com a vertical.
Considerando que, em relação à Terra, as gotas caem verticalmente, qual a velocidade em que as gotas de
água caem em relação ao carro?
Sen30o=Vc/Va --- 1/2 =60/Va --- Va=120km/h
Veja um outro exemplo:
Um trem viaja a uma velocidade constante de 50km/h. Ao mesmo tempo, cai uma chuva, com ausência
de vento. O trajeto das gotas de água nos vidros laterais do trem são segmentos de retas que formam
ângulos de 60º com a vertical. Qual deve ser o valor aproximado da velocidade das gotas, em relação ao
solo ?
Rolamento puro de um pneu numa superfície fixa horizontal.
Considere um carro se movendo numa estrada plana e horizontal com velocidade de intensidade V.
As rodas desse carro rolam sem escorregar. O ponto 0 corresponde ao eixo da roda, que tem a mesma
velocidade que o carro em relação ao solo, e velocidade nula em relação ao carro.
Observe que:
- O único ponto da roda que está em repouso em relação ao carro é o ponto 0 e que possui a mesma
velocidade V que o carro.
- No movimento de translação, com o carro se movendo para a esquerda com velocidade de intensidade
V, todos os pontos da roda nesse deslocamento também possuem velocidade V.
Devido à rotação em torno de 0, todos os pontos da periferia (parte externa) da roda devem ter a mesma
velocidade de intensidade V, que é sempre tangente em cada ponto e orientadas no sentido de rotação da
roda (no caso, anti-horário, pois o carro de desloca para a esquerda).
Efetuando a composição dos dois movimentos, de rotação e de translação:
Velocidade resultante nos pontos
PONTO 0 --- VR0=V
PONTO A --- VRA=2V ---
PONTO B e D --- VRB=√2V
PONTO C --- VRC=0 (informação importante)
VEJA O CASO INTERESSANTE DO TRATOR DE ESTEIRA
ico probl trator de esteira
Imagine um trator de esteira, com o da foto acima, e que se mova da esquerda para a direita com
velocidade escalar V em relação ao solo (referencial R fixo no chão).
Quando o trator se move com velocidade escalar V em relação ao chão, os eixos dos motores que movem
a esteira giram tal que cada ponto da esteira também desliza com velocidade V, só que com relação ao
trator. Certo?
Assim, enquanto o trator avança (para direita) com velocidade V em relação ao chão, pontos da parte
superior da esteira avançam com velocidade V também para a direita, mas em relação ao trator. E pontos
da parte inferior da esteira retrocedem (andam para trás), para a esquerda, com
velocidade Vtambém relativa ao trator. Para entender melhor o que estou dizendo, veja a ilustração a
seguir.
Note que representamos:




Um ponto fixo no chão chamado de R (referencial).
Outro ponto fixo T no trator e que avança para a direita em relação a Rcom velocidade VT de
módulo V.
Um terceiro ponto fixo, na parte superior da esteira, que chamamos deS e que avança para a
direita em relação ao trator T com velocidade VSde módulo V.
E um quarto ponto fixo na parte inferior da esteira representado por I que se move para a
esquerda em relação ao trator T com velocidade VI de módulo V.
Agora pense, calcule e responda: quais os valores das velocidades escalares de cada um dos pontos do
trator (T, S e I) indicados na figura acima em relação ao chão, ou seja, em relação ao ponto R?



O ponto T que representa o trator se move em relação ao chão (ponto R) com
velocidade VS,R = VS= V. Isso é tranquilo!
Já o ponto S tem movimento em relação a T com velocidade V para a direita. Mas T, por sua
vez, já está se movendo também com velocidadeV para a direita com relação a R. Assim, a
velocidade de S em relação aR será VS,R = V + V = 2V.
E o ponto I anda para a esquerda em relação a T com velocidade V. MasT, como já dissemos,
está se movendo com velocidade V para a direita com relação a R. Logo, a velocidade de I em
relação a R será VI,R = V - V = 0.
A imagem abaixo mostra o resultado dos cálculos acima.
Parece muito estranho que partes diferentes do mesmo trator possam ter velocidades tão diferentes de
valores 0 (nula), V e 2V, não? Mais estranho ainda que uma dessas partes (I) está em repouso no
referecial R! Mas o raciocínio acima nos convence de que é verdade!
Para visualisar melhor o que está acontecendo com o trator, pense no motorista que está parado em
relação ao ponto T mas se move em relação ao chão (R) com velocidade V. Sempre que ele olhar para a
esteira verá um ponto S na sua parte superioravançando em relação ao próprio trator já que S tem o dobro
da velocidade do próprio trator em relação ao chão. Isso é equivalente a dizer que os pontos S da parte
superior da esteira ultrapassam o próprio trator o tempo todo! Enquanto isso, cada ponto I da parte
inferior da esteira "gruda" no chão enquanto o trator avança, ou seja, fica parado em relação ao ponto R,
até que "descole" do piso e comece a mover-se para a parte superior da esteira. Mas o motorista do trator
vê o tempo todo o ponto S indo para trás, assim como R vai ficando para trás na medida em que o trator
avança.
Tudo isso confirma que, classicamente, qualquer movimento é relativo!
Se você fixar uma câmera num tripé e fotografar um carro que passa em movimento, perceberá que a
parte de baixo do pneu sempre sai mais nítida, ou menos borrada. De fato, no momento da foto, o ponto
inferior do pneu está parado! E por isso não sai borrado na foto. É como se estivesse posando para a foto!
Ao contrário, o ponto superior do pneu tem o dobro da velocidade do automóvel. por isso é bem provável
que na foto ele saia mais borrado. Você já notou isso em fotos de carros de corrida?
Exercícios de composição de movimentos (unidade 10)
1. (UFU-MG) Um menino está sobre um vagão-prancha de 10 m de comprimento, que se desloca sobre
trilhos retilíneos com velocidade constante de módulo 36 km/h em relação ao solo. Em certo momento, o
menino começa a se deslocar da parte de trás do vagão e alcança a sua frente após 5,0 s, com passadas
regulares.
Um aluno faz as seguintes afirmações, para o intervalo de tempo considerado:
I. a velocidade do menino, em relação ao vagão, tem módulo igual a 8,0 m/s.
II. a velocidade do menino, em relação ao solo, tem módulo igual a 12 m/s.
III. o deslocamento do menino, em relação ao solo, tem módulo igual a 50 m.
IV. o deslocamento do menino, em relação ao vagão, tem módulo igual a 10 m.
São corretas:
a) I, II, III e IV.
b) apenas I II e III.
c) apenas II e IV.
d) apenas I e III.
e) apenas III e IV.
2. Se um barco, deslocando-se a favor da correnteza, percorre um rio durante 5 minutos, qual a distância
que percorre? DADOS - velocidade do barco: 10 m/s; velocidade da correnteza: 3 m/s.
3. Qual a distância percorrida por um barco que, movimentando-se contrariamente ao sentido da
correnteza, desloca-se durante 2 muinutos? Dar a resposta em quilômetros. Considere - velocidade do
barco = 8 m/s; velocidade da correnteza = 3 m/s.
4. Um barco, a vela com toda potência, sobe um rio a 16 km/h e desce a 30 km/h, velocidades essas
medidas em relação às margens do rio. Sabe-se que, tanto subindo como descendo, o barco tinha
velocidade relativa de mesmo módulo, e as águas do rio tinham velocidade constante V. Nesse caso,
determine o valor de V.
5. (UFAC 09) Um barco atravessa o Rio Negro de 5.000 m de largura, movendo-se perpendicularmente à
margem, com uma velocidade de aproximadamente 20 m/s. A correnteza arrasta o barco de 1.500 m rio
abaixo. Qual a velocidade média da correnteza?
a) 8 m/s
b) 7,5 m/s
c) 60 m/s
d) 6,0 m/s
e) 20 m/s
6. Um barco atravessa um rio de margens paralelas de largura d = 4 km. Devido à correnteza, a
componente da velocidade do barco ao longo das margens é V A = 0,5 km/h em relação às margens. Na
direção perpendicular às margens a componente da velocidade é Vb = 2 km/h. Pergunta-se:
a) Quanto tempo leva o barco para atravessar o rio?
b) Ao completar a travessia, qual é o deslocamento do barco na direção das margens?
7. (Efei-MG) Um barco atravessa um rio seguindo a menor distância entre as margens que são paralelas.
Sabendo que a largura do rio é de 2,0 km, que a travessia é feita em 15 min e que a velocidade da
correnteza é 6,0 km/h, podemos afirmar que a velocidade do barco em relação à água é:
a) 2,0 km/h.
b) 6,0 km/h.
C) 8,0 km/h.
d) 10 km/h.
e) 14 km/h.
R. d
8. Um barco atravessa um rio percorrendo a menor distância entre as margens, que são paralelas. Para
isso, o barco deve se manter alinhado de modo a anular o efeito da correnteza, inclinando um pouco a
proa rio acima. A largura do rio é de um quilômetro e a velocidade da correnteza é 6 km/h. O intervalo de
tempo de travessia corresponde a 1/8 h.
a) Determine o módulo da velocidade resultante de travessia, vres.
b) Determine o módulo da velocidade relativa, vrel.
R. a) 8 km/h b) 10 km/h
9. Um barco é provido de um motor que permite obter velocidade própria de 40 km/h em relação às
águas, devido à potência de seu motor. A velocidade da correnteza é de 20 km/h.
a) O tempo de travessia do rio depende da velocidade da correnteza? Explique.
b) Como se deve posicionar o barco para que ele atravesse o rio no mínimo tempo possível?
c) Qual o tempo mínimo de travessia de um rio de margens paralelas e distanciadas de 4 km.
d) Considerando a travessia do item anterior, qual foi a distância (medida ao longo da margem) de
arrastamento rio abaixo durante a travessia.
Respostas:
a) Não, depende apenas componente da velocidade do barco na direção perpendicular às margens do
rio.
b) O barco deve ser posicionado com a velocidade relativa (barco em relação às águas) perpendicular em
relação ás margens paralela do rio.
c) 0,1 h
d) 2 km
10. (OBF 08) Um automóvel move-se para a direita com uma velocidade igual a +70 km/h relativamente
ao piso da estrada. Um ponto da borda superior e outro da borda inferior de um pneu deste veículo
apresentam, respectivamente, velocidades instantâneas, em km/h, iguais a
a) +140 e 0 relativamente ao piso.
b) +140 e +70 relativamente ao piso.
c) +70 e −70 relativamente ao piso.
d) 0 e −70 relativamente ao veículo.
e) +70 e +70 relativamente ao veículo.
11. (UFSCAR) Um trem viaja a uma velocidade constante de 50 km/h. Ao mesmo tempo, cai uma
chuva, com ausência de vento. O trajeto das gotas de água nos vidros laterais do trem são segmentos de
retas que formam ângulos de 60º com a vertical. Qual deve ser o valor aproximado da velocidade das
gotas, em relação ao solo?
12. (Fatec) Um teco-teco (avião) dirige-se de Leste para Oeste com velocidade de 200 km/h em relação
ao ar. O vento sopra de Leste para Oeste com velocidade de 80 km/h. Determine a velocidade do avião
em relação ao solo.
13.(AFA - 06) Um avião voa na direção leste a 120 km/h para ir da cidade A à cidade B. Havendo vento
para o sul com velocidade de 50 km/h, para que o tempo de viagem seja o mesmo, a velocidade do avião
deverá ser:
a) 130 km/h
b) 145 km/h
c ) 170 km/h
d) 185 km/h
e) 190km/h
14. Um homem tem velocidade, relativa a uma esteira, de módulo 1,5 m/s e direção perpendicular à da
velocidade de arrastamento da esteira. A largura da esteira é de 30 m e sua velocidade de arrastamento,
em relação ao solo, tem módulo igual a 2,0 m/s. Calcule:
a) o módulo da velocidade da pessoa em relação ao solo.
b) a distância percorrida pela pessoa, em relação ao solo, ao atravessar a esteira.
15. (UFPE) A escada rolante de uma galeria comercial liga os pontos A e B em pavimentos consecutivos,
com uma velocidade ascendente de módulo 0,50 m/s, conforme mostrado na figura.
Se uma pessoa consegue descer contra o sentido de movimento da escada e leva 10 segundos para ir de B
até A, pode-se afirmar que sua velocidade, em relação à escada, tem módulo, em m/s, igual a:
a) 0.
b) 0,5.
c) 1,0.
d) 1,5.
e) 2.
16. Uma pessoa percorre uma escada rolante com 15 m de comprimento em 90 s quando a escada está
parada. Quando a pessoa está parada na mesma escada, que agora se encontra em movimento, a pessoa é
transportada em 60 s.
a) Quanto tempo a pessoa levaria para fazer o mesmo percurso se caminhasse sobre a escada rolante em
movimento?
b) A resposta anterior depende do comprimento da escada?
17. (UFJF) Um homem parado numa escada rolante leva 10 s para descê-la em sua totalidade. O mesmo
homem leva 15 s para subir toda a escada rolante de volta, caminhando contra o movimento dela. Quanto
tempo o homem levará para descer a mesma escada rolante, caminhando com a mesma velocidade com
que subiu?
a) 5,00 s
b) 3,75 s
c) 10,00 s
d) 15,00 s
e) 7,50 s
18. Dois barcos – I e II – movem-se, em um lago, com velocidade constante, de mesmo módulo, como
representado nesta figura:
Em relação à água, a direção do movimento do barco I é perpendicular à do barco II e as linhas tracejadas
indicam o sentido do deslocamento dos barcos. Considerando-se essas informações, é CORRETO
afirmar que a velocidade do barco II, medida por uma pessoa que está no barco I, é mais bem
representada pelo vetor:
A) P .
B) Q .
C) R .
D) S .
19. (FUVEST 10) Pedro atravessa a nado, com velocidade constante, um rio de 60 m de largura e
margens paralelas, em 2 minutos. Ana, que bóia no rio e está parada em relação à água, observa Pedro,
nadando no sentido sul-norte, em uma trajetória retilínea, perpendicular às margens. Marta, sentada na
margem do rio, vê que Pedro se move no sentido sudoeste-nordeste, em uma trajetória que forma um
ângulo θ com a linha perpendicular às margens. As trajetórias, como observadas por Ana e por Marta,
estão indicadas nas figuras abaixo, respectivamente por PA e PM. Se o ângulo θ for tal que cos θ = 3/5
(sen θ = 4/5), qual o valor do módulo da velocidade
a) de Pedro em relação à água?
b) de Pedro em relação à margem?
c) da água em relação à margem?
20. (ITA 09) Um barco leva 10 horas para subir e 4 horas para descer um mesmo trecho do rio
Amazonas, mantendo constante o módulo de sua velocidade em relação a água. Quanto tempo o barco
leva para descer esse trecho com os motores desligados?
(a ) 14 horas e 30 minutos
(b ) 13 horas e 20 minutos
( c) 7 horas e 20 minutos
(d ) 10 horas
(e ) Não é possível resolver porque não foi dada a distância percorrida pelo barco.
21. (FUVEST 10) Um transportador havia entregado uma encomenda na cidade A, localizada a 85 km a
noroeste da cidade B, e voltaria com seu veículo vazio pela rota AB em linha reta. No entanto, recebeu
uma solicitação de entrega na cidade C, situada no cruzamento das rodovias que ligam A a C (sentido sul)
e C a B (sentido leste), trechos de mesma extensão. Com base em sua experiência, o transportador
percebeu que esse desvio de rota, antes de voltar à cidade B, só valeria a pena se ele cobrasse o
combustível gasto a mais e também R$ 200,00 por hora adicional de viagem.
a) Indique a localização das cidades A, B e C no esquema apresentado na folha de respostas.
b) Calcule a distância em cada um dos trechos perpendiculares do caminho. (Considere a aproximação
____
____)
c) Calcule a diferença de percurso do novo trajeto relativamente ao retorno em linha reta.
d) Considerando o preço do óleo diesel a R$ 2,00 o litro, a velocidade média do veículo de 70 km/h e seu
rendimento médio de 7 km por litro, estabeleça o preço mínimo para o transportador aceitar o trabalho.
Respostas:
1- C
2- 3900m
3- 600m
4- 7m/s
5- d
6- a)2h
b)1km
7- d
8- a)8km/h b)10 km/h 9- a) Não, depende apenas componente da velocidade do barco na
direção perpendicular às margens do rio. b) O barco deve ser posicionado com a velocidade relativa
(barco em relação às águas) perpendicular em relação ás margens paralela do rio.
c) 0,1 h
d) 2 km
10- a
11- 28,33 m/s
16. a) 36s b) sim
21- a)
17. b
12. 280 m/s
18- c
13.a
14. a)2,5 m/s
b)50m
19- a)0,5 m/s b)0,83 m/s c) 0,66 m/s
b) 59,5 km
c) 34 km
d) R$ 106,86
15. d
20- b
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